М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 5 из 73

35
ные силы, чья работа не зависит от траектории движения тел, но определяется их начальными и конечными положениями.
При наличии только консервативных сил потенциальную энергию взаимодействия системы, состоящей из N тел (м. т, можно представить в виде потенциальных энергий попарного их взаимодействия друг с другом и с внешними телами (с номерами от (N + 1) до (N + L)):
1 2
2 3
2 2 1 2
1 4 4 4 4 1
1 1
1 1 2 1
2 3
4
12
12
3
3
3 3 4
5
6
6
7
1
2
2 1
1
2 где
1
12
3
4
потенциальная энергия взаимодействия тел с номерами i и k. Коэффициент связан стем, что потенциальная энергия взаимодействия тел i и k встречается в формуле (1.68) два раза (например и ). В сумме исключаются слагаемые, для которых значения i и k совпадают. Для замкнутой системы второго слагаемого, описывающего взаимодействие тел системы с внешними телами, в формуле (1.68) не будет.
Потенциальные взаимодействия обычно принято описывать посредством понятия силового поля считается, что одно тело взаимодействует вместе своего расположения с силовым полем, созданным другими телами. Такой подход удобно использовать в том случае, когда движение одного тела (например первого) слабо влияет на движение другого (второго. Тогда можно считать, что первое тело находится в потенциальном поле, созданном вторым телом, и потенциальную энергию их взаимодействия приписать первому телу. Так, например, говорят о потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли, о потенциальной энергии заряда в электрическом поле и т. д.
При этом движение тела (заряда) слабо влияет на силовое поле, в котором оно движется.
Вспомним, что обычно говорят тело падает на Землю, а не Земля падает на тело. Этим самым отмечают тот факт, что движение тела практически не изменяет положение Земли.
Примерами консервативных сил в механике являются силы тяготения и упругости, а неконсервативных — силы трения, сопротивления, тяги, силы химических реакций, возникающих при разрыве снаряда, при выстреле и т. д.
Название консервативные силы связано стем, что полная механическая энергия W
M
системы тел, взаимодействующих между собой посредством только консервативных сил, сохраняется.
Выведем формулы для потенциальных энергий взаимодействия тел, между которыми действуют силы тяготения и силы упругости. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли. Между телом
(м. т) массой m и Землей (однородный шар радиуса З) массой З действует сила тяготения 1
2
З
З
1 1
12
3
4
5 где G — гравитационная постоянная, r — расстояние от центра Земли до тела
(рис. а

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Рассчитаем работу А силы тяготения при переходе тела из точки 1 в точку (они находятся соответственно на расстояниях r
1
и r
2
от центра Земли 1
1 1
1 21 3
1 2
2 2
2 2
3 3
2 1
4 4 567 8
1
1
23
4
24
523
5 23
5 23
678
3
678
678
3
3
1 1
1 2 1 3 1 3 1
4 5 4 5
1 3 3 3 6
7 6 7
8 9 8 9
1 Из формулы (1.69) следует, что работа силы тяготения определяется убылью величин, зависящих только от начального и конечного положения тела и Земли. Значит, силы тяготения являются консервативными силами, асами эти величины представляют собой потенциальные энергии гравитационного взаимодействия тела и Земли 2 3
З
const
1
1
23
4
5
6
(1.70)
Потенциальная энергия W
p
определяется с точностью до постоянной величины ее нулевой уровень отсчета выбирается произвольно для удобства решения конкретных задач. Можно этот выбор провести следующим образом считать, что при r
® ¥, W
p
® 0:
1 2
З
З
1 2
1
23
4
5
6 Как уже отмечалось выше, формулу (1.70) можно рассматривать как формулу потенциальной энергии тела в гравитационном поле, созданном Землей. В этом случае нулевой уровень отсчета W
p
удобно выбирать на поверхности Земли (h = 0, W
p
= 0, h
= З 2
1 1
1 3
1 2 1
З
З
З
З
З
З
1 2
3 3
1
23
4
5
6
7 4
28 9
9 4
28 9 9
4 7
4
9
0 0
0 где
1 1
1 2
2 0
9 81
З
м с 2
1 3
1
23 4
ускорение свободного падения на уровне океана высота тела над поверхностью Земли (h = 0, r = R
З
).
Рис 1.24
а
б

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА. Потенциальная энергия упругодеформированного тела. Рассмотрим работу силы упругости при сжатии пружины из состояния 1 до состояния рис. б) с координатами хи х соответственно 2 1 3 1 3 1
3 4
4 4
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
2 1
2 12 2
2 1
1 234 5
1
1
1
1
1
1
21
21
3
4 56
4 Из (1.73) следует, что сила упругости является консервативной силой,
а величина
1 2
2
1
23
4
— суммарная взаимная потенциальная энергия всех частей упругодеформированного тела (см. формулу (Обобщая формулы (1.69) и (1.73), можно сформулировать теорему о потенциальной энергии работа консервативных сил, действующих между
телами или частями одного тела, равна убыли их взаимной потенциальной энергии.
Для тела, движение которого слабо влияет на движение другого тела,
создающего силовое поле, теорему о потенциальной энергии можно сформулировать так работа консервативных сил, действующих на тело, равна
убыли потенциальной энергии тела в поле этих сил 23 1 2 4
конс конс
1 2
1
1
2
34
5 ФОРМУЛА СВЯЗИ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ И КОНСЕРВАТИВНОЙ СИЛЫ Между консервативной силой
1 1
1
2 действующей между телами, и потенциальной энергией их взаимодействия W
p
существуют определенные формулы взаимосвязи, найдем их. Для этого запишем выражение для элементарной работы консервативной силы вдоль произвольного направления
11
1 1
2 1
1 0
12 23 2 2
3
12
13 13
и подставим его в теорему о потенциальной энергии. Тогда 1 2 1 2
конс
1 2
1
1
2
3
3
2
45
6 Выбирая направление
111
совпадающее с направлениями координатных осей, можно оценить проекции силы
1
1
на эти оси и записать формулу взаимосвязи вектора силы
1 1
1 и потенциальной энергии W
p
:
1 1
1 2 3 2 3 2 3 1
1 2
4 4
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
8
8
9
9
9
5
6
7
9 9  9 9
1 2 1 23 1 3 1
grad grad
1 2 2 2 Направление градиента потенциальной энергии в данной точке пространства в формуле (1.76) обозначено как
1
1
(о градиенте см. Прил. 1 (1.8)).

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Итак, согласно выражению (1.76) консервативная сила, действующая между телами, в каждой точке пространства равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии взаимодействия этих тел.
Проверим полученную формулу (1.76) для поля тяготения Земли (h
= З,
1 1
1 рис. 1.25). Из формулы (1.72) следует 1
2 1
1 2
1 1 3 4
1 3 1
1 1
1 1
1
grad grad
1 2
3 1
1
1
1
2
2
1
3
45 6 45 7
3
45 7 2 45 2
7
8 45
45 2
8
3
0 0
0 0
0 что и требовалось показать.
1.4.6.
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ТЕЛ.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Полной механической энергией М системы тел называют сумму кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия 2
1
1
2
3
4
4 Ранее уже отмечалось, что следствием неуничтожимости движения материи является справедливость закона сохранения всех видов энергий (механической, тепловой, электромагнитной, ядерной и т. д) для замкнутой системы 1
1 1 2
тепл эл яд const
111 В такой системе механическая энергия может изменяться за счет работы неконсервативных сил они переводят ее в другие виды энергии (механическая энергия уменьшается, происходит ее диссипация, рассеяние) и,
наоборот, другие виды энергии переходят в механическую энергию (она возрастает).
Покажем это, используя теоремы о кинетической энергии (1.63) и потенциальной энергии (1.74):
1 2 1 3
2 1 3 1 2
3 3 4 2
1
конс неконс конс неконс
1 2
1 2 1 2
3
1
2
1
2
3
3 3
3
3
4
4
4
4
1 2
1 2
неконс
1
1
(1.79)
Среди всех неконсервативных сил выделяют диссипативные силы, приводящие к уменьшению механической энергии системы. К ним, например,
относят силы трения и сопротивления. Так, например, шарик, катящийся по горизонтальной поверхности, стечением времени останавливается из за того, что работа силы трения переводит часть его механической энергии в тепловую 2 1 3 1 2 1 2
2 4 5 0
тр тр
1
1
2
3
2
4
4
4
4
5
6 Рис. 1.25

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
39
Если же в замкнутой системе действуют только консервативные силы
(такая система называется замкнутой консервативной системой — з. к. сто тогда в ней выполняется закон сохранения механической энергии, который гласит механическая энергия замкнутой консервативной системы
остается постоянной W
M
= Если такая система, между телами которой действуют только консервативные силы, находится во внешнем поле консервативных сил (открытая консервативная система — о. к. сто и для нее выполняется закон сохранения механической энергии W
M
= const. Это связано стем, что потенциальная энергия системы является суммой парных потенциальных энергий взаимодействий тел друг с другом (1.68) независимо оттого, входят эти тела в состав системы или нет, и поэтому теорема о потенциальной энергии) будет справедлива ив этом случае. Так, например, падение тела из состояния покоя в поле тяготения Земли в отсутствие сил сопротивления воздуха можно рассматривать в двух системах. Одна из них является открытой консервативной системой, включающей в себя только падающее тело (тогда падение тела происходит во внешнем силовом поле, созданном
Землей и тело обладает потенциальной энергией в этом поле. Вторая система является замкнутой консервативной системой, она включает в себя тело и Землю.
Можно отметить, что формула, связывающая изменения механической энергии замкнутой системы с работой внутренних неконсервативных сил, применима и для вращательного движения. Например, при вращении фигуристки ее момент импульса относительно вертикальной оси вращения остается постоянным
1 1
const
1 23
1
а момент инерции зависит от положения ее рук (I изменяется, и поэтому ее кинетическая энергия W
k
= I
w
2
/2 = L
2
/2I будет изменяться за счет работы неконсервативных внутренних сил системы.
1.4.7.
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
Обсудим кратко значение записанных выше формул (1.75) и (В квантовой механике при изучении движения частиц малой массы (микрочастиц) вместо действующих на них сил задают потенциальную энергию частиц во внешнем потенциальном поле (говорят, задают вид потенциального поля, в котором они движутся. График зависимости потенциальной энергии частицы от координат называют потенциальной кривой. Использование выражений (1.75) и (1.76) позволяет на основе заданного вида потенциальной кривой изучать характер движения и взаимодействия частиц и тем самым предлагать модели объяснения различных физических свойств веществ.
В качестве примера на рис. 1.26 приведена потенциальная кривая взаимодействия двух частиц (молекул) в зависимости от расстояния между ними — одна частица закреплена вначале оси r (r = 0) и считается неподвижной, а другая — на расстоянии r от нее. Тогда согласно формуле (проекция результирующей силы на ось r в какой либо точке оси r будет равна тангенсу угла наклона касательной к графику 2 3 1 23 45 6
1
23
4 3 5

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
В первом случае полная механическая энергия частицы является положительной, что соответствует движению частицы в реальных газах. Как видно из рис. 1.26, движение частицы будет поступательным от одного столкновения до другого. На расстояниях r > r
c
действующая на частицу результирующая сила будет силой притяжения (r = r
d
, F
kr
= –tg a
2
> 0), а при r < r
с
—
силой отталкивания (r = r
a
, F
kr
= –tg a
1
> 0). При r = а механическая энергия частицы будет равна ее потенциальной энергии, то есть кинетическая энергия частицы обращается в ноль и частица сталкивается с другой частицей, в результате чего меняет направление движения (частица налетает на потенциальный барьер и отражается, отскакивает от него).
Во втором случае полная механическая энергия частицы отрицательна,
и, как следует из рис. 1.26, в жидкостях и твердых телах частица совершает колебательное движение в ограниченной области пространства (r
b
£ r £ в потенциальной яме, созданной взаимодействием частиц. Расстояние r = r
с
соответствует положению устойчивого равновесия (потенциальная энергия частицы будет наименьшей).
Движение частицы вдоль оси r от r = r
b
за счет сил отталкивания будет ускоренным (F
kr
= –tg a > 0), оно переходит в замедленное движение приза счет сил притяжения. Точками соответствуют точки поворота в движении частицы.
При увеличении температуры жидкости или твердого тела полная механическая энергия частицы возрастает, амплитуда ее колебаний увеличивается и за счет несимметричности потенциальной кривой происходит тепловое расширение жидкостей и твердых тел.
Задавая различные виды потенциальных кривых, например для электронов в твердом теле, можно прийти к хорошо известным моделям описания электронного газа — модели свободных электронов, приближения сильной и слабой связи, которые широко используются для объяснения различных свойств веществ.
Рис. 1.26

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
41
1.4.8.
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
И МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ К АНАЛИЗУ
АБСОЛЮТНО УПРУГОГО
И НЕУПРУГОГО СТОЛКНОВЕНИЙ
Как уже отмечалось ранее, законы сохранения позволяют получить важную информацию о взаимодействии тел без детального решения II закона
Ньютона. Рассмотрим ряд важных для практики примеров. Абсолютно неупругий удар — это удар, в результате которого тела после соударения движутся вместе как единое целое. Пусть движущееся со скоростью тело массы m
1
сталкивается с движущимся со скоростью
1 2
1
телом массы m
2
, в результате чего их скорость оказывается равной
11 (рис. Если эти тела образуют замкнутую систему, то для нее можно записать закон сохранения импульса 2
1 1
1 1
1 1 2 2 1
2 1
2 3
1 2 1 2
1 1 из которого следует, что скорость
11 тел после удара составит 2
2 1
1 3
1 1
1 1
1 1 1 2 2 2
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
2 3
2 3
456 7
1 2 1 2
3
3
1 2
1 2
1 1 2 2
1 1
1 При таком ударе возникают неконсервативные силы (силы сопротивления, которые переводят часть механической энергии соударяющихся тел в тепловую энергию 2 3 2 3 2
4 4
2 2 4 1
4 5
1 1
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1 2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
сопр
1 2
1 345 26 1
2
1
2
3 4
3 4
3 3 5
6
6
3 3
4
4
4 4
3 где a — угол между векторами 1 1
1 2
и
1
1
1
В качестве примера рассмотрим взаимодействие молота (масса m
1
, скорость в момент удара 1
1
) и наковальни (масса m
2
? m
1
,
1 1
2 0
1
) при ковке куска металла. Из формул (1.80) и (1.81) получим 1 2 1 3 4
4 2
5 1 1
1 4
1 1
1 2
1 2
1 1 1
1 2
1 2
2 1
1 1
2 2
сопр сопр
1 2
3 4
5 5
5 5
6
1
1
1
1
2 2 3
2 3
4
5
2 2
2 2
6
5
2
5
5
2 Как следует из выражения (1.82), КПД удара h тем выше, чем больше различие в массах наковальни и молота. В этом случае большая доля механической
Рис. 1.27

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
энергии молота переходит во внутреннюю энергию куска металла, идет на его деформацию. Абсолютно упругий центральный удар — это удар, при котором, помимо закона сохранения импульса, выполняется также и закон сохранения механической энергии. При таком ударе деформации тел, возникающие в момент соударения, после столкновения полностью исчезают. При центральном ударе тела дои после соударения движутся по одной прямой.
Пусть движущееся вдоль оси Ox со скоростью
1 1
1
тело массы m
1
сталкивается с движущимся вдоль (v
1
> v
2
) или против оси Ox со скоростью
1 телом массы m
2
, в результате чего их скорости оказываются равными
1 1
1 ирис. 1.28). Используя для замкнутой системы, состоящей из двух тел, законы сохранения импульса и механической энергии, найдем проекции скоростей и тел на ось Ox после их соударения 2
1 3
4 2
4 3
3 4
1 2
4 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
1 2
2 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
21 2
1 21 23
1
1
1
1
1
1
2 3
2 4
2 4
2 3
2 3
4
2 4
3
2 3 4
3 4
2 4
3
4
3
(
*
)
1 2
1 3
4 2
4 1
1 1
1 1 1 2 2 1 1 2 2 1
1 1
2 2
2 1
2 1
23
1
1
1
2 3 2 3
2 4 2 4
2 3 4
2 Учитывая выражение (
**
), можно упростить формулу (
*
):
1 2
1 3
2 1 4 1
1 2
2 2
1 1
2 1
1
1
1
1
1
1
2 3
3
2
3
3
2 Подставляя u
2X
в (
**
), получим 2
3 1 1
3 1
3 1
2 2
3 3
1 2
1 23 1
2 1
2 3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
2 3 4
2 4
3 3
3
2 3
2 2 3
2 3
2 2 3
4
4
2 2
2 2
1 1
1 2
1 1
2 2
2 2 1
2 1
1 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 Рассмотрим ряд важных для практики частных случаев использования формул (Пример 1. Два тела одинаковой массы (m
1
= m
2
), движущиеся вдоль оси
ох
со скоростями
1 1
1
и
1 2
1
(v
1
> v
2
) навстречу друг другу (v
1X
= v
1
, v
2X
= испытывают упругое соударение, в результате которого согласно формулам) происходит обмен их скоростями
1 1 2 1
1
1
2
3
3
1 2
2
u
2X
= v
1
. При v
2
= получим, что скорость первого тела заодно соударение снизится до нуля В ядерных реакторах необходимо проводить эффективное уменьшение скорости нейтронов, возникающих при реакциях деления, от скоростей порядка мс до скоростей, соответствующих скорости их теплового дви