М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
4.2.131 Законы классической макроскопической электродинамики сформулированы в уравнениях Максвелла, которые позволяют определить значения характеристик электромагнитного поля в вакууме ив макроскопических телах в зависимости от распределения в пространстве электрических зарядов и токов. Большой вклад в развитие электродинамики внес М. Фарадей, который впервые стал рассматривать электрические и магнитные процессы сединой точки зрения. В 1831 году он открыл явление электромагнитной индукции — возникновение электрического тока в контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Это положило начало развитию электротехники. Создание квантовой теории строения вещества привело к определению границ применимости классической электродинамики. В этих пределах уравнения Максвелла и классическая электронная теория сохраняют свою силу, являясь фундаментом большинства разделов электротехники, радиотехники, электроники и оптики. С помощью уравнений Максвелла решаются проблемы поведения плазмы в лабораторных условиях ив космосе. Отметим, что классическая электродинамика неприменима к электромагнитным волнам большой частоты, у которых начинает сказываться квантовая природа излучения, в этом случае справедливы законы квантовой электродинамики. 4.2.1. ОПЫТЫ ФАРАДЕЯ. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ После десяти лет упорной работы опытным путем М. Фарадею удалось «превратить магнетизм в электричество, то есть показать, что не только электрический ток создает в окружающем пространстве магнитное полено и оно способно порождать в замкнутом проводящем контуре электрический ток, получивший название индукционного тока. Столь большой срок открытия связан стем, что существовала неэквивалентность взаимосвязи электрических и магнитных явлений, а именно постоянный электрический ток порождает в окружающем пространстве постоянное магнитное поле, а для возникновения в замкнутом проводящем контуре постоянного индукционного тока необходимо было вызвать изменение магнитного потока F. В опытах Фарадея магнитный поток, пронизывающий первый контур (катушку 1), изменялся различными способами (рис. 4.17): 1) замыкалась и размыкалась цепь второго контура) с помощью реостата изменялась сила тока во втором контуре) второй контур приближался или удалялся относительно первого контура) постоянный магнит приближался или удалялся относительно первого контура; Рис. 4.17 В результате в конуре возникала ЭДС индукции e i и индукционный ток, который фиксировался амперметром. Причем индукционный ток изменял свое направление при смене направления движения магнита, направления движения контуров 1 и 2, при замене нарастающего тока в контуре убывающим со временем током, при замене замыкания цепи второго контура ее размыканием. В итоге Фарадей показал, что сила индукционного тока и ЭДС индукции e i зависят от скорости изменения магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, и не зависят от способа изменения магнитного потока F. 4.2.2. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ ФАРАДЕЯ. ПРИРОДА СТОРОННИХ СИЛ. ПЕРВОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ На основании опытов Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции, который гласит при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего проводящий контур, в нем возникает ЭДС индукции, равная скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком 2 3 4 1 3 5 6 1 234 где F — магнитный поток, пронизывающий любую поверхность S, опирающуюся на проводящий контур. Изменение со временем магнитного потока может происходить либо за счет изменения угла a (вращения контура в магнитном поле, либо изменения площади S контура, либо изменения со временем магнитного поля, в котором находится контур. Во всех этих случаях в контуре возникает ЭДС индукции e i , то есть сторонние силы, совершающие работу по разделению разноименных электрических зарядов. Природа сторонних сил может быть разной. Случай Вектор 1 1 не зависит от времени, а площадь S контура и угол a изменяются. Рис. 4.18 а б в 133 В постоянном во времени магнитном поле возникновение ЭДС индукции e i в проводящем контуре (он вращается или изменяется его площадь) или в движущемся проводнике (изменяется площадь поверхности, описываемая проводником) обусловлено действием на свободные заряды силы Лоренца. Действительно, как видно из риса, сила Лоренца вызывает движение электронов к одному концу проводника, на нем возникает избыток электронов, а на другом конце их недостаток. Следовательно, сила Лоренца разделяет разноименные заряды, являясь сторонней силой 1 1 1 Л стор 1 1 1 Интересно рассмотреть, почему сила Лоренца разделяет разноименные заряды, то есть ее работа отлична от нуля. Известно, что мощность силы Лоренца равна нулю (Л Л = Л = 0), то есть она не может совершать работы. Для ответа на этот вопрос отметим, что разделение зарядов происходит в промежутке времени, когда под действием внешней силы 1 ВН 1 скорость проводника изменяется от нуля до постоянного значения v. В эти моменты времени суммарная скорость свободного электрона 1 будет направлена под произвольным углом к проводнику (рис. б. Поэтому, кроме параллельной, направленной вдоль проводника силы Лоренца 11 Лона разделяет разноименные заряды и является сторонней силой, появляется перпендикулярная составляющая силы Лоренца 1 Л Ее работа отлична от нуля за счет работы внешней силы 1 ВН 1 1 Следовательно, несмотря на то что суммарная сила Лоренца Л равная 11 2 3 1 1 Л Л 1 1 1 работы не совершает, работа составляющих ее сил отлична от нуля: A ВН ¹ 0 Þ Л 0, Л Л+ Л 0, Л Л Таким образом, работа сторонней силы 11 Л происходит за счет работы внешней силы 1 ВН 1 1 ускоряющей проводник. При постоянной скорости движения проводника (v = const) внешняя сила 1 ВН 1 и соответственно 1 Л отсутствуют, и на свободные электроны в проводнике будут действовать только две равные по модулю и противоположные по направлению силы — сила Лоренца 11 Ли кулоновская сила 1 К 1 1 поэтому разделение зарядов будет отсутствовать и работа 11 Л обращается в ноль. Во время ускорения проводника сумма сил 1 Л действующих на свободные электроны, создает силу Ампера (в металле появляется индукционный ток, которая действует на проводники препятствует его ускорению. При постоянной скорости движения сила Ампера не возникает, и проводник движется при отсутствии внешней силы. Случай 2. Вектор 1 1 изменяется со временем, а площадь S контура и угол остаются постоянными. Опытным путем было доказано, что ЭДС индукции e i может возникать ив неподвижном проводящем контуре (проводнике, находящемся в переменном во времени магнитном поле. В этом случае на свободные заряды в проводнике сила Лоренца не действует (v = 0 Þ Ли для объяснения возникновения ЭДС индукции Максвелл сформулировал следующее положение (постулат, которое называют первым положением теории Максвелла переменное во времени магнитное поле порождает в окружающем МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ пространстве вихревое электрическое поле Таким образом, Максвелл ввел новый вид поля. В отличие от электростатического поля, линии вихревого электрического поля являются замкнутыми, они связаны с направлением вектора 1 1 12 правилом левого буравчика и лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору (см. рис. в. Силы этого поля являются сторонними, они совершают работу по разделению разноименных зарядов 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 стор стор вихр 1 1 2 34 5 6 34 (4.38) 1 2 2 3 1 1 2 стор вихр Г 1 1 2 3 45 6 (4.39) где 1 вихр 1 1 вектор напряженности электрического поля, а контур Г (воображаемая линия) располагается внутри проводника (проводящего контура). Запишем уравнение, отражающее первое положение теории Максвелла. Для этого обобщим закон электромагнитной индукции Фарадея (4.37), то есть введем в уравнение закона предложенный Максвеллом источник сторонней силы — вихревое электрическое поле, которое, как уже было отмечено выше, возникает при наличии в пространстве переменного во времени магнитного поля. Для установления взаимосвязи между электрическими магнитным полями проводящий контур (проводник) ненужен он является прибором, который обнаруживает наличие в окружающем пространстве вихревоого электрического поля. Выберем в качестве контура Г воображаемую замкнутую линию. Тогда, учитывая (4.37), можно записать 2 3 1 4 4 1 1 1 Г 2 где 1 2 1 1 1 вихр эл 1 1 1 1 суммарная напряженность вихревого электрического и электростатического полей. В формуле (4.40) берется частная производная от вектора 1 1 повремени. При этом считается, что контур Г и опирающаяся на него поверхность являются неподвижными. Также при записи (4.40) было учтено, что циркуляция вектора напряженности 1 эл 1 электростатического поля по замкнутому контуру (Г) равна нулю. Уравнение (4.40) представляет собой первое уравнение Максвелла вин bbтегральной форме. Оно читается следующим образом циркуляция вектора суммарного электрического поля по произвольному замкнутому контуру Г равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность s, опирающуюся на контур.Его физический смыслсосто ит в следующем источником вихревого электрического поля является переменное магнитное поле (в правой части находится источник того, что записано в левой части уравнения ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 135 4.2.3. ПРАВИЛО ЛЕНЦА. ВЫВОД ЗАКОНА ЭМИ ИЗ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Наличие ЭДС индукции e i в проводящем контуре сопротивлением R приводит к возникновению в нем индукционного тока, который можно рассчитать по закону Ома для полной цепи: I i = e i /R. (4.41) Направление же индукционного тока можно найти по правилу Ленца. Оно формулируется следующим образом индукционный ток в контуре возникает такого направления, чтобы создаваемое им магнитное поле препятствовало любым изменениям магнитного потока, вызвавшего этот индукционный ток. С правилом Ленца связан знак минус в формуле (4.37). Действительно, если магнитный поток через плоскость контура возрастает, то тогда > 0 и согласно (4.37) e i < 0, то есть магнитный поток F i , создаваемый индукционным током, будет противоположен по знаку магнитному потоку. При убывании F dF/dt < 0, e i > 0 и магнитные потоки F i и совпадают по знаку. Рассмотрим пример определения направления индукционного тока по правилу Ленца (риса. Пусть проводящий контур находится во внешнем магнитном поле 1 1 1 которое возрастает со временем (dB/dt > 0). Тогда магнитный поток, пронизывающий контур, увеличивается (DF > 0), то есть возрастает число линий 1 1 1 пересекающих поверхность контура. Согласно правилу Ленца, индукционный ток препятствует нарастанию магнитного потока (увеличению числа линий, поэтому он создает свое магнитное поле 1 1 2 линии которого направлены против линий 1 1 внешнего магнитного поля. Зная направление линий 1 1 1 2 определяем по правилу правого буравчика направление индукционного тока. Если же внешнее магнитное поле будет убывать со временем, то число линий 1 1 1 пронизывающих плоскость контура, будет также убывать (DF < и, следовательно, линии 1 1 2 индукционного тока будут направлены в туже сторону, что и линии 1 1 1 и индукционный ток будет течь против часовой стрелки. Рис. 4.19 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Покажем, что экспериментально установленный Фарадеем закон ЭМИ является следствием закона сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутый контур, в который входит источник тока с ЭДС e и подвижный проводник перемычка, скользящий без трения по направляющим стержням. Контур находится в магнитном поле, линии 1 1 которого перпендикулярны к его плоскости (рис. 4.19б). Согласно закону сохранения энергии, работа сил источника тока (dA СТОР = eIdt) расходуется на нагревание проводников (dQ = I 2 Rdt ) и на работу сил магнитного поля по перемещению проводника перемычки стоком (МАГН Id F): 1 2 3 4 5 2 123 1 423 12 1 1 2 3 4 5 3 4 6 4 4 3 5 Здесь R — сопротивление контура, d F — элементарный магнитный поток, пронизывающий поверхность dS, описываемую проводником при его движении. Согласно второму правилу Кирхгофа, в правой части полученной формулы) должна стоять алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутой цепи, то есть величина –d F/dt представляет собой ЭДС, обусловленную изменением магнитного потока через поверхность контура, что и требовалось показать. Тот факт, что экспериментально установленный закон ЭМИ можно вывести из закона сохранения энергии, не умаляет его значения в историческом развитии физики, так как этот закон обобщил большое количество экспериментальных фактов того времени, явился мощным стимулом к развитию и созданию новой области физики — физики электромагнитных явлений. 4.2.4. ПРИМЕНЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ В ТЕХНИКЕ Рассмотрим несколько примеров применения (проявления) явления электромагнитной индукции в технике. Определение модуля вектора магнитной индукции 1 Для определения модуля 1 1 в магнитное поле помещается катушка с площадью поперечного сечения S, содержащая N витков. В цепь катушки включается баллистический гальванометр, время измерения которого Dt u значительно превышает время Dt поворота катушки в магнитном поле из состояния 1 в состояние риса, б. Поэтому такой прибор измеряет не силу индукционного тока, а заряд q, протекающий по цепи за время поворота Dt. Найдем формулу для модуля В. Введем понятие потокосцепления Y произведения числа витков N на магнитный поток, пронизывающий один виток, и перепишем с учетом этого формулу (4.37): 1 1 2 34 5 2 6 1 1 2 3 24 (4.43) ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 137 Итак, 1 1 2 1 3 3 3 4 3 4 1 3 4 51 3 4 51 6 6 6 6 2 1 1 1 ц ц ц ц ц 1 2 1 1 23 2 4 5 В нашем случае, с учетом однородности поля в пределах катушки малого сечения, можно записать 2 3 2 3 4 2 ц ц ц 1 1 2 1 где ц сопротивление цепи. Полученное выражение по известным параметрам N, S, ц и измеренного значения q позволяет найти значение модуля вектора 1 1 в данной точке магнитного поля. Токи Фуко — это индукционные токи, возникающие в массивных проводниках. Для таких проводников сопротивление R будет мало, и поэтому индукционные токи (I i = e i /R) достигают большой величины. Их можно использовать для нагревания и плавления металлических заготовок, получения особо чистых сплавов и соединений металлов. Для этого металлическую заготовку помещают в индукционную печь (соленоид, по которому пропускают переменный ток. Тогда согласно закону электромагнитной индукции внутри металла возникают индукционные токи, которые разогревают металл и могут его расплавить. Создавая в печи вакуум и применяя левитаци онный нагрев (в этом случае силы электромагнитного поляне только разогревают металл, но и удерживают его в подвешенном состоянии вне контакта с поверхностью камеры, получают особо чистые металлы и сплавы. Токи Фуко могут приводить и к нежелательным явлениям — нагреву сердечников трансформаторов, электродвигателей и т. д. Поэтому сопротивление массивного проводника увеличивают, набирая его в виде отдельных пластин, и тем самым уменьшают нагрев проводников. Действительно, сила индукционных токов в отдельных пластинах существенно уменьшается по сравнению с силой тока, текущего по массивной пластине, ив соответствии с формулой Q = I 2 Rt уменьшается и выделяемое в проводнике количество теп лоты.Индукционные токи можно использовать, например, для демпфирования (успокоения) подвижных частей электроприборов (рис. в. При пропускании по рамке тока I она поворачивается в магнитном полена определенный угол, и стрелка прибора перемещается по шкале прибора. Для Рис. 4.20 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ того чтобы она не совершала длительное время колебаний около какого либо деления шкалы, на ось, к которой прикреплена стрелка, навешивают металлическую пластинку, которая при своем движении может пересекать линии 1 1 другого магнитного поля. Это приводит к переменному магнитному потоку через плоскость пластинки, и возникающий в ней индукционный ток согласно правилу Ленца, тормозит движение пластинки, тогда колебания стрелки прибора быстро затухают. Нужно также отметить, что возникновение индукционного тока при пропускании по проводнику переменного тока приводит к перераспределению суммарного тока по сечению проводника, а именно он выталкивается на поверхность проводника. Под скин эффектом понимают явление неравномерного распределения переменного тока по поперечному сечению проводника, повышение его плотности в поверхностном слое. Это явление наиболее заметно в СВЧ диапазоне (диапазон сверхвысоких частот n 10 Гц, в этом случае переменный ток течет только в слое малой толщины вблизи поверхности проводника, и поэтому металлические проводники для такого диапазона частот изготовляют в виде полых трубок. Дадим краткое объяснение этому явлению. Рассмотрим текущий по проводнику переменный ток проводимости в тот момент времени, когда вектор напряженности 1 1 внешнего электрического поля 1 направлен вверх, а сила тока и соответственно вектор магнитной индукции 1 1 возрастают по модулю (направление вектора 1 1 и вектора 1 1 внутри проводника показаны на риса. Согласно первому уравнению Максвелла (см. раздел 4.2.2) переменное магнитное поле создает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле. Направление линий 1 1 вихр этого поля внутри проводника показано на риса. Как видно из рисунка, около осевой линии проводника в его центральной части линии 1 и 1 1 вихр направлены в противоположные стороны, а вблизи поверхности проводника — в одну сторону. В соответ |