М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
2 31 4 2 2 4 2 2 3 5 2 2 6 6 7 7 1 2 1 2 1 23451 1 22 6 1 2 3 2 4 5 6 7 2 6 0 1 1 2 2 (5.38) 1 2 3 21 3 4 3 4 3 5 3 4 2 3 3 6 2 1 2 1 2 3 1 2 4 1 2 43 1 2 56 1 2789 1 2 1 2 3 4 2 5 62 Величины A( w) и j(w) представляют амплитудный спектр и фазовый спектр функции f(t). Функцию F( w) называют Фурье образом функции ее комплексным спектром или просто спектром f(t). Функция F( w) полностью определяет функцию f(t) и эквивалентна ее амплитудному и фазовому спектрам. При записи формул (5.38) и (5.39) была использована формула Эйлера для комплексного представления гармонического колебания cos a ± isin где i — мнимая единица, 1 Следует помнить, что комплексная форма записи гармонических колебаний удобна при проведении расчетов или математических выкладок. При переходе от комплексной формы записи к реальной функции берут вещественную часть комплексного числа 2 3 2 2 4 5 0 1 1 2 34 1 2 5 1 2 3 2 4 5 В качестве примера непериодической функции f(t) можно привести изолированный прямоугольный импульс высотой x 0 , ограниченный интервалом времени t (рис. д. Спектр амплитуд такого импульса является сплошным (рисе, причем 1 3 2 4 1 3 12 0 2 2 0 2 1234 5 6 4 6 7 4 6 Таким образом, периодические функции характеризуются дискретными спектрами амплитуда непериодические — непрерывными спектрами. Ограниченные во времени непериодические функции представляют собой импульсные сигналы (их еще называют импульсами, для которых можно ввести понятия продолжительности импульса Dt и ширины спектра импульса Первое — это промежуток времени, в течение которого амплитуда импульса существенно отличается от нуля, а второе — интервал частот, на котором амплитуда спектра существенно отличается от нуля ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 183 Можно показать, что ширина спектра импульса Dw обратно пропорциональна его продолжительности Dt. Действительно, на рассмотренном выше примере прямоугольного импульса можно записать приближенное равенство × Dt » где за ширину спектра Dw была принята частота, при которой впервые амплитуда спектра обращается в ноль w 1 t/(2p) = 1 Þ Dw = w 1 = 2 p/t, Dt = рисе. Равенство (5.43) часто используется для приближенной оценки ширины частотного спектра различных импульсов. В заключение отметим, что исследование спектрального состава временных процессов, представление их в виде набора самого простого вида колебаний гармонических — имеет ряд неоспоримых преимуществ и поэтому широко применяется во многих разделах не только физики, но и других естественных наук. К таким преимуществам можно отнести, например, простую и наглядную классификацию временных процессов по спектру их амплитуд методику анализа распространения различных сигналов в средах, по изменению частотного спектра сигнала целенаправленное изменение временных сигналов по преобразованию их частотного спектра и т. д. 5.9. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ 5.9.1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ, ЕГО РЕШЕНИЕ Затухающие колебания происходят в замкнутой механической системе (F внеш = 0), в которой имеются потери энергии на преодоление сил сопротивления, или в закрытом колебательном контуре (внеш 0), где наличие сопротивления R приводит к потерям энергии колебаний на нагревание проводников ( b ¹ 0). В этом случае общее дифференциальное уравнение колебаний) примет вид 1 2 3 2 4 5 2 0 2 0 Решением уравнения (5.44) являются затухающие колебания 3 4 5 6 З 2 3451 26 1 2 3 1 3 где амплитуда колебаний A(t) убывает со временем по экспоненциальному закону) = A 0 e – bt , A 0 = ациклическая частота затухающих колебаний З определяется формулой 2 1 34 2 2 0 З 1 (5.47) из которой следует, что w З < w 0 Графики зависимости от времени t амплитуды A(t) и заряда q(t) на обкладках конденсатора приведены на рис. 5.15. МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ В случае механической системы по таблице аналогий 5.1 можно получить уравнения, подобные уравнениями З 2 3451 26 1 2 3 1 3 Отметим, что для получения затухающих колебаний вида (5.49) необходимо, чтобы сила сопротивления, действующая в механической системе, была пропорциональна скорости движения тела: F сопрX = –rv X = Только в этом случае получается дифференциальное уравнение затухающих колебаний вида (5.48). Формула (5.50) справедлива для небольших числовых значений скоростей движения телам. т.). В заключение отметим, что из за уменьшения стечением времени амплитуды колебаний затухающие колебания не являются периодическими. Но при малом затухании под периодом (его также называют условным периодом) можно понимать минимальное время, за которое повторяются минимальные значения или максимальные значения величин, описывающих колебательное движение (рис. 5.15). Аналогично циклическую частоту затухающих колебаний называют условной циклической частотой. 5.9.2. ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВВОДИМЫЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ Рассмотрим кратко величины, вводимые для описания затухающих колебаний. Критическое сопротивление контура R K (критический коэффициент сопротивления среды r K ) — это такое сопротивление, при котором в контуре начинается апериодический разряд. В этом случае колебания в контуре отсутствуют, заряд на обкладках конденсатора убывает монотонно до нуля кривая на рис. 5.16) или, пройдя один раз положение равновесия, заряд конденсатора в итоге монотонно будет убывать до нуля (кривая 2 на рис. Убывание заряда q, смещение тела x в механической системе по кривым или 2 либо по кривой, расположенной между ними, зависят от началь а б Рис. 5.15 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 185 ных условий. Например, если поместить физический маятник в жидкую вязкую среду и, отклонив его от положения равновесия, отпустить безначальной скорости, то тогда смещение x(t) маятника будет изменяться по кривой рис. б. Если же отпустить маятник с начальной скоростью, направленной к положению равновесия, то тогда его смещение может со временем изменяться по кривой 2 (рис. б, то есть он пройдет один раз положение равновесия, затем отклонится и после этого будет монотонно приближаться к положению равновесия. Выведем формулу для критического сопротивления контура R K через параметры контура L и C. При увеличении сопротивления R угловая частота затухающих колебаний будет уменьшаться, а период колебаний Т З будет возрастать и для сопротивления R, равного R K , можно записать 2 3 2 3 4 5 2 2 2 6 3 2 5 7 2 3 З З З : 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 45 2 2 0 0 2 1 0 2 1 2 Для R ³ в контуре наблюдается апериодический разряда при R < в контуре происходят затухающие колебания. По табл. 5.1 для критического коэффициента сопротивления среды можно записать (L ® m, С ® K): 1 2 1 1 2 34 (5.52) 2. Время релаксации t — это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает враз основание натурального логарифма 3 3 4 5 3 6 5 2 1 0 1 1 2 3 1 2 4 1 2 1 1 2 3 1 3 2 3 За время релаксации в системе совершается N e полных колебаний 2 2 3 1 З З 1 1 2 3 3 (5.54) 3. Логарифмический декремент затухания d равен натуральному логарифму отношения двух амплитуд, взятых через период: Рис. 5.16 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2 2 3 2 4 1 З З 1 2 34 5 1 2 1 2 3 4 2 3 4 5 (5.55) 4. Добротность системы можно ввести как величину, определяющую потери энергии колебаний системы за один условный период колебаний 2 3 4 З 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 Полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, поэтому выражение (5.56) можно записать в следующем виде 2 3 4 3 4 1 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 З 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 Из формулы (5.56) следует, что чем выше Q, тем медленнее в ней затухают колебания. Приведем ориентировочные значения Q для различных систем колебательный контур на радиочастотах ( w 10 6 рад/с): Q 100; полый резонатор диапазона сверхвысоких частот ( w 10 11 рад/с): Q 10 5 ; камертон 10 4 ; колебания кварцевой пластины Q 10 5 ; излучение атома как колебательной системы Q 10 Как видно, для применяемых на практике систем Q ³ 100, то есть для них выполняются условия малого затухания 1 Þ b = w 0 , w @ w 0 , З T, d = bT = Тогда из формулы (5.57) получим (e x » 1 + x, x = 1): 1 2 2 23 4 4 4 4 2 4 5 6 6 1 0 2 Для добротности механической системы и колебательного контура из формулы (5.58) в условиях малого затухания можно получить следующие формулы 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 2 2 1 2 3 1 2 3 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 5.10.1. УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ, ИХ РЕШЕНИЯ Под вынужденными колебаниями понимают колебания, происходящие в системе в результате внешнего воздействия (внешней силы или внешнего напряжения, изменяющегося со временем по гармоническому закону. При этом колебания в системе происходят на циклической частоте w внешнего воздействия, а амплитуды колебаний различных величин в системе будут зависеть от этой частоты ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 187 Рассмотрим дифференциальное уравнение и его решение для вынужденных колебаний, происходящих в колебательном контуре под действием внешнего напряжения, изменяющегося по гармоническому закону U внеш = U m cos В этом случае дифференциальное уравнение (5.1) примет следующий вид 1 2 3 2 4 5 4 2 0 2 123 Известно, что решением этого уравнения является следующее выражение З 2 3451 2 3451 26 1 2 2 3 1 3 Из формулы (5.62) следует, что первое слагаемое представляет собой уравнение свободных затухающих колебаний системы и амплитуда этих колебаний стечением времени уменьшается. Если взять время t больше времени установления стационарного режима колебаний в контуре (t > уст, то тогда в выражении (5.62) останется только второе слагаемое (первым слагаемым можно пренебречь, которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний заряда q на обкладках конденсатора уст q(t) q m cos ( wt – Аналогичные уравнения можно записать для напряжения U C на конденсаторе и силы тока I в контуре 2 3 4 5 5 6 7 8 5 5 7 6 7 8 5 6 7 8 9 2 1234 56 3784 5 123 9 1 12 2 2 3 4 4 5 6 Как уже отмечалось, амплитуды колебаний этих величин зависят от частоты внешнего напряжения w, такие зависимости называют резонансными кривыми: q m = q m ( w), U Cm = U Cm ( w), I m = Выведем для них формулы, с этой целью используем формулу Эйлера) для комплексной формы записи гармонического колебания 23 1 23 1 23 1 4 44 5 1 2 3 5 5 1 5 21 5 1 5 внеш 2 1 2 1 2 1 2 3451 2 6 6 6 345 7 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3 3 4 2 4 2 4 5 4 1 4 5 4 4 5 6 6 2 6 Подставим эти выражения в формулу (5.61): 1 2 3 1 3 21 4 51 4 1 6 1 2 1 4 51 6 6 3 4 3 2 2 0 2 2 0 2 2 1 2 3 11 2 2 456 678 9 1 2 3 2 2 3 1 1 1 1 2 1 4 5 6 Два комплексных числа равны, если будут равны их вещественные и мнимые части, поэтому 2 1 3 4 51 3 4 2 2 0 2 1 2 345 6 578 Возведем каждое уравнение ( * ) в квадрат, сложим их и получим 2 3 2 4 5 2 2 2 2 2 2 0 4 1 2 3 1 1 2 3 4 (5.65) МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Разделим уравнения ( * ) одно на другое, что приводит к формуле 3 4 2 5 2 2 2 0 2 12 Используя выражение (5.65), запишем 1 2 3 2 4 5 2 1 2 3 1 1 21 3 4 4 2 52 2 2 2 2 0 4 (5.67) 1 2 1 2 1 3 1 4 5 1 2 2 2 2 2 0 4 1 2 Рассмотрим подробнее резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе U Cm ( w) и амплитуды силы тока I m ( w) в контуре. 5.10.2. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ НАПРЯЖЕНИЯ НА КОНДЕНСАТОРЕ, ДЛЯ АМПЛИТУДЫ СМЕЩЕНИЯ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ. ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА Исследуем функцию U Cm ( w) (5.67) для различных значений угловой частоты внешнего напряжения w. 1. w = 0: 1 1 2 1 1 2 2 0 2 0 1 0 1 2 то есть постоянное напряжение, подаваемое в контур, представляет собой напряжение на конденсаторе или все резонансные кривые для частоты равной нулю ( w = 0), выходят из одной точки ® ¥: 1 1 2 2 0 то есть при больших частотах внешнего воздействия все резонансные кривые стремятся к нулю. Это связано стем, что система не успевает за изменениями внешнего воздействия и амплитуда колебаний в контуре уменьшается = w P . Найдем угловую частоту w P , при которой зависимость имеет максимальное значение. Оно наблюдается в том случае, когда выражение под знаком квадратного корня в формуле (5.67) будет минимальным. Поэтому 1 2 3 2 4 5 2 6 7 2 2 2 2 2 0 4 0 11 2 2 1 2 3 2 4 5 1 1 2 2 0 Подставляя w P в формулу (5.67) для максимального значения амплитуды напряжения на конденсаторе получим 2 З 2 Величина w P получила название резонансной частоты. В условиях малого затухания (Q ? 1) для w = w P можно записать ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 2 3 1 4 4 1 5 6 1 7 8 1 1 2 0 1 2 1 2 3 12 3 2 2 12 3 2 4 4 5 4 5 то есть амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе во много раз превышает амплитуду внешнего напряжения, подаваемого в контур. Это явление получило название резонанса, под которым понимают резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы. На риса приведены резонансные кривые U Cm ( w) для идеального колебательного контура (R = 0, b = 0) и для двух значений сопротивления R в нем (R 2 > R 1 , то есть b 2 > b 1 ). При этом считается, что индуктивность L катушки и электроемкость C конденсатора контура не изменяются, то есть частота при этом остается неизменной. Можно отметить, что для идеального колебательного контура максимум резонансной кривой U Cm ( w) приходится на частоту w, равную w 0 , причем максимальное значение при этом стремится к бесконечности (риса. При увеличении сопротивления R контура коэффициент затухания b увеличивается, а максимальное значение U Cm ( w P ) и частота w P , на которую он приходится, уменьшаются (рис. 5.17а). В случае механической системы резонансную кривую x m ( w) для амплитуды смещения грузам. тот положения равновесия можно получить, используя таблицу аналогий 5.1: 1 2 3 внеш внеш 123 1 2 1 3 3 4 5 5 4 , 1 2 1 3 3 1 2 4 2 1 5 1 6 7 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 4 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 4 4 5 1 2 2 2 2 2 0 0 0 4 (5.72) 1 2 1 2 3 1 2 41 41 2 2 З З 1 2 1 2 1 2 Графики резонансных зависимостей x m от w для различных значений коэффициента затухания b, то есть при различных значениях коэффициента сопротивления среды r и постоянной частоты w 0 , приведены на рис. 5.17б. Рис. 5.17 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 5.10.3. РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ ДЛЯ АМПЛИТУДЫ СИЛЫ ТОКА В КОНТУРЕ, ДЛЯ АМПЛИТУДЫ СКОРОСТИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Запишем формулу (5.68) для амплитуды силы тока I m ( w) в наиболее удобном виде 2 1 3 1 4 5 6 7 8 9 1 2 2 2 0 2 4 1 и исследуем эту зависимость для различных значений w. |