М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
1.2.3. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Докажем закон сохранения импульса. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N тел (на рис. 1.11 для простоты приведена система из трех тел — материальных точек). На каждое тело системы действуют внешние силы 1 1 2 (i — номер м. т i = = 1, ..., N) со стороны не входящих в эту систему тел (м. т) и внутренние силы (i, k = 1, ..., N) со стороны других тел системы. Внутренние силы системы связаны между собой III законом Ньютона 2 1 1 Запишем уравнения II закона Ньютона) для всех тел системы и затем сложим эти уравнения 2 3 2 4 1 1 1 0 1 1 12221 3 1 12 1 2 1 34 5 6 1 7 38 1 2 1 2 1 3 4 5 5 5 1 5 1 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 222 3 2 1 1 1 1 23 2 23 2 2 3 2 2 3 2 4 5 Векторная сумма всех внутренних сил с учетом (1.30) равна нулю и поэтому Рис. 1.11 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 1 2 1 1 1 2 где введен импульс 1 1 1 системы как векторная сумма импульсов тел системы Итак, согласно (1.31) векторная сумма импульсов тел системы (или импульс системы) изменяется за счет действия внешних сил. Если взять замкнутую систему, то есть систему, на которую не действуют внешние силы 1 1 0 1 23 1 2 то тогда выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной, или импульс 1 1 2 замкнутой системы остается постоянным : 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 const const 111 Реально выделить замкнутую систему достаточно трудно. Но ив незамкнутых системах в ряде случаев можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим их. Внешние силы компенсируют друг друга Такую систему, например, составляют рассмотренные в 1.2.1 два тела, движущиеся по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу (рис. 1.8). В этом случае внешние силы — силы тяжести 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 нормальные реакции опоры 1 1 1 2 1 1 1 — компенсируют друг друга, а возникающие при столкновении тел внутренние силы, силы деформации не могут изменить импульс системы 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 3 4 1 1 2 2 0 Из этого следует, что m 1 /m 2 = v 2 /v 1 , то есть из закона сохранения импульса можно количественно оценить соотношение масс этих тел, их инертность. Внешние силы не компенсируют друг друга, но их проекция на какую либо ось остается равной нулю Хотя импульс системы изменяется, но его проекция на эту ось сохраняется. Примером может являться система, состоящая Рис. ОМ. Г. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ из двух тел, одно из которых движется по гладкой поверхности со скоростью 1 1 1 а другое падает вертикально вниз со скоростью 1 2 1 и испытывает абсолютно неупругое столкновение с первым телом. В результате этого они движутся с одинаковой скоростью образуя единое целое (см. рис. Сумма внешних сил до удара 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 23 1 2 3 1 2 1 2 вовремя и после удара изменяется, но их проекция на ось Ox остается все время равной нулю, и поэтому 1 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 3 Такие системы называются ква зизамкнутыми. 3. Внешние силы значительно меньше по модулю внутренних сил, действующих между телами в системе (F i = f ik ). Это наблюдается при сильных кратковременных взаимодействиях удар, выстрел, разрыв снаряда и т. д. Тогда изменение импульса каждого тела системы в основном определяется внутренними силами системы 1 2 3 4 5 4 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 12 1 12 2 1 2 1 34 5 6 37 5 ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ. ЦЕНТР МАСС И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Под центром масс системы понимают точку пространства, положение которой относительно какой либо ИСО определяется радиус вектором 1 1 2 : 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 4 где 1 2 1 1 2 2 — сумма масс тел (м. т) системы 1 радиус вектор i го телам. т) системы. Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массой то оно будет двигаться со скоростью 1 1 2 : 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Если подставить в выражение (1.35) формулу (1.31) 1 1 1 2 1 1 1 то тогда можно утверждать, что центр масс системы — это точка пространства, к которой приложены все силы, вызывающие по отдельности поступательное движение системы. Поэтому поступательное движение системы можно моделировать движением тела в виде м. т. массой m, помещенного в центре масс системы. Этот прием является удобным при изучении такого движения системы. Если система является замкнутой, или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться. Поэтому в ИСО, связанной с ним, проще описать движение тел системы ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 21 В качестве примера рассмотрим систему двух неподвижных тел с массами и m 2 (m 2 = 2m 1 ), скрепленных между собой сжатой в начальный момент времени пружиной. Эти тела могут скользить без трения по гладкой горизонтальной поверхности (рис. Начало оси 11 точка O совпадают с центром масс системы (точкой Сто есть 1 1 0 1 1 2 Положение тел в начальный момент времени определится векторами и 1 связанными между собой соотношением 2 2 3 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 3 2 3 3 3 3 2 Если пружину отпустить, то за счет действия внутренних сил системы (силы упругости) тела приходят в движение, скорости 1 1 1 и радиус векторы и 1 будут все время изменяться, но центр масс остается при этом неизменным, а импульс системы будет равным нулю 2 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 2 1 1 2 3 4 3 Соотношения между радиус векторами 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 и векторами 1 1 1 2 и 1 1 сохраняются при движении тел. Введенное выше понятие центра масс системы включает в себя как частный случай понятия центра масс и для абсолютно твердого тела. Действительно, ат. т. можно разбить на малые объемы dV и представить в виде совокупности материальных точек, между которыми действуют внутренние силы. Отличием для абсолютно твердого тела является тот факт, что расстояния между материальными точками этого тела остаются со временем неизменными. Размеры объемов dV (м. т) нужно выбирать такими, чтобы можно было пренебречь дискретным (атомным) строением вещества, то есть эти объемы должны содержать достаточное количество одинаковых по свойствам атомов. Центр масса. т. т. совпадает сего центром тяжести, но является более общим понятием, справедливыми в отсутствие внешних гравитационных полей. Положение центра масса. т. т. можно найти экспериментально, определяя положение его центра тяжести (см. далее Рис. 1.13 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 1.3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 1.3.1. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ Моментом импульса материальной точки с массой m, движущейся со скоростью относительно оси вращения, называют вектор 1 1 определяемый 2 1 3 1 1 1 1 1 23 456 3 1 2 3 1 где 1 1 1 импульс м. т 1 вектор, соединяющий материальную точку с осью вращения и перпендикулярный к этой оси (риса. Направлен вектор 1 1 по оси вращения. Запишем модуль момента импульса 1 1 в другом виде rp = rmv = rm wr = (mr 2 ) w = здесь введена величина I, называемая моментом инерции материальной точки относительно оси вращения I = Для ат. т. объемом V, представляющим собой совокупность м. т. массой, модуль момента импульса относительно оси вращения запишется так 1 2 1 2 1 2 3 3 3 2 где представляет собой момент инерции абсолютно твердого тела относительно оси вращения. В случае однородного симметричного относительно оси вращения тела (это такое тело, которое при любом повороте вокруг оси вращения совмещается само с собой) направления векторов 1 и совпадают (рис. б, и поэтому 2 1 11 1 Для произвольного ат. т. момент импульса 1 1 определится формулой 1 2 3 3 1 1 1 1 1 23 1 1 2 32 34 5 из которой следует, что в общем случае вектора 1 1 и не параллельны, и поэтому вектор 1 1 не будет направлен вдоль оси вращения. Рис. 1.14 а б ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 23 1.3.2. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Пусть к материальной точке массы m приложена сила 1 1 ее составляющая в плоскости, перпендикулярной коси вращения, обозначена как 1 Тогда моментом силы 1 1 относительно оси вращения называют вектор, определяемый формулой 1 1 2 3 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 23 456 3 7 3 83 1 2 3 1 23 3 4 2 где 1 1 1 вектор, проведенный от оси вращения км. т. (рис. 1.15, ось вращения проходит через точку O перпендикулярно к вектору ); d = rsin a — плечо силы — кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения вектор 1 1 направлен вдоль оси вращения. Запишем другое выражение для модуля вектора 1 1 1 используя проекцию силы 1 1 1 на направление касательной к окружности (она обозначена 1 см. рис. 1.15); именно 1 1 1 и вызывает вращательное движением. т 2 2 3 4 3 3 3 5 3 5 3 5 2 123 4 1 23 23 245 24 2 Для абсолютно твердого тела, представляющего собой совокупность м. т. массой dm, помимо векторной суммы моментов внешних сил 1 1 1 действующих на него, между точками этого тела действуют также и внутренние силы. Причем векторная сумма моментов 1 12 3 внутренних сил относительно оси вращения согласно III закону Ньютона равна нулю, и поэтому 2 1 1 1 3 1 3 4 4 5 5 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 3 4 1 1 23 2 3 В итоге можно записать основной закон динамики вращательного движения для абсолютно твердого тела который формулируется следующим образом произведение момента инерции тела относительно оси вращения на Рис. 1.15 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ вектор углового ускорения равно векторной сумме моментов действующих на тело внешних сил относительно этой оси вращения 2 1 1 Его также можно записать в другом виде 2 3 3 1 3 4 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 12 12 3 3 3 4 15 Согласно (1.45) производная повремени от вектора момента импульса тела относительно оси вращения равна векторной сумме моментов, действующих на абсолютное твердое тело внешних сил относительно этой оси вращения. Отметим, что все вектора 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 1 являются псевдовекторами (их называют также аксиальными векторами, их направление связывают сна правлением вращения тела. Они не имеют определенной точки приложения (это любая точка на оси вращения. В общем случае вектора 1 1 2 1 1 вводятся относительно неподвижной точки. Напомним, что момент инерции для ат. т. не может быть изменен внутренними силами системы (I = const), чего нельзя сказать о системе, состоящей из нескольких ат. т. (возникающие при этом эффекты будут рассмотрены дальше). Уравнения (1.44) и (1.45) позволяют при задании начальных условий 2 1 2 3 1 3 1 1 1 1 0 0 0 1 2 3 4 1 1 и действующих на абсолютно твердое тело моментов внешних сил относительно оси вращения решать задачи динамики вращательного движения ат. т. Отметим, что в общем случае тело может совершать вращательное движение относительно неподвижной точки (ось вращения, проходящая через эту точку, может менять свое направление в пространстве). 1.3.3. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ ВРАЩЕНИЯ Момент инерции ат. т. (1.39) является мерой инерции тела при его вращательном движении. Он зависит не только от массы m, но и от ее распределения относительно оси вращения. Обычно момент инерции тела рассматривают относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Поэтому прежде всего выясним, как можно найти его для произвольного тела. Для этого воспользуемся следующим свойством центра тяжести тела через него проходят оси вращения, относительно которых векторная сумма моментов сил тяжести, действующих на разные части тела, равна нулю. Рассмотрим в качестве примера сплошной однородный цилиндр. Будем подвешивать егоза разные точки, лежащие на его поверхности, и проводить через них вертикальные линии (рис. Тогда в точке их пересечения будет на Рис. 1.16 ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 25 ходиться центр тяжести (он обозначен утолщенной точкой внутри цилиндра. Такую методику можно применять и для произвольного тела. Приведем формулы для моментов инерции I тел правильной геометрической формы относительно оси вращения OO 1 , проходящей через их центр тяжести так, как показано на рис. 1.17. 1. Обручили тонкостенный цилиндр массой m и радиусом r: 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 345 5 34 45 (1.46) 2. Сплошной однородный диск (или цилиндр массой m, радиусом r ивы сотой h: 1 2 3 3 4 3 4 5 3 54 3 4 3 3 3 6 7 8 9 5 1 1 1 1 2 3 3 4 532 512 26522 6 32 1 2 6 4 2 2 2 2 2 1 2 2 где r — плотность материала диска dV = 2prhdr — элементарный объем тела, выбираемый в виде кольцевого слоя радиусом r толщиной dr и высотой h. 3. Однородный шар с массой m и радиусом r: 1 2 2 5 1 1 23 (1.48) 4. Тонкий однородный стержень с массой m и длиной l: 1 2 1 12 1 1 23 (1.49) 5. Материальная точка массы m (r = 0): 1 Для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси вращения можно воспользоваться формулой теоремы Штейнера I ¢ = I + где I, I ¢ — моменты инерции тела массы m относительно двух осей — оси, проходящей через центр масс тела (I) и параллельной ей оси (I ¢), отстоящей от нее на расстояние a (рис. Так, для оси 1 1 1 1 1 1 1 проходящей через один из концов тонкого стержня (рис. 1.17(4)), можно получить 2 1 2 3 4 5 4 5 4 1 1 2 2 3 31 31 2 2 2 1 1 1 2 12 Рис. 1.17 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Покажем справедливость теоремы Штейнера на примере тела, состоящего из двух материальных точек с массами m 1 и m 2 , скрепленных невесомым стержнем. Положение центра тяжести такого тела (точка О) найдем, приравняв к нулю векторную сумму моментов сил тяжести, действующих нам. т. 1 и 2 относительно оси вращения, проходящей через точку О ось вращения перпендикулярна плоскости рис. 1.18) 1 2 3 2 3 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 3 1 1 1 1 2 34 2 34 2 2 4 Согласно (1.39) моменты инерции рассматриваемого тела относительно осей вращения, проходящих через точки O (I) и O ¢ (I¢), запишутся таким образом 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 2 3 1 2 3 Найдем теперь момент инерции I ¢ по теореме Штейнера: 1 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 Полученные разными способами моменты инерции I ¢ совпали, что и требовалось показать. 1.3.4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих между собой материальных точек, вращающихся вокруг какой либо оси. Запишем для каждой м. т. основное уравнение динамики вращательного движения (выделяя отдельно моменты внешних 1 1 и внутренних 1 12 3 сил 2 3 4 1 1 1 1 2 3 1 12 1 2 Просуммируем уравнение (1.52) по всем м. т. системы, введем момент импульса 1 1 системы и учтем, что согласно III закону Ньютона векторная сумма моментов внутренних сил, действующих нам. т, относительно оси вращения, равна нулю 1 2 1 1 3 3 3 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 2 23 2 2 2 Тогда (1.52) перепишется так 1 2 1 1 Из формулы (1.53) следует закон сохранения момента импульса, согласно которому момент импульса замкнутой системы остается постоянным относительно любой оси вращения |