М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
: 1 1 1 1 1 1 2 3 3 45 1 2 3 4 4 51 56 4 4 0 Необходимо найти формулы связи между 1 1 ив данном случае между 1 и 1 1 1 2 2 Для этого в преобразованиях Лоренца (1.86) возьмем бесконечно малые (элементарные) приращения координат и времени 23 1 2 1 2 4 5 1 2 1 1 1 2 31 31 234 34 35 31 6 31 234 31 34 2 7 2 31 7 34 2 2 31 2 34 31 7 34 6 6 6 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 1 1 1 3 4 4 4 5 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 4 4 1 2 2 2 2 1 Итак 2 3 1 2 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 Аналогично можно получить обратную формулу связи 2 3 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 Формулы (1.90) и (1.91) представляют собой закон сложения скоростей в релятивистской механике. При малых скоростях движения тел (v = эти формулы переходят в закон сложения скоростей классической механики (Из закона сложения скоростей (1.90) и (1.91) следует, как это и должно быть согласно второму постулату СТО, что скорость движения тел немо жет быть больше скорости света в вакууме (v £ c). Приведем в подтверждение этому факту два примера: Пример 1. Пусть световой сигнал в СО K ¢ распространяется вдоль оси От. е. 1 2 Тогда согласно формуле (1.91) 1 2 2 3 3 3 2 1 2 2 2 1 1 1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 3 2 4 3 3 4 что и должно было получиться. Пример 2. Пусть ядро, двигаясь со скоростью 0,5 с относительно ускорителя, испускает в направлении своего движения электрон, который относительно ядра движется со скоростью 0,8 с. Найдем скорость электрона относительно ускорителя. Для того чтобы использовать закон сложения скоростей (1.91), свяжем систему отсчета K ¢ с ядром, а систему отсчета K с ускорителем и направим оси Охи Ох вдоль направления движения ядра и электрона. Тогда v = 0,5 c, ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 2 1 2 0, 8 с, а скорость электрона относительно ускорителя найдем следующим образом 2 2 3 3 3 3 3 4 1 2 2 8 2 2 0 8 0 5 1 3 0 93 2 8 10 0 8 1 4 1 1 0 5 c c c мс те. получаем, что u x < Для произвольного направления движения тел формулы (1.90) и (усложняются, но всегда скорость тела во всех ИСО не будет превышать скорости света в вакууме. 1.5.5. ДИНАМИКА СТ. О. 1.5.5.1. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ИМПУЛЬС И МАССА ТЕЛА Оказывается, что II закон Ньютона в виде (1.28) не является релятивистски инвариантным, то есть не удовлетворяет первому постулату СТО, преобразованиям Лоренца. Получить релятивистски инвариантную формулу закона из выражения (1.28) не удается из за усложнения в СТО. взаимосвязи между действующей на тело силой и ускорением тела, они в общем случае даже не совпадают по направлению. Это можно сделать на основе формулы (используя для импульса частицы вместо формулы (1.26) другое выражение. В СТО. импульс тела, движущегося в СО K со скоростью 111 запишется следующим образом 1 1 0 0 1 12 3 где 1 1 1 радиус вектор, определяющий положение тела в СО K; dt 0 — бесконечно малый (элементарный) промежуток времени, отсчитанный по часам СО, связанной с этим телом, то есть он является собственным промежутком времени m 0 — масса покоя тела — это масса, измеренная в той ИСО, где тело неподвижно, это инвариант СТ. О. Вводя согласно выражению (1.89) промежуток времени dt, измеренный в СО K, 1 2 0 2 2 1 1 12 12 3 и учитывая, что 1 1 11 2 1 23 24 для импульса 11 тела в СО K, получим 1 2 1 1 1 0 2 2 1 1 2 1 2 3 12 2 где введена релятивистская масса тела m, зависящая от скорости его движения В итоге для II закона Ньютона в СО K запишем 2 3 3 3 4 5 4 5 6 7 8 1 1 1 1 0 2 2 1 1 2 3 4 1 2 34 3 3 12 5 36 36 36 2 7 (1.95) МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Эта формула является релятивистски инвариантной, то есть она записывается также ив СО K ¢: 1 2 3 3 4 5 6 5 6 3 3 7 8 9 1 1 0 2 2 1 1 2 1 Из формулы (1.94) следует, что релятивистская масса m тела возрастает с увеличением скорости его движения. Тела с отличной от нуля массой покоя 0) не могут двигаться со скоростью света в вакууме, так как это приводит к бесконечно большой массе тела — при v = c, m = m 0 /0 = ¥. Однако существуют частицы с нулевой массой покоя, движущиеся со скоростью v = В этом случаев формуле (1.94) возникает неопределенность (m = 0/0), которая не противоречит существованию таких частиц. Ярким примером, подтверждающим этот факт, является существование фотонов квантов электромагнитного поля. 1.5.5.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Пусть на тело, движущееся в СО K со скоростью 111 действует сила 1 Запишем теорему о кинетической энергии для этого тела 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 23 24 25 627 6829 8 Перепишем полученную формулу в другом виде. Для этого преобразуем выражение (1.95): 1 2 1 2 3 3 4 5 6 5 6 5 6 5 6 7 7 7 8 9 8 9 1 1 1 1 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 3 45 4 42 2 4 46 46 46 46 3 2 3 2 3 2 Умножим обе части полученного равенства скалярно на вектор 11 и учтем, что 1 1 1 121 121 и 1 1 2 2 11 1 : 1 2 3 4 3 5 6 5 6 7 7 7 8 9 1 1 2 2 0 0 0 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 2 1 3 4 2 1 3 1 1 1 2 32 34 1 2 32 34 1 5 36 2 3 2 34 34 5 2 5 2 5 2 5 (1.98) C учетом этого выражения формула (1.97) примет вид 2 2 2 2 0 1 1 2 2 34 1 23 2 4 5 6 откуда следует 2 3 2 2 2 0 1 const 1 1 2 1 2 3 4 5 Постоянная в этом уравнении выбирается из условия равенства нулю кинетической энергии неподвижного тела 1 1 0 1 1 W k = 0, то есть const = ив релятивистской механике для кинетической энергии тела получается окончательное выражение 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 2 2 34 1 2 3 4 5 При малых скоростях движения тела (u = c) первое слагаемое, приведенное в скобках в формуле (1.99), можно разложить вряд и ограничиться пер ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 53 выми двумя его членами, что приводит к хорошо известному в классической механике выражению для кинетической энергии тела 2 3 4 5 3 6 7 8 9 2 2 0 2 0 2 1 1 1 2 2 1 1 2 3 3 4 2 ЗАКОН ВЗАИМОСВЯЗИ МАССЫ И ЭНЕРГИИ ТЕЛА Перепишем формулу (1.99) в следующем виде 2 2 3 2 0 2 2 0 2 2 1 1 2 1 2 3 4 2 3 23 5 Анализируя это соотношение, Эйнштейн предположил, что полная энергия тела должна складываться из энергии его движения (кинетической) и энергии покоящегося тела (внутренней. Поэтому он отождествил второе слагаемое в этой формуле с внутренней энергией тела и назвал ее энергией покоя тела W 0 , а сумму (W k + m 0 c 2 ) — полной энергией тела W: W 0 = m 0 c 2 ; (1.100) W = Нужно отметить, что энергия покоя W 0 и полная энергия W не включают в себя потенциальной энергии тела во внешних полях. Формула (1.101) выражает закон взаимосвязи, пропорциональности массы и энергии тела согласно которому полная энергия тела равна произведению релятивистской массы тела на квадрат скорости света в вакууме В соответствии с ним любое изменение энергии тела сопровождается изменением его массы и наоборот = Формулы (1.100)–(1.102) нашли свое подтверждение во многих экспериментальных фактах, особенно в области физики атомного ядра и элементарных частиц. Протекание ядерных реакций сопровождается выделением или поглощением энергии W, расчет которой по формуле W = Dmc 2 (где Dm разность суммы масс покоя исходных ядер и элементарных частиц и продуктов реакции) приводит к согласию с экспериментом. Также подтверждается формула для энергии связи атомного ядра W CB = = Dmc 2 , где Dm — дефект массы атомного ядра. Из выражения (1.100) следует, что любое тело обладает колоссальным запасом энергии. Так, энергии покоя тела массой m 0 = 1 кг хватило бы на то, чтобы лампа мощностью 70 Вт непрерывно светила бы 40,7 млн лет. Однако существуют ограничения на возможность полного использования этой энергии. Так, при протекании ядерных реакций такое ограничение устанавливает закон сохранения массового числа (числа нуклонов) или закон сохранения барионного заряда. Поэтому можно максимально извлечь лишь несколько процентов от энергии покоя участвующих в реакции ядер. Существенно меньший процент этой энергии высвобождается при химическом горении различных веществ МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Максимальное извлечение энергии покоя возможно при аннигиляции реакциях взаимодействия частиц и античастиц. Так, при встрече электрона и позитрона они исчезают и образуются два (реже — три) гамма кванта+ e + ® 2g, то есть материя в виде вещества переходит полностью в полевую форму ее существования, а энергия такой ядерной реакции W p = 2m 0эл c 2 Практическое использование таких реакций маловероятно из за отсутствия антивещества в окружающем нас мире. Из выражений для импульса (1.93) и энергии покоя (1.100) можно получить полезные формулы связи межу ними 1 11 1 2 3 4 2 (1.103) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 1 2 3 1 2 2 3 4 Для частиц с нулевой массой покоя (например для фотона) из этих выражений следует, что 2 2 1 ф 1 1 2 3 4 (1.105) где энергия фотона, соответствующего электромагнитному излучению частоты рассчитывается по формуле ф h n; h — постоянная Планка. 1.5.6. РОЛЬ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В СОВРЕМЕННОЙ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОЙ КАРТИНЕ МИРА В отличие от теоретических моделей и теорий, предлагаемых для объяснения конкретных физических явлений, специальная теория относительности затрагивает наиболее общие представления о материи и формах ее существования пространства и времени. Она наполняет эти понятия новым содержанием и дает более реалистичную картину мира. То, что раньше считалось незыблемым, абсолютным, оказалось изменяющимся, относительным пространство и время взаимосвязаны, время течет по разному враз ных ИСО, понятия — длина предмета, одновременность двух событий, промежуток времени между событиями — являются относительными и т. д. Но это не означает, что все в природе относительно СТО. предложила вместо старого новый набор инвариантных, абсолютных величин, таких как) скорость света в вакууме с) собственная длина предмета l 0 ; 3) собственный промежуток времени между двумя событиями Dt 0 ; 4) масса покоя тела m 0 ; 5) энергия покоя тела W 0 ; 6) причинно следственная связь) электрический заряд q; 8) пространственно временной интервал 1 2 1 3 1 4 1 4 1 2 2 2 2 2 1 23 1 2 3 4 5 6 9) величина (W 2 – Последние (8 й и 9 й) инварианты СТО. связаны с модулями четырехмерного радиус вектора и четырехмерного вектора энергии импульса в че ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 55 тырехмерном пространстве координат и времени — пространство и время в С. ТО. взаимосвязаны, и поэтому вводится такое пространство. В этом пространстве при переходе от одной ИСО к другой, то есть при преобразованиях Лоренца происходит поворот этих векторов, при котором составляющие векторов изменяются, а их модули остаются неизменными. Конечно, в повседневной жизни скорости движения различных тел существенно меньше скорости света в вакууме, и поэтому в основном используются формулы классической механики. Но для частиц малой массы микрочастиц электрона, нейтрона, протона, атомов) при анализе их движения необходимо учитывать релятивистские эффекты, и это подтверждает справедливость теории. Логическим завершением СТО. явилось создание А. Эйнштейном в 1916 году общей теории относительности ОТО учения о влиянии тел, их полей тяготения на свойства пространства и времени. В основе этой теории лежит принцип эквивалентности инертной и гравитационной массы тела. Согласно этому принципу масса тела, определяемая II законом Ньютона (инертная масса) и законом всемирного тяготения (гравитационная масса) эквиваленты. Это означает, что, находясь в лифте, человек не может сказать, почему он давит на его пол либо лифт неподвижен и находится во внешнем поле тяготения, либо лифт движется равноускоренно в отсутствие внешних гравитационных полей. Этот принцип позволил учесть в уравнениях движения наличие тел, полей тяготения как фактор, искривляющий пространство и время. Решение этих сложных уравнений привело, в частности, к созданию модели расширяющейся Вселенной, подтвержденной рядом косвенных доказательств разбегание галактик от определенного центра, реликтовое излучение и т. д. Также был предсказан ряд конкретных фактов, впоследствии обнаруженных искривление траектории световых лучей вблизи массивных тел, замедление хода времени в гравитационных полях, открытие черных дыр, в которые может превратиться звезда, израсходовав запас своего термоядерного горючего. Общая теория относительности и механика движения частиц малой массы, квантовая механика являются в настоящее время наиболее современными теориями, находящимися на передовом крае познания естественнонаучной картины мира. *1.6. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА Пусть относительно ИСО под действием сил 1 1 1 2 тело движется с ускорением Если рассмотреть движение такого тела относительно неинерциальной системы отсчета (НИСО) — пусть эта система отсчета движется относительно ИСО с ускорением 0 1 , — то его ускорение 1 11 будет другим, оно отличается от ускорения на величину 1 2 3 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Запишем II закон Ньютона для тела относительно НИСО: 1 2 3 2 3 4 1 1 1 1 1 0 0 1 1 23 23 23 4 Как видно из этой формулы, для выполнения II закона Ньютона относительно НИСО (согласно II закону Ньютона сумма всех сил, действующих на тело, сообщает ему ускорение 11 ) необходимо ввести дополнительные силы, их называют силами инерции 1 1 2 : 1 2 1 1 Эти силы не связаны с взаимодействием тела обусловлены ускоренным движением НИСО. Тогда для НИСО можно записать 2 3 4 1 1 1 1 1 2 34 5 Если в НИСО тело будет неподвижно, тов соответствии со II законом Ньютона сумма сил, действующих на него с учетом силы инерции 1 1 1 2 также будет равна нулю 2 3 1 1 0 1 1 2 3 Приведем пример. На гладкой тележке находится шарик, привязанный к пружине. При движении тележки с ускорением 1 0 1 на шарик будет действовать сила упругости 1 1 1 1 которая сообщает ему ускорение 1 0 1 1 2 1 1 1 0 1 23 1 2 что соответствует II закону Ньютона, записанному относительно неподвижной ИСО: 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 23 4 25 (рис. 1.31а) В НИСО, связанной с тележкой, относительно которой шарик будет неподвижен сумма сил, действующих на шарик, будет также равна нулю в соответствии с основным законом динамики 1 1 1 2 1 1 1 1 1 0 1 2 34 5 рис. 1.31б). Таким образом, введение сил инерции позволяет описывать движение тел как в ИСО, таки в НИСО по одними тем же уравнениям динамики. Представляет интерес рассмотреть еще один пример — НИСО, вращающаяся с постоянной угловой скоростью Пусть надетый на стержень шарик, прикрепленный к центру диска пружиной, вращается вместе с диском вокруг вертикальной оси с угловой скоростью (рис. 1.32а). При определенной угловой скорости вращения 11 шарик остановится на каком то расстоянии R от оси вращения. Относительно ИСО нормальное ус Рис. 1.31 а б ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 57 корение a n = w 2 R шарику сообщает сила упругости пружины 1 2 1 1 1 1 23 1 2 3 4 а относительно диска (НИСО) шарик находится в состоянии покоя под действием двух сил — силы упругости 1 1 1 и силы инерции, которую в данном случае называют центробежной силой 1 цб 1 1 2 1 1 1 0 цб 1 23 1 1 Центробежная силана правлена от оси вращения по радиусу, и ее значение по модулю 2 1 2 цб 1 1 2 Эта сила зависит от угловой скорости вращения диска и от расстояния до оси вращения. Из формулы (1.106) следует, что центробежные силы могут достигать больших значений, это обстоятельство широко используется в центробежных приборах и установках, таких как насосы, сепараторы, центрифуги и т. д. Центробежные силы необходимо учитывать при проектировании турбин, электродвигателей, винтов самолетов и т. д. Небольшая разбалансировка, смещение центра тяжести от оси вращения, может привести к большим нагрузкам на подшипники, на ось вращения, вследствие чего возможно быстрое изнашивание и разрушение таких устройств. С примерами проявления сил инерции можно встретиться и при торможении или ускорении поезда, и при его движении на повороте — в этих случаях под действием сил инерции пассажиры отклоняются вперед, назад или в сторону, их прижимает к спинке сиденья или они отклоняются от нее. Приведем еще один пример силы инерции. Оказывается, что если тело будет двигаться относительно вращающейся системы отсчета (НИСО), тона него будет действовать дополнительная сила, сила инерции, которая получила название силы Кориолиса 1 1 1 2 Покажем это. Пусть тело движется по поверхности диска по окружности радиуса R с постоянной скоростью 111 Если диск будет неподвижным, тона тело будет действовать центростремительная |