М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 4 из 73

Рис. 1.18

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА 1
1 1
2 1
1 1
0 0
0
const
1 или, используя формулу (1.40),
1 2 3
1
const,
1 где I
i
, w
i
— момент инерции и угловая скорость вращения i й материальной точки системы.
При вращательном движении, как и при поступательном, общая масса тел замкнутой системы остается постоянной, но при вращательном движении внутренние силы могут изменить распределение массы относительно оси вращения, то есть моменты инерции тел системы. Это при неизменном моменте импульса замкнутой системы приводит к изменению угловой скорости вращения входящих в нее тел.
Приведем ряд примеров, подтверждающих это явление. Учтем, что во всех этих примерах моменты внешних сил (силы тяжести, реакции опоры)
относительно вертикальной оси вращения равны нулю, и поэтому момент импульса системы остается постоянным.
Пример 1. При переходе человека (м. т) массой m
1
в центр платформы
(однородный диск радиуса R) массой m
2
угловая скорость вращения платформы увеличивается (рис. 1.19).
1 2
3 2
4 3 4
4 3 4 2
4 5 4 1
1 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
2 1
2 1
2 2
1 1
1 2
2 2
1 2 3
4 2
35 6
7
1
2 2
2
3 4
3 4
3 Пример 2. При вращении фигуристки изменение положения ее рук приводит к изменению момента инерции фигуристки относительно вертикальной оси вращения и соответственно к изменению угловой скорости ее вращения 2 1 2 1
1 1
2 1
1 2
2 1
2
1
1 Если фигуристка прижимает руки к телу, тотем самым она уменьшает свой момент инерции (I
2
< I
1
) и увеличивает угловую скорость вращения) Пример 3. Скамья Жуковского Человек стоит на скамье (их общий момент инерции относительно оси вращения равен I
1
) и держит в руках колесо
а
б
Рис. 1.19

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
(с моментом инерции I
2
), способное вращаться вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью вращения скамьи (рис. 1.20). Человек приводит во вращение колесо с угловой скоростью. Тогда он со скамьей начнет вращаться в противоположную сторону с угловой скоростью w
1 1
1 1 1
2 3
2 4 2 4 4 2 4 1
1 1
2 1
2 1
1 2
2 1
2 2 1
0 1
1 1
2 3
1 1 1
1 2
2
2 В этом опыте моменты инерции тел системы не изменяются, но внутренние силы совершают работу по изменению угловой скорости вращения входящих в систему тел.
*1.3.5.
ГИРОСКОПЫ
Под гироскопом понимают быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого (ось симметрии) может произвольно изменять свое положение в пространстве. Например, гироскопами являются детский волчок и массивный диск, закрепленный так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей АА
1
, ВВ
1
и СС
1
(рис. 1.21а).
Применяемые в технике гироскопы обычно являются уравновешенными, то есть их центры тяжести совпадают с центром подвеса (точка O) и поэтому моменты сил тяжести, действующих на них относительно любой оси вращения, равны нулю. В этом случае гироскоп можно рассматривать как замкнутую систему, для которой выполняется закон сохранения момента импульса.
Рис. Рис. 1.21
а
б

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
29
Если раскрутить диск вокруг оси АА
1
с большой угловой скоростью w, то возникающий при этом момент импульса 1
1
направленный вдоль оси вращения АА
1
(рис. б, будет сохранять свое положение в пространстве и соответственно сохраняет свое направление и ось вращения. Так, например,
при повороте подставки, на которой укреплен гироскоп, в ту или иную сторону, положение оси АА
1
останется неизменным из за того, что момент внешних сил относительно осей вращения будет равен нулю.
Оказывается, направление оси АА
1
практически не изменится и при кратковременных внешних воздействиях, когда момент внешних сил относительно какой либо оси будет отличным от нуля. Пусть на гироскоп в течение малого промежутка времени t будет действовать сила тяжести
1 1
12
приложенная на расстоянии r от точки О (рис. б. Она создаст момент силы
1 направленный вдоль оси ВВ
1
, и согласно уравнению (1.44) приведет к приращению вектора момента импульса
1 2 1 12 12 112 1
2
1 1 2 3
Вследствие этого ось вращения изменит свое положение в пространстве и установится вдоль нового направления вектора 2 12 12 1
2
1
1
. Из за малого времени действия внешней силы и большого модуля вектора 12 12 3
1 2
1
1
направление оси АА
1
в пространстве практически не изменится.
Это свойство гироскопа сохранять первоначальное направление оси вращения при любых его перемещениях и случайных кратковременных воздействиях используется в различных навигационных приборах. В них фиксируется определенное направление оси вращения в пространстве (вертикальное направление, направление на Cеверный географический полюс
Земли и т. д, относительно которого затем и определяется направление движения объекта и по мере необходимости корректируются курс и место положение.
Если внешняя сила будет действовать постоянно, то тогда поворот оси
АА
1
будет происходить вслед за поворотом вектора и гироскоп будет вращаться вокруг оси СС
1
с угловой скоростью п (так называемая прецессия).
Кажущаяся на первый взгляд возможность поворота гироскопа вокруг оси ВВ
1
под действием силы
1
12
опровергается основным уравнением динамики вращательного движения (Оценим угловую скорость п прецессии. Так, на основании рис. б при малом значении угла a можно записать 2 3 2 4 5 1 4 5 4 4
5 4 п п
п tg
1 1
1
123
123
4 где I — момент инерции гироскопа.
При винтовой нарезке ствола ружья или орудия такое движение (прецессию) совершает пуля или снаряд вокруг оси вращения, направленной в каждый момент времени по скорости их движения, то есть по касательной к траектории. Это увеличивает дальность и устойчивость полета пули и снаряда, способствует попаданию их в цель лобовой частью, увеличивает точность попадания ввиду отсутствия кувыркания пули и снаряда при их полете

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
1.3.6.
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА.
АНАЛОГИИ МЕЖДУ ЛИНЕЙНЫМИ И УГЛОВЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ
И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ
Из рассмотренных выше особенностей поступательного и вращательного движений абсолютно твердого тела можно сделать вывод о том, что оно будет находиться относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) в равновесии
(в частности, в состоянии покоя) либо будет двигаться равномерно и прямолинейно в соответствии сдвижением его центра масс тогда, когда — 1) векторная сумма внешних сил, действующих на тело, будет равна нулю и 2) когда векторная сумма моментов внешних сил относительно любой точки (через них могут проходить различные оси вращения) также будет равна нулю 1
1 1
2 2
1 1
1 2345 1 2345 6
6 71 В заключение этого раздела приведем таблицу аналогий между характеристиками вращательного и поступательного движений тела (табл. 1). Она позволяет на основе известных формул поступательного движения достаточно легко записывать формулы для вращательного движения, видеть взаимосвязь между этими видами движения и способствует более успешному усвоению материала. В качестве примера использования таблицы аналогий запишем ряд формул 2
3 2
3 4 5 2 6 3 6 2 6 3 1 2
4 2 6 2
2 4
2 1 2 2
2 2
4 2
5 2 5 2 6 6 6
2 4
2 12 2
2 2
12 12 12 2
112 2
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
3
1
2
3
3
45
5
6 7 5
7 7
45
5
5
8 97

8
94
 
5
5
  1 97 7
 


97



2 2
0 0
0 0
2 2
2 2
2 2
1234562787
1234562728249 57 722 552 5722 489 97
5792 489 975 857 427
 9458 89 75 85 7
22 489 75 85 7
9 4757 7
94 57458 87
57 49722 557
1234595 6789 95 234515
95 515552592935
8395 5 1

5 83952789 95
5 1 1 5
 5 5 15
599345 15 6789 599345 21 5 5 525
78495295 3
1 5
6789 95295 41 5 3
5 545
53855 93555 5
6
!


5
"85 1
 5 9358#5 1
 5
5 5 $%&75 5 
3 5
' 2845 1 5 935 2845385 1
 5 5 5 5
5
(98495295 1

5

5 5
!
)5 1

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
31
1.4.
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА
Понятия энергии и работы можно рассматривать с различных точек зрения, выявляя при этом существенные аспекты их взаимосвязи с различными физическими понятиями и процессами. Наиболее общий подход связывает их с материей. Все, что нас окружает, называют материей. Она существует вне прерывном движении, постоянно происходят взаимные превращения различных форм ее движения (в частности механической, тепловой, электромагнитной, ядерной) друг в друга. Количественной мерой различных форм движения материи является энергия, а их взаимных превращений — работа.
Из неуничтожимости движения следует тот факт, что суммарная энергия всех форм движения материи в замкнутой системе не исчезает и не возникает из ничего.
В механике изменение механической энергии связано с взаимодействием тел, с работой сил, действующих на тело. Понятие работы играет важную роль в жизни человека, являясь количественной мерой производимых им усилий на обеспечение своей жизнедеятельности.
1.4.1.
РАБОТА СИЛЫ. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА.
ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
Под элементарной работой А, совершаемой силой
1
1
на элементарном перемещении
11
12 называют величину, равную скалярному произведению на 1
12:
123 4
1
23 425
421
4 21
1 1
2 1 1 где a — угол между векторами
1 1
1 1
1 2 3
3 4
1 23 24
23
элементарный путь, пройденный точкой приложения силы F
S
— проекция силы на вектор риса Если сила постоянна
1 1
const
1 23
1
то ее работа на прямолинейном участке длиной l запишется следующим образом (l = S):
1 2
12 123 Рис. 1.22
а
б

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Работа силы может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Так, работы постоянных сил, приложенных к телу (см. рис. б) на горизонтальном участке пути l:
1 1
1 2 1
тр тр
1 1
2
1
23
4
5
5
5
4 6 Чтобы ввести понятие о кинетической энергии W
k
тела, запишем элементарную работу dA силы
1
1
в другом виде (см. 1.2.2):
1 22 1
22 3
3 3
3 4 5 3 4
3 1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 3
12
13 415 6
15 6212 62 Тогда для работы силы
1 1
1
переводящей тело из состояния (1) (скорость тела
1 1
1
) в состояние (2) (скорость тела 2
1
) можно записать 1
1 2
1 2
1 3 4
4 1 1 2
2 1
1 2
2 2
2 1
12 1
2 Из полученной формулы следует, что работа силы равна разности двух величин, определяющих начальное (скорость 1
1
) и конечное (скорость 2
1
) состояния тела. При этом условия перехода из состояния (1) в состояние (2) не оказывают влияния на записанное выражение. Поэтому можно ввести функцию состояния тела, его кинетическую энергию W
k
как скалярную физическую величину (СФВ), характеризующую способность тела совершать работу за счет изменения скорости его движения 2
2 В этом выражении постоянную величину выбирают, предположив, что при нулевой скорости движения тела его кинетическая энергия равна нулю,
поэтому
1 2
2 Кинетическая энергия тел не зависит оттого, как была достигнута данная скорость v, она является функцией состояния тела, положительной величиной, зависящей от выбора системы отсчета.
Введение W
k
позволяет сформулировать теорему о кинетической энергии, согласно которой алгебраическая сумма работ всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела 1 2 3 2
4 1
2 111 2
1
1
2
1
2
3
3
4
53 Эта теорема широко используется для анализа взаимодействия тел не только в механике, но ив других разделах курса физики, таких как электростатика, постоянный ток, электромагнетизм, колебания и волны и т. д

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА
33
1.4.2.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Возьмем ат. т, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис. б. Представим тело в виде совокупности м. т. массой тогда для кинетической энергии тела можно записать 1
1 2
2 2
2 2
3 3
3 3
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
1
2
345
34 Возможен случай, когда тело одновременно участвует в поступательном
(плоском) и вращательном движениях (например движение цилиндра без скольжения по плоскости, риса. Тогда его кинетическую энергию можно рассматривать как сумму кинетических энергий поступательного движения тела со скоростью вместе с осью вращения, проходящей через его центр масс (точка O), и вращательного движения тела относительно этой оси с угловой скоростью
11 :
1 2
3 1
1
23
4
5
2 2
2 Для сплошного (I
1
= 1/2mR
2
) и тонкостенного (I
2
= mR
2
) цилиндров одинаковой массы m и радиуса R кинетические энергии запишутся таким образом 1
2 2
1 2
3 4
1 Полученные формулы для кинетической энергии цилиндров позволяют объяснить опыт по различию времени их скатывания с наклонной плоскости высотой h и длиной l (рис. б. Согласно закону сохранения энергии (силой трения при движении цилиндров практически можно пренебречь, получим где v
1
, v
2
— скорости сплошного и полого цилиндров у основания наклонной плоскости.
При скатывании цилиндров центр их масс движется равноускоренно безначальной скорости, поэтому согласно формуле (1.13) можно записать 1
2 3
1 1 2 2 2
1 2
2 1
1 2
1 Рис. 1.23
а
б

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
то есть на скатывание полого цилиндра требуется большее время, чем для сплошного цилиндра.
Качественно это можно объяснить тем, что полый цилиндр является более инертным, чем сплошной (для него момент инерции относительно оси вращения больше, поэтому он медленнее изменяет свою скорость и соответственно тратит больше времени на скатывание с наклонной плоскости.
Как видно из риса, модули скоростей точек на поверхности цилиндра будут разными (В 0,
1 1
2 Атак как эти точки участвуют одновременно ив поступательном, и во вращательном движениях со скоростями пост и 1
вр
1
1
причем
1
вр
1 для каждой точки направлена по касательной к поверхности цилиндра и равна по модулю v
1 2
1 2 1
1 1
1 общ пост вр вр
1 23
1
1
1
1 Отметим, что движение цилиндра можно рассматривать и как ряд последовательных вращений вокруг мгновенной оси, проходящей через точку С
(рис. ас угловой скоростью w. Причем ив этом случае кинетическая энергия тела также определяется формулой (РАБОТА ВНЕШНИХ СИЛ
ПО ВРАЩЕНИЮ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Запишем формулу для элементарной работы силы по вращению тела вокруг неподвижной оси вращения (рис. 1.15, формула (1.45)):
1 2 3
4
1
1
2
2
3
34 5 31 5 63
7 3
8 3
8
3
8 3
39
34 73
7 3
8 3
1 2
2 3 2 3 2 4 3 2 3 2 1 1 2
3 2 3 2 1 1 1 где в зависимости от направления векторов
1
1 21 1
1
можно получить замедленное вращение тела (
1
2
12 3 4 1
1
проекция на ось вращения M
Z
< 0) и ускоренное вращение тела (
1
2
11 2 3 1
1
проекция M
Z
> Работа внешних сил по изменению угловой скорости от w
1
дона конечном угловом перемещении
Dj = (j – j
0
) определится так 2
1 2
2 2
3 3
1 3 2 2 3 4
3 4
3 5 6
6 6
1 1 2
2 1
0 1
2 2
2 2
1 12 1
2 2
1
1
1
1
2
2
3
43
54
2 Формула (1.67) представляет собой теорему о кинетической энергии в случае вращательного движения тела.
1.4.4.
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ТЕЛ.
ТЕОРЕМА О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Под потенциальной энергией W
p
взаимодействующих тел или частей одного тела понимают СФВ, характеризующую их способность совершать работу за счет изменения взаимного расположения тел или частей одного тела.
Потенциальная энергия в одинаковой степени характеризует все взаимодействующие тела или их части. При этом между ними действуют консерватив

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА