М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 4.1. МАГНИТОСТАТИКА Магнитостатика — раздел электродинамики, в котором изучается магнитное поле постоянного тока. В 1600 г. У. Гильберт впервые разграничил электрические и магнитные явления. Он открыл существование магнитных полюсов и неотделимость их друг от друга. В 1820 г. Эрстед обнаружил действие электрического тока на магнитную стрелку — явление, которое свидетельствует о связи между электрическими и магнитными явлениями. В 1820 г. А. М. Ампер установил закон взаимодействия электрических токов (закон Ампера. Также Ампер показал, что свойства постоянных магнитов могут быть объяснены, если предположить, что в молекулах намагниченных тел циркулируют постоянные электрические токи (молекулярные токи. Согласно Амперу, все магнитные явления сводятся к взаимодействию токов, магнитных же зарядов в природе не существует. В основе магнитостатики лежат два опытных закона закон Ампера и закон Био–Савара–Лапласа (БСЛ). В работах Ампера был экспериментально установлен закон, позволяющий оценить силу взаимодействия двух токов, текущих в малых отрезках проводников. После введения понятия магнитного поля, посредством которого происходит передача взаимодействия токов, законом Ампера стали называть формулу, определяющую силу, с которой магнитное поле действует на элементарный (малых размеров) проводник с током. В работах Ж. Б. Био и Ф. Савара (1820) был установлен закон, определяющий силовую характеристику магнитного поля (вектор магнитной индукции, создаваемого электрическим током. В общем виде этот закон был сформулирован П. С. Лапласом и получил название — закон Био–Савара– Лапласа. ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 113 Отметим, что термин магнитное поле был введен Эрстедом (1820) в связи стем, что возбуждаемое электрическим током поле оказывало ориентирующее действие на магнитную стрелку. С современной точки зрения можно предложить другой способ введения магнитного поля, в котором опытные законы выводятся из закона Кулона и специальной теории относительности. Такой подход будет рассмотрен далее. 4.1.1. МАГНИТНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. СИЛЫ МАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ В ВАКУУМЕ Известно, что два параллельных прямолинейных проводника, по которым текут токи одного направления, притягиваются друг к другу. Это добавочное взаимодействие, обусловленное движением зарядов (электрический ток — направленное движение зарядов, назвали магнитным. Оно не объясняется в рамках классической механики, так как при постоянной скорости движения зарядов ускорение отсутствует и согласно II закону Ньютона 1 1 1 2 1 23 добавочное взаимодействие не возникает. Магнитное взаимодействие объясняется в специальной теории относительности. Рассмотрим неподвижную систему отсчета K и движущуюся относительно нее с постоянной скоростью 11 вдоль совпадающих осей Ox и систему отсчета K ¢. Пусть в системе K¢ вдоль оси Oz¢ располагаются неподвижные положительные точечные заряды q 1 и q 2 на расстоянии r ¢ друг от друга (рис. 4.1). Силы их взаимодействия описываются законом Кулона 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 34 34 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 0 0 4 4 1 11 1 2 3 1 1 1 1 2 3 2 Учитывая инвариантность электрического заряда частицы относительно преобразований Лоренца, можно показать, что сила взаимодействия зарядов ив системе отсчета, относительно которой они движутся параллельно друг другу с постоянной скоростью 111 определяется следующей формулой 2 3 4 2 4 56 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 3 2 0 1 1 4 1 2 1 1 2 3 3 4 Рис. 4.1 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Умножая числитель и знаменатель формулы (4.2) на 1 2 2 1 1 1 2 и учитывая, что скорость направленного движения зарядов в проводнике v = c, можно записать 2 3 2 2 45 45 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 2 3 0 0 4 4 эл м эл м 2 3 3 4 1 1 1 1 23 4 4 4 4 2 4 2 5 2 (4.3) 1 1эл 1 — это сила электрического взаимодействия зарядов, определяемая законом Кулона, а 1 м сила магнитного взаимодействия зарядов. Она существенно зависит от скорости движения зарядов, обращаясь в ноль при 0, ив данном случаем направлена противоположно 1 эли значительно меньше ее по модулю (v 2 /c 2 = Запишем общую формулу для силы магнитного взаимодействия двухточечных зарядов q 1 и q 2 , движущихся со скоростями 1 1 1 им где введена магнитная постоянная 2 3 3 45 6 7 0 2 0 1 4 10 Гн м 1 1 Двойное векторное произведение в выражении (4.4) раскрывается по известной формуле 2 3 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 45 1 2 3 2 13 3 Нетрудно проверить, что для частного случая движения зарядов 1 1 1 1 1 1 2 из выражения (4.4) следует формула (МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА. СИЛА ЛОРЕНЦА В соответствии с идеей близкодействия магнитное взаимодействие между зарядами осуществляется посредством магнитного поля. Так, например, можно считать, что заряд q 1 взаимодействует вместе своего расположения с магнитным полем, создаваемым зарядом q 2 . Это приводит к следующей форме записи выражения (4.4): 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 м З 1 2 1 2 1 2 34 5 1 2 3 1 2 36 4 0 2 2 1 1 1 1 2 3 где введена силовая характеристика магнитного поля заряда q 2 — вектор магнитной индукции З В общем случае для З можно записать 11 2 11 3 3 2 3 4 4 2 2 2 2 2 2 0 0 3 2 4 4 З З 1 1 234 5 67 7 8 7 9 1 2 1234 5 5 2 Здесь 1 1 1 вектор, проведенный от заряда q в рассматриваемую точку про странства. Для общности выражений в формулу (4.7) ив последующие формулы вводится относительная магнитная проницаемость m среды, которая учитывает изменение магнитного поля в присутствии вещества. Для вакуума m = 1. ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 115 Направление вектора З (риса) можно определить последующим правилам) векторного произведения двух векторов — вектор З перпендикулярен плоскости векторов 1 и 2 если смотреть с конца вектора З то кратчайший поворот от 11 к 11 будет виден против часовой стрелки) по правилу левой руки — четыре пальца направляют по скорости движения заряда, вектор 11 входит в ладонь, отогнутый на 90° большой палец покажет направление З) по правилу правого буравчика — вращательное движение буравчика производим от 1 к 2 тогда поступательное движение буравчика покажет направление 1 З 1 1 Все эти правила справедливы для положительного заряда, в случае отрицательного заряда полученное направление З нужно изменить на противо положное. Для определения направления силы м магнитного взаимодействия двух зарядов 1 м 1 необходимо сначала найти направление вектора индукции 1 З 1 одного из зарядов, а затем по правилам, перечисленным выше, найти направлением (рис. 4.2б). Если в формулу (4.6) вместо индукции магнитного поля З движущегося заряда З подставить 1 1 1 созданное проводниками стоком, постоянными магнитами и прочим, то тогда силу м называют силой Лоренца Ли для нее можно записать следующее выражение 2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Л Л 1 23 4 4 567 3 8 3 9 1 2 3 4 1 2 34 3 Итак, сила Лоренца — сила, действующая со стороны магнитного поляна движущуюся в нем заряженную частицу. Направление силы Лоренца определяется по правилам, отмеченным выше (рис. 4.2в). 4.1.3. ЭЛЕМЕНТ ТОКА. ЗАКОН БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА. ЗАКОН АМПЕРА Элемент тока 1 1 123 это вектор, направленный в каждой точке проводника стоком параллельно вектору плотности тока и равный по модулю произведению силы тока I на элемент длины dl проводника. Найдем индукцию 1 12 магнитного поля, создаваемого элементом тока. При пропускании по проводнику тока I в элементе длины dl проводника объемом площадь поперечного сечения проводника, риса) движется а б в Рис. 4.2 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ заряд dq со скоростью направленного движения 1 , v который и создает магнитное поле Учитывая малые размеры элемента длины dl проводника, для 1 12 можно записать 2 3 4 5 6 1 1 1 0 3 [ ] 4 dq Используя формулы для силы тока I = dq/dt, получим 2 3 3 3 1 1 1 1 ( / ) ( / ) , dq v dq dl dt dq dt что позволяет оценить последующему выражению 1 2 33 4 33 5 6 6 5 6 7 7 223 3 223 3 3 0 0 3 2 4 4 1 2 345 6 6 6 6 123 4 123 25 25 23 где 1 1 1 вектор, проведенный от элемента тока к рассматриваемой точке пространства. Формула (4.9) — это закон Био–Савара–Лапласа (БСЛ), который определяет индукцию магнитного поля, создаваемого элементом тока. Направление вектора 1 12 определяется по правилам, приведенным в разделе рис. 4.3б). Если поместить элемент тока в магнитное поле, то силу 1 1 12 действующую на него со стороны магнитного поля, можно найти как сумму сил Лоренца 1 Л 1 1 действующих на заряд dq, движущийся в элементе тока 1 2 3 4 1 2 2 [ ]. dF dq v B Используя методику вывода закона БСЛ, получим 1 2 3 4 3 5 5 3 2 2 2 2 2 1 23 456 3 3 7 12 314 5 12 314 14 Формула (4.10) представляет собой закон Ампера, определяющий силу, которая действует на элемент тока со стороны магнитного поля Направление силы добно определять по правилу левой руки, изложенному в разделе (рис. 4.3в). 4.1.4. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА БИО–САВАРА–ЛАПЛАСА К РАСЧЕТУ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ РАЗЛИЧНЫХ ПРОВОДНИКОВ СТОКОМ Для расчета индукции магнитного поля проводника стоком нужно разбить его на отдельные элементы тока (представить его как систему (набор) элементов тока, по закону БСЛ найти векторы индукции 1 12 магнитного Рис. 4.3 а б в ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 117 поля от каждого элемента тока в рассматриваемой точке и затем суммировать их по правилу сложения векторов 2 3 3 4 5 5 1 1 1 1 0 3 4 1 23 123 Прежде чем перейти к конкретным примерам расчета магнитных полей, отметим, что для графического изображения магнитных полей используются линии вектора магнитной индукции линии 1 1 ), которые проводятся так, чтобы в каждой точке линии вектор 1 1 был направлен по касательной к ним. Из опыта известно, что в природе не существует магнитных зарядов, поэтому линии 1 1 являются замкнутыми В ряде случаев направление вектора в данной точке поля удобно определять, предварительно проведя через данную точку линию вектора Рассмотрим два примера расчета индукции магнитного поля с использованием закона БСЛ. Пример 1. Магнитное поле прямолинейного проводника конечной длины стоком. Рассчитаем индукцию магнитного поля прямолинейного проводника конечной длины стоком в точке А (риса. Положение точки А можно задать расстоянием a до проводника и углами a 1 и a 2 ; a 1 — угол между первым элементом тока (он расположен там, откуда начинается токи вектором 1 1 1 1 проведенным от этого элемента тока в точку А a 2 — угол между последним элементом тока (он расположен там, где заканчивается токи вектором 1 2 1 1 проведенным от этого элемента тока в точку А. Из риса видно, что все векторы 1 12 направлены перпендикулярно плоскости чертежа от нас, следовательно, также направлен и вектор 1 1 суммарного поля. Тогда формула (4.11) для модуля вектора 1 1 запишется так 2 3 4 5 0 2 4 123 4 1 Для того чтобы взять такой интеграл, рассмотрим рис. б, где приведен произвольный элемент длины dl проводника 1 2 2 3 3 3 2 1 2 3 3 4 12 34 5 67 78 7 129 394 29 39 Подставляя полученное выражение в интеграл, получим 1 22 22 3 1 1 3 1 4 1 5 5 6 2 1 0 0 1 2 4 4 123 4561 561 Рис. 4.4 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Направление вектора 1 1 можно определить, предварительно проведя линии прямого проводника стоком это окружности, охватывающие проводники лежащие в плоскости, перпендикулярной к нему направление линий связано правилом правого буравчика с направлением тока в проводнике. Тогда вектор 1 1 в каждой точке линии будет направлен по касательной к ней (см. рис. 4.4в). В частном случае бесконечно длинного проводника стоком) получим 11 2 2 3 3 0 0 2 2 Обычно расстояние от проводника до рассматриваемой точки обозначают буквой r, поэтому в формулах (4.12) ив общем случае вместо буквы а пишут букву Пример 2. Магнитное полена оси кольцевого тока. Рассчитаем индукцию магнитного поля в точке А, находящейся на оси кольцевого тока I радиуса на расстоянии а от его центра (рис. 4.5а). На риса указаны векторы 1 1 12 созданные верхними нижним элементами тока в точке А. Они образуют угол b с вертикальным направлением. Векторы созданные всеми элементами тока, образуют конус векторов 1 12 , и из соображений симметрии следует, что суммарный вектор 1 1 в точке А будет направлен по оси кольца. Проектируя уравнение (4.11) на ось Ox, получим 22 22 3 4 22 5 3 5 5 5 4 4 6 7 7 123 123 123 4 5 6 123 1 4 14 5 25 6 6 4 7 3 2 2 0 0 0 2 2 2 2 90 2 4 Для центра кольцевого тока (точка О) a = 0, и поэтому 2 0 Линии 1 1 кольцевого тока представляют собой окружности, перпендикулярные плоскости кольца, их направление связано правилом правого буравчика с направлением тока (рис. 4.5б). Рис. 4.5 а б ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 119 4.1.5. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Рассмотрим в магнитном поле воображаемую замкнутую линию — контур Г (риса. Введем вектор 112 1 12 по модулю он равен элементу длины контура, в каждой точке контура направлен по касательной в направлении обхода контура (рис. 4.6а). Интеграл вида 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 Г Г 1 2 1 2 345 6 1 6 2 123 123 1 23 называют циркуляцией вектора 1 1 по замкнутому контуру в нашем случае это контур Г). Можно доказать теорему о циркуляции вектора 1 1 для вакуума циркуляция вектора 1 1 по произвольному замкнутому контуру Г равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на m 0 : 1 2 3 4 51 Г 2 345 Знак силы тока I в формуле (4.16) выбирается следующим образом если направление тока связано с направлением обхода контура правилом правого буравчика, то это «+»; если нет — Проверим теорему на примере прямолинейного проводника бесконечной длины стоком. Возьмем контур Г, совпадающий с линией 1 1 радиуса R, а направление обхода контура выберем против часовой стрелки, то есть по направлению линии 1 1 (рис. б. Тогда 1 22 22 22 3 4 5 4 4 5 6 4 22 6 6 6 7 7 7 1 1 1 0 0 0 0 0 2 2 Г 2 1 2 1 2 345 345 что и требовалось показать. Циркуляция вектора 1 1 по контуру Г (рис. в) равна mm 0 (2I 1 – I 2 ). Это связано стем, что ток I 1 охватывается контуром два раза, и поэтому в формулу входит коэффициент 2; ток I 3 контуром не охватывается и поэтому в формулу не войдет. В присутствии вещества в правую часть теоремы о циркуляции вектора необходимо ввести микротоки I микро , охватываемые контуром Г 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 микро (Г) 123 4 1 1 234 5 Рис. 4.6 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Под микротоками, или молекулярными токами, понимают токи, вызванные движением электронов в атомах, ионах и молекулах. Эти токи создают магнитное поле вещества, помещенного во внешнее магнитное поле. Из формулы (4.17) следует физический смысл теоремы о циркуляции вектора 1 1 1 а именно источником вектора 1 1 являются токи проводимости и микротоки. В случае изотропного вещества формулу (4.18) можно упростить, учитывая магнитное поле вещества, введением магнитной проницаемости m: 1 2 33 4 51 Г 2 345 В таком виде теорема о циркуляции вектора 1 1 используется при решении многих задач магнитостатики как в вакууме, таки в присутствии вещества. В заключение запишем дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора 1 1 1 справедливую для любой малой окрестности какой либо точки поля. С учетом формулы (П. 1.18) получим 23 1 4 5 1 44 1 1 1 1 1 1 пр микро пр rot 1 2 3 где введены плотности токов проводимости при микротоков 1 микро 1 (см. Прил. 1) 1 пр микро пр микро 1 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ |