М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
5.7. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 5.7.1. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ И ОДИНАКОВОЙ ЧАСТОТЫ Возьмем ось Ox. Из ее начала (точка О) отложим вектор 1 1 под углом j 0 коси (рис. 5.6). Если этот вектор вращать вокруг точки O с угловой скоростью то тогда проекция вектора 1 1 на ось Ox будет изменяться по гармоническому закону) = A cos j 0 , x(t) = A cos ( wt + Такое построение называют векторной диаграммой. Гармоническое колебание на векторной диаграмме совершает проекция вектора на ось Причем циклическая частота колебаний w будет равна по модулю угловой скорости 11 вращения вектора Пусть телом. т) одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих водном направлении, причем амплитуды и начальные фазы колебаний различны (A 1 ¹ A 2 , j 01 ¹ j 02 ): x 1 = A 1 cos ( wt + j 01 ), x 2 = A 2 cos ( wt + Результирующее движение, равное сумме колебаний x 1 и x 2 , будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты w: x = x 1 + x 2 = Acos ( wt + Рис. Рис. 5.7 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 173 Необходимо найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Это можно сделать с помощью векторной диаграммы. Для этого проведем из точки О векторы с амплитудами Аи А под углами j 01 и j 02 коси и приведем их во вращение с угловой скоростью 11 (рис. Проекции векторов 1 1 1 и на ось Ox при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (5.24). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось Ox вектора 1 1, полученного из векторов 1 1 и по правилу параллелограмма. Из построения на рис. следует, что квадрат амплитуды вектора 1 1 можно найти по теореме косинусов из треугольника DОА 2 А : 1 2 3 4 4 1 5 3 6 3 6 1 5 3 76 2 2 2 1 2 02 01 1 2 2 123 4 5 6 4 1 1 1 1 1 1 2 2 34 123 4 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 Из треугольников DОА 1 В и DОАС для начальной фазы j 0 результирующего колебания следует выражение 2 1 1 3 3 1 2 1 1 01 2 02 0 1 01 2 02 123 123 45 6 781 781 1 1 12 32 Рассмотрим частные случаи сложения колебаний. Dj = j 02 – j 01 = 2 pn, n = 0, 1, 2, ... Þ A = A 1 + то есть если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу то тогда колебания максимально усиливают друг друга. Dj = j 02 – j 01 = (2n + 1) p, n = 0, 1, 2, ... Þ A = |A 1 – то есть если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга. 1 23 4 5 4 6 1 1 2 2 2 1 2 Рис. 5.8 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ На рис. 5.8 приведены результаты сложения гармонических колебаний в рассмотренных выше случаях 1, 2 и 3, при условии, что j 01 = 0 и А А 2 Полученные условия максимального усиления (5.27) и ослабления (колебаний при сложении колебаний одного направления и одинаковой частоты будут использованы при изучении интерференции когерентных волн. 5.7.2. СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ, ОДИНАКОВОЙ АМПЛИТУДЫ И ЧАСТОТЫ, НАЧАЛЬНЫЕ ФАЗЫ КОТОРЫХ ОБРАЗУЮТ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ Рассмотрим сложение гармонических колебаний N, происходящих вдоль оcи Ox: x 1 = Acos ( wt + j 0 ), x 2 = Acos ( wt + j 0 + d), ..., x N = Acos ( wt + j 0 + (N – Найдем с помощью векторной диаграммы амплитуду результирующего колебания АР (рис. 5.9). Для этого отложим вектор первого колебания амплитуды А из точки О, он составит угол j 0 с осью Ох вектор второго колебания отложим от конца первого вектора, угол между вторым вектором и осью Ох будет равен ( j 0 + d) и т. д. В результате получается ломаная линия, вписанная в окружность радиуса R. Вектор результирующего колебания замыкает эту ломаную линию и определяется следующим образом 2 3 4 5 6 6 7 8 8 8 6 7 8 8 9 8 6 1 234 5 23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : 1 234 234 234 5 234 5 2346 7 8 1 1 23 23 4 235 25 тогда 2 1 2 2 1234 5 67 1234 5 Полученная формула будет использована при расчете результата многолучевой интерференции на дифракционной решетке. Рис. 5.9 ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 175 5.7.3. БИЕНИЯ Биения — это колебания, которые получаются в результате сложения двух гармонических колебаний хи х одного направления с близкими частотами Рассмотрим подробнее результат сложения таких колебаний. Для простоты будем считать, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы A 2 = A. Используя известную формулу сложения косинусов, получим 2 3 1 4 3 1 4 3 5 2 2 2 123 123 123 и определим 2 1 31 4 2 4 1 2 1 2 2 2 2 123 123 4 1 1 Первый сомножитель в выражении (5.30) изменяется со временем значительно медленнее второго ( Dw = w 2 , w 1 ), поэтому можно считать, что результирующее колебание x представляет собой колебание с циклической частотой и с изменяющейся со временем амплитудой биений 3 2 Б 2 345 6 1 Итак, биения можно представить как колебания с периодически изменяющейся амплитудой эти колебания не являются гармоническими. В общем случае амплитуда биений изменяется в пределах, заключенных от A 2 | до (A 1 + A 2 ). При этом период изменения амплитуды (период биений Бициклическая частота биений W будут определяться по формулам 2 3 4 5 4 3 2 1 1 Б 12 На рис. 5.10 приведены графики зависимости амплитуды биений Б и смещениям. тот времени Рис. 5.10 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Метод биений применяют, например, для настройки музыкальных инструментов, при анализе восприятия звуков человеком. Наглядно биения можно продемонстрировать на опыте, в котором звуковой генератор возбуждает два колебания разной частоты, которые человеческое ухо различает как два отдельных звуковых сигнала. Если сближать частоты этих сигналов, то при некоторой разности частот (она зависит от слухового восприятия конкретного человека) вместо двух сигналов ухо человека будет воспринимать звуковой сигнал одной частоты, амплитуда которого будет изменяться, то есть в этом случае наблюдаются биения. При дальнейшем сближении частот период биений увеличивается и при совпадении частот сигналов будет слышен звук одной частоты, амплитуда которого не будет изменяться. Биения можно использовать, например, для определения частоты какого либо гармонического электрического колебания. Для этого на вход осциллографа подают гармонические колебания от звукового генератора (частоту Г этих колебаний можно изменять) и гармонические колебания с неизвестной частотой n от какого либо источника. По наблюдаемой на экране осциллографа картине биений определяют период биений Б и частоту колебаний. Знак «+» или «–» в записанной формуле определяется следующим образом если при увеличении частоты n G генератора период биений, наблюдаемых на экране, увеличивается, то тогда в формуле выбирается ( n G < n), в противном случае — «–» (СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ. ФИГУРЫ ЛИССАЖУ Пусть телом. т) одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих вдоль осей Ox и Oy x = A 1 cos w 1 t , y = A 2 cos (В общем случаев результате сложения этих колебаний материальная точка будет двигаться по траектории, определяемой соотношением их частот, амплитуд (A 1 , A 2 ) и разности начальных фаз. Эти траектории можно описать уравнениями, которые не содержат явно время t и определяют зависимость координаты у от х. Форма этих траекторий и уравнения, описывающие их, и представляют интерес при таком сложении колебаний. Рассмотрим некоторые примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний. Пример 1. w 1 = w 2 = w, Dj = 0, Делим одно уравнение (5.33) на другое и получим 2 1 то есть траектория результирующего движения представляет собой прямую линию, лежащую впервой и третьей четвертях (рис. 5.11а). Если разность фаз Dj складываемых колебаний равна p, то тогда прямая линия будет располагаться во второй и четвертой четвертях (рис. 5.11б). Угол a на рис. 5.11 — это угол наклона прямой коси, он определяется ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 177 отношением амплитуд складываемых колебаний ( Dj = 0, tg a = A 2 /A 1 , Dj = p, tg a = –A 2 /A 1 ). Получаемое при этом движение материальной точки является гармоническим колебанием, так как изменение координаты r, определяющей положением. т. на траектории движения, происходит по гармоническому закону 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 123 Такое движением. т. также называют линейно поляризованным колебанием. Оно повторяется через время, равное периоду складываемых колебаний Пример 2. 1 1 2 3 2 3 2 45 3 1 2 3 2 2 1 1 2 1 2 3 2 3 4 56 2 7 8 7 8 9 2 1 1 2 2 2 2 1 для 4 356 4 7 8 то есть траектория результирующего движения является эллипсом, оси которого совпадают с осями Ox ирис. в. В этом случае результирующее движение материальной точки, движущейся по эллипсу, называют эллиптически поляризованным колебанием (для одинаковых амплитуд колебаний A 1 = траектория движения становится окружностью, и движением. т. называют колебаниями, поляризованными по кругу. Такие движения повторяются через время, равное периоду складываемых гармонических колебаний (T = Рассмотрим направление движения материальной точки по эллиптической траектории. В момент времени t = 0 м. т. находится в точке с координатами х = Ау. Для Dj = p/2 ее движение по эллиптической траектории будет происходить по направлению движения часовой стрелки, и соответственно против движения часовой стрелки — для Dj = Рис. 5.11 а б в г МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Действительно, если Dj = p/2, то тогда для малых значений времени координата убудет меньше нуля (y = –sin wt < 0), что соответствует движению почасовой стрелке. Если взять произвольное значение Dj (Dj ¹ 0, p/2, p, 3p/2), то тогда траектория результирующего движения будет также эллипсом, но ориентация его осей будет зависеть от амплитуды складываемых колебаний и разности фаз Dj (рис. 5.11г). Действительно 1 2 1 2 3 45 1 2 45 3 2 45 1 6 7 6 7 1 45 3 8 45 9 8 45 3 1 45 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 cos , cos( ) cos cos sin sin 2 cos 1 ( / ) sin cos sin y х t t t t А A y xy x x x A A A A Приведенные на рис. 5.11 траектории движения материальной точки называют фигурами Лиссажу. В общем случае они получаются при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, отношение циклических частот которых является кратным отношению целых чисел n w, w 2 = m w, w 2 / w 1 = n/m; n, m — целые числа. Тогда за промежуток времени, равный наименьшему кратному периодов двух складываемых колебаний) и T 2 = 2 p/(mw), движущаяся материальная точка возвращается в начальное положение — получается замкнутая линия. Она называется фигурой Лиссажу. Если в рассмотренных примерах угловые частоты складываемых колебаний незначительно отличаются друг от друга ( w 2 = w 1 + Dw, Dw = w 1 , w 2 ), то такое различие в частотах можно трактовать как медленное изменение во времени разности фаз складываемых колебаний) = (w 2 (t) + Dj) – w 1 t = Dwt + В результате вид фигуры Лиссажу будет непрерывно изменяться, принимая вид траекторий движения, изображенных на рис. 5.11. Поэтому наблюдаемое во времени изменение фигуры Лиссажу означает, что частоты складываемых колебаний неодинаковы. Пример 3. w 2 = 2 w 1 , Dj = 0: 1 2 3 4 5 6 5 6 7 5 7 8 9 8 9 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 123 4 123 5 6 1 2 3 4 Рис. 5.12 а б в ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 179 что дает фигуру Лиссажу в виде параболы (рис. б. При других значениях разности фаз получаются фигуры Лиссажу, вид которых приведен на рис. б, в. Отметим, что фигуры Лиссажу можно применять для определения частоты какого либо гармонического колебания (сигнала. Для этого нужно на входы хи у осциллографа подать два сигнала — два гармонических колебания с известной (оно поступает от генератора электромагнитных колебаний, частоту этого колебания можно плавно изменять) и неизвестной частотами. Изменяя частоту генератора, можно добиться устойчивой фигуры Лиссажу и, зная по ее виду отношение частот складываемых колебаний (отношение частот равно отношению числа пересечений фигуры Лиссажу прямыми, параллельных осям координат, риса, определить неизвестную частоту. *5.7.5. МОДУЛИРОВАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ Под модуляцией колебаний понимают медленное (по сравнению с периодом колебаний) изменение по определенному закону его амплитуды, частоты или фазы. Различают амплитудную, частотную или фазовую модуляции. В случае амплитудной модуляции амплитуду гармонического колебания A 0 sin ( w 0 t + j 0 ) можно изменять, например, по гармоническому закону — A (t) = A 0 (1 + mcos Wt). Тогда модулированное колебание может быть записано в следующем виде A 0 (1 + mcos Wt)sin (где частота изменения амплитуды W (ее называют частотой модуляции, она описывает скорость изменения амплитуды колебания) должна быть во много раз меньше, чем циклическая частота w 0 . График такого модулированного колебания представлен на рис. 5.13б. Параметр m, входящий в формулу (5.34), называют глубиной модуляции. Он определяет разность между максимальными минимальным значениями амплитуды модулированного колебания (макс A мин )/(A макс + мин) < 1. (5.35) а б Рис. 5.13 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Амплитудно модулированное колебание можно представить в виде суммы трех гармонических колебаний с циклическими частотами w 0 , и w 0 + W (w 0 называют несущей частотой, а две остальные — боковыми частотами) и с амплитудами A 0 , mA 0 /2 и mA 0 /2 соответственно 2 3 4 3 2 5 6 3 4 3 2 3 6 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1234 5 12344 5 5 12344 5 56 1 Модулированные колебания применяются для передачи информации с помощью электромагнитных волн радио или оптического диапазонов, атак же акустических волн. Любая передающая радиостанция, работающая в режиме амплитудной модуляции, излучает не одну частоту, а спектр частот несущую и две боковые. Если модулирующий сигнал более сложный, то вместо двух боковых частот будут две боковые полосы. Поэтому каждая передающая станция занимает определенный частотный интервал для радиовещания ширина боковой полосы составляет 10 кГц. *5.8. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ СИГНАЛОВ Как известно, общий подход к анализу сложных процессов и явлений заключается в их разложении на более простые процессы и явления. Этот же подход может быть применен к анализу периодических процессов, учитывая, что наиболее простыми среди периодических функций являются гармонические колебания. Любое сложное колебание можно представить в виде суммы гармонических колебаний, их называют гармониками. Разложение сложного колеба Рис. 5.14 а б в г д е ЧАСТЬ 5. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ 181 ния на гармонические колебания (без учета их фаз) называется спектральным разложением. Диаграмму, изображающую зависимость амплитуды каждой гармоники от ее частоты, называют спектром сложного колебания, или спектром амплитуд. В качестве примера приведем спектры амплитуд для различных периодических колебаний f(t). 1. Гармоническое колебание с частотой w 0 : f(t) = Acos Спектр амплитуд для такой функции представляет собой одну линию амплитуды А на частоте w 0 (риса. Биения (частный случай одинаковых амплитуд складываемых колебаний 2 3 2 Спектр амплитуд представляет собой две близко расположенные линии c амплитудами Аи с частотами w 1 ирис. б. Амплитудно модулированное колебание) = A 0 (1 + mcos Wt)sin (Как следует из формулы (5.36), спектр этого колебания представляет собой три линии с частотами w 0 – W, w 0 и w 0 + W и с амплитудами mA 0 /2, Аи соответственно (рис. в. Наиболее общий случай — произвольная периодическая функция Здесь спектр амплитуд не будет таким простым, как в приведенных выше примерах. В математике доказывается, что при условиях, которые обычно выполняются в физических задачах, периодическую функцию f(t) с периодом Т (см, например, рис. б) можно представить в виде суперпозиции бесконечного числа гармонических колебаний, частоты которых образуют дискретную последовательность. Эти частоты кратны основной циклической частоте w (w = 2p/T) изменения функции f(t) и принимают значения w, 2w, 3 w, 4w и т. д. Такая сумма называется рядом Фурье или гармоническим разложением сложного периодического колебания 2 2 3 4 5 6 7 0 1 2 1 2 3451 26 1 1 1 2 3 4 2 1 где коэффициенты Фурье A n , j n определяются видом функции Совокупность величин A n называется спектром амплитуд функции f(t), а совокупность j n — спектром фаз. Слагаемое ряда Фурье с частотой w называют первой (основной) гармоникой, а остальные — высшими (второй, третьей и т. д) гармониками или обертонами функции В качестве примера приведем спектр амплитуд пилообразной периодической функции f(t) (она приведена на рис. б, временная зависимость которой описывается следующим образом t < (n + 1)T: f(t) = x 0 ((n + 1)T – t)/T, n = 0, 1, 2, 3, Можно показать, что коэффициенты Фурье в этом случае x 0 /( p × n), j n = p/2. МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Спектр амплитуд для такой периодической функции приведен на рис. 5.14г. Он представляет собой бесконечный дискретный набор гармоник, амплитуды которых убывают обратно пропорционально номеру гармоники. Функция f |