М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
Рис. 9.3 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 329 Пример 2. В части 5 для приближенной оценки ширины частотного спектра различных импульсов Dw была записана формула (5.43): Dw × Dt » 2p, она связывает ширину спектра Dw со временем излучения импульса Dt. Распространение этого импульса в пространстве можно описать понятием волнового пакета — группы волн с частотами, заключенными в пределах от w до w + Dw (рис. 9.4а). Покажем, что область локализации Dx волнового пакета (область пространства, где амплитуда волнового пакета существенно отличается от нуля, рис. б) и разброс по модулю импульса Dp X для волн этого волнового пакета связаны между собой соотношением DxDp X » Действительно 2 3 4 5 6 7 8 79 7 8 7 8 7 8 76 7 7 76 5 Б 1 1 1 2 3 3 3 4 2 5 4 5 3 2 2 2 что и требовалось показать. Следовательно, и сточки зрения волновой теории координата и соответствующая ей проекция импульса являются сопряженными величинами. Пример 3. Энергия и время (А = W, В = t). Для этих величин можно записать Здесь W — энергия частицы в квантовом состоянии, DW — разброс по энергии данного квантового состояния, Dt — время жизни частицы в данном квантовом состоянии. Согласно формуле (9.4) каждая линия излучения имеет естественную ширину или каждый излучаемый фотон имеет разброс по частотам. Поясним это с помощью рис. в. В основном состоянии атом может находиться сколь угодно долго (осн, и поэтому ширина по энергии такого состояния равна нулю осн осн В возбужденном состоянии атом может находиться в течение времени Dt возб » 1 × с, что приводит к размытию по энергии возбужденного уровня энергии атома DW возб ³ h/Dt возб ¹ 0. Поэтому излучаемый при переходе в основное состояние фотон будет иметь разброс по частоте Dw = Ф = DW возб / h » 1/Dt возб » 1 × 10 8 рад/с. Отметим, что формулу (9.4) можно получить из выражения (5.43), если умножить его на постоянную h (hDw × Dt » 2ph Þ Ф » Рис. 9.4 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 9.2.2. УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ Запишем условия, при которых для описания движения микрочастиц, обладающих волновыми свойствами, можно применять законы классической механики. Это возможно, если применимо понятие траектории, то есть одновременно с достаточной степенью точности можно пользоваться понятиями координаты и импульса для микрочастицы 1 1 1 1 1 1 где величина L — характерный размер установки. Эти условия можно объединить водно, выражая неопределенности задания импульса и координаты из соотношений неопределенностей Гейзенберга аи перемножая неравенства в формуле (9.5) 1 2 1 1 3 4 3 5 4 2 1 3 2 6 1 2 2 2 Б Б 1 1 1 2 3 3 4 2 4 3 5 4 4 1 Согласно формуле (9.6) классическая механика применима для описания движения микрочастиц, если можно пренебречь волновыми свойствами частицы, то есть длина волны де Бройля существенно меньше характерного размера установки. Приведем ряд примеров, поясняющих условия формул (9.5) и (Пример Движение электрона в электронно лучевой трубке пусть длина трубки составляет l = 0,1 м, напряжение на трубке U = 10 кВ. За счет расходимости пучка электронов радиус пятна на экране составляет r = 1,0 × 10 –5 м. Оценим точность задания импульса электрона. Из рис. 9.5 можно видеть, что 2 3 3 4 1 1 1 2 3 2 4 4 1 то есть понятием импульса можно пользоваться с достаточной степенью точности. Оценим точность задания координаты электронов. Характерным размером установки здесь является радиус пятна пучка электронов на экране r = Используя соотношение неопределенностей Гейзенберга (9.3 а, получим 1 1 1 1 1 1 2 3 4 4 4 2 5 5 5 5 4 3 5 5 5 5 5 5 1 1 1 2 4 5 4 25 3 19 4 31 10 10 2 | | 10 1 10 2 10 1. 2 1,6 10 1 10 /9,1 10 X X x L L p Lp e Как видно, координата электронов тоже задана с достаточной степенью точности, то есть движение электронов в электронно лучевой трубке можно описывать с помощью уравнений классической механики. Рис. 9.5 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 331 Пример 2. Электрон в атоме его размеры составляют L » 1 × м, они являются характерным размером данной задачи. Из теории Бора для атома водорода известно, что скорость электрона на первой боровской орбите равна u » 1 × 10 мс. Оценим длину волны де Бройля, соответствующую электрону в атоме водорода 1 1 2 3 4 4 4 5 2 6 3 7 2 2 34 10 31 6 6 6 10 7 10 9 1 10 10 Б Б м 1 2 1 1 1 2 3 Следовательно, при описании поведения электрона в атомах необходимо использовать новую теорию — квантовую механику. 9.2.3. ТРАКТОВКА СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ Итак, остается непонятным, как электроны проходят через щель в примере (п. 9.2.1). Чтобы выяснить это, можно установить за ними наблюдение, посылая каждый раз фотон при приближении электрона к щели, причем энергия фотона должна быть существенно меньше полной энергии электрона (в этом случае можно пренебречь влиянием взаимодействия электрона и фотона на поведение электрона. По отраженному от электрона фотону можно выяснить, каким образом электрон проходит эту щель. Однако оказывается, что при таком наблюдении за электронами на экране не будет наблюдаться дифракционная картина — все электроны будут лететь без отклонения и попадать в центр экрана. Следовательно, поведение электрона при наблюдении за ним изменяется. Из этого опыта можно сделать вывод, что любой процесс измерения (наблюдения) оказывает существенное влияние на поведение микрочастиц. Поэтому квантовая механика не рассматривает вопросы, связанные с детальным поведением частиц в томили ином опыте она дает лишь результаты, взаимодействия частиц с различными преградами (потенциальными полями. Случайный характер движения отдельной частицы не позволяет однозначно описать ее поведение в опыте, но при накоплении достаточно большого числа случайных событий мы получаем закономерные явления, которые и описывает квантовая механика. Если убрать случайный характер поведения отдельной частицы, установив за ней наблюдение, то это приводит к исчезновению статистических закономерностей при накоплении большого числа случайных событий. Как уже было отмечено, две сопряженные величины не могут иметь одновременно точных значений, то есть водном опыте нельзя одновременно установить точные значения сопряженных величин. Это позволяет дать трактовку соотношений неопределенностей Гейзенберга сточки зрения процесса измерения. Перепишем формулы (9.3 аи) следующим образом 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 1 1 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Полученные формулы можно истолковать следующим образом чем точнее в данном опыте определяется импульс ( ¯Dp X ), тем менее точно будет известна координата ( Dx); чем дольше измеряется энергия системы Dt, тем с большей точностью ( ¯DW) она будет известна. 9.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. СТАНДАРТНЫЕ УСЛОВИЯ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ Итак, движению микрочастицы соответствует волновой процесс, волна де Бройля. Возникает вопрос о природе этих волн де Бройля. Сначала считали, что волны де Бройля — это электромагнитные волны, а микрочастица представляет собой волновой пакет из ЭМВ. Однако такое представление оказалось неверным, так как из заявления дисперсии волновой пакет, распространяясь в среде, расплывается, что противоречит стабильности существования микрочастиц. Правильная трактовка природы волн де Бройля была дана М. Борном в г. Согласно Борну, волны де Бройля — это волны вероятности, а волновая функция представляет собой амплитуду вероятности Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции х, y, z, t )| 2 — это плотность вероятности пл, y, z, t), она равна отношению вероятности Р, y, z, t) найти частицу в момент времени t в бесконечно малом объеме dV, взятом около точки с координатами (x, y, z), к величине этого объема dV: 1 2 2 i e 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 4 12 3 4 5 6 3 4 5 6 2 3 4 5 В связи с вероятностным смыслом волновой функции на нее накладываются стандартные условия, а именно волновая функция и ее частные производные по координатам должны быть непрерывными, однозначными и конечными. На риса показаны точки, которые должны отсутствовать на графике для волновой функции или для модуля квадрата волновой функции. Для волновой функции справедливо условие нормировки 2 3 2 1 1 2 3 3 3 4 1 3 1 2 3 4 5 Рис. 9.6 а б ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 333 оно дает вероятность найти частицу в какой то момент времени в объеме ее существования это вероятность достоверного события, и поэтому такой интеграл равен единице. Рассмотрим теперь, как решается задача о движении частицы в классической и квантовой механике. В классической механике состояние частицы в какой то момент времени определяется заданием ее координат и импульса. Поэтому схема решения задачи здесь выглядит следующим образом задаются координаты и импульс частицы в начальный момент времени, затем решается уравнение II закона Ньютона ив итоге получают координаты и импульс в конечный момент времени (см. п. Такую схему решения задачи в квантовой механике применить нельзя, так как из за соотношения неопределенностей Гейзенберга невозможно одновременно точно задать координаты и импульс частицы. Здесь состояние частицы однозначно определяется заданием ее волновой функции, поэтому решается уравнение для этой волновой функции и таким образом однозначно находится конечное состояние частицы, то есть ее волновая функция в момент времени t (рис. 9.6б). Впервые основное уравнение квантовой механики — уравнение для волновой функции было записано в 1926 г. Э. Шредингером и получило название уравнения Шредингера. Оно имеет следующий вид 3 42 5 2 6 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 4 где h = h/(2p) — постоянная Планка, деленная на 2p; 1 21 1 1 мнимая единица масса частицы U(x, y, z, t) — потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется 1 1 1 2 3 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 оператор Лапласа, его действие на волновую функцию сводится к взятию вторых частных производных по координатам. В левой части уравнения берется частная производная от волновой функции повремени Уравнение Шредингера является основным уравнением квантовой механики, оно не выводится, его справедливость проверяется сопоставлением полученных из него результатов с опытными данными Его значение в квантовой механике сравнимо с уравнениями Ньютона в классической механике и Максвелла в электродинамике или тремя началами в термодинамике. Уравнение Шредингера не выводится, но можно понять, как оно может быть записано, например, в частном случае движения свободной частицы вдоль оси Ox. Забегая вперед, рассмотрим результаты решения задачи квантовой механики о свободной микрочастице (Задача 1) для энергетического спектра частицы и ее волновой функции 2 3 3 4 4 4 5 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 1 4 1 23 45 6 7 4 2 8 8 5 3 9 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Если выразить энергию W и импульс частицы p через ее волновую функцию 1 2 3 4 3 5 4 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 и подставить их в формулу для энергии W, то получим уравнение Шредингера для свободной микрочастицы. Если же частица движется во внешнем силовом поле с потенциальной энергией, то тогда необходимо ввести волновую функцию в выражение 2 1 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 4 что приводит в общем случае к уравнению (9.9), записанному Шредингером. Еще раз подчеркнем, что это уравнение не выводится, оно является постулатом. Обычно рассматриваются силовые поля, которые явно не зависят от времени. Они называются стационарными полями. В таких полях потенциальная энергия частицы не зависит от времени (U = U(x, y, z)), а полная энергия частицы остается постоянной (W = U + W K = const). Волновую функцию в этом случае можно представить в виде произведения временной ее части на координатную часть y(x): 1 2 3 4 1 1 2 1 2 2 2 3 1 34 1 2 3 4 Для координатной части волновой функции уравнение Шредингера (его называют стационарным уравнением Шредингера) примет вид 23 4 3 5 3 1 2 2 1 2 2 2 3 4 1 2 3 4 В заключение приведем схему решения задач квантовой механики й этап. Постановка задачи При этом задается вид силового поля, в котором движется частица, то есть задается зависимость потенциальной энергии частицы от координат во внешнем силовом полей этап. Решение уравнения Шредингера Оно решается как дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Стандартные условия и условие нормировки, накладываемые на волновую функцию, приводят к тому, что уравнение имеет решение не для всех значений полной энергии частицы. Совокупность значений энергии, при которых уравнение имеет решение, называют собственными значениями энергии, а соответствующие им волновые функции называют собственными волновыми функциями. На этом этапе находят собственные значения энергии и собственные волновые функции задачи й этап. Анализ полученного решения. Энергетический спектр частицы. Совокупность собственных значений энергии частицы образует энергетический спектр частицы. Вероятность обнаружения частицы в различных точках пространства. Совокупность собственных волновых функций позволяет найти плотность вероятности обнаружения частицы в разных точках пространства ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 335 Итак, решая уравнение Шредингера, можно найти только энергетический спектр частицы и вероятность ее обнаружения в различных точках пространства. Данные сведения используются для анализа поведения частицы в потенциальном поле определенного вида. Более детальной информации квантовая механика о поведении частиц не дает. Это является не недостатком теории, а следствием вероятностного поведения частицы в пространстве. Поведение частиц вне экспериментальной ситуации, то есть самих по себе, нам недоступно, так как мы живем в макромире и используем понятия макромира. О наличии микромира мы узнаем из поведения частиц в экспериментальной ситуации, и это нужно помнить и не стараться брать от теории то, что она не может дать. Ниже представлено решение ряда задач квантовой механики, имеющих точное решение. Таких задач существует немного, и они играют важную роль при анализе экспериментальных данных. 9.4. ЗАДАЧА 1. СВОБОДНАЯ МИКРОЧАСТИЦА й этап. Постановка задачи Задача одномерная. Частица движется с постоянной скоростью в положительном направлении оси Ox. Внешнего силового поля нетто есть потенциальная энергия частицы равна нулю (U(x) = частица является свободной. Импульс частицы равен й этап. Решение уравнения Шредингера Запишем уравнение Шредингера для свободной микрочастицы 1 2 3 1 4 5 1 3 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 1 23 3 4 4 2 Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением этого уравнения является следующая функция 2 3 4 1 2 Если учесть, что полная волновая функция равна произведению координатной части функции на ее временную часть (формула (9.11)): 1 2 1 2 3 3 3 4 3 5 6 7 6 4 1 1 1 1 1 2 3 1 3 2 1 1 1 2 3 45 2 3 45 2 3 3 а также комплексное представление волновой функции для плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ox, 1 2 1 3 4 1 2 1 3 2 3 1 2 34 4 то тогда можно сказать, что первое слагаемое в решении уравнения Шредингера для волновой функции представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля, распространяющуюся в положительном направлении оси Ox (бегущая волна де Бройля), а второе слагаемое — плоскую монохроматическую волну де Бройля, распространяющуюся в отрицательном МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ направлении оси Ox (отраженная волна де Бройля). При этом циклическая частота w этих волн составит w = W/h, а параметр k представляет собой модуль волнового вектора В связи стем, что при движении свободной частицы отражения нетто тогда второе слагаемое в волновой функции будет отсутствовать 2 3 3 4 5 1 1 2 3 4 1 2 3 45 5 Как видно, волновая функция удовлетворяет стандартным условиям во всей области ее существования, а условие нормировки дает для коэффициента следующую формулу где V — объем пространства, в котором может находиться частица. Из условия конечности волновой функции следует, что при стремлении ¥ коэффициент А стремится к нулю. Для собственных значений энергии можно получить 1 1 2 2 2 2 2 где были использованы формулы для импульса и модуля волнового вектора 2 2 3 2 4 4 1 1 Б Б 1 2 1 2 3 2 3 2 (9.15) |