М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
Рис. 6.86.1.5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН Рассмотренные в предыдущем разделе стоячие волны являются частным случаем интерференции волн, под которой понимают такое сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерферировать могут только когерентные волны, для них разность фаз не зависит от времени. Пусть два точечных источника S 1 и S 2 излучают когерентные волны, которые, пройдя расстояния r 1 и r 2 , складываются в точке В (рис. 6.9): 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 01 2 2 2 2 2 02 1234 56 1234 57 1 2 3 4 1 2 3 Как видно из разности фаз складываемых колебаний 3 2 4 2 3 5 4 6 2 4 5 4 6 2 3 3 5 4 5 4 4 6 2 4 2 3 2 1 2 2 2 02 1 1 1 01 2 1 2 2 1 1 02 01 const 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 Когерентные волны — это прежде всего волны одинаковой частоты Пусть в точке B наблюдается сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты. Используя результаты раздела 5.7.1, можно записать формулу для квадрата амплитуды суммарного колебания в точке B: 1 2 2 34 2 2 2 1 2 1 2 2 123 4 1 1 1 1 Учитывая равенство частот складываемых колебаний ( w 1 = w 2 ), для разности фаз Dj можно записать 23 4 5 2 6 3 5 3 2 4 5 7 02 01 2 1 2 1 23 1 23 1 где величина D обозначает геометрическую разностьхода волн в точке В. Запишем условия максимального усиления и ослабления амплитуды суммарной волны при интерференции для случая, когда начальные фазы колебаний будут одинаковы j 01 = j 02 1. Условие интерференционных максимумов 2 34 5 6 3 5 7 1 3 5 7 5 8 5 9 2 1 2 2 2 , 2 , то есть разность фаз колебаний равна четному числу p, или на геометрической разности хода укладывается четное число полуволн. 2. Условие интерференционных минимумов 2 34 5 6 3 5 71 8 3 5 7 8 5 9 5 6 2 1 2 2 (2 1), (2 то есть разность фаз колебаний равна нечетному числу p, или на геометрической разности хода укладывается нечетное число полуволн. Входящее в эти Рис. 6.9 217 формулы число m называют порядком интерференционного максимума или интерференционного минимума. Если частота складываемых волн будет большой (то есть период колебаний будет малым по сравнению со временем наблюдения или временем измерения приборов, то тогда необходимо провести усреднение формулы для амплитуды суммарного колебания повремени наблюдения, то есть перейти к интенсивности волн (I A 2 ) 1 2 2 3 456 1 2 1 2 2 123 4 1 1 1 1 Для некогерентных волн разность фаз Dj будет зависеть от времени, поэтому усредняется до нуля (ácos Djñ = 0) и интерференции не наблюдается, то есть отсутствует устойчивая во времени картина усиления и ослабления амплитуды результирующей волны в разных точках пространства. 6.1.6. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ. ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ. ДИСПЕРСИЯ ВОЛН Гармоническая (синусоидальная) волна с частотой w является идеализацией, то есть в реальных условиях ее не существует. Это связано стем, что для нее разброс по частотам Dw равен нулю (Dw = 0). Поэтому в соответствии с формулой (5.43) время излучения такой волны стремится к бесконечности. Это означает, что такая синусоидальная волна занимает все пространство ( Dx = u × Dt = ¥) и никакой полезной информации в себе не несет. В реальных случаях время излучения t волны частоты w является конечным, то есть волна занимает ограниченную область пространства (( Dx = u × Dt < Это приводит к неравному нулю разбросу по частотам ( Dw » 2p/Dt < ¥), то есть представляет собой группу волн. Волновой пакет — это группа волн, занимающая в каждый данный момент времени ограниченную область пространства (рис. Для описания движения волнового пакета вводят понятие групповой скорости гр как) скорости движения центра волнового пакета) скорости движения максимального значения его амплитуды (например точки В на рис. 6.10); 3) скорости переноса энергии волнового пакета. Для того чтобы записать формулу для групповой скорости волнового пакета, поступим следующим образом. Возьмем линейную среду, для которой выполняется принцип суперпозиции, а именно возмущение, возникающее в среде при распространении группы волн, можно представить как сумму возмущений, которые возникают в среде при распространении в среде только одной волны этой группы. Принцип суперпозиции позволяет представить волновой пакет в виде суммы гармонических волн, частота которых заключена в узком интервале частота модулей волновых чисел — в интервале МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ – Dk/2 < k 0 < k + Dk/2, Dk = k 0 ), где под w 0 можно понимать частоту этого волнового пакета. Рассмотрим частный случай волнового пакета, состоящего из двух гармонических волн одинаковой амплитуды с близкими значениями циклических частот w 1 , w 2 и волновых чисел k 1 , k 2 : 1 2 1 3 41 1 2 1 5 41 2 3 4 2 5 4 1 0 2 0 1 0 2 0 2 2 и 2 34 1 2 3 2 4 2 причем = w 0 , Dk = Складывая эти волны, можно получить 2 3 4 5 6 7 5 6 4 4 5 6 85 6 6 8 7 5 7 85 6 7 8 4 85 8 4 6 5 6 4 5 6 1 1 1 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 гр гр 2 3 4561 3 4561 3 45611 7 3 1 7 3 3 45611 7 3 1 7 3 3 456 4561 3 4561 38 1 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 3 4 2 1 3 3 4 3 2 1 4 1 34 2 1 Первый сомножитель в этом выражении изменяется значительно медленнее со временем t и координатой x, чем второй, и представляет собой амплитуду ГР волнового пакета 2 34 3 5 ГР 4 1 2 2 3 4 2 Максимальное значение амплитуды волнового пакета (оно соответствует точке В на рис. 6.10) наблюдается при фазе колебаний, равной нулю, что приводит к следующей формуле для групповой скорости 2 34 3 4 5 6 7 8 6 6 0 гр 2 4 3 24 21 (6.29) а б в Рис. 6.10 ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 219 где учтено, что интервалы частот Dw и модулей волновых векторов Dk являются малыми, поэтому их можно записать в виде d w и Полученная формула для групповой скорости (6.29) будет справедливой ив общем случае. Введем понятие дисперсии волн это зависимость фазовой скорости волны от частоты или длины волны ( u = u(w), u = Для линейной среды в отсутствие явления дисперсии (d u/dl = 0, d u/dn = 0) все фазовые скорости волн, составляющих волновой пакет, будут одинаковы и равны групповой скорости волнового пакета риса враз ные моменты времени положение точки С относительно центра волнового пакета и относительно других составляющих этот пакет волн не изменяется = u гр. Рассмотрим диспергирующие среды — это среды, в которых наблюдается явление дисперсии. Для них между групповой скоростью волнового пакета и фазовой скоростью составляющих его волн можно получить следующую формулу связи 23 4 23 2 5 5 2 2 6 6 1 6 23 6 6 2 4 6 6 6 7 8 6 2 7 8 8 8 8 2 гр 1 2 2 1 1 2 12 1 1 2 2 2 12 1 12 12 12 1 1 2 2 2 3 3 2 4 3 2 5 6 6 гр 1 1 1 1 2 12 12 1 (6.30) Из выражения (6.30) видно, что при наличии явления дисперсии (d u/dl ¹ 0, d u/dn ¹ 0) фазовые скорости волн u будут отличаться от групповой скорости волнового пакета. При этом имеются два случая) нормальная дисперсия (d u/dl > 0, du/dn < 0) наблюдается для тех сред, для которых фазовая скорость волн будет превышать групповую скорость > u гр. Так, например, на рис. б фиксированное значение фазы волны для точки С перемещается внутри волнового пакета к его конечной точке А, то есть С гр) аномальная дисперсия (d u/dl < 0, du/dn > 0) наблюдается в тех случаях, когда фазовая скорость волн, составляющих волновой пакет, будет меньше групповой скорости u < u гр (фиксированное значение фазы волны для точки С перемещается внутри волнового пакета к начальной точке Явление нормальной дисперсии наблюдается для прозрачных среда аномальной для сред, поглощающих излучение. Причем для сред с большим коэффициентом поглощения групповая скорость не вводится. Это связано стем, что в таких средах волновой пакет резко изменяет свою форму, а потеря энергии приводит к тому, что понятие групповой скорости как скорости переноса энергии утрачивает свой смысл. Понятие групповой скорости используется в методах измерения скоростей распространения волн. Именно она фигурирует при измерении дальности в гидро и радиолокации, в методах зондирования ионосферы, в системах управления космическими объектами и т. д. Отметим, что согласно теории относительности групповая скорость всегда меньше скорости света в вакууме ( u гр c). МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 6.1.7. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ. СКОРОСТЬ УПРУГИХ ВОЛН В РАЗЛИЧНЫХ СРЕДАХ Звуковыми волнами называют упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах. В газах и жидкостях эти волны являются продольными, а в твердых телах могут быть как продольными, таки попе речными. Под звуковыми волнами в узком смысле этого слова понимают также волны с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Иначе их называют слышимым звуком. Эти волны, воздействуя на ухо человека, вызывают звуковые ощущения. Звуковые волны с частотами ниже 16 Гц называют инфразвуком, а от кГц до 10 Гц — ультразвуком. Верхний предел по частотам для ультразвука достигается тогда, когда упругую среду нельзя рассматривать как сплошную, то есть нельзя пренебрегать ее молекулярным строением. Это будет происходить в том случае, когда длина ультразвуковой волны l будет сопоставима с межмолекулярными расстояниями в данной среде. Поэтому верхний порог по частотам в жидкости будет составлять порядка 10 Гц, а в твердом теле — 10 Гц. Для газов верхний порог достигается тогда, когда длина волны ультразвука будет сопоставима со средней длиной свободного пробега молекул. Для генерации ультразвуковых волн используют механические и электромагнитные излучатели. Недостатком механических (воздушные и жидкостные свистки и сирены) является то, что они излучают широкой спектр частот и отличаются нестабильностью частоты и амплитуды. В магнитострикционных излучателях (генерируются частоты до 200 кГц) для возбуждения волн используют изменение размеров тела в переменном магнитном поле. В пьезоэлектрических (до 50 МГц) — используется обратный пьезоэлектрический эффект пластина из пьезоэлектрика совершает вынужденные колебания в переменном электрическом поле. Мощные излучатели ультразвука способны вызывать кавитацию в жидкостях явление, при котором в среде за счет больших амплитуд звукового давления возникают внутренние разрывы сплошной среды. Они имеют вид мельчайших пузырьков, исчезновение которых сопровождается кратковременным возрастанием давления до сотен и даже до тысяч атмосфер. Поэтому ультразвук обладает дробящим действием, а именно разрушает находящиеся в жидкостях твердые тела, живые организмы, крупные молекулы и т. д. Это явление широко используется в технике для ускорения различных процессов, получения более однородной структуры металла и т. д. Ультразвук также широко применяется в методах неразрушающего контроля качества при изготовлении различных твердых изделий, в гидроакустике и гидролокации, так как ультразвуковые волны являются единственным видом волн, хорошо распространяющихся в морской воде. Источником инфразвука являются шумы атмосферы и моряк ним можно отнести ветер, грозовые разряды, сотрясения и вибрации в земной коре от самых разнообразных источников, а также взрывы, орудийные выстрелы, автомашины и т. д. Эти волны из за большой длины волны слабо погло ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 221 щаются веществом и поэтому могут распространяться на большие расстояния, их можно использовать для определения места сильных взрывов, землетрясений, сих помощью можно предсказывать цунами и т. д. Инфразвук оказывает неблагоприятное воздействие на состояние человека из за появления при таких частотах резонансных явлений в организме. Скорость упругих волн С учетом того, что при распространении в среде упругой волны кинетическая и потенциальная энергии колебаний частиц среды одинаковы, из формул (6.10) и (6.11) можно получить для скорости звуковой волны в твердом теле следующее выражение 2 3 4 1 2 2 2 2 1 1 2 2 12 3 12 1 2 3 4 1 а в газе и жидкости 2 3 1 Напомним, что для поперечных волн, которые распространяются только в твердой среде, вместо модуля Юнга записывают модуль сдвига G: 1 2 3 1 Упругие свойства жидкой и твердой среды, которые описываются модулем объемной упругости жидкости K, модулями Юнга Е и модулем сдвига слабо зависят от давления и температуры, поэтому скорости упругих волн в них практически остаются постоянными. Для газов ситуация другая, и при выводе формулы для скорости упругих волн следует рассмотреть два случая. При больших частотах упругих волн процесс деформации малых объемов газа протекает быстро, без теплообмена, что соответствует адиабатическому процессу (уравнение адиабатного процесса PV g = const), и для скорости упругой волны в газах можно получить следующую формулу 2 3 1 2 12 Согласно выражению (6.34) скорость упругой волны зависит от температуры газа, его молярной массы и коэффициента Пуассона g, равного отношению молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме g = C P /C V (в формуле (6.34) буквой R обозначена газовая постоянная. При низких частотах упругих волн процесс деформации в газе протекает медленно, изотермически (уравнение изотермического процесса PV = и поэтому в формулу (6.34) не войдет коэффициент Пуассона g: 1 2 1 2 12 Для воздуха g = 1,4, что приводит к различию в частотах, рассчитанных по формулами, в 1,18 раза. Отметим, что для частот, соответствующих звуковым волнам (слышимому звуку, справедлива формула (6.34), то есть практически отсутствует явление дисперсии (скорость звука постоянна для всех частот этого диапазона МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Если подставить в формулу (6.34) значения молярной массы воздуха = 0,029 кг/моль) и температуру T = 300 Кто получим значение скорости звуковой волны ( u = 347 мс, которое соответствует экспериментальному значению при давлении воздуха в одну атмосферу. Оказывается, что скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, как правило, чем в твердых телах. Обычно скорость звука является постоянной величиной для данного вещества при заданных внешних условиях и не зависит от частоты волны и ее амплитуды. Приведем некоторые примеры числовых значений для скоростей звуковых волн в газах, жидкостей и твердых тел. Для воздуха, кислорода и водорода при нормальных условиях (t = 0 °C, Р = 1 атм) скорость звука составляет мс, 316 мс и 1284 мс соответственно. Для воды при температуре 0 °C скорость звука — 1402 мс, а при температуре t = 20°C — 1490 м/с. Для твердой среды скорость распространения продольных волн всегда больше скорости распространения поперечных. Для никеля скорость продольной волны составляет 5630 мс, поперечной — 2960 мс, а скорость звука в стержне из никеля определяется не только характеристиками вещества, но и его геометрическими параметрами и равна (4785–4973) м/с. Измерение скорости звука используется для изучения различных свойств вещества (сжимаемость газов, модулей упругости твердых тел. Изменение скорости звука и ее зависимости от разных параметров позволяет исследовать зонную структуру полупроводников, наличие малых примесей в газах и жидкостях и т. д. 6.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В 1865 г. Дж. Максвелл постулировал существование электромагнитных волн. Он выдвинул концепцию об электромагнитной природе света. Спустя восемь лет он теоретически определил величину давления света. Полученная им формула для давления была проверена экспериментально П. Н. Лебедевым. Сначала в гон экспериментально измерил давление света на твердые тела, а в 1907 г. на газы, тем самым была подтверждена электромагнитная природа света. В 1884 г. Дж. Пойнтингом для описания переноса энергии электромагнитной волной был введен вектор плотности потока энергии. В настоящее время этот вектор называют вектором Умова–Пойнтинга. В 1887 г. Г. Герц сконструировал генератор электромагнитных колебаний и предложил метод их обнаружения. Через год он экспериментально доказал существование электромагнитных волн, предсказанных Дж. Максвеллом. В 1894 г. АС. Попов построил генератор электромагнитных колебаний, когерер, изобрел антенну, год спустя радио. 24 марта 1896 году он предал на расстоянием первую радиограмму. В это время в США приборы для связи без проводов, аналогичные приборам Попова, и принцип передачи при помощи радиоволн разработал также Г. Маркони. Созданная Максвеллом в 60 е гг. XIX века теория электромагнитного поля и ее дальнейшее развитие в трудах Г. Герца и Х. Лоренца, привела к противоречиям с классической механикой И. Ньютона, к революционным изменениям в физике, в результате чего была создана электродинамическая картина мира ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ |