М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
4. Волновая поверхность — поверхность, проведенная через равновесные положения частиц среды, совершающих колебания в одинаковой фазе (на рис. 6.3 приведены волновые поверхности для плоской гармонической волны. Волновых поверхностей много, и они неподвижны. Фронт волны — поверхность, разделяющая частицы среды на вовлеченные и не вовлеченные в колебательное движение. Фронт волны один ион движется со скоростью волны. Можно сказать, что фронт вол Рис. 6.3 ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 207 ны — это самая дальняя от источника колебаний в данный момент времени волновая поверхность. В каждой точке фронта волны вектор фазовой скорости направлен перпендикулярно к ней. Форма волновых поверхностей и фронта волны зависит от условий возникновения и распространения волны. По виду фронта волны выделяют плоские, сферические и цилиндрические волны (рис. 6.4). Для этих волн источником колебаний являются соответственно плоскость, точка и протяженная нить. 6.1.2. УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ВОЛНЫ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ Уравнением упругой волны называют функцию x(x, y, z, t), которая определяет смещение любой частицы среды с координатами (x, y, z) относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t. В общем случае уравнение волны определяет зависимость от координат и времени величин, описывающих волновой процесс, как для упругих, таки для электромагнитных волн. Часто функцию x(x, y, z, t) называют волновой функцией. Выведем уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox. Как известно, в плоскости фронта волны — yOz — и параллельных ей плоскостях все частицы среды совершают колебания в одинаковой фазе, поэтому в уравнении волны будет отсутствовать зависимость от координату и z: x(x, y, z, t) = x(x, Для гармонической волны все частицы среды совершают колебания с одинаковой циклической частотой w. Пусть в момент времени t = 0 частицы среды с координатой x = 0, расположенные в плоскости yOz, начинают совершать колебания по закону x(0,t) = Acos (wt + Частицы с координатой х начнут совершать гармонические колебания только после прихода к ним волны. Для этого требуется время t = x/u, и поэтому уравнение колебаний для таких частиц примет вид: Рис. 6.4 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2 3 4 5 3 6 7 8 9 5 3 6 8 9 5 3 6 8 9 0 0 0 , 1 2 3451 1 2 2 345 3451 26 1 2 3 2 3 2 1 3 2 Уравнение (6.3) представляет собой уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox. В эту формулу входит волновое число k, которое связано с циклической частотой w, фазовой скоростью волны u и ее периодом l соотношением 2 3 3 4 5 2 Волновое число k представляет собой модуль волнового вектора Его направление совпадает с направлением скорости распространения бегущей волны, сам же модуль определяется формулой (Покажем, что входящая в формулу (6.3) фазовая скорость 11 волны представляет собой скорость движения фиксированного значения фазы волны. Действительно, 1 1 2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 2 3 4 7 2 0 0 const , 1 1 12 3 42 4 4 13 13 1 2 3 что согласуется с формулой (Волновым уравнением называют уравнение, решением которого является уравнение волны x(x, y, z, t). Найдем волновое уравнение для волновой функции (6.3). Если взять частные производные по координате x и времени от x (x, y, z, t): 12 1 2 3 4 5 5 4 6 7 3 4 5 5 4 6 7 1 1 12 1 2 3 5 4 6 7 3 4 5 4 6 7 1 1 1234 56 7814 56 1234 56 7814 56 1 2 34 1 2 34 2 2 13 2 34 13 2 34 4 4 2 2 0 0 2 2 2 0 0 то тогда волновое уравнение примет вид 2 1 2 3 1 4 1 2 2 2 2 2 1 Оказывается, что решением этого уравнения, кроме плоской гармонической волны, бегущей в положительном направлении оси Ox, является также плоская гармоническая волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси Ox x(x,t) = Acos (wt +kx Для плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении, которое можно задать радиус вектором уравнение волны и волновое уравнение запишутся следующим образом 2 1 2 1 2 1 2 3 3 4 1 1 1 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 (6.7) 1 2 3 4 5 6 1 1 1 0 , 1 2 3451 26 1 2 3 2 41 (6.8) ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 209 Можно показать, что волновому уравнению (6.7) удовлетворяет также и уравнение сферической волны 2 3 4 5 6 1 1 1 0 , 1 2 1 23451 26 1 2 3 1 2 Это уравнение отличается от уравнения плоской гармонической волны тем, что для сферической волны амплитуда А будет зависеть от расстояния между точечным источником колебаний и рассматриваемой точкой пространства, а именно амплитуда сферической волны убывает обратно пропорционально расстоянию Действительно, амплитуда колебаний частиц среды определяется энергией волны W, приходящейся на единицу поверхности фронта волны (площадь поверхности фронта волны равна S = 4 pr 2 ) вблизи рассматриваемой точки, и поэтому 1 1 1 2 1 4 Рассмотрим ряд примеров, поясняющих распространение плоской гармонической волны (6.3) в положительном направлении оси Пример 1. Запишем уравнение колебаний для смещения x частицы среды с координатой x = l около своего положения равновесия в зависимости от времени t (начальная фаза колебаний источника j 0 = 0): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 8 3 6 7 6 0 2 2 , 1 2 3451 2 3451 2 3451 2 345 1 2 1 Построим график этой зависимости в пределах одного периода, подставляя в формулу (6.3) значение x = l; он представлен на рис. 6.5а. Пример 2. Запишем уравнение, описывающее положения всех частиц среды около своих положений равновесия в момент времени t = Т при начальной фазе колебаний источника j 0 = 0. Подставляя в формулу (6.3) значение, получим 2 3 4 5 6 7 8 9 5 3 7 5 7 5 7 , /2 1 2 3451 2 3451 2 3451 2 345 6 1 2 3 4 51 3 51 3 51 3 1 0 График этой зависимости представлен на рис. б. Из него следует, что периодом по координате является длина волны l, то есть вдоль скорости Рис. 6.5 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ распространения волны через расстояние, равное длине волны l, смещения частиц относительно своих положений равновесия будут повторяться. Пример 3. Найдем разность фаз Dj колебаний двух частиц среды, отстоящих от источника колебаний на расстоянии x 1 и x 2 соответственно. Согласно уравнению (6.3) запишем 23 4 3 5 3 4 6 5 7 3 5 6 5 7 3 4 5 5 4 5 2 8 2 1 2 0 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 23 1 23 2 Пример 4. Рассчитаем отношение максимальной скорости 1 1 колебаний частиц воздуха к скорости 1 звуковой волны 1 2 330 мс если амплитуда колебаний частиц среды А = 0,2 мм. Используя формулу (5.9), получим 1 2 3 3 3 4 56 7 7 7 8 7 3 8 2 2 2 4 4 2 3 14 2 10 2 16 20 000 0 61 10 0 076 330 1 2 3 2 1 то есть для волн звуковой частоты скорость распространения колебаний в воздухе значительно превосходит максимальную скорость колебаний частиц воздуха. 6.1.3. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ. ОБЪЕМНАЯ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ. ВЕКТОР УМОВА Упругая волна, распространяясь в среде, несет с собой энергию от источника колебаний, что приводит к появлению в среде дополнительной энергии, связанной с колебаниями частиц среды — это и есть энергия волны. Запишем для нее формулу. Для этого рассмотрим плоскую продольную гармоническую волну (6.3), распространяющуюся в положительном направлении оси Для малого объема среды (он представляет собой цилиндр площади основания и высоты Dx, риса) скорости всех частиц будут одинаковы 3 4 4 5 6 6 5 7 8 1 1 0 1234 56 1 2 и поэтому кинетическая энергия частиц в этом объеме, связанная сих колебаниями около своих положений равновесия, запишется как 2 2 3 4 4 5 6 7 2 3 4 2 2 2 2 2 2 0 1 1 2 2 2 123 4 56 7 1 12 2 3 45 6 Здесь введена плотность среды r, позволяющая выразить массу всех частиц в объеме Рис. 6.6 а б в г ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 211 Величина деформации этого малого объема будет равна Dx, а относительная деформация Dx/Dx ввиду малости объема V (V = SDx) (риса) будет равна ¶x/¶x. Потенциальную энергию Р такого деформированного объема можно оценить по формуле 23 1 2 Ж 2 где Ж представляет коэффициент жесткости среды. Обычно упругие свойства твердого тела определяют модулем Юнга Е, который характеризует сопротивляемость материала упругой твердой среды деформациям сжатия или растяжения. Поэтому выразим через него потенциальную энергию. Для этого на основе двух выражений закона Гука запишем формулу связи между коэффициентом Ж жесткости и модулем Юнга 3 4 5 4 12 6 3 4 5 4 6 4 1 1 1 1 Ж Ж 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3 3 24 где s — механическое напряжение, e — относительное удлинение. Тогда для потенциальной энергии Р деформированного объема можно записать 32 4 5 4 5 6 12 6 1 7 12 6 1 7 6 8 9 8 9 1 3 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 Ж 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 34 5 3 4 5 63 5 5 , 12 3 4 5 5 6 7 8 9 5 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 123 123 456 7 89 9 1 1 2 34 2 5 67 2 346 где 3 4 5 6 7 6 8 9 1 1234 56 12 3 В случае жидких и газообразных сред вместо модуля Юнга Е нужно в формулу (6.12) подставить модуль объемной упругости газа или жидкости, который характеризует способность газа или жидкости сопротивляться изменению их объема. Из теории колебаний известно, что максимальные значения кинетической и потенциальной энергий при гармонических колебаниях совпадают W Pm , и поэтому 2 3 3 4 5 6 1 2 2 2 0 1 2 123 4 56 1 23 4 Следовательно, полную энергию волны в объеме V можно представить в следующем виде 2 1 3 4 4 5 2 6 2 2 2 0 123 4 56 1 2 3 3 3 45 6 Эта формула позволяет ввести объемную плотность энергии волны w: 1 1 1 2 3 3 4 5 6 2 2 2 0 123 4 56 12 2 3 4 5 где учтено, что рассматриваемый объем V является малым МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Из формулы (6.15) следует, что объемная плотность энергии бегущей волны зависит от координат и времени по гармоническому закону, то есть представляет собой бегущую волну энергии колебаний в среде, следовательно, в среде происходит перенос энергии источника колебаний. Полученные выражения справедливы и для поперечной волны, которая распространяется только в твердых телах. В этом случае вместо модуля Юнга необходимо записывать в формулах модуль сдвига Введем энергетические характеристики, описывающие перенос энергии волнового процесса в среде. Мощность излучения источника колебаний И это энергия, излучаемая источником колебаний за единицу времени: 1 И 1 12 3 14 (6.16) 2. Поток энергии F S через какую либо поверхность S — это энергия, переносимая через какую либо поверхность за единицу времени (рис. б 2 Из формулы (6.17) следует, что мощность излучения источника равна потоку энергии 1 ЗП 1 1 через замкнутую поверхность 1 ЗП 1 1 , окружающую источник колебаний 1 2 И ЗП 1 1 2 (рис. в. Вектор Умова, или вектор плотности потока энергии П, — это вектор, направление которого совпадает с направлением скорости волны, а его модуль равен энергии, переносимой за единицу времени через единичную площадку dS ^ , расположенную перпендикулярно направлению переноса энергии (рис. г П Для модуля вектора Умова можно получить следующую формулу 1 1 2 2 3 3 4 3 3 2 3 2 П 15 13 15 13 16 где введена объемная плотность энергии волны в среде. Тогда для вектора Умова можно записать 2 1 3 4 4 5 6 7 2 1 1 1 2 2 2 П 2 3 1 2 3 456 7 89 (6.19) 4. Интенсивность упругой волны I равна усредненному повремени значению модуля вектора Умова: 1 2 3 1 2 34 1 5 6 4 2 2 1 2 П 1 1 2 3 4 (6.20) Введение интенсивности связано стем, что многие приборы при достаточно высокой циклической частоте волны измеряют не мгновенное, а усредненное повремени значение модуля вектора Умова. ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 213 6.1.4. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ Стоячей волной называют волну, образующуюся при сложении двух встречных волн одинаковой частоты и амплитуды. Здесь рассмотрен случай сложения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох в положительном x 1 (x, t) и отрицательном x 2 (x, t) направлениях+ Для уравнения стоячей волны в соответствии с формулой сложения косинусов можно записать 2 1 3 1 2 4 1 СТ 2 345 345 6 1 Из формулы (6.21) следует, что амплитуда стоячей волны 1 СТ 1 234 зависит от координаты x выбранной точки пространства, изменяясь от минимального значения, равного нулю (СТ 0), до максимального значения, равного А (СТ Найдем координаты точек пространства (x = П, в которых наблюдается максимальная амплитуда колебаний частиц среды, их называют пучностями стоячей волны, и координаты узлов стоячей волны (x = У, для них амплитуда колебаний частиц среды равна нулю 2 2 3 2 4 3 2 1 3 5 П СТ П П 1 234 1 1 2 2 31 1 4 2 2 1 1 2 П 2 0 2 (6.23) 1 1 2 2 3 2 3 2 4 1 3 5 У СТ У У 1 234 1 1 2 31 1 4 2 0 0 2 1 2 3 4 5 6 У 0 2 Из формул (6.23) и (6.24) следует, что расстояние между соседними узлами У и соседними пучностями Dx П стоячей волны одинаково и равно = Dx П = Dx У = l/2. На рис. 6.7 приведены графики стоячей волны для трех моментов времени, Т, Т, где стрелками указаны направления движения частиц среды. Из них видно, что все частицы среды, находящиеся между соседними узлами, совершают колебания с разными амплитудами и с одинаковой фазой (частицы одновременно достигают положения равновесия и движутся в одну сторону. При переходе через узел фаза колебаний частиц изменяется на p (частицы по разные стороны от узла одновременно достигают положения равновесия и движутся в противоположных направ лениях). Как следует из графиков рис. 6.7, при образовании в среде стоячей волны в среде не происходит переноса энергии от источника колебаний, так как положение узлов и пучностей стечением времени не изменяется перенос МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ энергии встречных волн одинаковый и происходит в противоположных на правлениях. Наблюдается переход потенциальной энергии колебаний, сосредоточенной в основном в узлах (рис. 6.7, момент времени t = 0), в кинетическую энергию колебаний, сосредоточенную в основном в пучностях стоячей волны (рис. 6.7, момент времени t = T/4), и наоборот. Средний же повремени поток энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю. В соответствии с формулами (6.10), (6.12) и (6.21) для кинетической и потенциальной энергий частиц в случае стоячей волны можно записать следующие формулы: Рис. 6.7 ЧАСТЬ 6. ТЕОРИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ 3 4 5 5 6 7 8 9 1 12 3 4 5 5 5 6 7 8 9 1 1 2 2 2 0 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 123 123 456 784 9 784 456 9 1 2 2 3 45 3 67 8 67 7 9 9 3 3 67 8 из которых видно, что наибольшая потенциальная энергия частиц наблюдается в узлах стоячей волны (sin 2 kx = 1 Þ x = УЗ, а наибольшая кинетическая в пучностях стоячей волны (cos 2 kx = 1 Þ x = x П ). Стоячие волны обычно образуются при отражении бегущей волны от границы раздела двух сред. При этом возможны два случая. В первом при отражении волны от более плотной среды фаза волны изменяется на значение, равное p, и на границе раздела (x = гр) образуется узел стоячей волны 2 3 4 3 5 6 7 4 6 7 4 8 5 8 8 5 6 7 4 5 пад гр отр гр гр гр гр, ) ( , ) cos( ) cos( ) 2 cos cos 0. 2 Во втором случае при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется и на границе раздела (x = гр) образуется пучность стоячей волны 2 1 3 4 5 2 4 5 3 4 5 пад гр отр гр гр гр гр, ) ( , ) cos( ) cos( ) 2 cos( ). х t x t A t kx A t kx A t kx Если, например, в деревянной линейке, закрепленной на одном конце, возбудить стоячую волну, тона втором свободном конце будет либо пучность (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела дерево — воздух, рис. а, либо узел стоячей волны (отражение бегущей по линейке волны от границы раздела дерево — вода, рис. б. Причем на длине линейки укладывается половина длины волны. Наиболее наглядным примером стоячей волны являются колебания струны, закрепленной на концах. Возбуждение в ней поперечных колебаний приводит к образованию стоячей волны, узлы которой приходятся на закрепленные концы (см. раздел 5.13, рис. в ирис. в. На длине струны укладывается целое число полуволн, что позволяет найти частоты нормальных колебаний струны (раздел 5.13, формула (5.92)). 1 2 2 3 1 3 4 3 3 3 4 3 1 1 2 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1222 1 1 1 2 2 1 1 1 Любое произвольное колебание струны можно представить в виде суммы ее нормальных колебаний. |