М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
колебаний и. т. д ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 199 Резонанс в такой нелинейной системе будет отличаться тем, что входе раскачки осциллятора внешней силой величина расстройки ( w – w 0 ) будет изменяться, так как частота w 0 будет зависеть от амплитуды колебаний. Рассмотрим подробнее один из примеров нелинейных систем — автоколебательные системы. Преимуществом использования резонансных явлений является их экономичность и большая амплитуда колебаний. Недостатком является нестабильность работы системы, связанная с необходимостью с большой степенью точности поддерживать условие резонанса ( w = w P ), так как любые отклонения частоты внешнего воздействия от резонансной частоты при узкой резонансной кривой резко изменяют амплитуду колебаний в системе (рис. Чтобы избежать таких нежелательных явлений, можно заставить саму систему поддерживать это резонансное условие такая система и является автоколебательной системой. Автоколебательная система относится к группе нелинейных колебательных систем, в которых происходит компенсация диссипативных потерь за счет притока энергии от внешнего постоянного источника. При этом система сама регулирует подвод энергии в систему, подавая ее в нужный момент времени в нужном количестве. Автоколебательная система состоит из колебательной системы, источника энергии и клапана — устройства, которое регулирует подвод энергии в систему. Работой клапана управляет сама система с помощью обратной связи (рис. 5.24а). В качестве примера автоколебательной системы можно привести систему, состоящую из груза, прикрепленного к двум пружинами совершающего колебания на металлическом стержне (рис. б. Источник постоянного тока с помощью электромагнита за каждый период колебаний совершает работу по увеличению кинетической энергии груза, восполняя потери энергии колебаний на преодоление сил сопротивления. При своем движении металлическая пластина, прикрепленная к грузу, касается контакта прерывателя (он играет роль клапана, электрическая цепь замыкается, и электромагнит притягивает к себе пластину, сообщая при этом дополнительную скорость грузу. Таким образом, в системе возникают незатухающие колебания на частоте w P с большой амплитудой, которую можно регулировать, меняя положение контакта прерывателя. Примерами автоколебательных систем могут служить духовые и смычковые инструменты, колебания голосовых связок при разговоре, механические а б Рис. 5.24 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ часы. Примером автоколебательной системы в природе является ядерный реактор, который проработал в течение 500 тысяч лет на урановом руднике в Африке 2,5 миллиарда лет тому назад. Для его работы необходимо было достаточное количество урана 235, который делится под действием медленных нейтронов, и замедлитель нейтронов — вода. В определенный момент времени вода скопилась в достаточном количестве, и реактор заработал. Его работу поддерживала цепочка процессов, указанных на рис. Эта автоколебательная система работала до тех пор, пока не выгорело ядерное топливо. Здесь источником энергии является деление ядер урана, клапаном служит изменение температуры воды, а колебательной системой является вода, уровень которой совершает колебания. *5.12. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС Параметрические колебания — это колебания, происходящие в системе за счет периодического изменения тех параметров системы, которые определяют величину запасенной колебательной энергии. Так, например, можно возбудить параметрические колебания в колебательном контуре за счет периодического изменения электроемкости конденсатора или индуктивности катушки, параметрические колебания маятника за счет изменения длины его нити или массы груза. Если обозначить через w 0 частоту собственных незатухающих колебаний в системе, то параметрическое возбуждение колебаний в системе наступает в тех случаях, когда частота периодического изменения w H параметра системы будет удовлетворять условию 1 2 2 0 2 1 2 3 1 1 1 При таких значениях частоты w H в системе будут возбуждаться собственные колебания системы на частоте w 0 . Наиболее благоприятной для возбуждения колебаний является частота w H , равная 2 w 0 , так как на этой частоте совершает колебания энергия системы (потенциальная и кинетическая энергии, энергия электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности. При такой частоте колебания в системе будут наиболее интенсивными. Поясним это на примере периодического изменения электроемкости конденсатора колебательного контура. Пусть в момент времени t = 0 заряд на обкладках конденсатора будет максимальными в этот момент времени скачком (за время, малое по сравнению с периодом собственных колебаний) раздвигаются пластины конденсатора. Тогда энергия электрического поля конденсатора будет увеличиваться, в контур поступает энергия 232 1 1 44 2 2 макс макс макс const 1 23 4 23 45 1 2 3 1 4 1 2 5 Через четверть периода колебаний) конденсатор будет разряжен (q = 0, W эл = 0), вся энер 1 2 3 21 4 5 6 76 вода деление 235 температура температура деление 235 вода U U Рис. 5.25 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 201 гия контура будет сосредоточена в катушке в виде энергии магнитного поля. Поэтому сближение обкладок конденсатора в этот момент времени не приводит к отводу энергии колебаний из контура. Таким образом, за один период колебаний в контур два раза подводится энергия. Аналогичные процессы протекают при периодическом изменении индуктивности катушки контура. Возникновение параметрических колебаний возможно и при отсутствии энергии колебаний в системе это объясняется следующим образом. В любой колебательной системе вследствие воздействия на нее различных случайных факторов всегда существуют малые отклонения различных физических величин от их средних значений (их называют флуктуациями. Спектр частот таких флуктуаций будет непрерывным с малыми амплитудами отдельных гармоник (для напряжения на конденсаторе или индуктивности они составляют значение порядка микровольта. Периодическое изменение параметра системы на частоте, кратной w 0 , приводит к тому, что амплитуда гармоники с частотой w 0 все время будет увеличиваться за счет подвода энергии в систему извне ив системе возникают незатухающие колебания с большой амплитудой. Такое возбуждение колебаний в системе получило название параметрического резонанса. Нарастание амплитуды колебаний при параметрическом резонансе ограничивается при достаточно больших амплитудах нелинейными эффектами. К ним можно отнести, например, возникновение зависимости активного сопротивления от амплитуды силы тока в контуре (это приводит к увеличению потерь энергии на выделение джоулевой теплоты) или зависимости электроемкости конденсатора от напряжения (это приводит к изменению частоты собственных колебаний w 0 ив результате к увеличению расстройки) между частотами w H и w 0 ). Равновесное значение амплитуды колебаний наступает тогда, когда параметрическая накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями. Явление параметрического резонанса используется при работе малошумящих параметрических усилителей СВЧ диапазона, в которых применяются параметрические полупроводниковые диоды с управляемой емкостью р n перехода. Примером параметрического резонанса в механической системе является маятник в виде груза массы m, подвешенного на нити, длину l которой можно изменять (риса. Если уменьшать длину в нижнем положении и увеличивать в крайних положениях, то работа внешней силы за один период колебаний будет положительной и амплитуда колебаний будет возрастать. Траектория движения груза при таких колебаниях показана на рис. 5.26б. Раскачка качелей также обусловлена параметрическим резонансом, когда эффективная длина маятника (положение центра тяжести) изменяется при приседаниях и вставаниях человека. а б Рис. 5.26 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ *5.13. НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (МОДЫ). СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Под нормальными колебаниями (нормальными модами) понимают собственные (свободные) незатухающие гармонические колебания в замкнутых линейных колебательных системах (в них отсутствуют как потери энергии, так и приток извне колебательной энергии). Каждое нормальное колебание характеризуется определенным значением частоты. Эти частоты называются собственными частотами системы. Под степенями свободы системы понимают число независимых параметров, описывающих возможные изменения состояния системы. Линейные колебательные системы (они представляют собой гармонические осцилляторы, такие как колебательный контур, пружинный маятник, математический маятник) являются системами с одной степенью свободы. Действительно, для описания их движения необходимо задать только один параметр. Например, для механической системы это координата x, описывающая движение материальной точки относительно положения равновесия (другие координаты у ив этом случае ненужны. Для колебательного контура таким параметром будет заряд q на обкладках конденсатора (другие величины, такие как сила тока, напряжения на конденсаторе и на катушке, определяются из зависимости заряда q от времени t). Для линейных систем с одной степенью свободы существует только одно нормальное колебание — нормальная мода. Связанные колебательные системы представляют собой системы с двумя и более степенями свободы, рассматриваемые как совокупность систем с одной степенью свободы, взаимодействующих между собой. Колебания, возникающие в связанных системах, называют связанными колебаниями. В дискретных связанных системах, состоящих из N связанных гармонических осцилляторов (например механических маятников, колебательных контуров, число нормальных колебаний равно Примером связанных систем могут служить два колебательных контура, связанных между собой индуктивной связью (риса. Колебания водном контуре из за наличия связи вызывают колебания в другом, то есть происходит переход энергии из одного контура в другой. Число нормальных колебаний для таких контуров равно двум. В линейных распределенных системах (струна, мембрана, резонатор) существует бесконечное, но счетное множество нормальных колебаний. Произвольное свободное колебание системы может быть представлено в виде суперпозиции нормальных колебаний. При этом полная энергия дви Рис. 5.27 а б в ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 203 жения распадается на сумму энергий отдельных нормальных колебаний. Примером такой системы являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы (рис. в. На длине струны l укладывается целое число полуволн 1 2 2 3 1 3 4 3 3 3 4 3 1 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1222 1 1 1 2 2 1 1 1 Все частоты n n представляют собой частоты нормальных колебаний струны, частота n 1 , соответствующая n = 1, называется основной частотой. Основную частоту можно изменить, уменьшая или увеличивая натяжение струны 2 3 1 12 где F — сила натяжения струны r, S — плотность материала струны и площадь ее поперечного сечения соответственно. Любое колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний. Таким образом, линейная распределенная система ведет себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Полученная формула (5.92) используется, в частности, для определения спектра частот нормальных колебаний кристаллической решетки, связанных с тепловыми колебаниями атомов. Резонанс в системах с несколькими степенями свободы При внешнем возбуждении системы нормальные колебания в значительной мере определяют ее резонансные свойства. Резонанс может возникнуть лишь в том случае, когда частота гармонического внешнего воздействия близка к одной из собственных частот системы либо к их линейной комбинации, если внешнее воздействие меняет параметры системы (параметрический резонанс). В линейном приближении собственные колебания этих систем представляют собой набор нормальных колебаний (мод. Если отклик системы — это суммарный отклик всех степеней свободы, то тогда резонансная кривая будет наложением резонансных кривых отдельных нормальных колебаний и может иметь сложный характер. Так, в системе с двумя степенями свободы, ввиду того что собственные колебания могут происходить с двумя различными частотами, резонанс наступает при совпадении частоты гармонического внешнего воздействия как с одной, таки с другой нормальной частотой системы. Подбором параметров нормальных колебаний можно создать резонансную кривую любой формы, что широко используется, например, в радиотехнике для создания фильтрации частот (рис. 5.27б). Наличие связи изменяет характер резонансных явлений в связанных системах по сравнению с одиночным контуром. В связанных системах резонанс наступает всякий раз, когда частота внешнего воздействия совпадает с одной из частот собственных колебаний всей системы, отличающихся от собственных частот отдельных контуров. Например, в связанных системах, состоящих из двух контуров, резонанс наступает на двух резонансных частотах. При этом для двух слабо взаимодействующих систем с близкими собственными частотами колебаний может происходить резонансная перекачка энергии из одной подсистемы в другую МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Ч АС Т Ь 6 ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 6.1. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ Исторически сначала развивалась теория волн в упругих средах, так как электромагнитные волны еще небыли открыты, а свет рассматривался в соответствии с механикой И. Ньютона как поток частиц — корпускул. Приведем ряд экспериментальных результатов, способствовавших развитию теории упругих волн. Так, в работах Ж. Савера (1701) рассматривались стоячие волны. В 1796 г. Э. Хладни измерил скорость звука в твердых телах по отношению к скорости звука в воздухе. В 1801 г. Т. Юнг открыл явление интерференции звука и установил принцип суперпозиции волн. В 1809 г. Ж. Био провел измерения скорости звука в твердых телах. В 1839 г. У. Гамильтон ввел понятие групповой скорости. В 1842 г. Х. Доплер предположил наличие влияния относительного движения на высоту звука (эффект Доплера. В 1874 г. НА. Умов ввел понятие о скорости и направлении движения энергии и потоке энергии для упругих волн (вектор Умова). В начале XIX века под давлением многочисленных фактов корпускулярная природа света уступила волновой теории света, то есть свет стал рассматриваться как волна. В настоящее время получила развитие единая теория колебаний и волн, которая изучает общие закономерности для колебательных и волновых процессов различной природы. Так, в частности, в ней рассматриваются такие вопросы, как теория автоколебательных и автоволновых процессов, теория ударных волн и солитонов, кинетика колебаний и волн в системах с большим числом степеней свободы, теория стохастических систем (со сложной динамикой). 6.1.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ Под упругой средой понимают среду, между частицами которой действуют упругие силы. Если какую либо частицу среды заставить совершать колебания, то за счет действия упругих сил в колебательное движение приходят сначала ближайшие к ней частицы, затем соседние с этими частицы ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 205 и т. д. Так в колебательный процесс вовлекаются все новые и новые частицы, то есть в среде распространяется упругая волна. Итак, под бегущей волной понимают процесс распространения колебаний в среде. Этот процесс сопровождается переносом энергии от источника колебаний, причем переноса частиц в направлении движения волны не происходит — они совершают колебания около своих положений равновесия. Нужно отметить, что под частицей среды понимают не отдельную молекулу, а совокупность большого числа молекул, обладающих примерно одинаковыми свойствами (одинаковыми смещениями от своих положений равновесия, одинаковыми скоростями и т. д. Размеры частиц должны быть достаточно малыми, значительно меньше возмущений, возникающих в среде, в частности значительно меньше длины волны, распространяющейся в среде. Такие частицы препятствуют различным деформациями, таким образом, среда проявляет упругие свойства. Молекулярное строение среды при этом не рассматривается, она считается сплошной. Различают продольные и поперечные волны в продольной частицы среды совершают колебания вдоль вектора скорости распространения волны, а в поперечной — перпендикулярно к нему (рис. 6.1а). Продольные волны связаны с деформациями сжатия и растяжения малых объемов среды (риса) и поэтому они распространяются во всех средах. В отличие от продольных, поперечные волны обусловлены деформацией сдвига (рис. б, поэтому они распространяются только в твердых телах, так как у жидкостей или газов такая деформация отсутствует. Отметим, что кроме волн в упругой среде также выделяют волны на поверхности жидкости, здесь частицы среды совершают сложные колебания, включающие в себя и поперечные, и продольные движения. Введем характеристики, описывающие волновой процесс, на примере гармонической (синусоидальной) волны, для которой частицы среды совершают Рис. Рис. 6.2 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ гармонические колебания около своих положений равновесия с циклической частотой Рассмотрим процесс возникновения в среде поперечной плоской гармонической волны. Пусть в момент времени t = 0 все частицы в плоскости для этой плоскости x = 0) начинают совершать гармонические колебания с периодом колебаний T. На рис. 6.2 для частиц, расположенных на оси показаны фотографии волны в моменты времени t = 0, T/4, T/2 и Фотографии демонстрируют в эти моменты времени смещения x(x, y = 0, z = 0, t) частиц среды около своих положений равновесия. Так, например, в момент времени t = T/4 частица 1 будет максимально отклонена от своего положения равновесия, ее смещение равно амплитуде колебания x(x = 0, y = 0, z = 0, t = T/4) = A, при этом волна за это время проходит расстояние до частицы с номером 3. В момент времени t = T/2, частица 1 проходит положение равновесия x(x = 0, y = 0, z = 0, t = T/2) = 0, частица 3 максимально отклонена вверх x(x = l/4, y = 0, z = 0, t = T/2) = A, волна доходит до частицы с номером 5. В момент времени t = T волна достигает частицы с номером 9, и расстояние, пройденное волной за это время, называют длиной волны Из рис. 6.2 видно, что чем дальше частица отстоит от источника колебаний, тем больше она запаздывает в совершении колебаний по сравнению с источником колебаний. Учитывая приведенные выше фотографии распространения плоской поперечной гармонической волны в среде, можно дать следующие определения основных характеристик волнового процесса. Период волны Т — время одного полного колебания частиц среды. Фазовая скорость волны 11 или скорость распространения волны скорость перемещения данной фазы колебаний в среде. Длина волны — расстояние, которое проходит волна за один период или минимальное расстояние между частицами среды, совершающими колебания с разностью фаз Dj = 2p. Из определения длины волны можно записать следующую формулу l = uT = u/n = 2pu/w. (6.1) |