М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
ЗАКОН ДЖОУЛЯ–ЛЕНЦА Однородным участком электрической цепи называют участок, на котором направленное движение зарядов происходит под действием только кулоновских сил. Для него Г. Ом в 1826 году экспериментально установил следующий закон сила тока I, текущего по однородному участку цепи, прямо МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ пропорциональна напряжению U, приложенному к нему, и обратно пропорциональна сопротивлению R этого участка цепи Отметим, что для однородного участка цепи напряжение U совпадает с разностью потенциалов j 1 – j 2 между начальной и конечной точками участка (см. далее раздел На основе формулы (3.6) вводится понятие сопротивления однородного участка цепи R, которое характеризует свойство проводника препятствовать протеканию по нему электрического тока Это сопротивление не зависит ни от U, ни от I и связано с геометрическими размерами проводника, его материалом и температурой. Вольт амперной характеристикой (ВАХ) однородного участка цепи называют график зависимости силы тока I от приложенного к нему напряжения (риса он представляет собой прямую линию, угол наклона которой определяет электрическое сопротивление участка R = ctg b (рис. 3.2а). На практике обычно используют проводники цилиндрического вида длиной и площадью поперечного сечения S. Это позволяет ввести новую характеристику удельное сопротивление проводника r: 1 2 2 1 которое зависит только от его материала и температуры. Численно оно равно сопротивлению R проводника прими м 2 Для чистых металлических проводников при комнатной температуре удельное сопротивление практически линейно возрастает с повышением температуры, а именно r = r 0 (1 +где r 0 — удельное сопротивление проводника при температуре t = 0 °C; t температура проводника, °C. Рис. 3.2 а б ЧАСТЬ 3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 105 Входящий в формулу параметр a называют температурным коэффициентом сопротивления (ТКС), он численно равен относительному изменению удельного сопротивления проводника 1 2 1 1 0 0 при повышении температуры проводника на 1 °C: 1 2 1 3 4 1 0 Зависимость сопротивления R металлического проводника также соответствует формуле (3.9), так как размеры проводника (l, S) обычно изменяются с температурой значительно слабее, чем удельное сопротивление R 0 (1 +Для чистых металлов ТКС является положительной величиной, примерно равной 1/273 К. При низких температурах, когда колебания положительных ионов кристаллической решетки не оказывают существенного влияния на движение свободных электронов, удельное сопротивление r не изменяется с температурой, оставаясь постоянной величиной (рис. 3.3, кривая Для многих металлов при определенной температуре T c (ее называют температурой перехода в сверхпроводящее состояние, Т 20 К) сопротивление металла R обращается в ноль = 0), металл при Т < T c будет находиться в сверхпроводящем состоянии (рис. 3.3, кривая Для использования в практических целях необычных свойств сверхпроводящего состояния необходимо создавать материалы с высокими значениями температуры T c . В 1968 году для металлооксидных соединений были получены T c = (70 – 120) К, так была открыта высокотемпературная сверхпроводимость. Отметим, что ТКС может и уменьшаться с повышением температуры, что, например, наблюдается для растворов электролитов и для полупроводников и связано с увеличением в них концентрации свободных носителей заряда при повышении температуры. Выведем формулу для расчета количества теплоты Q, выделяемого в проводнике при протекании по нему электрического тока. Если в магнитном поле проводника стоком отсутствует перемещение других тел (заряженных частиц других проводников стоком) и не изменяется химический состав проводника (нет электролиза, то тогда работа сил электрического поля по перемещению заряда в проводнике целиком расходуется на выделение теплоты. В этом случае количество теплоты dQ, выделяемое за малый промежуток времени dt, можно рассчитать так 1 1 1 1 2 2 1 1 23 24 251 6127 27 6 Рис. 3.3 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Для конечного промежутка времени в случае переменного тока получим 1 2 2 2 0 0 , t t Q dQ I Rdt (3.13 а) а для постоянного тока (I = const) Q = I 2 Rt (3.13 б) Формула (3.13) получила название закона Джоуля–Ленца. Он формулируется следующим образом количество теплоты, выделяемое в проводнике при протекании по нему электрического тока, равно произведению квадрата силы тока на сопротивление проводника и на время протекания по нему тока. 3.3. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ИСТОЧНИКА ТОКА. НАПРЯЖЕНИЕ. ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ ПОЛЯ СТОРОННИХ СИЛ. ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ Возьмем замкнутую электрическую цепь, содержащую источник тока, и рассмотрим, как протекает по ней постоянный ток, то есть как происходит движение положительного заряда (+q) по этой цепи (рис. 3.2б). Во внешней части цепи сопротивлением R под действием кулоновских сил заряд (+q) перемещается от точек с большим потенциалом к точкам с меньшим потенциалом (заряд скатывается с потенциальной горки. Для дальнейшего движения заряда (внутренняя часть цепи, источник тока) необходимо переместить заряд к точкам с большим потенциалом (поднять заряд на потенциальную горку. Кулоновские силы только соединяют разноименные заряды, поэтому в источнике тока на заряды, кроме них, должны действовать также и сторонние силы, совершающие работу по разделению разноименных зарядов и переводящие заряд (+q) от отрицательного полюса источника тока к его положительному полюсу. Таким образом, завершается полный цикл движения заряда по замкнутой цепи, в ней за счет работы сторонних сил наблюдается постоянное движение заряда, протекает постоянный ток. Наглядно перемещение заряда по полной цепи демонстрирует механическая модель (риса под действием силы тяжести (аналог кулоновской силы) шарик (положительный заряд) скатывается по цилиндрической поверхности (внешняя часть цепи. Для его дальнейшего движения необходима сторонняя сила (это может быть сила упругости сжатой пружины, механический подъемник Рис. 3.4 а б ЧАСТЬ 3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 107 и т. д, которая поднимает шарик на первоначальную высоту по вертикали (внутренняя часть цепи, источник тока, совершая при этом работу, направленную против силы тяжести. Источник тока можно охарактеризовать сопротивлением r сопротивление внутренней части цепи) и электродвижущей силой (ЭДС e — она определяет работу сторонних сил по перемещению точечного положительного заряда в один кулон от отрицательного полюса к его положительному полюсу 2 3 1 стор 1 1 (3.14) Изображение источника тока на схемах приведено на рис. 3.2б. Природа сторонних сил может быть любой, от них требуется лишь способность разделять разноименные заряды. Это могут быть силы трения, силы химических реакций, протекающих в гальванических элементах, силы магнитного поля, силы вихревого электрического поля и т. д. Нужно отметить, что выделение в электрической цепи отдельного участка, на котором действуют сторонние силы, не всегда возможно. Сторонние силы могут действовать на всех участках цепи. Например, ЭДС индукции возникает во всех точках проводящего контура, находящегося в переменном во времени магнитном поле. Участок цепи, где одновременно действуют и сторонние, и кулоновские силы, называют неоднородным участком цепи (рис. б. Работу кулоновских сил по перемещению электрического заряда на этом участке характеризует разность потенциалов ( j 1 – j 2 ), а сторонних сил — действующая на этом участке цепи ЭДС e 1, 2 : 1 2 1 3 4 3 1 кул стор 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Для неоднородного участка цепи вводится новая величина, называемая напряжением U 1, 2 , она характеризует общую работу сторонних и кулоновских сил на неоднородном участке цепи 2 2 3 4 3 1 5 1 1 кул стор 1 1 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 На однородном участке цепи ( e 1, 2 = 0) напряжение равно разности потенциалов, Для описания силового действия на помещенные в поле сторонних сил заряды (по аналогии с электростатическим полем) вводят его силовую характеристику напряженность поля сторонних сил ст 1 1 1 1 ст ст ст ст Тогда формулы (3.15) и (3.16) можно переписать следующим образом 2 1 3 3 4 3 3 5 5 1 1 1 2 1 кул ст ст 1 1 1 1 1 2 3 45 3 45 6 6 6 6 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 (3.18) МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2 3 1 1 ст 2 3 4 1 2 2 34 2 1 2 Для ЭДС e, действующей в замкнутой цепи (начальная точка 1 и конечная точка 2 совпадают, из выражения (3.18) получим 2 3 1 ст то есть ЭДС равна циркуляции вектора напряженности 1 ст сторонних сил по произвольному замкнутому контуру. Это свидетельствует о том, что поле сторонних сил, в отличие от электростатического поляне является потен циальным. Покажем, что и для неоднородного участка цепи также выполняется закон Ома. Для этого используем закон сохранения энергии, а именно количество теплоты dQ 1,2 , выделяемое на неоднородном участке цепи за малый промежуток времени dt, равно суммарной работе сторонних и кулоновских сил по перемещению зарядов поэтому участку цепи, 2 = dA кул 1, 2 + ст 1, 2 Þ I 2 R 1, 2 dt = = dq( j 1 – j 2 ) + dq e 1, 2 = dqU 1, 2 = IU 1, 2 dt Þ U 1, 2 = IR 1, Формула (3.21) представляет собой закон Ома для неоднородного участка цепи. Учитывая, что e 1, 2 , j 1 – j 2 , I являются алгебраическими величинами и могут быть как больше, таки меньше нуля, запишем закон Ома (3.21) в следующем виде, 2 = ( j нач кон, 2 , (где нач икон потенциалы начальной и конечной точек участка цепи. Выбор знаков в формуле (3.22) обсуждается далее. Для участка цепи, изображенного на рис. б, формула (3.22) примет вид, 2 = ( j 2 – j 1 ) – e 1, где начальной точкой участка считается точка, с которой начинается обход участка цепи. 3.4. ПРАВИЛА КИРХГОФА Эти правила, сформулированные Кирхгофом в 1847 году, используются для расчета разветвленных цепей постоянного и квазистационарного тока цепей, содержащих несколько замкнутых контуров. Если записать закон Ома (3.22) для замкнутой цепи (для нее начальная и конечная точки совпадают, те. нач конто из него следует второе правило Кирхгофа 1 2 1 2 3 4 4 1 1 1 1 1 2 2 3 2 3 4 Согласно ему алгебраическая сумма падений напряжения на разных участках замкнутой цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих ЧАСТЬ 3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 109 в этой цепи. Число независимых уравнений (ни одно из них не является следствием других, которые можно записать по второму правилу, равно числу замкнутых контуров (цепей, которые нельзя получить наложением одного на другой. Так, для схемы, приведенной на риса, число независимых уравнений равно двум, один из трех контуров получается наложением двух других. Рассмотрим выбор знаков в формуле (3.23). Для этого сначала произвольно указывают направление токов на разных участках разветвленной цепи и указывают направление обхода замкнутых контуров (цепей. При совпадении направления тока с направлением обхода контура для силы тока выбирают, в противном случае — «–». Если в направлении обхода контура ЭДС e источника тока повышает свой потенциал (происходит переход от отрицательного полюса источника к его положительному полюсу, то выбирается, в противном случае — Для приведенной на риса схемы по второму правилу Кирхгофа можно записать два уравнения 2 3 4 5 1 2 3 6 1 1 2 2 1 2 2 3 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 Для формулировки первого правила Кирхгофа введем понятие узла электрической цепи — это точка цепи, в которой сходятся три или более проводников. Тогда из закона сохранения электрического заряда (он не может накапливаться в какой либо точке цепи) следует согласно которому алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Принято брать силу тока I со знаком «+», если ток входит в узел, и со знаком «–», если ток выходит из узла. Число независимых уравнений, которые можно записать поэтому правилу, равно числу узлов разветвленной цепи минус один. Так, для цепи, приведенной на риса, можно записать только одно уравнение, например, для узла б+ I 2 – I 3 = Система уравнений (3.23) и (3.24) позволяет провести расчет электрических цепей при различных исходных данных. В случае разветвленной цепи, а б Рис. 3.5 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ содержащей большое число контуров, для решения системы уравнений необходимо использовать известный в алгебре метод определителей. В качестве примера рассмотрим, что измеряет вольтметр, подключенный к электрической цепи, содержащей источник тока с ЭДС e и сопротивлением, сопротивление R внешней части цепи и ключ K см. рис. 3.5б). Сопротивление вольтметра R V должно быть больше сопротивлений, включенных в электрическую цепь (R V ? R, r), поэтому подключение вольтметра не оказывает существенного влияния на протекание тока в различных частях цепи. Пусть ключ K замкнут (рис. б. Составим уравнения закона Ома для участков цепи 1–3–2, 2–4–1 и 2–5–1 (обход участка начинается с первой точки. Используя формулу (3.19) и правило выбора знаков, получим Ir = ( j 1 – j 2 ) + e; (3.25 а U V = I V R V = ( j 1 – j 2 ); (3.25 б U R = I R R = ( j 1 – j 2 ). (3.25 в) Из уравнения (3.25 б) следует, что вольтметр измеряет разность потенциалов на участке цепи (1–3–2, 2–4–1, 2–5–1), к которому он подсоединена не напряжение на этом участке. Уравнения (3.25 аи б) дают следующие равенства U R = e – Ir = то есть напряжение, измеряемое вольтметром, равно напряжению на участках цепи 1–3–2 итак как они подключены параллельно друг другу ив свою очередь равны разности потенциалов на этих участках. В соответствии с правилами Кирхгофа можно записать два независимых уравнения для двух контуров 1–3–2–4–1 и 1–3–2–5–1 и одно уравнение для узла 2: 1–3–2–4–1: Ir + I V R v = e; (3.27 а Ir + I R R = e; (3.27 б) узел 2: I – I V – I R = 0. (3.27 в) Решение уравнений (3.27) приводит к формулам для сил токов 2 3 4 5 6 6 6 7 8 9 7 7 5 6 6 7 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 4 2 4 2 3 3 3 2 они справедливы для электрической цепи в отсутствие вольтметра. В случае разомкнутого ключа K система уравнений (3.27) примет вид I V , I V (r + R V ) откуда следует 1 2 3 2 4 4 4 5 4 1 6 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 4 4 4 5 4 , ЧАСТЬ 3. ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 111 то есть при разомкнутой цепи вольтметр измеряет ЭДС источника тока, равную разности потенциалов на зажимах (клеммах) источника. Если отключить вольтметр, то из формулы (3.25 а) следует точное равенство ЗАКОН ОМА И ДЖОУЛЯ–ЛЕНЦА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Пусть внутри проводника электрическое поле является неоднородными его удельное сопротивление r зависит от выбранной внутри него точки. В этом случае необходимо использовать дифференциальную форму законов Ома и Джоуля–Ленца, справедливую для малой окрестности точки внутри проводника. Проведем вывод этих формул. Рассмотрим однородный изотропный проводник длиной l и с постоянным поперечным сечением площадью S. Создадим в проводнике однородное электрическое поле 1 1 const 1 1 Такие упрощения не скажутся на общности полученных формул. Из формул законов Ома (3.6) и Джоуля–Ленца (3.13) получим 2 2 2 2 3 2 3 2 2 4 1 1 5 6 7 8 9 1 1 1 1 2 1 2 31 4 4 56 2 31 7 56 5 3 3 7 6 1 6 1 2 1 1 Введем удельную тепловую мощность w: 1 она определяет количество теплоты dQ, выделяемое в элементарном (бесконечно малом) объеме dV, расположенном вблизи точки, взятой внутри проводника, за малое время Для рассматриваемого здесь вывода вместо элементарных значений dQ, dV , dt можно подставить их конечные значения Q, V, t, что дает 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 4 12 34 5 6 74 8 1 9 9 19 4 Формулы (3.28) и (3.30) представляют собой дифференциальную форму законов Ома и Джоуля–Ленца. Введенная в них величина s называется удельной проводимостью, она связана с удельным сопротивлением ñ соотношением s = В случае неоднородного участка цепи, когда в проводнике одновременно действуют и сторонние, и кулоновские силы, формулы (3.28) и (3.30) примут вид 2 3 1 1 1 стор 1 23 1 2 2 (3.32) 1 2 1 1 1 стор 1 23 1 2 3 3 (3.33) МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Ч АС Т Ь 4 |