М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
Рис. 1.32 а б в г МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ сила (F цс = mv 2 /R, рис. б. Если диск будет вращаться, тов ИСО (она связана с неподвижным наблюдателем) происходит сложение скорости v с линейными скоростями wR точек диска (в данном случае, приведенном на рис. б, направление этих скоростей будет одинаковыми, следовательно, v ИСО = v + wR. Поэтому в ИСО для силы, действующей в горизонтальном направлении, получим F ИСО = m(v + wR) 2 /R = mv 2 /R + 2mv w + В НИСО (вращающийся диск) на тело действует сила F цс , которую можно представить в следующем виде: F НИСО = F цс = mv 2 /R = F ИСО – 2mv w – Из этой формулы следует, что в НИСО два последних слагаемых представляют собой силы инерции (они отсутствуют в ИСО), одна из которых является центробежной силой, а другая как рази представляет собой силу Кориолиса. Для нее в общем случае можно записать следующую формулу 23 1 2 2 2 1 23 1 2 3 Из выражения (1.107) следует, что сила 1 1 2 будет перпендикулярна коси вращения НИСО, а также к скорости движения тела. Это означает, что сила приводит к отклонению тела от прямолинейного движения. Если, например, сообщить телу скорость 111 направленную вдоль радиуса (рис. в, то оно будет перемещаться не по радиусу AB, а по кривой Вращение Земли приводит к тому, что свободнопадающее тело отклоняется в Северном полушарии вправо, а в Южном — влево от направления своего движения. Однако вследствие медленного вращения Земли эффекты, связанные с силой Кориолиса, незначительны. Они заметны при длительных процессах, к которым можно отнести, например, более сильное подмывание правых берегов рек в Северном полушарии и левых берегов рек в Южном полушарии — рек, текущих в меридиональном направлении (рис. 1.32г). В заключение этого раздела сделаем ряд замечаний относительно сил инерции. Необходимо помнить, что силы инерции являются внешними по отношению к НИСО, и поэтому в них не выполняются законы сохранения механической энергии, импульса и момента импульса. Силы инерции, также как и силы тяготения, сообщают телам независимо от их массы одинаковые ускорения. Поэтому, как уже было отмечено в разделе 1.5.6, человек, находящийся в лифте, не может сказать, почему он давит на его пол либо лифт неподвижен и находится во внешнем поле тяготения, либо лифт находится в поле сил инерции (движется равноускоренно) в отсутствии внешнего гравитационного поля. Это позволило Эйнштейну сформулировать принцип эквивалентности, согласно которому поле тяготения в небольшой области пространства и времени по своему проявлению тождественно ускоренной системе отсчета. Этот принцип, доказанный экспериментально с большой точностью, лег в основу создания общей теории относительности Эйнштейна ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 59 1.7. ГИДРОМЕХАНИКА 1.7.1. УСЛОВИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПОТОКА ЖИДКОСТИ Гидромеханика изучает условия равновесия и течения (перемещения в пространстве) жидкостей и газов, которые рассматриваются как непрерывные сплошные среды, не имеющие внутреннего строения. Течение жидкости принято изображать с помощью линий тока — это линии, в каждой точке которых векторы скоростей 11 частиц жидкости направлены по касательной к ним. Для стационарного течения жидкости скорости ее частиц со временем не изменяются, и поэтому расположение линий тока также остается постоянным (рис. 1.33а). В этих условиях удобно ввести понятие трубки тока. Для этого в плоскости, перпендикулярной к линиям тока, выделяют внутри жидкости замкнутый контур и проводят через его точки линии тока, они и будут ограничивать объем жидкости, называемый трубкой тока (рис. 1.33а). Жидкость, заключенная внутри трубки тока, течет, не выходя за его пределы, перемешивание жидкости соседних трубок отсутствует. Причем для идеальной жидкости отсутствует и внутреннее трение между соседними трубками тока, а также и со стенками трубы, по которой она течет. Для несжимаемой жидкости (ее плотность во всех точках одинакова и не зависит от времени, r = const) в условиях стационарного течения за равные промежутки времени через сечения 1 и 2 трубки тока пройдут одинаковые объемы жидкостей (V 1 = V 2 Þ S 1 v 1 Dt = S 2 v 2 Dt, рис. б, что приводит к выполнению условия неразрывности потока жидкости УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости по трубке тока. Под действием сил давления 1 1 действующих внутри жидкости, большой объем V, находящийся между сечениями 1 и 2, будет перемещаться и через а б Рис. 1.33 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ малый промежуток времени займет положение между сечениями 1 ¢ ирис. б. При таком перемещении состояние большой части объема V между сечениями не изменяется. Поэтому в условиях стационарного течения жидкости изменение энергии выделенного большого объема V будет связано только с изменениями энергии, происходящими в малых объемах V 1 и они заключены соответственно между сечениями 1 и 1 ¢, а также сечениями ирис. 1.33б). Изменение кинетической энергии этих объемов V 1 и V 2 определяется работой сил тяжести и сил давления, действующих на выделенные объемы со стороны соседних слоев жидкости. Причем работу совершают только силы давления 1 1 1 и 1 перпендикулярные к сечениями трубки тока (остальные силы будут перпендикулярными к скорости движения жидкости и поэтому работу не совершают). Учитывая незначительность объемов V 1 и V 2 , можно записать 2 3 2 3 4 3 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 3 2 34 1 2 3 4 3 4 3 56 3 6 7 8 7 Введем в это уравнение плотность жидкости ( r = m 1 /V 1 = m 2 /V 2 , m 1 = m 2 , V 1 = V 2 ) и давление, оказываемое жидкостью на сечения 1 и 2 ¢ объемов и V 2 , (p 1 = F 1 /S 1 , p 2 = F 2 /S 2 ): 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 С учетом произвольности выбираемого объема и сечений в трубке тока окончательно можно записать следующее уравнение + rgh + p = которое получило название уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли справедливо для любых точек внутри жидкости, расположенных вдоль определенной линии тока. При переходе от одной линии к другой изменяются значения постоянной. Отдельные слагаемые в уравнении Бернулли имеют размерность давления. Причем принято называть давление rgh гидростатическим (оно обусловлено весом жидкости ив частности, определяет ее давление на глубине, давление p — статическим (оно не связано сдвижением жидкости, его можно обозначить как p = стати давление rv 2 /2 — динамическим (оно связано сдвижением жидкости). Рис. 1.34 а б в г ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 61 Эти давления можно измерять с помощью приборов, называемых манометрами. В частности, для горизонтальной трубки тока (она располагается вдоль линии тока 1–2, rgh 2 = rgh 1 ) полное давление внутри жидкости (p полн = rv 2 /2 + p) можно измерять с помощью изогнутой трубки, открытый конец которой направлен горизонтально вдоль линии тока (риса. Тогда для одной линии тока в точках 1 (движение жидкости здесь невозмущен но, скорость жидкости равна 1 1 ) и 2 (скорость жидкости 1 1 2 0 1 ) полное давление будет одинаковым 1 1 2 полн полн стат 2 34 1 1 2 1 2 2 1 1 2 Поэтому высота поднятия П жидкости в манометрической трубке будет определять полное давление полн 1 рис. 1.34а). Для вертикальной трубки, открытый нижний конец которой параллелен линиям тока, высота поднятия h C жидкости в манометрической трубке будет определяться только статическим давлением стат. Это позволяет по измерениям Пи определять скорость протекания жидкости 2 3 полн стат 23 4 1 2 2 1 В узких частях трубы скорость движения жидкости возрастает формула, что приводит к понижению статического давления жидкости (рис. а. Если скорость движения жидкости будет достаточно велика для того, чтобы статическое давление стало меньше атмосферного давления (p стат = (const – rv 2 /2) < атм, это приведет к тому, что поток жидкости приобретет всасывающее действие. Такое же явление можно наблюдать и для потока газа. На этом явлении основано действие водоструйного насоса, пульверизатора распылителя и т. д. 1.7.3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ Данное уравнение используют для анализа течения жидкостей, для которых внутреннее трение является малым (работа сил трения по модулю значительно меньше работ сил, входящих в формулу (1.109)). В технических приложениях широко применяют обобщенное уравнение Бернулли. Его можно получить из уравнения (1.109), для этого в него дополнительно вводят работу сил трения и преодоления гидростатических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин). Уравнение Бернулли применяют также для определения скорости истечения жидкости через узкое отверстие в широком сосуде. В качестве примера найдем, с какой скоростью вытекает вода из широкого открытого бака через малое отверстие, сделанное на боковой стене бака у самого его дна (высота столба воды в баке равна h, рис. б) Используем для этого уравнение Бернулли. Площадь открытой поверхности воды в баке значительно превышает площадь поверхности отверстия (S 1 ? S 2 ). Следовательно, для произвольной линии тока скорость частиц жидкости в точке 1 и 2 значительно отличаются друг от друга (v 2 ? v 1 » 0). Запишем уравнение Бернулли для точек 1 и 2 произвольно выбранной линии тока. Учитывая, что статическое МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ давление в точках 1 и 2 одинаково и равно атмосферному давлению p 1 » p 2 = = атм, на основании формулы (1.110) можно записать 2 1 3 2 2 1 2 2 2 2 Из (1.111) следует, что скорость, с которой жидкость вытекает из отверстия, равна скорости тела, при его свободном падении с высоты ТЕЧЕНИЕ РЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ При течении реальной жидкости нельзя пренебрегать силами внутреннего трения, которые действуют между соседними слоями жидкостей (это явление называют также вязкостью и оно рассматривается в разделе, посвященном явлениям переноса. Эти силы направлены по касательной к поверхности различных слоев жидкости, они замедляют скорость течения быстро движущихся слоев и ускоряют движение медленно движущихся слоев. Для слоя жидкости, примыкающего непосредственно к стенкам трубы, скорость течения практически равна нулю. Затем по мере продвижения вглубь трубы скорость слоев жидкости нарастает и принимает максимальное значение в середине трубы (рис. 1.34в). При ламинарном течении жидкости все сечение трубы можно разбить на отдельные концентрические слои. Жидкость в них течет с определенной скоростью, перемешивания различных слоев жидкости не происходит. В этом случае распределение скоростей по сечению круглой трубы имеет параболический характер (рис. в. При некоторой предельной скорости течения жидкости ее движение принимает турбулентный (вихревой) характер, при котором происходит перемешивание жидкостей различных слоев (возникают вихревые течения. За счет этого распределение скорости внутри жидкости изменяется, становится более равномерным — около краев трубы оно быстро нарастает ив остальных сечениях трубы принимает постоянное значение (рис. г ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 63 Ч АС Т Ь 2 ЭЛЕКТРОСТАТИКА Электростатика — раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных электрических зарядов. Такое взаимодействие осуществляется посредством электростатического поля. В XVII веке и первой половине XVIII века исследователи проводили многочисленные опыты с наэлектризованными телами, были построены первые электростатические машины, основанные на электризации трением. С изобретением первого конденсатора — лейденской банки — в 1745 г. появилась возможность накапливать большие электрические заряды. Это позволило в 1750 г. Б. Франклину установить закон сохранения электрического заряда. После открытия в 1785 г. закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов (закон Кулона) началось количественные изучение электрических явлений с помощью изобретенных в то время приборов (электроскопов и электрометров). В 1830 г. К. Гаусс сформулировал основную теорему электростатики. Отметим, что теорема о циркуляции вектора напряженности электрического поля и теорема Гаусса для электростатического поля являются частным случаем уравнений Максвелла. В 1874 г. Дж. Стоней высказал мысль о дискретности электрического заряда и вычислил его величину. В настоящее время типичными задачами электростатики являются описание распределения зарядов на поверхности проводников, вычисление энергии проводников по их известным зарядам или потенциалам. В этом разделе изучается одна из сторон единого электромагнитного поля — электростатическое поле неподвижных зарядов. В основе такого рассмотрения лежит установленный экспериментально закон Кулона, идея близкодействия и принцип суперпозиции электростатических полей МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 2.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД. ЗАКОН КУЛОНА В отличие от гравитационного, в электромагнитное взаимодействие вступают не все тела и частицы. Тем из них, которые участвуют в таких взаимодействиях, приписывается новое свойство — электрический заряд. Он может быть положительным или отрицательным, отражая тот факт, что электромагнитное взаимодействие может быть в виде взаимного притяжения разноименных зарядов или отталкивания одноименных зарядов. Итак, электрический заряд характеризует способность тел вступать в электромагнитные взаимодействия, а его величина определяет интенсивность этих взаимодействий. В природе в свободном состоянии существуют частицы, имеющие минимальный по модулю заряд, равный q min = 1,6 × Кл. Поэтому заряды всех тел и частиц, вступающих в электромагнитные взаимодействия, состоят из целого числа таких зарядов Q = ±Nq min , (2.1) где N — целое число. В этом заключается дискретность электрического заряда. Заряд электрона считается отрицательным, что позволяет достаточно просто установить знаки зарядов других частиц. В замкнутых системах выполняется закон сохранения электрического заряда, который формулируется следующим образом алгебраическая сумма электрических зарядов частиц замкнутой системы остается постоянной+ q 2 + ... = Этот закон позволяет анализировать процессы, происходящие в замкнутых системах при изменении в них числа частиц. Введение электрического заряда позволило сформулировать закон Кулона силы, с которыми взаимодействуют два неподвижных точечных заряда в вакууме, прямо пропорциональны произведению их зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними силы направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды риса Рис. 2.1 а б ЧАСТЬ 2. ЭЛЕКТРОСТАТИКА 65 Входящая в формулу (2.3) величина e 0 = 8,85 × 10 –12 Ф/м называется электрической постоянной, она нужна при записи формулы закона в международной системе единиц СИ. Этот закон был экспериментально установлен в 1785 г. французским ученым Ш. Кулоном с помощью изобретенных им крутильных весов. Этот закон был открыт английским ученым Г. Кавендишем ранее, в 70 х гг. XVIII века, но его труды были опубликованы лишь в 1879 г. Известно, что по сравнению с вакуумом сила взаимодействия между зарядами в среде ослабевает, и поэтому в формулу закона Кулона вводят новую характеристику — относительную диэлектрическую проницаемость среды e. 1 11 1 2 1 2 2 3 4 1 23 3 1 2 2 0 Параметр e описывает ослабление силы взаимодействия зарядов в среде, он показывает, во сколько раз модуль силы 1 0 1 2 взаимодействия зарядов в вакууме больше модуля силы 1 1 2 взаимодействия зарядов в среде ( e = Для вакуума e = 1, для всех сред e > 1, нос достаточной степенью точности при проведении многих расчетов можно принять e для газов равную единице. Эквивалентное определение e с учетом введения понятия напряженности электрического поля дается далее в разделе 2.12.3 (формула (ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Взаимодействие между неподвижными зарядами осуществляется посредством электростатического поля взаимодействуют не заряды, а один заряд в месте своего расположения взаимодействует с полем, созданным другим зарядом . В этом заключается идея близкодействия — идея передачи взаимодействий через материальную среду, через поле. Покажем, что электростатическое поле является потенциальным. Для этого рассчитаем работу кулоновской силы при перемещении точечного положительного заряда q 2 из точки 1 в точку 2 (рис. б) в электростатическом поле, созданном положительным точечным зарядом q 1 : 123 4 44 4 4 44 4 4 44 4 5 1 1 1 2 2 3 4 56 4 57 4 58 9 9 9 9 9 9 58 8 8 8 1 1 2 1 1 1 1 3 1 3 455 455 455 6 6 6 6 2 2 2 12 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0 2 1 4 4 4 1 Как видно из формулы (2.5), в окончательное выражение входят величины, описывающие только начальное и конечное положение заряда q 2 , то есть работа сил поляне зависит от пути перехода из точки 1 в точку 2. Это означает, что кулоновская сила будет консервативной, а электрическое поле потенциальным. В таком поле заряд обладает потенциальной энергией W p — МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ это может быть W p точечного заряда q 2 в электрическом поле заряда q 1 , или заряда q 1 в электрическом поле заряда q 2 , или двух взаимодействующих точечных зарядов. На основе формулы (2.5) для W p можно записать следующее выражение 2 3 4 1 2 344 1 2 0 4 (2.6 а) Как видно из выражения (2.6 а, W p определяется с точностью до постоянной величины. Ее выбор осуществляется наиболее удобным для решения задач способом. В данном случае для электрического поля точечного заряда принято выбирать const так, чтобы на бесконечно большом расстоянии между зарядами r ® ¥ их взаимная потенциальная энергия обращалась в ноль 0. Следовательно 233 1 1 2 2 3 4 1 2 0 4 (2.6 б) |