М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 15 из 73

О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА
1
1
К РАСЧЕТУ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
ПРОВОДНИКОВ СТОКОМ Теорема о циркуляции вектора
1
1
позволяет рассчитать модуль вектора в случаях определенной симметрии магнитного поля, то есть когда известно направление вектора
1
1
в каждой точке поля.
Отметим следующие этапы применения теоремы) из симметрии задачи сначала определяем направление вектора
1
1
в любой точке поля. Если этого сделать нельзя, то для расчета поля (направления и модуля вектора
1
1
) необходимо использовать закон БСЛ и принцип суперпозиции для магнитных полей) выбираем контур Г и рассчитываем циркуляцию вектора
1
1
согласно определению) рассчитываем сумму токов, охватываемых контуром) применяем теорему для расчета модуля вектора Рассмотрим три примера расчета магнитного поляна основе теоремы о циркуляции вектора Пример 1. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида. Соленоид представляет собой проводник, навитый на цилиндрический каркас й этап Из симметрии задачи следует, что магнитное поле существует только внутри соленоида. Оно является однородным, линии
1
1
связаны с направлением тока в соленоиде правилом правого буравчика риса ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ й этап. Выбираем контур Г в виде прямоугольника 1–2–3–4–1, одна из сторон которого параллельна оси соленоида и располагается внутри него.
Рассчитаем циркуляцию вектора
1
1
поэтому контуру 1
1 2 3 4
4 2 4 3
3 5 6
6 6
6 6
6 2
3 4
1 2
1 2
3 4
1 0
90 Г 2 345 345 345 345 345 6
123
123
123
123
123
1 23 1 где l — длина стороны 1–2; на сторонах 2–3, 3–4 и 4–1 интеграл обращается в ноль, так как внутри соленоида a = 90°, аза его пределами В = 0.
3 й этап Рассчитаем сумму токов, охватываемых контуром
1 2 3
1
1
2 3 где N — число витков на стороне контура 1–2. Выбираем знак «+», так как направление тока и обхода контура связаны правилом правого буравчика й этап Найдем модуль вектора 1
1
1 2 33 0
1
1 2
34
1 22 где n = N/l — число витков на единицу длины соленоида.
Полученная формула применима также и для расчета модуля
1
1
магнитного поля внутри длинного соленоида, у которого длина значительно превышает диаметр витков D (l
? Пример 2. Магнитное поле тороида. Тороид представляет собой проводник, навитый на каркас в виде тора (рис. б й этап Из симметрии задачи следует, что магнитное поле существует только внутри тороида. Линии вектора
1
1
представляют собой окружности с центром в точке О (рис. б, их направление связано с направлением тока в тороиде правилом правого буравчика. Вектор
1
1
направлен по касательной к линиям 1
1
2 й этап Выбираем контур Г, совпадающий с линией
1
1
радиуса r, направление обхода контура — почасовой стрелке. Рассчитаем циркуляцию вектора
1
1
:
1 2 2 3 4 5
5 1
1 0
2
Г
Г)
1 2 1
345 345 6
123
1
23
1
4
3 й этап Рассчитаем сумму токов, охватываемых контуром 2 3
1
1
2 3 где N — число витков тороида.
а
б
Рис. 4.7

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ й этап Найдем модуль вектора
1
1
:
1 2 3 44 3 44 1
0 0
2 1
2 1
1
2
34 1
54 6 2
(4.22 а)
где n = N/(2
pR) — число витков, приходящихся на единицу длины тороида радиус окружности, проходящей через центры витков тороида.
Если диаметр D витков тороида значительно меньше R (D
= R), то тогда можно считать, что r
» R, и записать б)
Пример 3. Магнитное поле коаксиального кабеля. Коаксиальный кабель представляет собой два коаксиальных цилиндрических проводника (оси цилиндров совпадают, разделенных слоем диэлектрика, причем внутренний проводник является сплошным (риса. По кабелю пропускают высокочастотный переменный ток, который в каждый момент времени протекает по проводникам в противоположных направлениях. Из за скин эффекта ток по внутреннему проводнику течет только по его внешней поверхности и поэтому магнитное поле коаксиального кабеля эквивалентно магнитному полю двух токов одинаковой величины I, текущих по цилиндрическим поверхностям радиусов R
1
ив противоположных направлениях (риса й этап Из симметрии задачи (осевая симметрия) следует, что линии вектора представляют собой окружности, располагающиеся в плоскости,
перпендикулярной коси цилиндров, с центрами на этой оси. Направление линий
1
1
связано правилом правого буравчика с направлением тока в проводниках. Вектор будет направлен по касательной к линии в каждой ее точке. Причем на одинаковом расстоянии от осина цилиндрических поверхностях) вектор будет одинаковым по модулю й этап Рассмотрим область пространства между цилиндрами (R
1
< r < Выбираем контур Г, совпадающий с линией вектора радиуса r, направление обхода контура возьмем против часовой стрелки. Рассчитаем циркуляцию вектора 2 2 3 4 5
5 1
1 0
2
Г
Г
1 2 1 2 345 345 6
123
1
23
1
4
3 й этап.
Рассчитаем сумму токов, охватываемых контуром Г
1 2
1
1
2 Рис. 4.8
а
б

ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ й этап Найдем модуль вектора 2 3 4 11 4
3 0
0 2
2 1
2
1
2
3
1 Для областей пространства r < R
1
и r > R
2
сумма токов, охватываемых контуром, будет равна нулю, и поэтому магнитное поле в этих областях пространства отсутствует. Тогда для магнитного поля коаксиального кабеля можно записать 2 2 3
2 4
3 5
0 1
2 2
0 2
1 2
2 2
3
1
2
3 2 4
3 2 3 На рис. б приведен график зависимости модуля вектора для коаксиального кабеля от расстояния r. Можно отметить, что магнитное поле в пространстве между цилиндрами создается только током, текущим по внутреннему цилиндру.
4.1.7.
МАГНИТНЫЙ ПОТОК.
ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ВЕКТОРА РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА
И КОНТУРА СТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Элементарным магнитным потоком d
F через элементарную площадку называется скалярная физическая величина 2 2
3 3 2 1 1 1 1 123 4 5 4 64
1
213 213
2 где a — угол между вектором
1
1
и вектором
11 нормали к площадке рис. 4.9а).
Магнитный поток через поверхность S равен сумме элементарных магнитных потоков d
F:
1 2 1 2 3
4 4
123 Линии
1
1
проводятся так, чтобы их густота определяла модуль вектора в данной точке поля. Поэтому согласно формуле (4.25) магнитный поток
F
будет пропорционален количеству линий 1
1 пронизывающих поверхность Как уже отмечалось в разделе 4.1.4, магнитных зарядов в природе не существует, то есть линии
1
1
являются замкнутыми, и поэтому теорема
Рис. 4.9
а
б
в

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Гаусса в интегральной и дифференциальной формах для вектора магнитной индукции
1
1
запишется следующим образом 2 2 3 2 4
1 1 1
1 2
0 0
123 Физический смысл теоремы Гаусса для вектора
1
1
заключается в следующем в природе нет магнитных зарядов и поэтому линии
1
1
являются
замкнутыми.
Найдем теперь работу dA по перемещению прямолинейного проводника на бесконечно малом перемещении
1
12 в однородном магнитном поле с индукцией (рис. б. Длина проводника l, по нему протекает ток Прежде всего, используя закон Ампера (4.10), найдем силу
1 1
1
действующую на проводник стоком со стороны магнитного поля. Для этого разобьем проводник на элементы тока
112 1
123
найдем силы
1 1
12
действующие на каждый элемент тока, и затем сложим их 1
1 2 1 3
3 3
1 1
1 234 5
1
21 Тогда 1
2 1 1
1 3
1 1 123 4
12 314 314
56714 5618 где d
F — элементарный магнитный поток, пронизывающий поверхность которую описывает проводник при своем движении в магнитном поле.
Работа сил поляна конечном перемещении складывается из работ dA на малых участках пути 1
2 1 2 3
3
1
21 3 и зависит от пути перехода проводника изначального состояния в конечное.
Другая ситуация возникает при расчете работы A по перемещению контура стоком (рис. в 1
2 1 2 1 3 1 2 41 5
2 1
2 1
1 где
F
1
,
F
2
— магнитные потоки, пронизывающие плоскость контура в начальном и конечном положениях.
Из (4.28) следует, что работа по перемещению контура стоком в магнитном полене зависит от траектории пути, а определяется положениями начальной и конечной точек пути. Следовательно, для контура стоком в магнитном поле можно ввести потенциальную энергию W
p
и записать выражение для работы следующим образом A = W
P
1
– W
P
2
, что с учетом формулы) позволяет записать для потенциальной энергии W
p
контура стоком в магнитном поле следующее выражение –I
F.
(4.29)

ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
125
4.1.8.
ПОВЕДЕНИЕ КОНТУРА СТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Для того чтобы описать поведение контура стоком в магнитном поле,
введем понятие его магнитного момента
1 1
1
2 Этот вектор перпендикулярен к плоскости контура, его направление
1
1
2 связано правилом правого буравчика с направлением тока в контуре (риса. Модуль вектора
1
1
2 равен IS, где S — площадь контура I — сила тока, текущего по нему. Поведение контура стоком в магнитном поле полностью определяется его магнитным моментом
1 В однородном магнитном поле под действием пары одинаковых по модулю сил
1 1
12 и прямоугольный контур стоком поворачивается и устанавливается в положении, при котором векторы
1 и будут параллельны друг другу (рис. б, в. Это положение является положением устойчивого равновесия, ему соответствует минимальное значение потенциальной энергии контура стоком в магнитном поле. Можно показать, что для W
p
на основании) получается 2 3 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 1
1 123 4 5 123 123 4
56
1
2
2
3
4
456
46 5
1 5
1 5
1 1 2 1 2 3 3 1 2
2 2
2 2
1 2
345 6 1 6 27
1
2
2
2
3
1 4
1 4
1 При a = 0 W
p
= –p
m
B
, то есть принимает минимальное значение.
В неоднородном магнитном полек вращательному движению контура стоком добавляется его поступательное движение. В частном случае (
a = 0), приведенном на рис. 4.11, составляющие сил,
действующих на стороны прямоугольного контура (указаны силы 1
12 ивы зывают поступательное движение контура вдоль оси О. Формулу для проекции силы, вызывающей поступательное движение контура вдоль оси О, можно
а
б
в
Рис. Рис. 4.11

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
найти, используя формулу связи консервативной силы и потенциальной энергии 1 2 1
3 3 1 2
2 123 4 5 4 67
1
2
3
3
45
46
7
1
1 Как двигается контур стоком при различных углах a? При начальном значении a < 90° контур будет поворачиваться с уменьшением угла a и втягиваться в область более сильного поля. При начальном значении a > контур будет поворачиваться, уменьшая угол a, и выталкиваться в область более слабого поля при достижении значений a < 90° контур будет поворачиваться, уменьшая угол a до нуля, и втягиваться в область более сильного поля. Ив томи в другом случаях контур стоком в конечном итоге втянется в область более сильного поля.
4.1.9.
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
Со стороны магнитного поляна движущуюся в нем заряженную частицу действует сила Лоренца (см. формулу (4.8))
1 1
2 1
3 3 1 2
2 2
2 2
2
Л
Л
1 23 4 4 567 3 8 3 9
1
2 3 4 1
2 34
3 Сила Лоренца Л работы не совершает, так как угол между нею и скоростью частицы равен 90° (в любой момент времени мощность силы Лоренца равна нулю N = Л = 0). Это означает, что в магнитном поле модуль скорости частицы и ее кинетическая энергия остаются постоянными, изменяется только направление скорости движения частицы.
Рассмотрим частные случаи движения частицы в однородном магнитном поле:
а)
a = 0°. Тогда Л 0, частица движется прямолинейно вдоль линий вектора (рис. 4.12а);
б)
a = 90°. Частица движется в магнитном поле перпендикулярно линиям вектора 1
1
Траектория движения частицы — окружность радиуса рис. б. Используя II закон Ньютона, для радиуса R и периода обращения частицы Т можно получить 1
2 2
3 2 2
2 2
2 Л 2 3
4 2 2 2 2
1
21
3
2
4
25 6 17 2
3
8
3
1
6 7
6 в — произвольный угол. Траекторию движения частицы — винтовую линию (рис. в — можно представить как сумму двух видов движения:
Рис. 4.12
а
б
в

ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
127
прямолинейного вдоль линий
1
1
(
a = 0°) и движения по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору
1
1
(
a = Для параметров винтовой линии — радиуса окружности R, периода обращения Т и шага винтовой линии h рис. в) можно записать 1
2 3
3 3
4 5 3 5 6 5 3 5 6
11 11 2
1 2
2 345 2 567 8 9 9 9 9
12
1
3
4
5 2 4
6 7
6 В неоднородном магнитном поле частица в общем случае будет двигаться по винтовой линии, радиус и шаг которой будут изменяться, то есть по спирали.
Для частного случая, приведенного на риса, при движении частицы вдоль оси Ох модуль вектора
1
1
увеличивается и согласно формулам (радиус R и шаг винтовой линии h будут уменьшаться.
В совмещенных в пространстве электрическом и магнитном полях на частицу, кроме силы Лоренца, будет также действовать кулоновская сила 2
3 4
3 4
5 6
7 1 1 1
1 КЛ 1
1
23 2 4 Из формулы (4.34) следует, что в однородных электрическом и магнитном полях, когда векторы
1 и 2 будут параллельны, траектория движения частицы представляет собой винтовую линию, у которой радиус R остается постоянным (модуль
1 11
не изменяется, а шаг h будет увеличиваться (под действием кулоновской силы модуль
1 11
1
будет возрастать, см. рис. 4.13б).
В скрещенных под прямым углом однородных электрическом и магнитном полях (рис. в) заряженная частица будет двигаться равномерно и прямолинейно, если ее вектор скорости
11 будет направлен от нас в плоскость рисунка, а модуль вектора скорости 2
1 2
3 1
4 1 5 1 1 1 1
1 1
1
К
Л
Л
К
1 23 45 5 5 5 6 3
1 1
1
23 2 4 5 1
1 2 5 2 3
4 3 ПРИМЕНЕНИЕ НА ПРАКТИКЕ ЗАКОНОВ
ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Рассмотренные примеры движения заряженных частиц (раздел объясняют некоторые физические явления и используются при работе многих устройств, применяемых в современной науке и технике. Остановимся на некоторых из них.
а
б
в
Рис. 4.13

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Масс спектрометры — приборы для определения масс атомов и молекул (точнее, их ионов. Схема одного из них приведена на рис. 4.14. Пучок ионов, полученных с помощью газового разряда и ускоренный электрическим полем, попадает в так называемый селектор скоростей. В нем пучок ионов движется в скрещенных под прямым углом однородных электрическом и магнитном
1 1
1
полях
(рис. 4.14). Через узкое выходное отверстие проходят только те частицы,
для которых модуль скорости движения равен v = E/B
1
, они движутся равномерно и прямолинейно (рис. 4.13в).
Остальные частицы, движущиеся со скоростями, отличными от значения, отклоняются от прямолинейной траектории и оказываются на стенках камеры. После этого пучок ионов попадает в однородное магнитное поле
1 2
1
, линии индукции которого перпендикулярны к скорости Описав дуги полуокружностей, ионы оказываются на фотопластинке (либо другом регистрирующем устройстве) и оставляют на ней следы в виде узких полосок на различных расстояниях (l
1
, l
2
и т. д, l = 2R, где R — радиус полуокружности).
Зная параметры В, Е, В и l, можно найти удельные заряды частиц 1 1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
2 1 1 2
3 1 1
1
2
3
45
5
2
5
6
7
4 67
7 7 3
1 Поскольку заряды ионов являются целыми числами, кратными элементарному заряду |e|, то по найденным значениям 1 1
1
2
можно определить массу ионов. С помощью масс спектрометров было обнаружено существование изотопов. В настоящее время они широко используются, например для количественного анализа нефти.
Рис. Рис. 4.15
а
б

ЧАСТЬ 4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. Эффект Холла. Возьмем металлическую прямоугольную пластинку шириной b и толщиной d. Пропустим по ней ток плотностью
1
1
и поместим ее в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости пластины
(рис. 4.15а).
На движущиеся в металле свободные электроны со стороны магнитного поля будет действовать сила Лоренца, которая приведет к движению электронов к верхней грани пластины, она зарядится отрицательно, а нижняя грань — положительно. В результате этого в металле возникает поперечное электрическое поле, напряженность
1
1
которого будет перпендикулярна векторами Эффект Холла (1879) заключается в возникновении поперечного электрического поля.
Для разности потенциалов, возникающей между верхней и нижней гранями пластины в условиях установившегося в поперечном сечении стационарного распределения зарядов, можно получить 2 3 1 2 3 1 1
1 2 3 4 5 4 1 1 2 3 1 1
1 0
0 КЛ 2
,
,
: | |
| |
,
I
I
q n v S
q nvbd
v
q nbd
F
F
e E
e
v B
Eb
E v b
I
IB
B
b
enbd
end
1 2 1 3 3
1 2
1
1
1
23
4
4 Из формулы (4.35) следует, что холловская разность потенциалов определяется толщиной пластины d в направлении магнитного поля, силой тока и модулем вектора магнитного поля 1
1
Если выразить силу тока через плотность тока, то тогда в формулу (4.35) войдет толщина пластины b в направлении, перпендикулярном направлению магнитного поля.
Характеристики материала, из которого сделана пластина, входят в выражение) через постоянную Холла 0
1 где n — концентрация свободных заряженных частиц с зарядом Для металлов заряд q
0
равен заряду электрона, и поэтому из экспериментально установленного значения постоянной Холла можно определить концентрацию свободных электронов в металле.
В зависимости от знака свободных носителей заряда постоянная Холла может быть больше или меньше нуля. Так, для металлов q
0
= e < 0, R
X
< 0 и,
как следует из риса, для положительных I, B и d разность потенциалов j
1
–
j
2
будет отрицательной. В полупроводниках, помимо электронного типа проводимости, наблюдается и дырочная проводимость, обусловленная движением положительных квазичастиц (q
0
> 0), получивших название дырок. Для дырочной проводимости знак разности потенциалов на рис. 4.15б
будет другими. Поэтому по знаку постоянной Холла можно судить о том, какой тип проводимости преобладает в данном полупроводнике МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Циклотрон — это ускоритель тяжелых заряженных частиц, таких как протоны частицы и ионы. В нем используется независимость периода обращения частицы в магнитном поле от скорости ее движения (см. формулу 4.32). Циклотрон представляет собой вакуумную камеру, в которой находятся два металлических электрода (дуанты) из неферромагнитно го материала (рис. 4.16). Камера находится в однородном магнитом поле постоянного магнита (линии
1
1
перпендикулярны плоскости дуантов). На электроды подается переменное напряжение, и поэтому в зазоре между ними создается переменное электрическое поле. Частицы, помещенные в зазоре вблизи центра дуантов, ускоряются этим полем и попадают внутрь дуантов, там на частицы действует только магнитное поле
(электрическое поле внутрь металлических электродов не проникает. Описав полуокружности, частицы снова попадают в зазор и ускоряются электрическим полем, к этому моменту времени оно успевает изменить свое направление, так как период изменения напряжения на электродах подбирают равным периоду обращения частиц в магнитном поле.
Постоянное ускорение частиц в зазоре между дуантами приводит к увеличению радиуса их окружностей, и при достижении его предельного значения пучок частиц выводится наружу.
В циклотроне энергия частиц может достигать значений порядка (10
¸ МэВ. При дальнейшем увеличении начинают сказываться релятивистские эффекты (зависимость массы частиц от скорости их движения, что приводит к потере синхронизации между периодами изменения электрического поля и обращения частиц в магнитном поле (период обращения зависит от скорости, он будет увеличиваться).
Учет релятивистских эффектов при ускорении частиц можно осуществить следующим образом. Во первых, изменять частоту подаваемого на электроды переменного напряжения, такой способ используется в фазотронах, при этом максимальная энергия протонов достигает значений W
k
= 1 ГэВ = 1
× 10 3
МэВ
(она ограничена размерами дуантов). Во вторых, можно одновременно изменять электрическое и магнитное поля так, чтобы частицы двигались по окружности постоянного радиуса (синхротрон, максимальная энергия частиц 500 ГэВ).