М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ85 2.10. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРА Рассмотрим уединенный проводник, в окружающем пространстве которого нет других тел — диэлектриков ( e = 1, вакуум) или проводников. Из формул электростатики (2.39)–(2.41) следует, что заряд q проводника и его потенциал j (он в условиях равновесия одинаковый внутри и на поверхности проводника) будут пропорциональны друг другу (q j). Поэтому коэффициент пропорциональности между ними не будет зависеть ни от q и ни от j, он называется электроемкостью проводника. Электроемкость проводника характеризует его способность накапливать заряды и зависит только от геометрических размеров проводника иди электрических свойств окружающей среды e. Действительно, в случае металлической сферы с учетом формул (2.40) можно записать 1 1 233 4 5 6 7 8 233 9 0 0 4 4 сф сф 1 1 1 2 3 1 3 (2.45) Электроемкость уединенного проводника является достаточно малой величиной. Так, если рассматривать планету Земля как проводящий шар радиуса км, то тогда ее электроемкость составит всего 711 мкФ. Оказывается, что наличие вблизи уединенного проводника каких либо тел (проводники или диэлектрики) увеличивает его электроемкость. Действительно, если, например, к положительно заряженному проводнику (риса) поднести незаряженный металлический проводник, то за счет перераспределения заряда на проводниках (рис. б) электрическое поле в пространстве ослабевает, то есть на линии 1–2 модуль вектора 1 1 будет уменьшаться и поэтому потенциал поверхности заряженного проводника 2 1 3 1 3 4 5 2 1 2 1 также будет уменьшаться, что при постоянном заряде проводника приводит к увеличению его электроемкости 2 3 4 5 1 2 const 1 Рис. 2.18 а б Покажем на конкретном примере заряженной проводящей сферы радиуса, как происходит ослабление электрического поля и потенциала сферы при наличии в окружающем ее пространстве каких либо тел. В отсутствие других тел зависимость модуля напряженности электрического поля сферы от расстояния r приведена на графике (рис. 2.19а). Рис. 2.19 иллюстрирует, как последовательно ослабляется электрическое поле сферы для различных случаев размещения вокруг нее тела именно сферу окружают) шаровым слоем из диэлектрика (r 2 < r < r 3 , рис. б) заменяют шаровой слой из диэлектрика шаровым слоем из металла r < r 3 , рис. в) металлической сферой радиуса r 2 , несущей заряд, равный по модулю заряду сферы радиуса r 1 , но противоположный ему по знаку (рис. г) заполняют пространство между сферами диэлектриком (рис. 2.19д). Случаи (гид) соответствуют сферическому конденсатору. Как следует из рис. 2.19, наибольший эффект увеличения электроемкости проводника достигается для конденсаторов, представляющих собой две металлические пластины, разделенные слоем диэлектрика. На пластины (обкладки) подают заряды, одинаковые по модулю и противоположные по знаку. Форма обкладок конденсатора обеспечивает существование электрического поля только в пространстве между ними. Это позволяет устранить влияние на электроемкость конденсатора окружающих его тел. На рис. 2.20 приведено схематическое изображение плоского, сферического и цилиндрического конденсаторов. Электроемкость конденсатора вводится по формуле 1 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 (2.46) а б в г д Рис. 2.19 87 где q — заряд положительно заряженной пластины конденсатора, разность потенциалов между его обкладками. Электроемкость конденсатора, как и электроемкость уединенного проводника, зависит только от его геометрических размеров и диэлектрических свойств среды между его пластинами. Запишем формулы для электроемкости конденсаторов различного вида. Плоский конденсатор Используя полученную ранее для разности потенциалов формулу (2.36), получим 2 2 2 3 4 3 5 6 7 8 11 9 0 1 2 0 сф 1 1 2 2 3 4 2 где S — площадь одной пластины конденсатора, d — расстояние между ними — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора. Цилиндрический конденсатор Радиусы обкладок конденсатора обозначим и R 2 (R 2 > R 1 ), а длину цилиндра — H. Электрическое поле такого конденсатора обладает осевой симметрией и, согласно теореме Гаусса, определяется зарядом внутренней обкладки (цилиндра, напряженность этого поля рассчитывается по формуле (2.38). Используя выражение (2.39), для разности потенциалов ( j 1 – j 2 ) запишем 3 3 3 4 5 4 6 122 0 1 2 2 1 0 2 1 2 2 1 2342 5 6652 6 342 5 6 1 2 2 3 4 4 4 4 (2.48) 3. Сферический конденсатор Радиусы обкладок обозначим R 1 и R 2 (R 2 > R 1 ). Электрическое поле конденсатора обладает сферической симметрией и, согласно теореме Гаусса, определяется зарядом только внутренней сферы. Учитывая формулу (2.40) для потенциала поля сферы, можно рассчитать разность потенциалов между обкладками конденсатора и его электроемкость Рис. 2.20 2.11. ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА И КОНДЕНСАТОРА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Выведем формулу для энергии W заряженного проводника. Для этого рассмотрим работу внешних сил по увеличению заряда проводника от q 1 = энергия проводника W 1 = 0, его потенциал j 1 = 0) до q 2 (энергия W 2 , потенциала именно будем малыми порциями dq перемещать заряд из бесконечности) на поверхность проводника. При этом работа внешней силы A вн будет совершаться против кулоновской силы отталкивания одноименных зарядов кули поэтому 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 4 2 2 5 5 5 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 2 вн кул кул 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 где учтено, что W 1 = Итак, для энергии заряженного уединенного проводника можно записать Аналогично можно получить формулу для энергии W заряженного конденсатора. Запишем работу внешних сил по перемещению малых порций заряда dq с одной пластины конденсатора на другую из состояния 1 (конденсатор не заряжен, заряд пластин q = 0, энергия конденсатора W 1 = 0) в состояние (энергия W 2 , заряд положительной обкладки q 2 = q). 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 5 4 5 3 4 4 3 6 7 8 9 2 2 2 2 2 1 1 2 0 0 0 2 вн кул кул 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 где учтено, что W 1 = 0 итак как заряд перемещается от отрицательно заряженной обкладки, где находится точка 1, к положительно заряженной обкладке, на которой находится точка 2. В итоге энергия заряженного конденсатора запишется следующим образом 1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 Оставаясь в рамках электростатики, нельзя однозначно ответить на вопрос о происхождении энергии заряженного проводника (конденсатора) это энергия его зарядов или энергия электростатического поля в окружающем проводник пространстве. И только из рассмотрения полной системы уравнения Максвелла был сделан вывод в пользу электростатического поля. Поэтому запишем формулы (2.49) и (2.50) через характеристику электростатического поля — вектор напряженности 1 1 1 Для энергии заряженного плоского конденсатора получим 11 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 1 2 3 1 2 34 5 26 7 87 6 89 где V = Sd — объем пространства между обкладками конденсатора, w — объемная плотность энергии электростатического поля. В общем случае для неоднородного поля w определяется так 2 2 2 0 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 3 4 56 7 2 3 где dW — энергия электростатического поля, заключенная в элементарном объеме dV вблизи точки пространства с координатами (x, y, Введение w позволяет рассчитывать энергию W поля в любом конечном объеме V пространства 2 2 3 333 2 0 2 1 2 2 3 4 1 1 2 3 4 Так, например, применение формулы (2.53) к сферически симметричному электростатическому полю заряженной металлической сферы радиуса приводит к формуле, совпадающей с выражением (2.50): 1 1 22 3 4 5 6 6 6 7 6 6 6 8 9 722 722 722 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 4 2 8 8 2 4 1 1 2 1 1 2 2 2 2 34 5 36 36 4 34 1 4 4 2.12. ДИЭЛЕКТРИКИ 2.12.1. ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ МОЛЕКУЛЫ К диэлектрикам относят вещества, в которых нет свободных зарядов или их число настолько мало, что они не оказывают существенного влияния на их характеристики. Поведение диэлектрика в электрическом поле определяется поведением его молекул, они делятся на полярные и неполярные молекулы. У полярных молекул (молекулы воды НО, соляной кислоты, аммиака и т. д) в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов не совпадают (рис. 2.21), такие молекулы представляют Рис. 2.21 а б в собой диполи, которые характеризуются дипольным моментом (см. рис. 2.3б и раздел Для неполярных молекул (молекулы кислорода О, водорода Н, гелия Не и т. д) в отсутствие электрического поля центры тяжести положительных и отрицательных зарядов совпадают, поэтому дипольный момент молекулы равен нулю (см. рис. б. В электрическом поле неполярная молекула за счет смещения ее положительных и отрицательных зарядов приобретает индуцированный дипольный момент инд (рис. в, пропорциональный вектору электрического поля 2 34 3 1 1 0 инд 1 1 2 (2.54) где a — скалярная величина, называемая поляризуемостью молекулы. Индуцированный дипольный момент инд появляется в электрическом поле и y полярной молекулы, но он значительно меньше уже имеющегося у нее дипольного момента 111 поэтому для таких молекул инд пренебрегают. Введение понятия дипольного момента молекулы позволяет описать ее поведение и соответственно поведение самого диэлектрика в электрическом поле. 2.12.2. ПОВЕДЕНИЕ ДИПОЛЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Однородное электрическое поле. На заряды диполя в однородном электрическом поле действует пара одинаковых по модулю сил (F + = F – ), вызывающих вращение диполя вокруг его центра (точки Ос уменьшением угла между дипольным моментом 11 и вектором 1 1 (риса. В итоге диполь установится в положении, для которого угол a между векторами 11 и 1 1 будет равен нулю ( 11 1 1 1 1 2 a = 0, положение устойчивого равновесия). Введем потенциальную энергию диполя W в электрическом поле. Для этого рассчитаем работу сил поля по вращению диполя от состояния 1, при котором угол a = a 1 , до состояния 2 ( a = a 2 ). Используя формулу для работы силы по вращению тела, получим 2 3 3 4 5 3 3 3 3 6 5 3 6 5 3 4 3 3 6 6 5 3 7 3 6 3 5 3 6 5 8 8 8 2 2 1 1 2 1 12 1 2 1 2 2 2 123 123 123 4 561 7 4 561 7 8 1 1 2 34 5 5 4 67 4 87 87 9 9 1 2 1 2 3 3 1 1 1 1 1 1 2 345 6 1 6 27 1 23 23 2 При выводе формулы (2.55) было учтено, что силы электростатического поля являются консервативными, поэтому их работа равна убыли потенциальной энергии диполя в этом поле. Из выражения (2.55) следует, что в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия диполя минимальна и равна W = –pE. 1 1 равен нулю (положение 1), то тогда под действием пары сил диполь будет втягиваться в область более сильного поля (F + > F – , рис. б. При начальном угле a < положение 2) пара сил, действующих на заряды диполя, будет приводить к его вращению с уменьшением угла a и втягиванию в область более сильного поля, то есть к поступательному движению вдоль оси Ox. При начальном угле a < 90° диполь будет сначала поворачиваться с уменьшением угла a и выталкиваться в область более слабого поля. При достижении угла a = он поворачивается с уменьшением угла a и начинает втягиваться в область более сильного поля. Можно записать формулу для проекции на ось Ox силы 1 1 1 вызывающей поступательное движение диполя, используя известное из механики выражение, связывающее консервативную силу и потенциальную энергию 2 1 3 123 Итак, при любом начальном угле a диполь в неоднородном электрическом поле в итоге втягивается в область более сильного поля. Такое поведение диполя используется в пылеулавливателях: в какой либо части трубы, из которой выходит дым (это могут быть, например, побочные газообразные продукты горения на тепловых электростанциях, металлургического производства, создается неоднородное электрическое поле частицы дыма (диполи) втягиваются в область более сильного поля и не попадают в атмосферу, не загрязняют окружающую среду. 2.12.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВВОДИМЫЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ДИЭЛЕКТРИКОВ 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 Диэлектрик, помещенный во внешнее электрическое поле напряженности 1 0 1 , поляризуется — создает свое собственное электрическое поле напряженности 1 1 1 1 При этом напряженность результирующего электрического поля 1 1 будет равна 2 3 1 1 1 0 1 1 Поляризация диэлектрика сопровождается появлением на его противоположных гранях некомпенсированных связанных зарядов q ¢, которые Рис. 2.22 а б и создают поле 1 1 1 1 Поверхностная плотность заряда s¢ характеризует распределение заряда q ¢ по поверхности диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость среды e. Она показывает, во сколько раз модуль напряженности 1 0 1 поля в вакууме больше модуля напряженности поля внутри диэлектрика 2 Эта формула справедлива для однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все пространство или представляющего собой цилиндрические, сферические и прямоугольные пластины, находящиеся соответственно в электрическом поле осевой или сферической симметрии или в однородном поле. Тогда между векторами 1 0 1 и 1 1 1 угол будет равен 180 ° и можно записать 2 3 4 2 1 3 0 0 0 1 2 1 1 В зависимости от формы диэлектрика и его расположения во внешнем электрическом поле угол между векторами 1 0 1 и 1 1 может изменяться (рис. но всегда внутри диэлектрика электрическое поле связанных зарядов ослабляет внешнее электрическое поле (E < E 0 , рис. 2.23 точки 1 и 4), чего нельзя сказать о суммарном электрическом поле за пределами диэлектрика (Е Е 0 , рис. 2.23 точка 3; ЕЕ, рис. 2.23 точка 2). 3. Вектор поляризации (поляризованность) равен векторной сумме дипольных моментов молекул, находящихся в единице объема диэлектрика 2 1 Вектор поляризации 1 1 описывает способность диэлектрика создавать свое собственное поле 1 1 1 1 Можно показать, что 2 34 1 1 Опытным путем была установлена формула 23 1 1 где величина c определена как диэлектрическая восприимчивость диэлек трика. а б Рис. 2.23 1 1 Используя (2.59), можно записать 2 3 4 52 1 4 5 2 1 22 2 1 4 5 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 , 1 22 1 1 НЕПОЛЯРНЫЙ ДИЭЛЕКТРИК ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Во внешнем электрическом поле происходит смещение зарядов неполярных молекул, они становятся диполями и приобретают индуцированные дипольные моменты. На рис. 2.24 показано расположение молекул диполей на поверхности и внутри диэлектрика, представляющего собой прямоугольную пластину длиной l и площадью поперечного сечения S, во внешнем однородном электрическом поле напряженности Из рисунка видно, что внутри происходит компенсация зарядов соседних молекул (суммарный заряд, заключенный в областях, ограниченных замкнутыми пунктирными линиями, равен нулю. Некомпенсированными остаются заряды молекул на противоположных гранях диэлектрика, они называются связанными зарядами, поскольку находятся внутри молекул и не могут свободно перемещаться по всему объему диэлектрика (рис. Рис. Рис. 2.25 |