М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 20 из 73

Рис. 5.1
а
б
в

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
а именно общие для них понятия(период Т, амплитуда А, фаза колебаний и т. д, дифференциальные уравнения и их решения В связи с этим широкое применение в этом разделе находит метод аналогий, при котором результаты, полученные при рассмотрении одного вида колебаний, используются для описания других видов.
5.2.
УСЛОВИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМЕ.
ТАБЛИЦА АНАЛОГИЙ
МЕЖДУ МЕХАНИЧЕСКИМИ
И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ
КОЛЕБАНИЯМИ
Рассмотрим подробнее аналогию между наиболее часто встречающимися в природе механическими и электромагнитными колебаниями. Для этого подробно остановимся на электромагнитных колебаниях, происходящих в идеальном колебательном контуре (отсутствуют потери энергии колебаний на нагревание проводников, и механических колебаниях груза (материальной точки) пружинного маятника в отсутствие сил трения и сопротивления.
Пусть в начальный момент времени (t = 0) груз пружинного маятника максимально отклонен от положения равновесия (х = х, риса, а на обкладки конденсатора колебательного контура сообщают максимальный заряд, рис. 5.2б).
Состояние 1 пружинного маятника характеризуется тем, что скорость груза и его кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия колебаний равна максимальной потенциальной энергии пружины 1
1 1
1 2
0 0
2 1
1 1
1
2
31
4
56
6 6 7
8 Для колебательного контура в состоянии 1 сила тока и энергия магнитного поля катушки равны нулю, а полная энергия колебаний совпадает с максимальной энергией электрического поля конденсатора 1
1 1
1
ЭЛ
1 1
1 2
1
1
2
3
3 3
4
5 5
5
6
2 0
0 Рис. 5.2
а
б

ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
165
В течение времени 0 < t < T/4 происходят следующие процессы.
Пружинный маятник. Под действием силы упругости груз начинает двигаться, скорость груза нарастает постепенно из за наличия у него инерционных свойств (массы) ив момент времени t, равный четверти периода колебаний Т (t = T/4), груз проходит положение равновесия (состояние 2, рис. 5.2а).
При этом потенциальная энергия пружины полностью переходит в кинетическую энергию груза 2
1 2 31 2
2 2
2 0
0 2
1 1
1 2
1
2
32
4
2
5
6 Колебательный контур. Конденсатор начинает разряжаться, сила тока в контуре постепенно возрастает из за возникновения в катушке ЭДС самоиндукции, которая препятствует нарастанию основного тока в контуре.
Сила тока достигает максимального значения в момент времени t = При этом энергия электрического поля конденсатора полностью переходит в энергию магнитного поля катушки (состояние 2, рис. б 1 2 1
1 1
2 0
0 2
ЭЛ
1 1
1 2
1
21
34
5
4
4
6 В следующие четверть периода (T/4 < t < T/2) наблюдаются такие про цессы.
Пружинный маятник. Под действием силы упругости скорость груза начинает постепенно уменьшаться из за наличия у груза массы, ив момент времени t = T/2 (состояние 3, риса) она обращается в ноль, кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию сжатой пружины 2 1
1 1
1 2
0 0
2 1
1 1
2
1
2
31
4
56
6
6 7
8 Колебательный контур Сила тока в контуре начинает постепенно убывать, так как в катушке возникает ток самоиндукции, который препятствует убыванию основного тока в контуре, ив момент времени t = T/2 (состояние 3, рис. б) сила тока обращается в ноль. Конденсатор перезаряжается,
энергия магнитного поля катушки полностью переходит в энергию электрического поля конденсатора 2 1
1 1
1 1 2 1
1 1
1 2
2 0
0 2
0 0
2
ЭЛ
1 1
1 1
1 1
1 2
1
2
31
4
1
1
5
67
7
7 8
9 9
9

9 Из описанных выше колебательных процессов можно сделать вывод об условиях возникновения колебаний в любой системе. Система должна обладать инерционными свойствами, устойчивым положением равновесия и потери энергии колебаний (на преодоление сил трения в случае механических колебаний и на нагревание проводников в случае электромагнитных колебаний в контуре) должны быть небольшими. Рассмотренные примеры позволяют установить аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями, которая отражена в табл. 5.1.

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
С помощью данной таблицы можно записывать формулы для одного вида колебаний, если известны аналогичные формулы для другого вида колебаний. Так, например 2
3 2
2 3
2 2
3 2
2 3
2 1
2 2
2 2
2 2
2 2
M
ЭЛ
1 1
2 2 1
3
1
2
3
4
4
5
6
57
89




7
 8 9

6
5
3
В дальнейшем эта таблица будет использоваться для записи без вывода различных формул теории колебаний.
5.3.
ОБЩИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
ОПИСЫВАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
В ПРОИЗВОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
Выведем общее дифференциальное уравнение, описывающее достаточно широкий круг происходящих в системе колебаний. Для этого рассмотрим открытый колебательный контур, в который подается внешнее напряжение
U
внеш и имеются потери энергии на нагревание проводников (рис. Из закона сохранения энергии следует, что элементарная работа внеш тока, поступающего в контур извне внеш, расходуется на изменение энергии колебаний dW и на нагревание проводников dQ:
dW
+ dQ = dA
внеш
Запишем это выражение более подробно 2
1 2
1 2
1 1
2 2
1 3
4 2
2 1
4 2
2 2
2 2
2 2
1
ЭЛ
внеш внеш внеш внеш 2
1 2
3 3
3 3
1
2
2
34
56 5 6
6
5
3454
52
7
7
58 4 95 5
4
5
2
2 52
3454 4 95
52 4
5
3454 4 9
4
7
5
7 5
11 1
2 3
3 4
11 1
3 5 3 6 внеш внеш 1
1
231
31 4
3 35
6
5
1
1
1
2
2 0
2
(5.1)
1234562789 7
123456728962 9 2 456
 2945652 9 2 456  952
1234356377 893  6 3 67 77
 3 67  67

7717 1697 77717
73977
5 657  677
 66357!3 67632"77
#$7%7793  32 7 535 &7
 66357' 693567 3"77
( 6537' 69356377 1

ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
167
где введены следующие обозначения 2 1
1
2
2
(5.2)
1 2 0
1 Буквой b в формуле (5.2) обозначен коэффициент затухания колебаний, а величина w
0
в формуле) — циклическая (круговая) частота свободных
незатухающих гармонических колебаний контура. Свободные незатухающие колебания происходят в выведенной из состояния равновесия замкнутой системе (нет поступления энергии извне, в которой отсутствуют потери энергии колебаний (
b = Уравнение (5.1) описывает различные случаи колебаний в открытом и закрытом колебательном контуре. Для получения аналогичного уравнения,
описывающего колебания в механической системе, воспользуемся таблицей аналогий 5.1 и получим 1
2 3 2 4 5 1
1 внеш 0
2
(5.4)
1 2 3 2 0
2 где внеш проекция вектора внешней силы на ось Ох, вдоль которой происходят колебания.
Рассмотрим частные случаи решения уравнений (5.1) и (МЕХАНИЧЕСКИЕ НЕЗАТУХАЮЩИЕ
ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЕ
Для замкнутой системы (внеш 0), в которой отсутствуют потери энергии на преодоление сил сопротивления или трения (
b = 0), дифференциальное уравнение (5.4) примет вид 2 3 4 1
1 2
0 Из теории дифференциальных уравнений следует, что решением этого уравнения (его называют однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка) является гармоническое колебание x
m
cos (
w
0
t
+
j
0
) = x
m
cos то есть смещение телах (материальной точки) от положения равновесия изменяется по гармоническому закону. В уравнении (5.7) введены такие понятия, как:
х
m
— максимальное смещение, или амплитуда колебания. В общем случае под амплитудой колебаний понимают положительную величину, стоящую перед знаком синуса или косинуса;
Рис. 5.3

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ = (w
0
t
+
j
0
) — фаза колебаний — величина, стоящая под знаком синуса или косинуса начальная фаза колебаний — фаза колебаний в начальный момент времени t = 0;
w
0
— циклическая (круговая) частота свободных незатухающих гармонических колебаний системы, определяемая свойствами системы по формуле (Циклическая частота w
0
связана с периодом колебаний Т и линейной частотой n соотношениями 2 3 3 14 0
2 Запишем выражения для проекций скорости, проекции ускорения телам. т) на ось Ох, а также для потенциальной, кинетической и полной энергий тела, совершающего гармонические колебания 2 2 3 4 5 6 2 3 6
2 4 1
2 2 1234 5
123 6 7
1
1
1
1
2
3
4
2
4
0 0
0
(5.9)
11 1
2 2
2 3 4
2 5 2 5 2 35 123 4 4
5
1
1
2
2
2
2
1
3
4
5
3
3
4
5
3
4
2 2
0 0
0
(5.10)
1 1
2 1
123 4 5
1
2
21
21
34
34
5
5
5
2 2
2 2
2
(5.11)
1 1
2 2
3 2
2 2
2 2
2 123 4 Покажем, что амплитуды колебаний кинетической и потенциальной энергии совпадают 2
3 3
3 3
2 2
2 0
2 2
2 1
1
1
1
21
31
1 Рис. 5.4

ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
169
Тогда
1 2
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
const
1
1
1
2
3
21
31
45
1
6 Итак, из полученных формул следует, что проекция скорости v
x
и ускорения, кинетическая и потенциальная энергии W
K
, W
p
телам. т) изменяются по гармоническому закону подобно ее смещению ха полная энергия колебаний материальной точки остается при этом неизменной.
Приведем в пределах одного периода колебаний Т графики зависимости
х
, v
x
, a
X
, W
K
, W
p
и W от времени t для материальной точки при ее гармонических колебаниях (рис. 5.4, j
0
= 0). При построении графиков удобно записать уравнения колебаний в виде 2 3
4 5
4 1 1 0
2
T
1234 5
123
1
1
2 и выбирать моменты времени, равные t = 0, T/4, T/2, 3T/4,
T
Þ
1 2 3
4 5 6
7 2
1 0 1 0 1
T
123 4 4 4 4 Отметим, что для потенциальной и кинетической энергий период гармонических колебаний в два раза меньше, чем для смещения х.
5.5.
КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
И ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИКИ.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Докажем следующее утверждение если в системе результирующая сила
является квазиупругой, тов такой системе происходят гармонические
колебания.
Под квазиупругой силой Ку понимают силу, которая подчиняется закону Гука, ноне является по своей природе упругой силой. Учтем, что для
F
Ку
выполняется одновременно и II закон Ньютона, и закон Гука, из которых можно получить дифференциальное уравнение колебаний в системе 2
2 3 4 5 2 6 5 2
1 2
2 0
0 0
1 2
3 3
3
1 где k — коэффициент жесткости системы, х — смещение телам. тот положения равновесия.
Как уже было отмечено выше,
решением такого дифференциального уравнения является гармоническое колебание (5.7), что и требовалось доказать.
В качестве примера справедливости этого утверждения рассмотрим колебания математического
маятника — это материальная
Рис. 5.5
а
б

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной см. рис. 5.5а).
Найдем проекцию на ось Ох результирующей силы, действующей на груз математического маятника. Учитывая малые значения угла отклонения a
(sin a » tg a » x/l), запишем 2 3 4 2 3 2 3 5 2 1
1 1
2 345 Итак, при малых отклонениях от положения равновесия (при малых амплитудах колебаний) колебания груза будут гармоническими. Это позволяет найти период колебаний 2
2 1 2 1 3
0 2
2 Как следует из формулы (5.14), период колебаний математического маятника будет зависеть от длины нити l и числового значения ускорения свободного падения.
Рассмотрим теперь общий случай — колебания физического маятника.
Физическим маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси(точка О, рис. б. При этом ось вращения не проходит через центр тяжести (центр масс) тела (точка О, рис. б. Расстояние между точками О
и О
¢обозначено буквой а (ОО¢ = а).
Покажем, что при малых углах отклонения a (sin a » a) от положения равновесия (ему соответствует расположение точек О и Она одной вертикальной прямой) колебания физического маятника будут гармоническими.
Для этого запишем II закон Ньютона для вращательного движения в векторном виде ив проекциях на ось вращения (см. формула (1.44)):
1 22 3 4 4 5 1 1 4 5 1
1 1
2 2
1 234 1 1
1
2
3 2
456
2
456
17
11 2 3 4 2 5 6 2 5 2 4 3 7 4 5 2
0 0
0 0
0 1234 56 Как уже было отмечено выше, решением полученного дифференциального уравнения является гармоническое колебание. Тогда для периода колебаний физического маятника можно записать следующую формулу 2
2 1 2 1 2
3 0
2 2
2 где для физического маятника введена приведенная длина l
n
— это длина математического маятника, при которой периоды колебаний физического и математического маятников совпадают.
Рассмотренные выше примеры (колебательный контур, математический и физический маятники, колебания груза на пружине) являются частными случаями движения гармонического осциллятора. Под осциллятором (от
лат
. oscillo — качаюсь) понимают любую физическую систему, совершаю

ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
171
щую колебания. Если колебания в системе будут гармоническими, то такой осциллятор называют гармоническим. Для механических систем результирующая сила в этом случае является квазиупругой, а потенциальное поле,
в котором движется тело, имеет параболический вид (U(x) = kx
2
/2), что наблюдается при малых отклонениях х системы от положения равновесия.
Если отклонение x нельзя считать малым, то тогда в разложении U(x) по степеням x необходимо учитывать члены более высокого порядка (потенциальное поле становится не параболическим U(x) = kx
2
/2 –gx
3
/3 + ...), уравнения движения — нелинейными, асам осциллятор в этом случае называют
ангармоническим.
Понятие осциллятора применяется также и к немеханическим колебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором.
5.6.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В ЗАКРЫТОМ ИДЕАЛЬНОМ
КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ
В такой контур не подается внешнее напряжение (внеш 0) ив нем отсутствуют потери энергии на нагревание проводников (
b = 0), поэтому общее дифференциальное уравнение колебаний (5.1) для такого контура 2 3 4 2
0 его решением является гармоническое колебание q
m
cos (
w
0
t
+
j
0
) = q
m
cos Используя таблицу аналогий между механическими и электромагнитными колебаниями (табл. 5.1), можно переписать формулы (5.9)–(5.13) для случая колебательного контура. В результате получим зависимости от времени силы тока I, напряжения на конденсаторе U
C
, напряжения на катушке, ЭДС самоиндукции e
S
, энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки W
L
, полной энергии колебаний W и проекций вектора напряженности E
X
электрического поля конденсатора и вектора магнитной индукции B
X
магнитного поля катушки. Итак, эти формулы имеют следующий вид 2 2 3 4
2 5 2 2 4
2 123 4 4
123 4 5
1
1
1
1
2
21
21
3
3
4 3
4
4
3 5
5
5
2
2
0
(5.19)
11 11 2
2 3 4
2 5 2
2 6 2 3 2 3 123 4 4
5
1
2
21
21
1
31
4
2
5
6
25
6
6
2 5
6
25
6
3
2 0
(5.20)
1 1
2 1
1 2
1
ЭЛ
ЭЛm
ЭЛ
123 4 4
561 4 7
1
2
21
21
1
1
3
45
45
6
6
6
6
6
7
3
6
7
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
(5.21)

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2
1 1
1 1
ЭЛ
ЭЛ
1
1
1
2
1
21
3
45
6 6
6
6
6
7
2 2
2 2
(5.22)
1 2
2 3
2 2 4 3
2 0
123 4 4
356 4 где d — расстояние между обкладками плоского конденсатора V — объем катушки (она представляет собой длинный соленоид m
0
— магнитная по стоянная.