М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
2.3. ВЕКТОР НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. РАСЧЕТ 1 1 И ДЛЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА Итак, на точечный заряд q, помещенный в электростатическое поле, действует кулоновская сила 1 1 2 и заряд q обладает в этом поле потенциальной энергией W p . Для расчета этих величин вводят две характеристики поля вектор напряженности 1 1 и потенциал j. Зная эти величины в каждой точке поля, можно оценить 1 1 2 и W p по формулам 1 2 1 1 1 2 1 2 3 45 Для произвольного электрического поля можно 1 1 и j определить экспериментально. Для этого в каждую точку поля следует помещать пробный положительный заряд q 0 , найти опытным путем 1 1 2 и W p , а затем рассчитать и j по формулам 2 1 1 1 0 0 Выражения (2.8) являются формулами определениями характеристики электростатического поля, а именно 1 векторная физическая величина, являющаяся силовой характеристикой поля и равная отношению кулоновской силы, действующей на пробный положительный заряд, помещенный в данную точку поляк величине этого заряда j — скалярная физическая величина, являющаяся энергетической характеристикой поля и равная отношению потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку поляк величине этого заряда. При известном распределении зарядов, создающих электрическое поле, можно достаточно просто рассчитать 1 1 и j на основе закона Кулона и принципа суперпозиции. В этом разделена основе закона Кулона приводится оценка характеристики поля, созданного точечным зарядом ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 67 Допустим, что точечный заряд q 1 создает электрическое поле, а точечный заряд q 2 находится в этом поле. Тогда из формул (2.3), (2.6), (2.7) следует 1 2 1 1 344 344 344 1 1 1 1 т з т з 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 2 1 3 4 3 4 3 4 4 4 1 2 12 2 1 3 3 2 0 0 0 4 4 4 (2.9) 1 2 1 3 2 1 455 т з 1 1 1 2 2 2 3 2 4 4 1 2 2 1 0 0 Формулы (2.9) и (2.10) определяют вектор напряженности 1 1 и потенциал поля точечного заряда. Согласно формулам (б) и (2.8) нулевой уровень потенциала j электростатического поля точечного заряда выбирается на бесконечно большом расстоянии от него (r ® ¥, j ® На рис. 2.2 показаны направления векторов 1 1 в разных точках поля точечного заряда (риса, б) и приведены графики зависимости модуля и потенциала j от расстояния r до заряда (рис. в, г). Отметим, что направление вектора 1 1 в данной точке поля совпадает с направлением кулоновской силы, действующей на пробный положительный заряд q 0 , помещенный в данную точку. Нужно также помнить, что потенциал является алгебраической величиной (j > 0, j < 0), и чем меньше расстояние до положительного заряда, создающего поле, тем больше j (образно говоря, происходит подъем на потенциальную горку, и соответственно, чем ближе к отрицательному заряду, тем меньше j (происходит спуск в потенциальную яму). 2.4. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА 1 1 И j ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯДОВ Для расчета 1 1 и j поля, созданного системой зарядов или макроскопическим заряженным телом, используют принцип суперпозиции. Он заключается в следующем вектор напряженности 1 1 (потенциал j) электрического поля, созданного несколькими зарядами, равен векторной сумме напряженностей Рис. 2.2 а б в г МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ (алгебраической сумме потенциалов) полей, созданных каждым зарядом в отдельности 1 2 3 4 3 5 3 1 1 1 2 1 2 23334 233356 1 1 1 2 3 4 4 5 3 5 4 5 4 1 1 1 1 2 1112 111 1 1 В случае макроскопического заряженного тела для оценки 1 1 ив какой либо точке A (риса) разбивают тело на малые объемы (их можно рассматривать как точечные заряды dq). Затем находят по формулами) векторы 1 12 и потенциалы d j от этих зарядов в точке Аи проводят суммирование всех 1 12 и d j, то есть берут интеграл по объему тела V: 1 1 233 4 1 1 1 1 1 1 1 2 34 5 35 35 6 6 3 0 4 (2.12) 1 2 1 1 2 344 5 1 2 1 2 34 3 3 5 0 Принцип суперпозиции позволяет также рассчитывать потенциальную энергию взаимодействия зарядов. Так, для системы точечных зарядов q i (i = 1, ..., N) можно записать 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 где j i — потенциал поля, созданного всеми зарядами, кроме i го заряда, вместе расположения i го заряда коэффициент 1/2 означает, что взаимодействие двух зарядов в сумме учитывается дважды. Рассмотрим ряд конкретных примеров расчета электростатических полей по формулами. Поле диполя Под электрическим диполем понимают электронейтральную систему близко расположенных двухточечных зарядов, отстоящих друг от друга на расстояние l (рис. б. Для описания электрического поля, созданного диполем, вводят понятие дипольного момента Это вектор, направленный по прямой от заряда (–q) к заряду (+q), то есть по оси диполя, и равный по модулю произведению модуля одного из зарядов на расстояние между ними Обычно при описании поля диполя рассматривают точки, находящиеся на расстоянии r, значительно превышающем расстояние l между зарядами диполя (r ? Рассчитаем модуль вектора 1 1 и потенциал j в точках АС, отстоящих от центра диполя (точка Она расстоянии r; линии ОА, ОВ и ОС составляют с осью диполя углы 0 °, 90° и произвольный угол a (рис. Рис. 2.3 а б ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 69 Используя принцип суперпозиции (2.9), (2.10), найдем направление и модули векторов 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 4 4 а также потенциалы А, В, Св этих точках. Точка А a = 0 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 7 4 7 7 8 9 4 3 8 9 5 6 7 3 7 4 7 7 8 9 4 3 1 1 1 1 2 3 4 1 1 2 3 5 6 6 1 2 3 4 5 5 5 6 7 6 7 7 6 6 3 4 6 7 6 7 6 7 6 2 2 3 0 0 2 0 0 2 1 1 4 4 2 2 1 1 4 2 Точка В a = 90° 1 2 1 1 1 3 3 4 3 3 3 566 1 1 1 3 3 566 7 8 9 3 9 1 9 3 2 3 566 1 1 1 1 2 3 3 4 567 8 8 4 9 9 8 4 9 8 4 9 3 3 8 4 9 8 4 9 1 1 2 2 3 4 4 2 2 2 5 4 5 4 5 4 6 5 4 5 3 5 4 5 4 2 2 2 2 2 2 0 3 0 2 2 2 2 0 2 2 2 4 2 2 2 4 1 1 0 4 2 Для точки С, расположенной под произвольным углом a, можно получить общее выражение, включающее в себя частные случаи для точек Аи В 2 3 4 1 3 566 566 1 2 3 2 0 0 1 3 4 4 123 4 123 Из формулы (2.16) следует, что модуль вектора напряженности 1 1 и потенциал j поля диполя на расстояниях r ? l определяются модулем его Рис. 2.4 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ дипольного момента причем E и j уменьшаются в зависимости от расстояния быстрее, чем для поля точечного заряда (формулы (2.9), (2.10)). 2. Электрическое полена оси равномерно заряженного кольца Пусть равномерно заряженное по длине кольцо радиусом R несет заряд q. Найдем направление и модуль вектора 1 1 а также потенциал j поля кольца в точке А , расположенной на оси кольца на расстоянии l от его центра (рис. Для этого разбиваем кольцо на малые участки — точечные заряды определяем направление векторов 1 12 от всех зарядов dq в точке Аи используем для расчета E A формулу (2.12). Из симметрии задачи видно, что все векторы 1 12 образуют конус векторов с углом a при его вершине и суммарный вектор 1 1 1 будет направлен вдоль оси, вверх. Тогда 2 2 2 1 2 1 1 1 1 344 344 344 344 5 6 1 6 1 1 344 344 5 7 7 7 7 7 7 1 1 2 2 2 2 2 3 2 0 0 0 0 2 2 0 0 4 4 4 4 4 4 1 2 345 345 345 6 345 2 7 8 9 1 1 1 2 32 34 4 45 67 Итак 2 1 344 5 344 5 2 2 3 2 2 2 0 0 4 4 1 2 3 4 Из формулы (2.17), в частности, следует, что в центре кольца в точке О = 0): 1 2 1 344 0 0 0 0 4 1 На расстояниях l, значительно превышающих радиус R кольца (l ? его можно рассматривать как материальную точку, а электрическое поле кольца — как поле точечного заряда. Действительно, пренебрегая в формулах по сравнению с l 2 , получим 2 1 344 344 1 2 0 0 4 4 1 2 3 1 2 3 3 4 5 Рис. 2.5 ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 71 2.5. РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. ФОРМУЛА СВЯЗИ ВЕКТОРА 1 1 И ПОТЕНЦИАЛА j Запишем формулы для работы сил электростатического поля по перемещению точного заряда из точки 1 в точку 2. Учитывая выражения (2.5) и, получим 2 2 1 3 1 1 2 12 1 123 4 5 4 67 1 2 345 3 45 (2.19 а 2 1 3 2 3 12 1 2 1 2 1 23 1 1 2 3 3 4 (2.19 б) где 1 1 12 вектор элементарного перемещения. Величину ( j 1 – j 2 ) называют разностью потенциалов, она характеризует работу сил электростатического поля по перемещению заряда из одной точки поля в другую и равна отношению этой работы к величине переносимого заряда 2 1 3 12 1 2 Отметим, что разность потенциалов можно найти опытным путем, асам потенциал, подобно потенциальной энергии, определяется с точностью до произвольной постоянной величины. Из выражений (2.19), (2.20) можно получить интегральную формулу связи ив которую входят две точки поля 2 1 3 4 5 2 1 2 1 123 Дифференциальную формулу связи 1 1 и j, справедливую для малой окрестности какой либо точки поля, можно вывести из выражений для элементарной работы 2 1 1 3 4 4 1 3 123 4 5 1 1 23 4521 45 где E l — проекция вектора 1 1 на направление 1 1 в пространстве. В наиболее общем векторном виде выражение, связывающее 1 1 и j, записывается из полученного в механике соотношения между консервативной силой и потенциальной энергией 1 2 1 2 1 1 1 grad grad 1 23 1 2 3 45 6 45 1 2 3 1 2 341 2 3 1 grad 1 Итак, в каждой точке поля вектор 1 1 равен по модулю и противоположен по направлению вектору градиента потенциала, те. вектор 1 1 в каждой точке указывает направление наиболее быстрого убывания потенциала (см. риса МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Следует отметить, что при описании электростатического поля можно было бы ограничиться введением только одной характеристики поля — вектора Действительно, через него можно определить потенциальную энергию заряда, работу по его перемещению, не вводя понятие потенциала. Но понятие потенциала является удобным сточки зрения практического применения электростатических полей. 2.6. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ. Линии вектора 1 1 1 Для графического изображения электростатических полей используют линии вектора 1 1 1 они проводятся так, чтобы в каждой точке вектор 1 1 был направлен по касательной к ним (рис. 2.6). Линии вектора нигде не пересекаются, они начинаются на положительных зарядах, заканчиваются на отрицательных или уходят в бесконечность. Примеры графического изображения полей точечных зарядов приведены на рис. б, в, г. Для одного точечного заряда линии 1 1 представляют собой прямые, выходящие или входящие в него. В случае однородного электрического поля (рис. д, в каждой точке которого вектор 1 1 одинаков и по модулю, и по направлению, линии 1 1 представляют собой прямые, параллельные друг другу и отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии. Графическое изображение полей с помощью линий 1 1 позволяет наглядно видеть направление кулоновской силы, действующей на точечный заряд, помещенный в данную точку поля, что удобно для качественного анализа поведения заряда. Обычно линии 1 1 проводят так, чтобы их густота в каждой точке поля определяла числовое значение вектора 1 1 Под густотой линий 1 1 понимают Рис. 2.6 а б в г д е ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 73 количество линий, пронизывающих перпендикулярную к ним плоскую поверхность фиксированной площади. Поэтому по степени близости друг к другу линий 1 1 можно судить об изменении модуля вектора 1 1 и соответственно об изменении модуля кулоновской силы, действующей на заряженную частицу в электрическом поле. Эквипотенциальные поверхности Эквипотенциальная поверхность это поверхность равного потенциала, в каждой точке поверхности потенциал будет одинаковым. Поэтому элементарная работа по перемещению заряда q по такой поверхности будет равна нулю dA = –dq j = 0. Соответственно вектор 1 1 в каждой точке поверхности будет перпендикулярен к ней, то есть будет направлен по вектору нормали 11 (рисе. Действительно, если бы это было не так, то тогда существовала бы составляющая вектора 1 1 (E t ), направленная по касательной к поверхности, и, следовательно, потенциал в разных точках поверхности был бы разным 2 3 4 5 6 2 5 что противоречит определению эквипотенциальной поверхности. На рис. 2.6 приведено графическое изображение электрических полей с помощью эквипотенциальных поверхностей (пунктирные линии) для точечного заряда (рис. б, в — это сферы, в центре которых находится точечный заряд, для поля, созданного одновременно отрицательными положительным зарядами (рис. г, для однородного электрического поля (рис. д) это плоскости, перпендикулярные к линиям Условились проводить эквипотенциальные поверхности так, чтобы разность потенциалов между соседними поверхностями была одинаковой. Это позволяет наглядно видеть изменение потенциальной энергии заряда при его движении в электрическом поле. Тот факт, что вектор 1 1 перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности в каждой ее точке, позволяет достаточно просто переходить от графического изображения электрического поля с помощью линий к эквипотенциальным поверхностями наоборот. Так, проведя на рис. б, в, г, д пунктирные линии, перпендикулярные к линиям 1 1 можно получить графическое изображение поля с помощью эквипотенциальных поверхностей в плоскости рисунка. 2.7. ПОТОК И ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ ВЕКТОРА 1 1 Понятие циркуляции и потока для произвольного поля вектора 11 даны в Прил. 1. Поэтому здесь запишем их сразу (без пояснения) для вектора электростатического поля. Возьмем произвольный контур Г и произвольную поверхность S в неоднородном электростатическом поле (см. риса, б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Тогда циркуляцией вектора 1 1 по произвольному контуру Г называют интеграл вида 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 Г Г сos 1 2 1 2 3 1 3 23 123 123 1 а потоком ФЕ вектора 1 1 через произвольную поверхность S следующее выражение Входящие в эти формулы векторы 1 12 и 1 12 определяются следующим образом. По модулю они равны элементарной длине dl контура G и площади элементарной площадки поверхности S. Направление вектора совпадает с направлением обхода контура G, а вектор 1 12 направлен по вектору нормали 11 к площадке dS (рис. В случае электростатического поля циркуляция вектора 1 1 по произвольному замкнутому контуру (Г) в соответствии с формулой (2.20) будет равна нулю 1 2 3 2 1 4 1 1 круг нач кон 2 3 1 2 345 6 0 (2.26 а) где А круг — работа сил поля по перемещению точечного заряда q поэтому контуру. Как отмечено в Прил. 1, этот факт является признаком потенциальности электростатического поля, то есть если циркуляция вектора 1 1 по произвольному замкнутому контуру Gравна нулю,то это поле является потенциальным. Следовательно, электрические заряды в электростатическом поле обладают потенциальной энергией. Уравнение (2.26 а) в дифференциальной форме, справедливой для малой окрестности какой либо точки электростатического поля, можно записать следующим образом (см. Прил. 1): 1 23 1 1 1 1 0 0 rot 1 2 3 4 1 1 (2.26 б) Если учесть, что густота линий определяет модуль вектора 1 1 в данной точке поля, то тогда поток вектора 1 1 будет численно равен количеству линий 1 1 1 пронизывающих поверхность На рис. 2.8 приведены примеры расчета потока F E через различные поверхности (риса, б, в поверхность S — плоская рис. г S — замкнутая поверхность. В последнем случае поток F E через замкнутую поверх |