М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
а б I ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 139 ствии с законом Ома 1 2 3 1 1 1 вихр 1 1 22 1 2 2 это приводит к ослаблению плотности тока в центральной части проводника и его возрастанию около поверхности проводника, происходит перераспределение тока по сечению проводника, наблюдается скин эффект. Бетатрон — ускоритель электронов. Между полюсами электромагнита, по которому пропускают переменный электрический ток частоты n = 100 Гц, расположено полое кольцо, изготовленное из неферромагнитного материала (например из алюминия, в этом случае магнитное поле проникает внутрь кольца. Внутри него, в вакууме, движется ускоряемый пучок электронов (рис. б. Переменное магнитное поле выполняет две функции во первых, создает вихревое электрическое поле, силы которого совершают работу по ускорению электронов и, во вторых, удерживает электроны при их ускорении на круговой орбите внутри кольца. За это время ( t с) радиус орбиты 2 1 1 1 2 3 должен оставаться постоянным, поэтому увеличение модуля скорости 11 частицы должно сопровождаться увеличением и модуля вектора индукции магнитного поля 1 1 Следовательно, бетатрон работает в импульсном режиме ускорение происходит в те промежутки времени, когда сила тока I и соответственно модуль вектора 1 1 возрастают. Электроны ускоряются до энергий порядка (50 ¸ 60) МэВ. Полюса электромагнита делают специальной усеченной формы, позволяющей выполнить условие, при котором числовое значение индукции магнитного поля В орб на орбите бетатрона должно равняться половине усредненной по плоскости орбиты индукции 1 2 1 2 3 2 орб B B B 1 2 Необходимость выполнения этого условия можно объяснить следующим образом. Из первого уравнения Максвелла (4.40), записанного для орбиты бетатрона, следует, что 2 1 2 3 4 3 5 4 2 2 2 вихр вихр 1 1 2 1 в котором индукция магнитного поля, усредненного по плоскости орбиты, определяется по формуле 2 3 4 5 1 1 2 1 Напряженность вихревого электрического поля можно выразить, используя закон Ньютона 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 орб орб орб вихр вихр вихр ( ) ( ) 1 1 1 d qrB dB dB d Сравнивая две формулы для 1 вихр 1 1 получаем записанное выше соотношение между 1 2 орб и 1 1 1 Бетатроны нашли применение для дефектоскопии металлических предметов пропускание пучка электронов через металл позволяет обнаруживать внутри него различные полости МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 4.2.5. ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 4.2.5.1. ИНДУКТИВНОСТЬ КОНТУРА. ИНДУКТИВНОСТЬ СОЛЕНОИДА Возьмем контур, по которому протекает ток I. Он создает в окружающем пространстве магнитное поле, линии которого пронизывают плоскость контура (рис. 4.22). Возникающий при этом магнитный поток получил название магнитного потока самоиндукции, так как сам ток индуцирует этот магнитный поток. Под явлением самоиндукции можно понимать возникновение магнитного потока самоиндукции при протекании по цепи тока В случае, когда контур содержит N витков, используют понятие потокосцепле ния Y S самоиндукции ( Y S = N F S ). Оказывается, что Y S и I прямо пропорциональны друг другу, и поэтому можно записать где коэффициент пропорциональности называют индуктивностью контура. Он описывает способность контура создавать потокосцепление самоиндукции и равен отношению Y S и I : 1 Индуктивность контура зависит от геометрических размеров контура, а через относительную магнитную проницаемость и от магнитных свойств окружающей среды. Для ферромагнитных сред m зависит от силы текущего по проводнику тока, что приводит к зависимости L для таких сред от Приведем примеры расчета индуктивности для различных контуров. Пример 1. Индуктивность длинного соленоида. Рассмотрим соленоид, для которого его длина во много раз превышает диаметр витков. В этом случае для модуля вектора 1 1 можно воспользоваться формулой (4.21) и, следовательно, для L получим 2 3 3 3 3 44 3 3 44 123 4 1 1 2 231 4 5 5 5 2 561 6 7 5 0 2 0 где V — объем, занимаемый солено идом. Пример 2. Индуктивность единицы длины коаксиального кабеля Магнитное поле коаксиального кабеля су Рис. Рис. 4.23 ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 141 ществует только между его цилиндрическими проводниками (формула, и поэтому магнитный поток самоиндукции нужно рассчитывать через поверхность, которая располагается в пространстве между цилиндрами (рис. 4.23). Это будет прямоугольная поверхность длины l, через нее проходят линии 1 1 1 созданные током, текущим по внутреннему цилиндру. Так как поле является неоднородными обладает осевой симметрией, то тогда для расчета интеграла можно выбрать элементарную площадку в виде полоски шириной dr и длиной l, что позволяет получить следующую формулу 22 22 22 3 3 4 3 3 3 5 5 5 6 6 6 2 1 0 0 0 2 1 1 1 2 2 2 123 45 6 1 2 2 2 1 3 4 4 1 56 7 852 456 3 3 3 6 6 1 11 2 3 0 2 1 2 12 ЭДС САМОИНДУКЦИИ. ПРАВИЛО ЛЕНЦА Дадим другое, эквивалентное определение самоиндукции, а именно это явление возникновения ЭДС индукции в том контуре, по которому протекает переменный ток Возникающие при этом ЭДС индукции e i и индукционный ток I i называют ЭДС самоиндукции e S и током самоиндукции I S . Для них с учетом формул (4.37) и (4.46) можно записать 2 2 3 4 3 4 3 3 4 1 2 1 1 1 1 2 23 4 23 4 3 25 25 6 6 Правило Ленца для явления самоиндукции формулируется следующим образом ток самоиндукции препятствует любым изменениям основного тока, текущего по цепи. Из формулы (4.49) следует, что любые изменения тока вцепи тормозятся, и тем сильнее, чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротив ление. Можно сказать, что индуктивность цепи является мерой ее электрической инертности, подобно тому, как масса в механике является мерой инертности тела при его поступательном движении. 4.2.5.3. ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ ТОКА ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ РАЗМЫКАНИИ ЦЕПИ Рассмотрим электрическую цепь, приведенную на риса. Она содержит источник постоянного тока с ЭДС, катушку индуктивности L, сопротивления и r, а также ключ K. Когда ключ находится в положении 1, по цепи протекает постоянный тока в катушке сосредоточена энергия в виде энергии М магнитного поля. В момент времени t = 0 ключ K перебрасывают в положение 2, цепь размыкается, и ток в ней начинает постепенно убывать за счет возникающего в катушке явления самоиндукции. При этом запасенная в катушке энергия магнитного поля расходуется на поддержание убывающего тока и на нагревание проводников МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Отметим, что размыкание электрической цепи означает, что в нее вводят бесконечно большое сопротивление r (r ® ¥), и поэтому r ? R. Цепь считается разомкнутой, если сила тока в ней достигает значений порядка 1 мкА, соответствующих случайным значениям силы тока они связаны с тепловым движением свободных электронов в металле. Выведем формулу для зависимости силы тока от времени при размыкании цепи. Для этого запишем закон Ома для полной цепи 2 3 1 1 34 1 34 1 34 5 5 1 1 1 1 23 1 1 2 3 2 42 42 25 6 25 43 43 2 42 2 43 3 2 2 0 0 0 12 3 2 3 0 1 2 3 1 2 2 3 4 На рис. б приведены построенные по уравнению (4.50) зависимости силы тока I от времени t при различных значениях параметра b — от нуля ¥, соответствует отсутствию убывания тока вцепи) до бесконечности 0, ток мгновенно убывает до нуля. Из формулы (4.50) следует, что чем больше b, то есть чем больше r или меньше L, тем быстрее убывает ток в цепи. Рассмотрим зависимость ЭДС самоиндукции e S от времени t при размыкании цепи. Для этого подставим формулу (4.50) для силы тока в выражение 12 12 12 3 4 5 6 1 6 1 6 1 1 6 6 5 7 8 2 9 5 6 5 5 1 0 0 0 1 0 1 2 3 1 2 4 1 1 1 1 2 2 34 3 5 6 6 4 7 64 7 54 Итак, из за того, что r ? R, в начальные моменты времени при размыкании цепи наблюдается скачок ЭДС самоиндукции, иона может превышать постоянную, действующую вцепи ЭДС во много раз (рис. Это может привести к пробою диэлектриков и выходу из строя электрооборудования. Поэтому электрические цепи, содержащие большую индуктивность, необходи а б в Рис. Рис. 4.25 ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 143 мо размыкать так, чтобы сопротивление r увеличивалось не скачком, а по степенно. С энергетической точки зрения скачок e S связан стем, что при быстром размыкании цепи, содержащей большую индуктивность, большая энергия магнитного поля, запасенная в катушке, должна быстро израсходоваться, это и приводит к нежелательным последствиям — плавлению контактов, проскакиванию искр и пробою диэлектриков вовремя размыкания цепи. 4.2.5.4. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ КОНТУРА С ТОКОМ. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Любой контур индуктивности L, по которому протекает ток I, обладает энергией в виде энергии магнитного полям. Выведем для нее формулу исходя из закона сохранения энергии — при размыкании цепи энергия магнитного поля катушки расходуется на нагревание проводников 1 2 3 2 3 1 4 5 6 6 6 6 2 6 6 7 8 3 3 9 2 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 м 471 3 8 71 3 4 8 3 1 2 0 2 м 1 12 3 (4.51) Введем объемную плотность энергии магнитного полям как энергию магнитного поля, заключенную в единице объема пространствам м 1 12 3 4 15 (4.52) Из формулы (4.52) видно, что она зависит от модуля вектора магнитной индукции и от магнитных свойств окружающей среды, то есть от m. Докажем справедливость формулы (4.52), с этой целью рассмотрим однородное магнитное поле длинного соленоида индуктивности L (см. формулу (по которому протекает ток силой I (см. формулу (4.21)): 11 2 3 4 4 4 4 4 5 6 11 11 7 8 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 мм м что и требовалось показать. В случае неоднородного магнитного поля его энергию м, заключенную в конечном объеме V, можно определить по формуле 1 22 3 3 1 2 м 2 2 3 4 1 1 2 3 4 5 6 7 ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ ТОКА ОТ ВРЕМЕНИ ПРИ ЗАМЫКАНИИ ЦЕПИ В цепи, приведенной на риса, ключ K сначала находится в положении, тока вцепи нет (I = 0). В момент времени t = 0 ключ перебрасывают в положение 1. Ток вцепи начинает постепенно нарастать из за возникающего в катушке явления самоиндукции. Зависимость силы тока I от времени можно найти, используя закон Ома для полной цепи МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ + e S = IR Þ I = I 0 (1 – e – bt ), b = На рис. в приведены графики зависимости I от t, полученные из уравнения) для разных параметров b — от нуля (L ® ¥, ток вцепи не нарастает) до бесконечности (L ® 0, ток вцепи мгновенно достигает значения I 0 ). Видно, что чем больше b, те. чем больше R и меньше L, тем быстрее нарастает ток в цепи. Отметим, что с энергетической точки зрения постепенное нарастание тока при замыкании цепи, содержащей катушку большой индуктивности, связано с необходимостью накопления энергии магнитного поля в катушке в начальные моменты времени. При этом скачка ЭДС самоиндукции e S не возникает, так как в катушке до этого не была запасена энергия магнитного поля. 4.2.6. ЯВЛЕНИЕ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХ КОНТУРОВ. ВЗАИМНАЯ ИНДУКТИВНОСТЬ ДВУХ КОАКСИАЛЬНЫХ СОЛЕНОИДОВ Пусть в пространстве находятся два проводящих контура 1 ирис. 4.26а). Если пропустить по контуру 1 ток I 1 , то часть линий вектора магнитной индукции созданного током I 1 магнитного поля, будет пересекать плоскость второго контура, вследствие чего возникает потокосцепление Y 21 взаимной индукции, которое прямо пропорционально силе тока I 1 : Y 21 = Если пропустить ток I 2 по второму контуру, то аналогичные рассуждения приводят к следующей формуле Можно показать, что в случае неферромагнитной среды входящие в формулы) и (4.56) коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 будут одинаковыми, и они получили название взаимной индуктивности контуров 1 и 2: 1 1 2 2 2 12 21 12 21 2 1 1 1 1 2 2 (4.57) а б Рис. 4.26 ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ 145 Взаимная индуктивность L 12 (L 21 ) зависит от расположения контуров, их геометрии и магнитных свойств окружающей среды, то есть от Явление взаимной индукции — это явление возникновения ЭДС индукции водном контуре при протекании переменного тока в другом контуре, или возникновения магнитного потока взаимной индукции при протекании тока водном из контуров. Используя закон Фарадея (4.37) и формулы (и (4.56), можно записать 1 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4 21 1 12 2 2 21 1 12 На явлении взаимной индукции основан принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока. В заключение оценим взаимную индуктивность двух коаксиальных соленоидов соленоидов с общей осью (рис. б. Пусть площади их поперечного сечения совпадают (S 1 = S 2 = S), совпадают также их длины (l 1 = l 2 = l), а разными будут числа витков на единицу длины n 1 и n 2 . Для расчета L 21 пропустим ток I 1 по первому соленоиду и воспользуемся формулой (4.57): 11 2 3 4 4 4 4 4 11 4 2 0 1 1 21 2 21 2 1 21 0 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 34 1 1 5 3 6 4 4 7 6 где L 1 , L 2 — индуктивности коаксиальных соленоидов. 4.2.7. ВТОРОЕ УРАВНЕНИЕ МАКСВЕЛЛА В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ. ТОК СМЕЩЕНИЯ Основная идея теории Максвелла заключалась во взаимосвязи электрических и магнитных полей если переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве электрическое поле (первое положение теории Максвелла), тов свою очередь, и переменное электрическое поле должно создавать в окружающем пространстве магнитное поле. В связи с этим Максвелл сформулировал второе положение своей теории, а именно переменное электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле. Следовательно, в теореме о циркуляции вектора 1 1 (формула (4.18)) к источникам магнитного поля в виде токов проводимости добавляется еще один источник, который Максвелл назвал током смещения 2 3 44 5 3 44 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 0 пр см пр см Г 1 2 3 1 1 2 345 6 6 7 7 Формула (4.60) получила название закона полного тока. В нее введены плотности тока проводимости при смещения см интеграл берется по поверхности, опирающейся на контур Г. Под током смещения см понимают скалярную физическую величину, измеряемую в амперах, характеризующую способность электрического поля создавать магнитное поле и пропорциональную скорости изменения во времени напряженности 1 1 электрического поля МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Установим формулу связи плотности тока смещения см с напряженностью переменного электрического поля. Для этого рассмотрим электрическую цепь, содержащую плоский конденсатор с площадью пластин риса. Протекание переменного тока в такой цепи сопровождается плавным переходом на границе пластин конденсатора тока проводимости в ток смещения, который существует в пространстве внутри конденсатора. Записывая условия непрерывности на границе обкладок, получим 2 2 2 3 2 2 2 2 44 44 44 1 1 0 0 см пр 6 17 6 17 1 2 2 33 1 4 1 1 1 1 см см см 1 1 2 3 4 51 где s — поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора 1 напряженность электрического поля внутри конденсатора e — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками. В формуле (4.61) берется частная производная от вектора 1 1 повремени Ток проводимости (направленное движение заряженных частиц) и ток смещения (связан с переменным электрическим полем) имеют разную физическую природу, но сходны по способности создавать магнитное поле. Например, магнитное поле внутри конденсатора можно рассматривать как магнитное поле тока проводимости, текущего по проводнику конечных размеров с плотностью тока пр равной плотности тока смещения см Это позволяет применять формулы магнитостатики для расчета магнитного поля тока смещения. При этом линии вектора 1 1 тока смещения будут такими же, как и для тока проводимости (риса. В случае конденсатора с круглыми пластинами для расчета модуля вектора 1 1 внутри него можно использовать теорему о циркуляции вектора 1 1 для цилиндрического проводника конечных размеров и соответственно записать 2 33 4 2 4 2 33 2 33 55 пр пр см см 4 3 3 2 3 4 4 5 0 0 0 0 1 1 1 2 2 где r — расстояние от осевой линии внутри конденсатора до рассматриваемой точки пространства. Введение понятия тока смещения позволяет по другому объяснить отсутствие постоянного тока проводимости в электрической цепи, содержащей конденсатор. В этом случаев такой цепи не возникает переменного электрическо |