М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
223 6.2.1. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В разделе 4.2.8 было отмечено, что из полной системы уравнений Максвелла вытекает существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны. Покажем это на конкретном примере. Пусть имеется однородная, изотропная пластина из диэлектрика, заполняющая полупространство (х 0, риса. Во всех точках плоскости уОz на входе пластины создаются гармонические колебания вектора напряженности электрического поля вдоль оси О 1 1 2 1 , , 0 1 234 56 1 2 3 3 3 4 0 Считается, что в пластине отсутствуют электрические заряды (q = 0) и токи проводимости (пр 0), а значения относительных диэлектрической и магнитной проницаемости среды являются постоянными, то есть среда не является ферромагнитной и сегнетоэлектрической. Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме, основываясь на формуле (4.67): 1 1 2 3 2 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 4 4 5 5 5 6 5 4 7 8 7 8 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 9 9 1 2 3 1 1 1 4 5 4 5 6 6 7 8 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Изначальных условий и соображений симметрии для рассматриваемого примера следует, что зависимости вектора 1 1 от координату и z не будет, также не будет составляющей вектора 1 1 вдоль оси О 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 5 4 6 7 7 5 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 4 4 4 6 1 1 1 1 1 1 const const, 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 3 3 2 3 1 2 3 1 4 4 5 4 4 4 4 5 5 6 7 8 6 1 9 4 9 1 4 5 5 5 0 0 0 Рис. 6.11 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Оставим только зависящие от времени решения, так как только они приводят к возникновению ЭМВ в среде, ив итоге получим одно скалярное уравнение Аналогично, из второго уравнения Максвелла можно записать 1 2 3 1 1 4 5 6 4 77 88 6 6 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 rot 1 1 1 2 3 2 4 5 4 5 5 4 6 7 8 6 7 9 9 1 1 2 3 44 55 1 1 0 0 Возьмем частную производную по координате хот уравнения (6.36) и частную производную повремени от уравнения (6.37): 1 1 1 1 2 3 3 2 44 55 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 5 5 6 1 1 2 33 44 1 1 2 2 0 0 2 2 Аналогично, беря частные производные повремени от (6.37) и по координате хот, получим 1 1 1 2 3 3 2 44 55 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 5 6 6 5 1 1 2 33 44 1 1 2 2 0 0 2 2 1 1 1 2 2 3 4 (6. Если сопоставить выражения (6.38) и (6.39) с уравнением (6.6), то можно их определить как волновые уравнения. Их решением являются плоские монохроматические волны электрического и магнитного полей 2 3 4 5 1 1234 5 1 2 3 3 4 56 ; (6.40) 1 2 3 4 5 2 1234 56 1 2 3 3 4 распространяющихся вдоль оси Ох с фазовой скоростью 2 2 33 44 34 1 0 где с — скорость света в вакууме. Итак, ЭМВ представляет собой распространяющиеся в пространстве две волны электрического и магнитного полей, взаимосвязанные и порождающие одна другую. В общем случае волновые уравнения для ЭМВ будут соответствовать волновому уравнению (6.7): 1 1 2 3 2 3 4 1 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 3 3 (6.43) ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 225 6.2.2. СВОЙСТВА ЭМВ 6.2.2.1. СКОРОСТЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ В ВАКУУМЕ. ФАЗЫ КОЛЕБАНИЙ ВЕКТОРОВ и 2 ПОПЕРЕЧНОСТЬ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ Скорость электромагнитной волны в вакууме не зависит от частоты и равна скорости света в вакууме ( u = с Это свойство ЭМВ позволило Максвеллу сделать вывод о том, что свет представляет собой электромагнитные волны определенного интервала частот. В среде скорость электромагнитной волны уменьшается и определяется характеристиками среды e и Фазы колебаний векторов 1 1 и электромагнитной волны совпадают, то есть в любой точке пространства векторы 1 и 2 одновременно достигают максимальных значений и обращаются в ноль. Это можно доказать, если подставить уравнения волн (6.40) ив выражения (6.36) и (6.37): 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 2 1234 5 1234 5 1 1 2 3 4 35 6 4 35 ; (6.44) 1 2 1 3 4 5 16677 2 2 1 3 4 2 0 2 1234 5 1234 56 1 1 2 3 4 35 6 4 Система уравнений должна иметь решения для любого момента времени ив любой точке пространства, что возможно только в том случае, если то есть при совпадении фаз колебаний векторов и Электромагнитная волна является поперечной, так как колебания векторов и 2 происходят в направлениях, перпендикулярных к ее скорости. Из рис. 6.13 следует, что векторы 1 1 1 и 2 образуют жесткую тройку взаимно перпендикулярных векторов. Плоская электромагнитная волна является линейно поляризованной, так как колебания вектора происходят вдоль одного направления в про странстве. Для электромагнитной волны существуют и другие виды поляризаций (эллиптическая и круговая поляризации. Действительно, при распространении ЭМВ в анизотропной среде, свойства которой зависят от выбора направления в ней, разные составляющие вектора будут распространяться с различной скоростью. На выходе из такой среды может возникнуть случай сложения взаимно перпендикулярных колебаний с разностью фаз 1 23 4 это приводит к эллиптической или круговой поляризации электромагнитной волны (конец вектора будет вращаться по эллипсу или по окружности в правую или левую стороны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, см. подробнее разделы 7.1.2 и ОБЪЕМНЫЕ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. ВЕКТОР ПОЙНТИНГА 1 П 1 Объемные плотности энергии электрического и магнитного полей электромагнитной волны одинаковы Для того чтобы показать это, запишем формулы взаимосвязи векторов и 2 которые вытекают из выражений) и (6.45): МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2 3 2 4 55 2 2 0 0 Из за совпадения фаз колебаний векторов и 2 формула (6.46) будет справедлива для любого момента времени t, и поэтому можно записать 2 3 1 3 1 1 1 1 23 В соответствии с формулой (6.46) объемные плотности энергии электрического эли магнитного м полей ЭМВ будут одинаковыми 2 2 2 33 2 2 0 0 2 2 эл ми, следовательно, объемная плотность энергии ЭМВ запишется так 1 1 22 1 33 2 2 0 0 2 2 эл м эл м 1 1 2 2 2 3 (6.48) Вектор Пойнтинга или вектор плотности потока энергии 1 П 1 1 Из формул) и (6.46) для вектора плотности потока энергии П в случае электромагнитной волны можно получить 2 1 3 44 1 1 1 1 0 П 23 1 2 3 Отметим, что вектор плотности потока энергии для ЭМВ был введен Пойн тингом и назван в честь него. В связи с большой частотой электромагнитной волны многие приборы измеряют усредненные характеристики ЭМВ. Для них можно записать следующие формулы 2 3 44 2 0 1 2 эл м 2 3 1 2 34 1 55 4 1 55 1 2 0 0 1 1 П 1 2 3 4 5 5 Усредненное повремени значение вектора Пойнтинга П называют интенсивностью электромагнитной волны. 6.2.2.3. ОТРАЖЕНИЕ, ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. ИЗМЕНЕНИЕ ФАЗ КОЛЕБАНИЙ ВЕКТОРОВ 1 1 и 1 1 ПРИ ОТРАЖЕНИИ. ИНТЕНСИВНОСТИ ПАДАЮЩЕЙ, ОТРАЖЕННОЙ И ПРЕЛОМЛЕННОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. ЗАКОНЫ ОТРАЖЕНИЯ И ПРЕЛОМЛЕНИЯ Электромагнитные волны могут поглощаться, отражаться и преломляться. Изменение фаз колебаний векторов при отражении При отражении плоской ЭМВ от оптически более плотной среды (n 2 > n 1 ) происходит изменение фазы колебаний вектора 1 1 на p ( 1 1 и 1 отр 1 направлены в противоположные стороны, риса. При этом изменения фазы вектора 1 1 не происходит 1 отр и 1 направлены в одну и туже сторону, риса. При отраже ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 227 нии от оптически менее плотной среды (n 2 < n 1 ) изменения фазы колебаний вектора 1 1 не происходит, а фаза вектора 1 1 изменяется на p (рис. 6.12б). Это означает, что при отражении падающей на границу раздела двух сред плоской электромагнитной волны 1 1 1 и 2 поворачиваются на угол либо вокруг вектора (n 2 > n 1 , риса, либо вокруг вектора n 1 , рис. 6.12б). Такое поведение 1 и 2 следует из условий, накладываемых на эти векторы на границе раздела двух сред. Покажем, например, что если фаза вектора при отражении электромагнитной волны не изменяется, то отражение происходит от оптически менее плотной среды (n 2 < Для этого в частном случае для угла падения i = 0 запишем граничные условия для касательных (тангенциальных, направленных параллельно поверхности границе раздела) составляющих векторов 1 ирис. б E + E отр = пр B – B отр = B пр , ( ** ) где в этих уравнениях взяты проекции векторов на направления, совпадающие с направлениями векторов и B 1 падающей волны. Учитывая формулу) 1 1 2 1 1 2 3 1 4 можно переписать уравнение ( ** ) следующим образом n 1 E отр = n 2 E пр ( *** ) Решая систему уравнений ( * ) и ( *** ), получим 2 2 3 3 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 отр пр 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 (6.51 а) Так как модули векторов всегда больше нуля, то это означает, что n 2 < что и требовалось доказать. Аналогично можно рассмотреть случай отражения электромагнитной волны от более плотной среды и получить формулы 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 отр пр 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 (6.51 б) Рис. 6.12 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Интенсивности падающей, отраженной и преломленной электромагнитной волны Граничные условия также позволяют найти формулы, связывающие интенсивности падающей, отраженной и преломленной ЭМВ. Для этого необходимо использовать закон сохранения энергии, выполняющийся на границе раздела двух сред энергия падающей на границу раздела двух сред электромагнитной волны будет равна сумме энергий, прошедшей в другую среду и отраженной от границы раздела электромагнитных волн. Тогда для векторов Пойнтинга падающей, преломленной и отраженной волн можно записать 2 1 п пад п отр п прел 1 1 1 1 При нормальном падении ЭМВ на границу раздела двух сред (угол падения равен нулю i = 0) можно записать 2 2 3 2 44 2 4 2 4 5 2 6 2 7 8 2 4 7 8 2 7 8 2 4 7 8 1 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 1 1 2 0 1 0 п пад п отр п прел отр пр отр п отр отр прел п прел прел 1 1 2 1 2 2 2 2 3 4 5 4 1 54 5 5 4 5 4 5 4 6 2 1 5 4 6 2 1 5 Введем коэффициент отражения R как отношение интенсивности волны, отраженной от границы раздела двух сред, к интенсивности волны, падающей на эту границу: 1 отр пад 1 1 2 1 (6.52) В случае нормального падения ЭМВ из уравнения (б) для случая n 1 можно получить 2 3 4 4 4 1 2 5 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 отр отр пад 1 2 3 1 2 1 2 3 2 2 4 1 2 Для границы раздела воздух (n 1 = 1) — стекло (n 2 = 1,5) значение коэффициента отражения R равно 0,04, то есть 4% энергии ЭМВ в области диапазона видимого света теряется на отражение. При переходе ЭМВ из одной среды в другую изменяются длина волны l и скорость u, а период волны Т и ее частота n не изменяются риса где абсолютный показатель преломления среды n зависит от e и m. Так как для многих сред m = 1, остается зависимость только от Рис. 6.13 а б ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ. Законы отражения и преломления При падении плоской электромагнитной волны на границу раздела двух диэлектриков выполняются законы отражения и преломления (рис. 6.13). Закон отражения — падающий и отраженный лучи лежат водной плоскости угол падения равен углу отражения. Закон преломления — падающий и преломленный лучи лежат водной плоскости отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению абсолютных показателей преломления второй среды к первой 1 1 2 2 21 21 1 1 123 4 4 123 1 1 2 1 1 3 где n 21 — абсолютный показатель преломления второй среды относительно первой. Отметим, что под лучом электромагнитной волны понимают направление распространения ее энергии, то есть направление вектора Пойнтинга 1 П 1 1 Законы отражения и преломления являются следствием граничных условий, накладываемых на нормальные и касательные составляющие векторов 1 отр пр протри (см. разделы 2.1.7 и При переходе электромагнитной волны из оптически более плотной среды в оптически менее плотную может наблюдаться явление полного внутреннего отражения, при котором падающая на границу раздела ЭМВ полностью отражается, не проникая во вторую среду (рис. 6.14). В этом случае угол преломления всегда будет больше угла падения (r > i). При некотором угле падения угол преломления станет равным 90 °, преломленный луч скользит по границе раздела двух сред (рис. 6.14). Такой угол падения называют предельным углом пред полного внутреннего отражения. Таким образом, можно записать условие для расчета пред для различных сред. Так из уравнения (6.55) можно получить пред Явление полного внутреннего отражения используется в волоконной оптике, когда ЭМВ видимого диапазона излучения по оптическим волокнам передаются на большие расстояния без потери энергии. Такой способ передачи информации обладает большой пропускной способностью из за высокой несущей частоты (для видимого диапазона излучения w составляет порядка 10 ради большой защищенностью информации. Рис. 6.14 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 6.2.3. ДАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ. ОПЫТЫ П. Н. ЛЕБЕДЕВА, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ ПРИРОДУ СВЕТА Согласно теории Максвелла, электромагнитная волна переносит энергию, а следовательно, и импульс, вследствие чего должна оказывать давление на поверхность. Найдем формулу для давления электромагнитной волны при ее нормальном падении в вакууме на полностью поглощающую ЭМВ поверхность. Как известно, давление Р равно отношению усредненной повремени силы давления к площади поверхности По II закону Ньютона сила давления равна отношению импульса, переданного поверхности электромагнитной волной за промежуток времени Dt, к этому промежутку времени. Учитывая, что DV = SDtc = SDl — объем электромагнитного поля, который поглощается поверхностью за время Dt, аи масса и энергия электромагнитного поля объема DV, можно получить для давления ЭМВ следующую формулу 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 4 5 4 4 4 4 1 3 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 34 4 34 5 4 6 7 8 98 4 8 или в общем случае для поверхности, которая не только поглощает, но и отражает ЭМВ, запишем 2 3 4 1 1 23 1 где введен коэффициент отражения R; он учитывает изменение давления электромагнитной волны на поверхность в случае частичного отражения ЭМВ от нее. При R = 1 электромагнитная волна полностью отражается поверхностью. Формула (6.57), полученная Максвеллом на основе его теории ЭМВ, была проверена экспериментально в опытах П. Н. Лебедева. Сначала в 1900 гон экспериментально измерил давление света на твердые тела, а в 1907 г. на газы. Прибор Лебедева представлял собой крутильные весы, подвижной частью которых являлся легкий стержень с укрепленными на нем черными и светлыми дисками толщиной от 0,1 мм до 0,01 мм (рис. 6.15). Если послать на такую установку ЭМВ, то тогда стержень будет поворачиваться, так как давление света на светлый диск в два раза превышает давление на черный диск. По углу поворота можно оценить вращающий момент, действующий на систему, и тем самым оценить давление. Угол поворота определяется с большой точностью отклонением по шкале прибора светового зайчика, отраженного от зеркальца. Объемную плотность энергии ЭМВ Лебедев измерял с помощью специального калориметра, он фиксировал повышение температуры калориметра, направляя на него в течение некоторого промежутка времени электромагнитное излучение. Определяя независимо давление света и среднее значение объемной плотности áwñ электромагнит |