М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
Рис. 4.27147 го поля между обкладками конденсатора, поэтому тока смещения не будет и линии тока проводимости на обкладках конденсатора прерываются. Подставляя формулу (4.61) в выражение (4.60), получим второе уравнение Максвелла в интегральной форме следующего вида 2 1 2 3 4 55 6 4 55 6 77 8 9 8 9 3 1 1 1 1 1 2 0 пр см пр Г 1 2 Уравнение (4.63) читается следующим образом циркуляция вектора магнитного поля по произвольному замкнутому контуру Г равна сумме токов проводимости и смещения, охватываемых контуром Г, умноженной на коэффициент (Физический смысл уравнения (4.63) заключается в том, что источниками магнитного поля являются токи проводимости, микротоки и переменное электрическое поле. 4.2.8. ВСЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В основе теории Максвелла, позволяющей описывать электрические и магнитные явления в любой среде (ив вакууме в частности, лежат два положения о взаимосвязи электрических и магнитных полей. Согласно этим положениям переменное во времени магнитное поле порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле и переменное во времени электрическое поле создает в пространстве магнитное поле. Следствием этих положений теории Максвелла являются первое и второе уравнения — они обобщают закон электромагнитной индукции Фарадея) и теорему о циркуляции вектора 1 1 (Третье и четвертое уравнения Максвелла представляют собой теоремы Гаусса для вектора 1 1 электростатического и вектора 1 1 магнитного полей. Физический смысл этих уравнений состоит в следующем источником электростатического поля являются свободные и связанные заряды в природе отсутствуют магнитные заряды, то есть линии вектора 1 1 магнитного поля являются замкнутыми. Пятое и шестое уравнения Максвелла вводят векторы электрического смещения 1 1 и напряженности 1 1 магнитного поля, которые, в отличие от истинных векторов 1 и 2 являются вспомогательными, вводимыми для удобства описания полей в присутствии вещества. Седьмое уравнение Максвелла представляет собой закон Ома в дифференциальной форме, где s — удельная проводимость вещества 2 3 4 2 5 6 5 6 2 3 77 8 3 77 8 99 2 3 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 2 1 3 Г пр см пр Г 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 2 3 456 52 7 4 356 8 8 9 52 7 452 (4.64) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 4 0 5 6 7 1 1 1 1 1 1 Записанные выше семь уравнений справедливы для однородных изотропных неферромагнитных и несегнетоэлектрических сред, для которых формулы связи, выражаемые пятым, шестыми седьмым уравнениями, являются достаточно простыми, так как параметры e, m и s — постоянные числа. В общем случае эти формулы связи усложняются и называются материальными уравнениями 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 1 23 1 24 1 1 2 3 3 4 5 5 В общем случае для произвольной среды, уравнения Максвелла примут следующий вид 2 3 1 4 5 4 5 1 2 6 2 6 7 8 7 8 1 9 9 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 4 0 5 6 7 Г пр см пр Г 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 23 3 1 23 3 1 23 1 2 1 2 1 2 2 3 456 52 7 8 956 52 7 852 352 8 8 4 3 3 9 Полная система уравнений Максвелла позволяет определить основные характеристики электромагнитного поля 1 1 1 1 1 2 2 2 3 1 2 3 4 в каждой точке пространства, если известны источники поля — распределение токов проводимости при электрических зарядов q i как функции координат и времени. Наиболее удобной является полная система уравнений Максвелла в дифференциальной форме 2 3 1 4 5 1 2 6 7 8 1 9 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 пр rot rot 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 3 7894 7891 (4.67) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 6 7 1 2 31 1 2 31 1 2 31 1 1 2 3 3 4 5 5 Она справедлива для малой окрестности любой точки пространства и при задании начальных и граничных условий позволяет решать любые задачи классической макроскопической электродинамики. Полная система уравнений Максвелла играет в электромагнетизме такую же роль, как законы Ньютона в механике. Следствием теории Максвелла является существование электромагнитного поля в виде электромагнитных волн (ЭМВ). В основе образования таких волн лежат взаимные превращения электрического и магнитного полей переменное магнитное поле порождает в окружающем пространстве переменное электрическое поле, и это изменяющееся электрическое поле также создает в окружающем пространстве переменное магнитное поле и т. д. Процесс образования переменных электрического и магнитного полей охватывает все новые и новые области пространства (рис. б, здесь источником ЭМВ является текущий по проводнику переменный электрический ток ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В соответствии с первым постулатом специальной теории относительности уравнения Максвелла должны быть инвариантны относительно преобразований Лоренца. При этом одно и тоже электромагнитное поле по разному проявляет себя в разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Наглядным подтверждением этого является пример взаимодействия проводника стоком и точечного заряда. Так, выбором ИСО такое взаимодействие можно представить как только магнитное, либо как только электрическое, либо как единое электромагнитное взаимодействие. Рассмотрим этот пример подробнее. Пусть в ИСО K находятся точечный положительный заряди неподвижный прямой металлический проводник, по которому течет ток (риса. Скорость этого заряда параллельна скорости направленного движения свободных электронов и равна ей по модулю. Рис. 4.28 а б Проводник является электронейтральным, то есть сумма объемных плотностей зарядов положительных ионов r + и свободных электронов r – равна нулю, и 2 1 2 1 2 3 4 3 4 где S — площадь поперечного сечения проводника l + и l – — длины отрезков проводника для положительных и отрицательных зарядов. На заряд Q в ИСО K со стороны магнитного поля тока будет действовать сила Лоренца (риса, электрического взаимодействия между ними нет. Перейдем теперь в ИСО K ¢, в которой заряд Q будет неподвижным, а проводник вместе с положительными ионами будет двигаться со скоростью Магнитное поле тока на неподвижный заряд Q не действует, так как сила Лоренца Л будет равна нулю. Нов связи стем, что проводник перестает быть электронейтральным (его заряд будет положительным, на заряд Q будет действовать кулоновская сила отталкивания со стороны проводника и электромагнитное взаимодействие будет представлено в такой ИСО лишь как электрическое взаимодействие. Действительно, используя инвариантность заряда (q = q ¢) и поперечных размеров проводника (S = S ¢), а также сокращения продольных размеров тел при их движении 1 1 2 2 3 3 3 4 2 5 6 2 2 1 1 2 2 32 1 2 2 2 2 2 2 3 получим 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 4 5 5 6 4 3 3 2 3 3 3 4 5 5 2 7 4 3 3 3 3 4 1 4 6 2 2 2 2 1 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 2 3 31 4 5 1 1 1 2 3 23 4 5 1 1 4 5 2 что и требовалось показать. В произвольной ИСО взаимодействие заряда Q и проводника стоком будет электромагнитным, то есть на заряд одновременно будут действовать и сила Кулона, и сила Лоренца. Итак, существует единое электромагнитное взаимодействие, единое электромагнитное поле, частными проявлениями которого могут быть как электростатическое поле неподвижных зарядов, таки магнитное поле постоянных токов проводимости. 4.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 4.3.1. ХАРАКТЕРИСТИКИ, ВВОДИМЫЕ ДЛЯ ОПИСАНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРИСУТСТВИИ ВЕЩЕСТВА 1 1 1 11 1 1 2 . Все вещества являются магнетиками — при помещении их во внешнее магнитное поле 1 0 1 они создают свое магнитное поле 1 1 1 1 то есть намагничиваются 2 3 1 1 1 0 1 1 1 1 (4.68) 151 Магнитное поле вещества связано с микротоками I ¢, обусловленными движением электронов в атомах, ионах и молекулах. Для однородных и изотропных магнетиков магнитная проницаемость вещества m является скалярной величиной, показывая, во сколько раз индукция магнитного поля при наличии среды отличается от индукции магнитного поля в вакууме 2 0 1 1 (4.69) 3. 1 1 1 Вектор намагничивания 1 1 описывает способность вещества создавать свое магнитное поле 1 1 1 и равен векторной сумме магнитных моментов 1 м.атг 1 атомов, которые находятся в единице объема вещества 2 1 1 м.ат 1 1 1 2 3 4 (4.70) Магнитный момент атома складывается из суммы магнитных моментов 1 м.эл.орб 1 электронов, связанных сих орбитальным движением, спиновых магнитных моментов 1 м.эл.спин 1 электронов и спинового магнитного момента ядра (из за большой массы ядра этим моментом обычно пренебрегают 1 1 2 3 3 1 1 1 мат м.эл.орб м.эл.спин 1 1 1 2 2 3 3 3 (4.71) Согласно теории Бора, орбитальные магнитные моменты электронов связаны сдвижением электронов в атоме по круговым орбитам, что приводит к созданию кольцевого тока, который и обладает магнитным моментом. Спиновые магнитные моменты электрона обусловлены тем, что неотъемлемыми свойствами частицы является не только ее масса, заряд, но и спиновый магнитный момент. Его наличие связывалось с вращением частицы вокруг своей оси, но впоследствии выяснилось, что это представление неверно, хотя понятие спинового момента осталось. Качественно возникновение собственного магнитного поля 1 1 1 магнетика можно пояснить на основе гипотезы Ампера о существовании внутри молекул молекулярных токов (микротоков). Их ориентация во внешнем магнитном поле Рис. 4.29 а б и создает неравное нулю магнитное поле 1 1 1 вещества и соответственно риса, в однородном магнитном поле 1 0 1 находится однородный длинный стержень в виде цилиндра). Если 1 1 0 0 1 1 то тепловое движение разбрасывает молекулярные токи хаотично по всем направлениями поэтому 1 2 2 1 1 0 0 1 2 1 2 Во внешнем магнитном поле происходит ориентация магнитных моментов микротоков вдоль поля (магнитные моменты микротоков будут параллельны вектору 0 1 ). За счет такой ориентации происходит компенсация микротоков внутри стержня, такая компенсация отсутствует на поверхности цилиндра (рис. б. Вследствие этого магнитное поле цилиндра будет подобно магнитному полю соленоида 0 сол витка 1 2 1 2 3 4 2 4 где I¢ это суммарный поверхностный ток, текущий по поверхности цилиндра на длине Если учесть, что сумма магнитных моментов атомов в этом случае будет равна магнитному моменту поверхностного тока I ¢, текущего на длине l цилиндра, то тогда для модуля вектора 1 1 можно записать 1 2 тока 3 2 4 35 5 (4.72) 4. Вектор напряженности вводится по формуле 2 3 1 1 1 1 2 0 В случае вакуума 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 и поэтому 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 1 Для однородных и изотропных магнетиков из опыта известна следующая формула связи векторов 1 и 2: 1 2 1 1 где c — магнитная восприимчивость вещества. Для векторов 1 1 1 ив случае однородного и изотропного магнетика с учетом формул (4.65)–(4.67) получаются следующие выражения 2 1 2 3 1 4 3 5 1 4 3 1 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1 0 , B (1 ) 1 2 3 1 2 3 3 1 22 2 1 3 4 1 1 1 2 0 1 ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА НАМАГНИЧЕННОСТИ И ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Найдем циркуляцию вектора 1 1 для случая, приведенного на рис. Для этого возьмем контур, который располагается в плоскости чертежа (рис. а. Из рисунка видно, что плоскость контура 1–2–3–4–1 пересекает суммарный микроток I ¢ (он в плоскости контура направлен перпендику 153 лярно, от нас. Принимая во внимание тот факт, что вектор 1 1 отличен от нуля только внутри цилиндра, и учитывая формулу (4.72), получим 2 2 3 3 3 3 4 4 1 1 2 1 2 1 0 123 4 1 234 234 24 4 Можно показать, что записанная формула справедлива ив общем случае 1 2 2 34 2 5 1 1 1 1 1 2 1 , 1 2 3 123 4 Из выражения (4.77) следует, что источником вектора 1 1 являются мик ротоки. На основе формул (4.17), (4.73) и (4.77) для циркуляции вектора 1 запишем 2 3 4 3 5 3 6 7 8 8 9 3 5 4 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 Г Г Г Г пр пр пр 2 3 4 5 3 1 234 5 34 134 534 6 6 6 6 7892 2 0 те. источником вектора 1 1 являются токи проводимости. Для упрощения расчета электрического поля в присутствии диэлектриков был введен вектор электрической индукции 1 1 По аналогии, при расчете магнитного поля в присутствии магнетика удобно введение вектора Действительно, формулы (4.17) и (4.19) не позволяют непосредственно рассчитать вектор 1 11 так как входящие в эти формулы микротоки зависят и от вектора ПОВЕДЕНИЕ ЛИНИЙ ВЕКТОРОВ 1 1 И 1 1 НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ МАГНЕТИКОВ Выясним, как ведут себя линии векторов 1 1 и на границе раздела двух магнетиков. Для этого найдем условия, которым удовлетворяют нормальные) и тангенциальные (B t , H t ) составляющие этих векторов на поверхности раздела магнетиков. Будем считать, что на границе раздела нет макротоков (токов проводимости пр 0). Рассчитаем поток вектора через цилиндрическую замкнутую Рис. 4.30 а б поверхность, расположенную на границе раздела (основания цилиндра площади параллельны поверхности раздела, риса) и циркуляцию вектора по прямоугольному замкнутому контуру (две стороны контура длиной l параллельны поверхности раздела, риса. Из формул (и (4.78) следует, что 1 2 3 4 4 5 2 2 3 4 2 6 6 6 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 бок бок Г 1 2 1 1 2 2 342 3 2 3 2 546 5 6 5 Если высоту цилиндра и перпендикулярные к поверхности раздела стороны контура Г устремить к нулю 1 2 2 3 1 1 бок бок 2 32 1 234 то можно получить B 2n , H 1 t = Используя формулу (4.78), запишем 1 2 2 3 3 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 Из полученных выражений следует, что на границе раздела двух магнетиков линии вектора 1 1 не прерываются (нормальные составляющие вектора непрерывны, а тангенциальные составляющие терпят разрыва линии вектора 1 1 терпят разрыв (тангенциальные составляющие вектора 1 1 непрерывны, анормальные составляющие терпят разрыв. Следует отметить, что на границе раздела двух магнетиков линии векторов 1 и 2 ведут себя аналогично линиям векторов 1 и 2 на границе раздела двух диэлектриков 1 1 1 1 и 23 1 2 Рассмотрим, как изменяется угол наклона линий векторов 1 и 2 при переходе через границу раздела двух магнетиков (рис. б. Используя формулы) и (4.80), получим 1 1 1 2 2 3 3 4 4 4 4 3 2 3 2 1 линии линии 12 3 4 12 12 1 1 1 1 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 Из выражения (4.81) видно, что при переходе в магнетик с большей магнитной проницаемостью линии 1 и 2 отклоняются, увеличивая угол Рис. 4.31 а б 155 Приведем примеры расчета магнитного поля в присутствии вещества. Пример 1. Ток I, текущий по тороиду, создает внутри него магнитное поле В 0 = m 1 m 0 I ( m 1 = 1, среда — воздух. Внутри тороида находится железный сердечник (риса, магнитная проницаемость железа m 2 = m (10 3 ¸ 10 4 ) ? Рассмотрим поведение линий векторов 1 и 2 на границе раздела воздух (среда 1, характеристики магнитного поля 1 1 и) — железо (среда 2, характеристики магнитного поля 1 2 ив точке А, расположенной на боковой поверхности сердечника (риса. Запишем соотношения, связывающие составляющие векторов 1 и 2 на границе разделав этой точке. Учтем, что векторы 1 ив каждой точке боковой поверхности сердечника параллельны ей и поэтому остаются отличными от нуля только их тангенциальные составляющие (рис. 4.31а). |