М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
а б ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 75 ность равен нулю, так как количество линий 1 1 входящих (N + ) и выходящих) из нее, одинаково, но они берутся с противоположными знаками a + > 0, cos a – < Для вектора 1 1 можно сформулировать теорему Гаусса, определяющую поток вектора 1 1 через произвольную замкнутую поверхность. Теорема Гаусса в отсутствии диэлектрика (вакуум) формулируется следующим образом поток вектора 1 1 через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов q å , охватываемых этой поверхностью и деленной на e 0 : 1 2 3 4 1 1 2 0 Эта теорема является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции для электростатических полей. Покажем справедливость теоремы для случая поля точечного заряда. Пусть замкнутая поверхность представляет собой сферу радиусом R, в центре которой находится точечный положительный заряд q (рис. 2.9а). Тогда 1 2 2 2 3 2 4 34 34 34 5 5 5 1 1 1 0 2 0 2 2 2 0 0 0 0 4 4 4 4 123 123 4 Полученный результат не изменится, если вместо сферы выбрать произвольную замкнутую поверхность (рис. б, так как поток вектора 1 1 численно равен количеству линий 1 1 1 пронизывающих поверхность, а число таких линий 1 1 в случаях (аи (б) одинаково. а б в г Рис. 2.8 а б Рис. 2.9 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Подобные рассуждения с использованием принципа суперпозиции электростатических полей можно привести ив случае нескольких зарядов, попадающих внутрь замкнутой поверхности, что и подтверждает теорему Гаусса. Теорема Гаусса для вектора 1 1 в присутствии диэлектрика. В этом случае, помимо свободных зарядов q å , необходимо также учитывать и связанные заряды q ¢, появляющиеся на противоположных гранях диэлектрика при его поляризации во внешнем электрическом поле (см. раздел 2.12). Поэтому теорема Гаусса запишется таким образом 2 3 4 5 6 1 1 2 0 в правую часть формулы входит алгебраическая сумма свободных и связанных зарядов, охватываемых поверхностью Из формулы (2.28) вытекает физический смысл теоремы Гаусса для вектора источниками электростатического поля вектора 1 1 являются свободные и связанные заряды. Можно учесть наличие диэлектрика в формуле (2.28) не только введением связанных зарядов q ¢, но и относительной диэлектрической проницаемостью среды e, что является более удобным при практических расчетах. Наиболее просто это возможно в случаях симметричного расположения зарядов и диэлектрика (например осевой или сферической симметрии или в случае изотропного однородного диэлектрика. Тогда параметр e остается постоянной величиной, независящей от рассматриваемой внутри диэлектрика точки. Так, можно записать (см. раздел 2.12): 1 1 2 3 4 44 0 0 Тогда теорема Гаусса для вектора 1 1 запишется так 2 33 4 1 1 2 0 где e — относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находится поверхность Отметим, что формула (2.29) применяется при решении задач на этот раздела также для большинства встречающихся на практике случаев. В заключение запишем дифференциальную форму теоремы Гаусса, справедливую для любой малой окрестности какой либо точки поля. С учетом формулы (П. 1.18) Прил. 1 получим 2 1 3 44 1 1 0 1 где введена объемная плотность r свободных электрических зарядов 2 то есть это заряд, содержащийся в единице объема ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 77 2.8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В случае электростатических полей, обладающих той или иной симметрией (осевая и сферическая симметрия, однородное поле, теорема Гаусса позволяет достаточно просто получить выражение для модуля вектора При применении теоремы Гаусса выделяют следующие этапы) из симметрии распределения зарядов определяют направление вектора в каждой точке поля) выбирают произвольную замкнутую поверхность и рассчитывают поток вектора 1 1 через нее. Поверхность должна содержать внутри себя заряд (часть заряда, создающий поле, и отражать симметрию поля (цилиндр, сфера) рассчитывают заряд, попадающий внутрь поверхности) применяют теорему Гаусса для определения модуля вектора Рассмотрим конкретные примеры применения теоремы Гаусса. Пример 1. Электрическое поле равномерно заряженной по поверхности бесконечно протяженной плоскости. Поле плоского конденсатора й этап. Введем поверхностную плотность заряда s. Для этого на заряженной поверхности вблизи какой либо ее точки выбирают элементарную площадку площадью dS, содержащую заряди рассчитывают s по формуле 2 то есть s представляет собой заряд, приходящийся на единицу поверхности. Если плоскость заряжена равномерно, то тогда во всех ее точках s будет одинаковой ( s = const), и поэтому поле такой бесконечно протяженной плоскости является однородным — линии 1 1 представляют собой прямые, перпендикулярные к ней во всех точках поля модуль 1 1 одинаков (риса й этап Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к плоскости (риса. Тогда поток Е через боковую поверхность будет равен нулю ( a = 90°, линии 1 1 не пересекают боковой поверхности, и поэтому остается поток только через основания площади Рис. 2.10 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ й этап Рассчитаем заряд плоскости, попадающий внутрь цилиндра 2 2 3 2 3 4 4 1 1 1 2 32 34 4 4 й этап Применяем теорему Гаусса (2.29) для расчета модуля вектора 2 33 0 2 1 1 21 1 2 33 1 0 2 1 1 здесь учтен случай отрицательно заряженной плоскости. На рис. б приведен график зависимости модуля вектора для поля плоскости в зависимости от расстояния r от нее. Формула (2.33) позволяет найти разность потенциалов между двумя точками поля, находящимися на расстояниях r 1 и r 2 от плоскости риса знак «+» берется для положительно заряженной плоскости. Формула (2.33) также позволяет провести расчет поля плоского конденсатора как поля двух параллельных плоскостей с равными по модулю и противоположными по знаку поверхностными плоскостями зарядов (рис. 2.11а). Используя принцип суперпозиции электростатических полей, можно сделать вывод о том, что поле конденсатора существует между его пластинами (рис. б, а модуль вектора 1 1 этого поля 2 3 4 1 4 4 55 55 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 0 где |q| — модуль заряда одной из пластин конденсатора площади Оценим разность потенциалов j 1 – j 2 (или напряжение U) между обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии d друг от друга. Для этого используем формулы (2.21) и (2.35): 1 2 3 4 3 2 5 2 2 2 66 66 7 2 1 2 0 0 1 1 1 234 Рис. 2.11 а б ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 79 Пример 2. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямолинейной нити й этап. Введем линейную плотность t заряда нити. Для этого на заряженной нити выбираем элемент длины dl, содержащей заряди рассчитываем по формуле 2 то есть t представляет собой заряд, приходящийся на единицу длины нити. Для равномерно заряженной нити во всех ее точках t будет одинаковой = const), поэтому поле такой нити обладает осевой симметрией линии представляют собой прямые, выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (риса. На одинаковых расстояниях от нити, то есть на цилиндрических поверхностях, модуль 1 1 будет одинаковым й этап Выбираем замкнутую поверхность в виде цилиндра, имеющего высоту H и радиус r, ось цилиндра совпадает с нитью. Поток F E через основания цилиндра равен нулю ( a = 90°), поэтому остается поток только через боковую поверхность 2 3 2 3 2 2 4 5 5 бок бок 123 4 1 2 132 132 12 1 45 3 й этап. Рассчитываем заряд отрезка нити длины Н, попадающий внутрь цилиндра 2 2 34 2 34 5 5 1 1 21 23 4 4 й этап Применяем теорему Гаусса для расчета модуля вектора 3 4 55 0 2 1 1 2 31 1 2 344 0 2 Формула (2.38) позволяет оценить разность потенциалов между двумя точками, находящимися на расстояниях r 1 и r 2 от нити (рис. 2.12а): Рис. 2.12 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 1 2 3 2 4 4 5 4 4 5 4 4 4 677 677 8 8 2 1 2 2 1 2 0 0 1 1 0 2 2 123 4 5 6 78 9 1 1 1 21 3 425 25 На рис. б приведен график зависимости модуля вектора 1 1 для поля нити от расстояния Пример 3. Поле равномерно заряженной по поверхности сферы (заряженной металлической сферы или шара) радиуса R и заряда q. 1 й этап Поле такой сферы обладает сферической симметрией — линии представляют собой прямые, выходящие из центра положительно заряженной сферы заряда q (риса. Причем на одинаковом расстоянии от центра сферы, то есть на сферических поверхностях, модуль 1 1 будет одинаковым й этап Выбираем вспомогательную замкнутую поверхность в виде сферы, имеющей радиус r > R. Рассчитаем поток Е через эту замкнутую поверхность й этап q. 4 й этап 2 2 33 133 2 2 0 0 4 4 1 2 1 1 2 Аналогичный расчет для r < R свидетельствует о том, что внутри сферы нет электрического поля, так как в этом случае внутрь вспомогательной поверхности, имеющей радиус r, заряд q не попадает (q å = 0). r < R: E Из записанных выше формул для вектора 1 1 следует, что внутри сферы поле отсутствует, аза ее пределами оно совпадает с полем точечного заря Рис. 2.13 а б в ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 81 да q, помещенного в центр сферы. Это позволяет сразу же записать формулы и для потенциала поля сферы 2 3 3 455 0 0 4 сф 1 2 3 1 2 3 4 3 (2.40 а 2 2 344 344 2 0 0 4 4 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 1 (2.40 б) Графики зависимости Е и j от расстояния r от центра сферы приведены на рис. в, б. Как видно из формул (2.40), на поверхности сферы (r = R) справедливы следующие равенства 1 3 4 4 4 3 55 55 сф ф ф 2 1 1 2 1 0 где в формулы введена поверхностная плотность заряда 2 2 3 2 В заключение отметим, что графики зависимости потенциала j от расстояния для электростатических полей, создаваемых нитью и плоскостью, не приводятся в связи стем, что не удается выбрать нулевой уровень отсчета потенциала, поэтому были записаны только формулы для разности потенциалов между двумя точками поля. 2.9. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 2.9.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗБЫТОЧНОГО ЗАРЯДА НА ПРОВОДНИКАХ В СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ К проводникам относятся вещества, проводящие электрический ток; в них имеются свободные заряды, которые способны перемещаться по проводнику под действием внешнего электрического поля. В металлических проводниках свободными зарядами являются электроны, они образуют газ, заполняющий кристаллическую решетку положительно заряженных ионов. Рассмотрим, что произойдет, если проводнику сообщить избыточный заряд. При этом положительному заряду металлического проводника соответствует недостаток свободных электронов, а отрицательному заряду — их из быток. В условиях равновесия избыточного заряда справедливы следующие утверждения. Электрическое поле внутри проводника отсутствует, а объем проводника и его поверхность являются эквипотенциальными: E вн = 0, j вн = Действительно, если равенства (2.42) не выполняются, то тогда свободные заряды в проводнике будут перемещаться, так как работа сил электрического поляне будет равна нулю (dA = qEdlcos a = –qdj ¹ 0). Это противоречит МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ условию равновесия избыточного заряда в условиях равновесия они должны быть неподвижными. Избыточный заряд распределяется только по внешней поверхности проводника, так как из за кулоновского отталкивания одноименных зарядов они стараются разойтись на максимально возможные расстояния. Это утверждение можно доказать, используя теорему Гаусса. Выберем внутри проводника произвольную замкнутую поверхность (риса) и рассчитаем поток вектора 1 1 через нее в условиях равновесия. Учтем, что связанных зарядов в металле не возникает (q ¢ = 0), и поэтому из формулы (2.42) следует 1 2 3 3 3 4 3 5 61 0 0 0 вн вн 123 4 5 6 1 2 3 то есть внутри такой поверхности избыточного заряда нет, так как этот заряд одного знака. Следовательно, он располагается только на внешней поверхности проводника. Распределение избыточного заряда по внешней поверхности проводника является неравномерным модуль вектора 1 1 и поверхностная плотность заряда больше в тех точках поверхности проводника, где ее кривизна больше. Кривизну поверхности в какой либо ее точке можно определить радиусом вписанной вблизи этой точки сферы, а именно кривизна поверхности обратно пропорциональна Докажем третье утверждение. Для этого отметим, что выводы об электрическом поле равномерно заряженной по поверхности сферы, сделанные в разделе 2.8, справедливы ив случае заряженной металлической сферы или шара, так как кривизна поверхности во всех ее точках одинакова, то есть избыточный заряд распределяется по ней равномерно. Если учесть, что поверхность проводника можно представить в виде совокупности разных участков вписанных в нее сфер (рис. б) и использовать формулы (2.41) для напряженности Е и потенциала j на поверхности сферы, то тогда можно записать 2 1 2 3 4 3 4 3 4 5 1 66 66 1 1 12 2 1 2 0 поверх сф сф 1 2 3 1 1 1 (2.43 а 1 3 4 4 4 3 4 55 55 сф пов ф ф Е б) Согласно формуле (2.43 б) модуль вектора 1 1 вблизи какой либо точки поверхности заряженного проводника пропорционален поверхностной плот а б в Рис. 2.14 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 83 ности заряда s в этой точке. Формулу (2.43 б) можно получить на основе теоремы Гаусса, выбирая вспомогательную замкнутую поверхность в виде цилиндра малого объема, образующая которого перпендикулярна к поверхности проводника (рис. в. Для этого следует учесть, что в пределах цилиндра электрическое поле будет однородными использовать формулу (На риса приведено графическое изображение с помощью линий электрического поля заряженного проводника сложной формы. Нужно учесть, что линии 1 1 во всех точках перпендикулярны к поверхности металла, так как она является эквипотенциальной поверхностью. Вблизи острия модуль вектора 1 1 может превысить значение, соответствующее ионизации молекул воздуха (при атмосферном давлении Е иониз » » 3 × 10 6 В/м), что приводит к возникновению стекания зарядов, сопровождающегося электрическим ветром. Образующиеся при ионизации молекул электроны движутся к острию и компенсируют на нем часть заряда, равновесие зарядов на проводнике нарушается, и к острию подходят заряды с других участков поверхности проводника (рис. б. Это движение продолжается до тех пор, пока модуль напряженности электрического поля вблизи острия будет превышать Е иониз . В тоже время положительно заряженные ионы молекул воздуха движутся в противоположном направлении от острия, при этом они увлекают за собой нейтральные молекулы. Тот факт, что избыточные заряды в состоянии равновесия находятся только на внешней поверхности проводника, позволяет создать устройства, способные накапливать большие заряды и достигать разности потенциалов в несколько миллионов вольт. К ним можно отнести электростатический генератор Ванде Граа фа рис. 2.16). Он представляет собой металлическую сферу (1), закрепленную на изолирующей колонне (2). На металлическую щетку (3) поступает положительный заряд от источника напряжения (в несколько десятков киловольт. Рис. 2.15 а б Рис. 2.16 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Вблизи остриев щетки напряженность электрического поля превышает Е иониз молекул воздуха (радиус острия щетки r 1 × мВ, Е = = j/r 1 × 10 7 В/м), и заряд стекает на диэлектрический транспортер (5) движущуюся замкнутую ленту из прорезиненной ткани. Эта лента подает заряд внутрь металлической сферы, где он стекает на щетку и сразу поступает на внешнюю поверхность сферы. Максимально достижимая разность потенциалов макс в таком устройстве ограничивается явлением стекания заряда с поверхности сферы, то есть возникновением разряда в воздухе при Е сф ³ Е иониз . Величина макс составляет порядка 10 мегавольт при радиусе сферы R = 4 м Þ макс j сф = E сф × R £ E иониз × R = 3 × 10 6 × 4 » 1,2 × 10 7 эВ. Электрические генераторы подобного типа используются главным образом в высоковольтных ускорителях заряженных частица также в слаботочной высоковольтной технике. 2.9.2. НЕЗАРЯЖЕННЫЙ ПРОВОДНИК |