М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
Рис. 10.3 а б n ЧАСТЬ 10. АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ й постулат Поглощение или излучение квантов света (фотонов) происходит при переходах электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия излучаемого или поглощаемого фотона равна разности энергий стационарных состояний 2 1 2 Ф 1 1 1 2 2 2 (10.9) В формуле (10.9) электрон переходит со стационарного состояния с номером на стационарное состояние с номером Подставляя в формулу (10.9) выражение (10.7), можно получить формулы, описывающие все длины волн или частоты спектральных линий, излучаемых атомом водорода 2 3 4 4 4 5 6 7 8 9 2 2 2 2 1 2 12 3 4 3 4 5 5 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 5 5 6 7 9 9 1 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 Входящие в формулы (10.10) постоянные Ридберга имеют следующие значениям с 1 1 Как показывает опыт, формулы (10.10) описывают весь спектр излучения атомарного водорода. Все линии излучения группируются в серии линий (рис. б. В каждой серии линий выделяют головную линию (она изображается на рис. б под № 1), вторую линию (№ 2) и т. д. Расстояние по частотам для соседних линий с увеличением их номера уменьшается, и серия линий имеет четкую границу — границу серии. Обычно выделяют серии Лаймана (она находится в ультрафиолетовой области) и Бальмера (видимая часть спектра ЭМВ), затем следуют серии Па шена, Бака, Пфунда и т. д. Серия Лаймана образуется при переходах электрона с верхних уровней энергии на уровень с главным квантовым числом n 2 , равным единице (n 2 = а n 1 = 2, 3, 4, ..., рис. б, для серии Бальмера n 2 = 2, n 1 = 3, 4, 5, ..., и т. д. При этом происходит излучение спектральных линий с длинами волн 2 1 серия Лаймана: серия Бальмера 4 5 6 3 4 5 6 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 Необходимо отметить, что теория Бора имела внутренние противоречия, так как ее автор внес в классическую теорию несвойственные ей постулаты. Поэтому теория Бора не смогла объяснить спектры испускания следующего, второго в таблице Менделеева атома — гелия, не говоря уже об остальных атомах. К тому же в теории Бора ничего не говорится об интенсивности излучаемых спектральных линий МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ 10.1.3. ОПЫТ ФРАНКА И ГЕРЦА Итак, согласно постулатам Бора атом может принимать только определенные порции энергии, которые соответствуют разности энергий между его стационарными состояниями. При переходе из возбужденного состояния в основное происходит излучение кванта энергии. Наглядным подтверждением правильности постулатов Бора явились результаты опыта Франка и Герца (Схема опыта заключалась в следующем. В стеклянной трубке создавался вакуум, затем она заполнялась парами ртути под низким давлением порядка Па. В трубке находились катод K, анод А, а между ними располагалась сетка (риса. Катод K подогревался и за счет явления термоэлектронной эмиссии испускал электроны, которые летели к сетке C. Между катодом и сеткой прикладывалось ускоряющее напряжение U, пройдя которое электроны приобретали кинетическую энергию, равную mv 2 /2 = Между сеткой и анодом создавалась задерживающая разность потенциалов, равная U 1 = –0,5 В (тормозящее электрическое поле уменьшало скорость электронов. Измеряя силу тока, текущего между анодом и катодом, снимали вольт амперную характеристику (ВАХ, I = I(U), рис. б. На начальном участке характеристики при U меньше 4,9 В сила тока возрастает, так как при повышении напряжения все большая часть электронов, вылетающих из катода, достигает анода (рис. 10.4б). В обычных условиях при упругих столкновениях между электронами и атомами ртути напряжение U 1 не сказывается на виде ВАХ. Действительно, упругое столкновение электрона с атомом ртути аналогично упругому взаимодействию молекулы со стенкой, при котором практически не происходит изменения по модулю скорости молекулы из за большого различия в ее массе и массе стенки. Поэтому электроны, подлетая к сетке, приобретают кинетическую энергию, достаточную для преодоления тормозящего электрического поля и попадания на анод. Ситуация резко изменяется, если происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, тогда электрон полностью отдает приобретенную им кинетическую энергию атому, скорость электрона резко уменьшается, ион не сможет преодолеть задерживающую разность потенциалов Это должно приводить к падению силы тока, протекающего по цепи. Погло Рис. 10.4 а б ЧАСТЬ 10. АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 355 щение атомом энергии от электрона означает, что атом переходит в возбужденное состояние. Результаты опыта оказались следующими. До U = 4,9 В наблюдается монотонное увеличение силы тока с повышением напряжения (это объясняется тем, что наблюдаются только упругие столкновения электронов с атомами ртути, затем при напряжении U = 4,9 В происходит резкое падение силы тока (электроны испытывают неупругие столкновения с атомами ртути, отдают им полностью свою кинетическую энергию и не могут преодолеть задерживающую разность потенциалов U 1 ). При дальнейшем повышении напряжения ток начинает снова возрастать (электроны, испытавшие неупругое столкновение с атомами ртути, получают в пространстве между катодом и сеткой достаточную кинетическую энергию от ускоряющего электрического поля для преодоления U 1 и достигают анода. При напряжении U = 9,8 В = 2 × 4,9 В электроны испытывают два неупругих столкновения с атомами ртути, теряют полностью свою кинетическую энергию, что сопровождается вторым резким падением силы тока вцепи. Такое поведение наблюдается также при напряжениях, кратных значению 4,9 В, то есть 14,7 В и т. д. (рис. 10.4б). Следовательно, полученная ВАХ свидетельствует о том, что энергия атома в стационарных состояниях принимает только определенные значения. Этот факт подтверждает первый постулат Бора. Наименьшая порция энергии, которую может поглотить атом, соответствует переходу электрона из основного состояния (W 1 ) на первое возбужденное (W 2 ), для атомов ртути = W 2 – W 1 = |e|U = 4,9 эВ. При обратных переходах (с первого возбужденного стационарного состояния в основное стационарное состояние) должны излучаться кванты энергии (фотоны, соответствующие излучению с длиной волны l = с W 1 ) = 254 нм, что соответствует ультрафиолетовому излучению. Этот факт был также подтвержден экспериментом. Подводя итог, можно сделать вывод о том, что результаты опыта Франка и Герца полностью подтвердили постулаты Бора о существовании стационарных состояний атома и механизме излучения атома. Теория Бора сыграла большое значение в развитии науки вначале ХХ века, так как систематизировала имеющиеся в большом количестве опытные данные по излучению атомов. 10.1.4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА, ЕГО РЕШЕНИЕ. ГЛАВНОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛО. ОРБИТАЛЬНОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛО В квантовой механике при рассмотрении задачи о поведении электрона в атоме водорода необходимо решить уравнение Шредингера следующего вида 2 1 2 1 2 3 4 5 6 6 5 2 7 2 8 9 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 4 1 1 2 1 Удобно решать такое уравнение в сферической системе координат (см. риса, так как потенциальное поле, в котором движется электрон, является сферически симметричным (U(r, q, j) = U(r)). МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Решение уравнения Шредингера является достаточно сложными здесь не приводится. Из него следует, что собственные волновые функции этой задачи y(r, q, j) = y n ,l,m (r, q, j) нумеруются набором трех квантовых чисел и m, которые называются главным квантовым числом n, орбитальным (азимутальным) квантовым числом l и магнитным квантовым числом Рассмотрим каждое квантовое число подробнее. Энергетический спектр электрона в атоме водорода ив водородоподобных ионах полностью определяется главным квантовым числом n, энергетический спектр является дискретными сходящимся. Все выводы теории Бора относительно энергетического спектра испек тров излучения (п. 10.1.2) справедливы и здесь. Приведем формулы для энергетического спектра электронов, для длин волн и частот спектральных линий, справедливые как для атома водорода, таки для водородоподобных ионов 2 1 3 2 2 1 2 3 1 1 12221 1 2 3 4 1 1 ; (10.13) 1 2 1 2 3 4 5 6 7 4 4 5 6 8 8 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 где z — заряд иона. В квантовой механике понятие траектории для электрона отсутствует, то есть электроны не совершают движение по орбитам. Но, как показывает решение уравнения Шредингера, понятия орбитального механического и магнитного момента электронов остаются, остается справедливым гиромагнитное отношение (10.2) и тот факт, что направления векторов и 3 будут противоположны (см. п. Новым в квантовой механике является тот факт, что для квантования модулей этих векторов вводится новое квантовое число — орбитальное квантовое число l: 1 2 1 1 3 2 1 1 1 Б 1 2 34 2 34 1 21 1 3 4 1 1 5 4 1 где в формулу введена новая постоянная — магнетон Бора Б, определяющий единицу квантования магнитного момента электрона 2 3 3 4 1 23 0927 10 2 Б Дж/Тл. 1 1 1 1 2 (10.16) а б Рис. 10.5 ЧАСТЬ 10. АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 357 Орбитальное квантовое число l при фиксированном значении n принимает следующие значения const: l = 0, 1, 2, 3, ..., n – Всего l принимает n значений. Принято состояния с разными значениями l обозначать буквами латинского алфавита, а именно состояния с l = 0 называют s состоянием, состояния с l = 1, 2, 3, 4 называют соответственно р , d , f , e состояниями и т. д. Рассмотрим распределение электронного заряда внутри атома и начнем с s состояния. Как показывает решение уравнения Шредингера, волновые функции в s состоянии являются сферически симметричными y ns (r, q, j) = y ns (r). Поэтому здесь удобнее рассматривать вероятность обнаружения электрона в шаровых слоях единичной толщины (рис. б 1 2 3 3 3 3 1 2 2 2 2 кв ( ) | | ( ) | 4 ( ) ( ) | ( ) | 4 r dV r r dr dP Для волновой функции в квантовом состоянии си расчеты проводят к следующему выражению 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 123 где r 1 — радиус первой боровской орбиты (формула (График плотности вероятности P 1S (r) обнаружения электрона внутри атома в 1s состоянии приведен на риса. Из него видно, что вероятность найти электрон внутри атома отлична от нуля на всех расстояниях от ядра. Электрон внутри атома образует шаровое облако переменной плотности большей плотности электронного облака соответствует большая вероятность обнаружения электрона (рис. б. Такое поведение электрона не согласуется с классическим представлением о движении электрона по орбите, справедливым в теории Бора. Взаимосвязь с теорией Бора здесь заключается в том, что наибольшая вероятность обнаружения электрона внутри атома приходится на расстояние, соответствующее радиусу первой боровской орбиты (рис. 10.6а). Для электрона в 2s состоянии электронное облако также будет шаровым, но здесь наблюдаются два расстояния, на которых плотность электронного Рис. 10.6 а б в МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ облака является максимальной, они соответствуют радиусам первой и второй стационарных орбит электрона в теории Бора (см. рис. 10.6б). Для электрона в состояниях с l > 0 волновые функции будут зависеть от углов q и j, то есть плотность электронного облака будет иметь определенную направленность в пространстве. В этих случаях удобнее рассматривать вероятность попадания электрона в объем dV = dxdydz. Так, например, для p состояния (l = 1) плотность вероятности обнаружения электрона, или плотность электронного облака, представляет собой пространственную восьмерку (рис. в. Для остальных состояний с l > 1 электронные облака принимают более сложный вид. Отметим, что вид электронного облака в атоме определяется в основном главными орбитальным квантовыми числами. 10.1.5. МАГНИТНОЕ ОРБИТАЛЬНОЕ КВАНТОВОЕ ЧИСЛО. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ МАГНИТНЫХ МОМЕНТОВ ЭЛЕКТРОНА В квантовой механике, в отличие от классической механики, проекции орбитального механического момента 1 1 2 и магнитного момента 1 1 2 электрона на направление внешнего магнитного поля (это направление обычно выбирают вдоль оси О) квантуются, то есть принимают дискретный набор значений. Это явление называют пространственным квантованием. Пространственное квантование магнитных моментов атомов было подтверждено в опытах О. Штерна и В. Герлаха (см. п. Для описания квантования этих проекций вводят новое квантовое число магнитное квантовое число m: L lZ = m h, p mZ = m Б m (10.19) Для фиксированного значения l магнитное орбитальное квантовое число принимает 2(l + 1) значение –l, –(l – 1), (l – 2), ..., 0, 1, 2, (l – 1), Оказывается, что одновременно точно известна только одна проекция векторов 1 и на оси Ох, Оу и Ото есть проекции этих векторов (L lX , L lY , L lZ ), (p mX , p mY , p mZ ) являются сопряженными величинами. Рис. 10.7 а б в г ЧАСТЬ 10. АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 359 Для того чтобы наглядно представить правила квантования проекций векторов 1 и электрона на направление внешнего магнитного поля, используется векторная модель. В качестве примера построим ее для орбитального механического момента 1 1 2 электрона в p состоянии (l = 1, m = –1, 0, рис. 10.7а). Сначала рассчитываем модуль вектора 1 1 2 и его проекции на ось О 2 1 1 3 1 1 1 1 1 2 0 1 2 3 3 3 4 1 12 3 1 1 3 Затем изначала оси Oz проводим векторы так, чтобы их концы находились на окружности радиуса, равного модулю вектора 1 1 2 а их проекции соответствовали значениям – h, 0, h. Для того чтобы точно известной была только проекция векторов на ось Oz, приводим векторы во вращение вокруг этой оси. Отметим, что магнитное квантовое число определяет ориентацию электронного облака во внешнем магнитном поле. На рис. б приведены ориентации электронного облака для электрона, находящегося в p состоянии. 10.1.6. СПИНОВЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ ЭЛЕКТРОНА. КРАТНОСТЬ ВЫРОЖДЕНИЯ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ. ПРАВИЛА ОТБОРА Спиновые механический и магнитный моменты электрона. Оказалось, что рассмотренное выше решение задачи на атом водорода является неполным. На это указывали различные факты. К ним, например, можно отнести опыты по определению магнитных моментов атомов, проведенные Штерном и Герлахом (см. раздел 10.2.4), магнитомеханические опыты Эйнштейна и де Хааса по определению гиромагнитного отношения для металлов. Также на это указывает анализ спектроскопических данных, в частности появление дублетов желтых линий, то есть близко расположенные по длинам волн двух желтых линий в спектре излучения щелочных металлов. Все это привело Уленбека и Гаудсмита (1925) к гипотезе существования у электрона собственного механического момента 1 1 2 Сначала считали, что собственный механический момент электрона 1 1 2 связан с тем, что электрон вращается вокруг своей оси, но это предположение оказалось ошибочным, так как приводило к значениям скоростей вращения, превышающих скорость света в вакууме. Теперь считается, что собственный механический момент 1 1 2 его еще называют спином или спиновым моментом (от англ. spin — вращение, не связан сдвижением электрона как целого, а является таким же неотъемлемым свойством электрона, как его заряд, масса и т. д. Спину 1 1 2 электрона соответствует собственный магнитный момент 1 и именно их существование и устраняет расхождение между теорией и экспериментом. Модули векторов и для электрона квантуются, то есть принимают дискретный набор значений. Для описания квантования модулей этих моментов вводится спиновое квантовое число s: 1 2 1 3 2 1 1 2 Б 23 1 23 1 21 3 4 4 5 4 которое для электрона принимает только одно значение, равное 1/2. МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Гиромагнитное отношение для собственных 1 и моментов электрона в два раза больше гиромагнитного отношения для орбитальных моментов 1 1 1 1 1 1 2 что подтверждается магнитомеханическими экспериментами, проведенными Эйнштейном и де Хаасом. Оказывается, что квантуются также и проекции спина, и собственного магнитного момента на направление внешнего магнитного поля. Для описания квантования проекций этих векторов вводится магнитное спиновое квантовое число m S : : L SZ = hm S , p mSZ = 2 m Б m S (10.23) Магнитное спиновое квантовое число принимает для электрона два значения Все частицы по значению их спинового квантового числа S разбиваются на два класса частиц. Оказывается, что поведение системы тождественных частиц определяется значением проекции их спина (собственного механического момента) L SZ на направление внешнего магнитного поля, то есть спиновым квантовым числом S. Оно определяет полную волновую функцию системы тождественных частиц и соответственно особенности их поведения. В современной физике L SZ принято указывать в единицах h (L SZ = ±S) и называть спином. Частицы, у которых спин равен полуцелому числу, называют фермионами. Для них справедлив принцип Паули, согласно которому в системе тождественных фермионов водном квантовом состоянии может находиться только один фермион, то есть в системе не может быть двух фермионов с одинаковым набором всех квантовых чисел. Для бозонов, частиц с целым спином, водном квантовом состоянии может находиться сколь угодно много бозонов (говорят, что бозоны — коллективисты, а фермионы — «индивидуалисты»). |