М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
1. w = 0: I m (0) = 0, то есть постоянный электрический ток через цепь, содержащую конденсатор, не протекает ® ¥: 1 2 3 2 2 1 0 1 2 3 1 1 2 3 4 3. Максимум функции I m ( w) наблюдается тогда, когда подкоренное выражение в знаменателе будет минимальным, то есть первое слагаемое в подкоренном выражении должно быть равным нулю. Поэтому максимум I m ( w) соответствует, а само максимальное значение 2 0 1 2 На рис. 5.18 приведены резонансные кривые I m ( w) в случае идеального колебательного контура (R = 0, b = 0) и для двух разных значений сопротивления в нем (R 2 > R 1 , то есть b 2 > b 1 ) при постоянном значении w 0 . Как видно, максимум функции с увеличением R уменьшается, а его смещение по оси частот w не происходит. Используя таблицу аналогий 5.1, можно записать формулы, описывающие резонансные кривые для амплитуды колебаний скорости n m ( w) телам. т.) в механической системе 1 2 3 1 4 1 5 1 6 7 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 Рис. 5.18 а б ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 2 1 3 1 2 0 0 m 1 2 3 Графики v m ( w) для трех значений коэффициента сопротивления (r = 0, r 2 > r 1 ¹ 0) среды приведены на рис. б. Эти графики аналогичны графикам резонансных кривых РАЗНОСТЬ ФАЗ КОЛЕБАНИЙ МЕЖДУ СИЛОЙ ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯМИ НА КОНДЕНСАТОРЕ, ИНДУКТИВНОСТЬЮ И АКТИВНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО КОНТУРА. ФАЗОВЫЕ РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ Перепишем формулы (5.64) для I ив удобном виде 2 3 4 5 5 6 7 6 8 5 7 6 8 9 5 5 7 6 8 2 1234 5 671 8 6714 5 1 1 2 21 3 4 и добавим к ним формулы для U L и U R : 1 2 1 2 3 4 4 5 6 5 7 8 4 6 5 7 8 3 3 4 4 6 5 7 8 123 4516 78 451 9 1 12 12 3 32 45 6 1 6 7 6 7 47 6 53 6 7 2 Найдем в соответствии с полученными формулами разность фаз колебаний между силой тока j I и напряжениями на конденсаторе j C , индуктивности и активном сопротивлении j R : 1 2 3 3 45 6 5 7 5 6 8 7 9 7 8 7 9 6 7 2 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3 ; (5.78) 1 2 3 3 45 6 5 7 5 6 8 7 9 3 7 8 7 9 6 2 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3 ; (5.79) 12 3 2 4 2 3 5 4 6 4 5 4 6 3 1 2 3 2 3 2 3 4 1 Как следует из формул (фаза колебаний напряжения на конденсаторе отстает по фазе от колебаний тока вцепи на p/2, а фаза колебаний напряжения на катушке опережает фазу колебаний силы тока на p/2. Фазы колебаний напряжения на активном сопротивлении и силы тока вцепи совпадают. Это наглядно видно на векторной диаграмме (рис. 5.19), где указаны амплитуды векторов напряжений на отдельных участках электрической цепи. При этом фаза колебания силы тока в контуре принимается равной нулю, то есть Рис. 5.19 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ амплитуда вектора силы тока располагается вдоль оси Ox. На такой диаграмме вектор амплитуды внешнего напряжения 1 1 1 2 подаваемого в колебательный контур, можно представить как сумму векторов амплитуд напряжений на разных его участках. Это позволяет записать следующую формулу для модуля вектора амплитуды внешнего напряжения (например для частот w < w 0 , риса из которой с учетом формул (5.19) и (5.20) (U Cm = q m /C, U Lm = L w 2 q m , можно получить выражение (5.65) для зависимости амплитуды колебания заряда от частоты внешнего напряжения 2 3 4 3 1 3 2 3 4 5 3 6 6 1 3 2 3 4 5 3 1 2 3 1 3 4 1 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 6 3 3 5 2 3 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 Под фазовыми резонансными кривыми понимают, например, зависимости разности фаз Dj внеш между внешним напряжением внеш и напряжением на конденсаторе, разности фаз Dj внеш между внешним напряжением U внеш и силой тока I в контуре от частоты w внешнего напряжения. Наиболее интересными из них являются зависимости Dj внеш, так как они позволяют выяснить эффективность поступления энергии в контур (колебательную систему. В соответствии с формулами (5.64) и (5.60) для разности фаз Dj внеш,C и Dj внеш можно записать 2 3 3 45 6 7 8 7 8 9 6 9 45 6 7 8 7 8 9 6 9 8 6 5 2 2 внеш, внеш, 1 2 3 Отметим, что разность фаз Dj внеш для цепей переменного тока обозначают буквой j: Dj = На рис. 5.21 приведены фазовые резонансные кривые Dj внеш) и внеш) = j(w), построенные по формулами) при трех значениях параметра b: b = 0, b 2 > b 1 ¹ Из них следует, что внешнее напряжение опережает по фазе напряжение на конденсаторе на угол y. На векторной диаграмме это означает, что вектор а б в Рис. 5.20 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 193 амплитуды U m располагается выше вектора амплитуды U Cm (рис. 5.20). Причем угол y изменяется от нулевого значения для частоты w, равной нулю = 0), до значения, равного p, при частоте внешнего напряжения, стремящегося к бесконечности ( w ® ¥, риса. При резонансе амплитуды векторов внешнего напряжения U m и напряжения на конденсаторе U Cm взаимно перпендикулярны (рис. б, что приводит к разности фаз между ними, равной p/2 (Dj внеш,С = y = p/2, рис. 5.21а). Из другой фазовой резонансной кривой следует, что фаза внешнего напряжения для частот w < w 0 отстает от фазы тока в контуре на угол j (рис. 5.21б). Для частот w > w 0 фаза внешнего напряжения опережает на угол j фазу колебаний силы тока в контуре и при увеличении частоты w стремится к значению, равному p/2. При резонансе (w = w 0 , U Cm = U Lm ) фаза колебаний силы тока и внешнего напряжения совпадают, то есть j(w 0 ) = 0, и вектора амплитуд и I m направлены одинаково вдоль оси Ox (рис. б. При этом энергия поступает в контур согласованно с колебаниями в ней. Действительно, учитывая выполнение условий малого затухания (Q ? 1) и формул (5.64) и, запишем 2 3 2 4 2 5 2 6 4 4 7 6 5 1 2 8 2 4 8 2 8 6 4 2 4 внеш 2345 6 782 1 782 9 1 1 1 1 2 2 2 34 5 5 3 5 3 6 6 3 0 2 2 0 2 Такое поступление энергии в контур при резонансе приводит к большим амплитудам колебаний, их числовые значения определяются диссипацией (рассеянием) энергии системы, то есть коэффициентом затухания b (формула (При частотах w, больших или меньших w 0 ( w < w 0 , w > w 0 ), амплитуда вынужденных колебаний даже в отсутствие диссипации энергии ( b = 0) будет уменьшаться, она определяется расстройкой резонанса ( w – w 0 ), то есть разностью частот w и Можно отметить, что с использованием таблицы аналогий можно построить фазовые резонансные кривые для разности фаз между скоростью колебаний тела и действующей на него внешней силой в случае механической системы и т. д. Рис. 5.21 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 5.10.5. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Переменный электрический ток также представляет собой вынужденные колебания силы тока, напряжения, происходящие в электрической цепи под действием напряжения, вырабатываемого генератором переменного тока на электростанциях. Электрическая цепь в этом случае представляет собой колебательный контур (рис. 5.3, внеш U m cos wt), и поэтому здесь применимы формулы, которые были получены в разделах Простейшей моделью генератора переменного тока является рамка площадью, содержащая N витков, которая равномерно вращается в магнитном поле с угловой частотой w (рис. 5.22). Для максимальной ЭДС индукции e im , наводимой в такой рамке, можно получить следующее выражение 1 2 3 4 3 4 5 3 5 5 2 3 5 1 1 234 5 6 7 1 12 3 3 45 6 345 718 Отметим, что линейная частота переменного тока в России составляет 50 Гц. Перечислим вопросы и понятия, которые вводят для описания переменного тока в электрической цепи. Разность фаз колебаний между силой тока и напряжениями на конденсаторе, индуктивности и активном сопротивлении электрической цепи. Как уже было отмечено раньше (см. 5.10.4), фаза колебаний напряжения на конденсаторе отстает по фазе от колебаний тока вцепи на p/2, а фаза колебаний напряжения на катушке опережает фазу колебаний силы тока на p/2. Фазы колебаний напряжения на активном сопротивлении R и силы тока вцепи совпадают. Емкостное X C , индуктивное X L , активное R, реактивное X и полное сопротивления цепи В соответствии с законом Ома для однородного участка цепи по формулам (5.67) можно ввести емкостное X C и индуктивное X L сопротивления 3 Они характеризуют способность катушки и конденсатора оказывать препятствие протеканию переменного электрического тока. Как видно из формул, при возрастании частоты переменного тока емкостное сопротивление будет уменьшаться, то есть конденсатор оказывает меньшее препятствие протеканию тока, а индуктивное сопротивление X L будет возрастать катушка оказывает большее препятствие протеканию переменно Рис. 5.22 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 195 го тока. Постоянный ток через участок цепи, содержащий конденсатор, не протекает ( w = 0: X C = ¥). Индуктивное сопротивление катушки в этом случае будет равно нулю ( w = 0: X L = 0), то есть катушка не оказывает препятствия протеканию постоянного тока. Сопротивление R, которое ранее рассматривалось в разделе Постоянный ток, называется здесь активным сопро тивлением. Учитывая введенные сопротивления, перепишем формулу (5.68) для резонансной кривой амплитуды силы тока в контуре следующим образом 2 2 2 2 1 3 1 4 5 1 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 1 2 3 2 где введены реактивное X и полное Z сопротивления цепи 2 1 1 3 2 2 1 2 1 2 3 1 4 5 5 5 6 5 7 8 (5.85) 3. Мощность, потребляемая электрической цепью Учитывая разность фаз колебаний силы тока и внешнего напряжения в электрической цепи 2 1 2 3 3 4 5 4 6 4 5 7 6 7 6 8 9 5 8 6 внеш для мгновенной мощности, потребляемой электрической цепью, получим 1 2 2 3 внеш 1234 56 1 1 2 34 3 Ввиду малого периода колебаний переменного тока (T = 0,02 c) многие приборы измеряют усредненные повремени значения мощности 2 3 1 4 4 5 6 2 3 3 1 4 6 7 4 4 62 3 6 123 1234 5 123 123 367 123 367 123 8 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 5 3 4 5 5 5 3 4 2 Согласно векторной диаграмме (рис. 5.21) U m cos j = U Rm = что приводит к следующему выражению для усредненной мощности 2 3 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 3 4 3 5 (5.88) 4. Эффективные (действующие) значения силы тока и напряжения для гармонических колебаний вводятся по формулам 1 2 эф эф что позволяет переписать формулу (5.88) без коэффициента 1/2; это удобно при записи формул для средней мощности и количества теплоты в случаях переменного и постоянного тока 2 3 3 1 эф эф эф 2 1 2 3 1 45 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Отметим, что многие амперметры и вольтметры измеряют эффективные (действующие) значения силы тока и напряжения. Коэффициент мощности Входящий в формулу (5.86) коэффициент cos j называют коэффициентом мощности. В соответствии с выражениями) и (5.87) для него можно записать 2 123 то есть он равен отношению активного R и полного Z сопротивлений электрической цепи. Коэффициент мощности показывает зависимость мощности, выделяемой в электрической цепи переменного тока, от разности фаз колебаний силы тока в ней и внешнего напряжения, поступающего в цепь. Так, если реактивное сопротивление цепи будет равно нулю (X = 0, Z = R), то тогда cos j = и электрическая цепь полностью потребляет поступающую в нее энергию. При отсутствии же вцепи активного сопротивления (R = 0, cos j = 0) электрическая цепь энергии не потребляет. Это приводит к тому, что энергия, поступающая в цепь, передается по проводам обратно к источнику энергии, что приводит к ее потерям в подводящих проводах за счет выделения джо улевого тепла. На практике стремятся увеличить cos j до максимально возможных значений (обычно cos j > ЭНЕРГЕТИКА РЕЗОНАНСА. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОЯВЛЕНИЯ И ПРИМЕНЕНИЯ РЕЗОНАНСА В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ При резонансе энергия поступает в систему согласованно с колебаниями в ней, постоянно увеличивая их амплитуду. В стационарном режиме большая амплитуда колебаний поддерживается малыми поступлениями энергии в систему, восполняющими потери энергии колебаний (нагрев проводников, преодоление сил сопротивления, потери на излучение электромагнитных и механических волн) за один период. В системе при резонансе созданы наиболее благоприятные условия для реализации свойственных системе свободных незатухающих колебаний, поэтому амплитуда колебаний резко возрастает. Рассмотрим некоторые примеры проявления резонанса в природе. Пример 1. Солдаты проходят помосту строевым шагом, частота ударов ног о поверхность моста может совпасть с собственной частотой колебаний моста как колебательной системы, наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний моста постепенно нарастает и при больших числовых значениях может привести к его разрушению. Пример 2. Вентилятор плохо прикреплен к потолку и своим вращением он создает толчки на потолок, частота которых может совпасть с собственной частотой колебаний комнаты (потолка) как колебательной системы, амплитуда колебаний потолка нарастает и может привести к его обрушению. Пример 3. Приборы на кораблях максимально утяжеляют (делают тяжелыми подставки) и подвешивают на мягких пружинах (коэффициент жесткости для них будет малым. В этом случае частота качки корабля будет боль ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 197 ше собственной частоты колебаний 1 2 3 4 0 1 1 2 приборов на пружинах и поэтому резонанса не наступает. Пример 4. В радиоприемниках на основе явления резонанса можно выделить нужный сигнал из большого числа сигналов разных радиостанций, поступающих на его приемную антенну (рис. 5.23а). Пусть на вход радиоприемника поступают сигналы малой амплитуды с различной несущей частотой w: 1 1 2 3 2 3 2 3 4 2 3 1 1 2 2 3 3 входа 123 123 444 123 4444 1 2 2 2 2 3 3 43 5 3 5 Выделим, например, сигнал с несущей частотой w 1 . Для этого необходимо изменять электроемкость конденсатора до тех пор, пока частота w 0 собственных свободных незатухающих колебаний приемного контура не совпадет с частотой w 1 ( w 0 = w 1 ). Тогда за счет явления резонанса амплитуда сигнала с частотой w 1 на выходе конденсатора резко возрастает, чего нельзя сказать про амплитуды остальных сигналов 1 2 3 2 3 2 3 4 2 1 1 2 2 3 3 1 выхода 123 123 444 123 4 1 2 2 2 2 3 3 43 5 3 5 На рис. б сплошной линией показана резонансная кривая, максимум которой приходится на частоту w 1 . Изменяя электроемкость конденсатора, можно настроить приемный контур антенны на несущую частоту w 2 (на рис. б пик резонансной кривой смещается на частоту НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. АВТОКОЛЕБАНИЯ Под нелинейными системами понимают такие колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. В таких системах существуют нелинейные связи, например в механической системе между силой упругости 1 1 1 и смещением груза x относительно положения равновесия. Это приводит к нарушению закона Гука и к зависимости коэффициента жесткости системы от смещения x, что изменяет собственную частоту колебаний системы w 0 . В колебательном контуре нелинейные эффекты могут возникать между электрическими зарядами конденсатора и создаваемой ими а б Рис. 5.23 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ напряженностью поля, в частности это наблюдается, если поместить сегнетоэлектрик между пластинами конденсатора. Тогда под действием электрического поля сегнетоэлектрик изменяет свою диэлектрическую проницаемость и тем самым приводит к изменению электроемкости конденсатора в зависимости от подаваемого в контур напряжения, то есть к изменению собственной частоты колебаний контура w 0 и. т. д. Все физические системы являются нелинейными системами Прима лых амплитудах колебаний (при малых отклонениях от положения равновесия) физические системы можно считать линейными, колебания в них описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, что и позволяет построить общую теорию колебаний. Нелинейные эффекты в физических системах обычно проявляются при увеличении амплитуды колебаний — это приводит к тому, что собственные колебания системы (осциллятора) уже не будут гармоническими, а их частота будет зависеть от амплитуды колебаний. Уравнения движения для них являются нелинейными, а такие системы называют ангармоническими осцилляторами (см. раздел Действительно, например, для малых отклонений потенциального поля от параболического вида (U(x) = kx 2 /2 – gx 3 /3 + ...) дифференциальное уравнение колебаний будет иметь вид 11 2 3 2 3 3 2 4 5 5 11 5 6 2 6 2 2 5 7 11 11 2 3 2 3 3 7 2 4 5 5 2 11 5 6 2 6 2 2 5 7 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 3 3 0 0 3 1 2 3 1 1 2 3 4 1 2 31 2 3 4 1 2 34 5 6 57 27 87 7 7 7 37 8 8 5 7 7 7 5 7 5 27 8 34 5 6 57 7 87 7 7 7 37 8 8 5 7 7 7 5 7 Из записанного дифференциального уравнения видно, что коэффициент жесткости зависит от амплитуды колебаний, что приводит к зависимости угловой частоты свободных незатухающих колебаний системы от амплитуды колебаний Для больших отклонений от линейного поведения зависимость w 0 (x) усложняется, и поэтому усложняются уравнения, описывающие колебания в системе. Для нелинейных систем, в отличие от линейных, нарушается принцип суперпозиции, согласно которому результирующий эффект от сложного процесса воздействия представляет собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга. Изменение в нелинейных системах формы гармонического внешнего воздействия и нарушение принципа суперпозиции позволяют осуществлять с помощью таких систем генерирование и преобразование частоты электромагнитных колебаний — выпрямление, умножение частоты, модуляцию |