М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
9.8. ЗАДАЧА 5. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ й этап. Постановка задачи Задача одномерная. Частицы движутся вдоль оси Ox и налетают на прямоугольный потенциальный барьер высотой (W < U 0 ), (риса. Необходимо ответить на вопрос что происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером? В классической механике все частицы отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновения в области 2 и 3, то есть в область барьера и за него, нет й этап. Решение уравнения Шредингера.В квантовой механике для ответа на этот вопрос необходимо решить уравнение Шредингера в трех областях 1 1 1 2 3 4 3 1 2 3 4 5 3 2 3 4 3 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 0 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 2 2 Область1 Область Область 3 1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 12 3 12 3 2 3 2 3 2 3 12 3 12 3 12 3 45 3 6 7 8 7 2 4 9 5 3 6 7 8 7 87 2 3 6 7 8 7 6 На рис. 9.10 дан график зависимости квадрата модуля волновой функции от координаты x с учетом стандартных условий, накладываемых на волновые функции на границах потенциального барьера. Из графика видно, что вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциального барьера уменьшается с ростом координаты x и что вероятность найти микрочастицу в области 3, в области за барьером, будет отлична от нуля й этап. Анализ полученного решения.Возникает новый квантовый эффект туннельный — проникновение частиц сквозь потенциальный барьер. Вводится понятие коэффициента прозрачности потенциального барьера D; он определяет вероятность проникновения частиц сквозь потенциальный барьер и равен отношению интенсивностей волны, прошедшей потенциальный барьер, к интенсивности волны, падающей на барьер. Данное отношение интенсивностей волн можно найти с учетом условий сшивания, накладываемых на волновую функцию на границах потенциального барьера (рис. 9.10): 1 2 3 4 4 4 4 5 5 4 5 5 5 3 1 2 2 3 2 2 0 2 2 1 2 2 2 2 прош пад 1 1 1 2 3 1 4562 2 33 456 2 32 3 7 1 1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 3 6 7 8 9 3 Рис. 9.10 а б ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 345 Как видно из уравнения (9.28), вероятность прохождения частицы сквозь потенциальный барьер зависит от массы частицы, ширины потенциального барьера и соотношения между высотой потенциального барьера и полной энергией налетающей на барьер частицы. В случае потенциального барьера U(r) произвольной формы (рис. 9.11а) для коэффициента прозрачности можно получить следующую формулу 1 2 2 3 4 5 6 5 6 7 8 9 1 2 2 123 4 4 5 5 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 3 7 При выводе формулы (9.29) область потенциального барьера, в которой полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии (r a £ r £ рис. 9.11), разбивается на совокупность прямоугольных потенциальных барьеров. Для каждого из них находится коэффициент прозрачности D i (i — номер прямоугольного барьера, коэффициенты D i перемножаются, а затем ширина прямоугольных потенциальных барьеров стремится к нулю, а их число i стремится к бесконечности (i ® Туннельный эффект объясняет многие наблюдаемые на опыте явления, здесь рассматриваются два примера проявления туннельного эффекта. Пример 1. Холодная эмиссия электронов из металла. Для электронов металл представляет собой потенциальную яму с плоским дном и вертикальными стенками. Электроны вблизи абсолютного нуля температур заполняют потенциальную яму от ее дна до верхнего уровня (его называют уровнем Ферми). Вылет электронов из металла при таких температурах за счет их энергии теплового движения маловероятен. Это явление называют явлением термоэлектронной эмиссии — электроны получают энергию, превышающую высоту АБ = U 0 потенциального барьера A – Б – В – Г вблизи поверхности металла, и выходят из него (рис. б. В основном вылетают электроны с уровня Ферми. Вторая возможность вылета электронов из металла связана с туннельным эффектом. Вероятность выхода электронов из металла за счет этого эффекта будет также малой из за большой ширины и высоты потенциального барьера А – Б – В – Г на границе металла. Если включить вне металла ускоряющее электроны электрическое поле напряженности 1 1 то тогда потенциальный барьер вблизи поверхности металла становится треугольным А – Б – Д (U(r) = U 0 – Er), где r — расстояние, отсчитываемое от точки Б вдоль оси r. Чем больше напряженность электрического поля, тем меньше ширина потенциального барьера и тем больше будет вероятность выхода электронов из металла за счет туннельного эффекта. Рис. 9.11 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Для такого вида потенциального барьера из формулы (9.29) можно записать следующее выражение для коэффициента прозрачности 2 3 4 5 6 7 8 0 123 где постоянная величина E 0 составляет порядка 1 × 10 8 В/м. Для плотности тока, создаваемого при выходе электронов из металла, можно получить формулу 2 3 4 5 3 6 7 8 9 0 0 термо тун тун 123 4 1 2 которая подтверждается экспериментально. Пример 2. Радиоактивный распад ядер ( a распад ядер. Рассмотрим для примера a распад ядра полония, при котором из ядра вылетает a частица (ядро атома гелия 2 210 4 206 84 Для явления радиоактивности справедлив основной закон радиоактивного распада N 0 exp (где N — число ядер, которые не распались к моменту времени t; N 0 — первоначальное количество ядер l — постоянная распада, связанная с периодом полураспада T формулой l = ln Для ядер одного семейства, испытывающих a распад, энергия вылетающих частиц изменяется незначительно относительно определенного значения. Но эти малые изменения энергии a частиц приводят к существенным изменениям периода полураспада T (на несколько порядков). Указанные закономерности a распада ядер можно объяснить на основе туннельного эффекта. В этом случае можно считать, что для a частицы ядро представляет собой прямоугольную потенциальную яму с вертикальными стенками и плоским дном (рис. 9.12). Двигаясь с постоянной скоростью от одной стенки этой ямы до другой, a частица имеет неравную нулю вероятность выйти из ядра за счет туннельного эффекта, что и приводит к распаду ядра. Потенциальный барьер, который встречает на границе ядра a частицу, обусловлен кулоновским взаимодействием ядра, образующегося при таком распаде, с a частицей, он имеет следующий вид) = 2(z – Рис. 9.12 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 347 Оценки наибольшей высоты потенциального барьера (z = 206, Я 1 × 10 –14 м) приводят к следующей величине Я 23 МэВ, что существенно превышает энергию (W 0 » 5 МэВ) вылетающей из ядра a частицы. Учитывая вид потенциального барьера по формуле (9.29), можно получить следующее выражение для коэффициента прозрачности 2 3const 1234 Из этой формулы следует, что небольшие изменения энергии a частицы, то есть небольшие изменения показателя экспоненты приводят к существенным изменениям коэффициента прозрачности, а следовательно, и периода полураспада ЗАДАЧА ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР й этап. Постановка задачи.Задача одномерная. Потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле параболического вида (рис. 9.13) определяется формулой 1 2 2 2 2 0 2 2 1 2 3 3 4 1 2 32 4 Как известно из теории колебаний, частица в таком поле будет совершать гармонические колебания — она называется линейным гармоническим осциллятором. В формуле (9.30) w 0 означает циклическую частоту собственных колебаний осциллятора, а k — коэффициент жесткости системы. Полная энергия частицы W определяет область пространства, в которой она совершает колебания –A £ x £ A. Точки x 1 = –A и x 2 = A являются точками поворота в движении частицы, в этих точках полная энергия частицы равна ее потенциальной энергии. Рис. 9.13 а б МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ й этап. Решение уравнения Шредингера Уравнение Шредингера для данной задачи имеет следующий вид 2 3 4 1 5 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 23 4 5 Из теории дифференциальных уравнений для собственных волновых функций и собственных значений энергии можно записать 2 3 4 5 3 1 0 1 0 1 2 3 2 1 1 1 1 12222 1 2 1 1 (9.31 а 2 3 14 4 4 3 5 3 5 6 1 1 2 1 4 1 2 0 0 2 2 1 2 3 4562 1 3 2 37 1 7 2 3 2 8 3 7 1 1 1 1 1 2 3 4 2 5 3 5 1 (9.31 б) где C n — нормировочные коэффициенты, а H n ( x) представляет собой полином Эрмита 1 2 3 2 1 2 1 4 2 1 1 1 1 2 4 2 2 1 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 23 4 1 2 1 21 21 23 4 5555 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 й этап. Анализ полученного решения. Энергетический спектр гармонического осциллятора. В классической механике энергетический спектр является непрерывным, минимальная энергия осциллятора равна нулю, она соответствует гармоническому осциллятору в положении равновесия. В квантовой механике, как показывают расчеты, энергетический спектр является дискретными эквидистантным, то есть расстояния между соседними уровнями энергии одинаковые DW n +1,n = hw 0 . Минимальное значение энергии отлично от нуля и равно мин W 0 = hw/2. Оно получило название энергии нулевых колебаний. Кроме того, оказывается, что разрешены (возможны) переходы только между соседними уровнями энергии Dn = n 2 – n 1 = ±1. При таких переходах происходит поглощение или излучение квантов энергии, равных W кванта = hw 0 Условие на возможные значения Dn получило название правила отбора. Из сказанного выше следует, что при малых значениях квантового числа выводы квантовой и классической механики находятся в резком несоответствии друг с другом. Подтверждением правильности решения в квантовой механике задачи на гармонический осциллятор являются следующие опытные факты. А. Рассеяние света на тепловых колебаниях атомов в узлах кристаллической решетки. При понижении температуры интенсивность рассеянного кристаллами света убывает, так как при этом уменьшается амплитуда тепловых колебаний атомов. При низких температурах, близких к абсолютному нулю, интенсивность рассеянного света должна убывать до нуля из за исчезновения тепловых колебаний атомов. Однако на опыте этого не происходит, интенсивность рассеянного света стремится к постоянному значению, отличному от нуля. Это можно объяснить тем, что из за наличия квантовых нулевых колебаний атомов они не прекращаются и при абсолютном нуле температур ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 349 Б. Жидкий гелий при обычных давлениях нельзя превратить в кристалл вплоть до абсолютного нуля температур. Это связано стем, что амплитуда нулевых колебаний в жидком гелии будет достаточно большой, и это не позволяет образоваться кристаллической решетке. Вероятность обнаружения частицы в разных точках пространства. Движение гармонического осциллятора в классической механике ограничено областью пространства –A 1 £ x £ A 1 (точки x 1 = –A 1 и x 2 = A 1 являются точками поворота для гармонического осциллятора в состоянии n = 1, в этих точках полная энергия частицы W 1 равна ее потенциальной энергии W 1 = Это следует из графика для классической плотности вероятности кл, приведенного на рис. 9.13б. Для квантового гармонического осциллятора существует неравная нулю вероятность проникновения через границу потенциального барьера, то есть возможность выйти за пределы ограниченной области пространства за счет туннельного эффекта. Это наглядно видно из графика плотности вероятности пл 2 3 1 для состояния с квантовым числом n = 1, приведенного на рис. 9.13б. Отметим, что решение данной задачи используется при описании тепловых свойств твердых тел МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Ч АС Т Ь АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 10.1. АТОМ ВОДОРОДА 10.1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В поле ядра находится один электрон (рис. 10.1), его потенциальная энергия определяется следующей формулой 2 34 2 0 4 1 1 2 3 4 1 2 3 где z — зарядовое число ядра r — расстояние от электрона до ядра. Такая задача применима к атому водорода и к водородоподобным ионам, у которых в поле ядра движется один электрон. К ним можно отнести такие ионы, как He + , Li ++ , и т. д. Из рис. 10.1 и формулы (10.1) следует, что задача сводится к задаче о движении электрона в бесконечно глубокой потенциальной яме с гиперболическими стенками. 10.1.2. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА, ПОБОРУ Рассмотрим сначала решение этой задачи, которое было сделано Н. Бором в 1913 г. За основу решения задачи Бор взял планетарную модель атома Резерфорда, согласно которой в центре атома находится ядро, вокруг которого по круговым орбитам вращаются электроны (рис. 10.2). В ядре, размеры которого примерно враз меньше размеров атома, сосредоточены весь положительный заряди практически вся масса атома. Электроны, двигаясь по орбите радиуса r, обладают моментом импульса (механическим орбитальным моментом и магнитным моментом 1 1 2 (электрон при своем движении создает кольцевой ток, магнитный момент которого можно найти по формуле, приведенной в п 2 1 1 34 1 5 5 1 1 6 1 6 1 5 6 1 1 1 1 23 3 4 4 4 4 4 4 5 1 1 2 3 4 5 3 45 2 4 2 4 1 1 5 67 4 4 1 4 8 2 2 2 2 1 2 2 ЧАСТЬ 10. АТОМ ВОДОРОДА. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 351 Направление векторов 1 и 3 указано на рис. 10.2. Видно, что они направлены перпендикулярно плоскости орбиты в противоположные стороны. Отношение модулей этих моментов называют гиромагнитным отношением 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 1 Однако планетарная модель атома Резерфорда обладает двумя недостатками. Во первых, она приводит к неустойчивости атома. Действительно, ускоренно движущиеся по круговым орбитам электроны (для них центростремительное ускорение неравно нулю) излучают электромагнитные волны, теряют энергию и падают на ядро, то есть атом является неустойчивым. Во вторых, теряя энергию, электрон излучает электромагнитные волны всех частот (сплошной характер излучения, тогда как на опыте наблюдаются линейчатые спектры излучения. Для того чтобы убрать эти недостатки модели, Н. Бор ввел два постулата (недоказуемые утверждения. Приведем их формулировку й постулат. Существуют стационарные состояния, находясь в которых атом не излучает электромагнитные волны. Эти состояния выбираются из условия, при котором модуль орбитального механического L момента кратен постоянной Планка h: 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1222 1 2 3 4 56 2 В формуле (10.3) величину n называют главным квантовым числом, оно определяет номер стационарного состояния. Как видно, модули орбитального механического 1 1 и магнитного 1 1 2 моментов принимают дискретный набор значений, то есть квантуются. Их квантование определяется главным квантовым числом n. В этом случае на длине стационарной орбиты укладывается целое число волн де Бройля 1 2 3 4 2 2 3 1 2 4 1 2 2 Б Б 1 1 2 1 1 2 3 1 4 5 6 3 1 3 5 Найдем радиусы стационарных орбит r n . Для этого запишем II закон Ньютона для электрона, движущегося по стационарной орбите 2 1 34 1 1 2 2 2 0 4 1 1 2 1 1 2 2 3 1 4 5 6 Рис. Рис. 10.2 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Объединяя уравнения (10.3) и (10.4), можно записать 2 3 4 3 4 5 6 78 9 1 1 2 2 2 0 4 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 4 2 2 5 4 6 6 4 6 6 1 2 34 2 5 1 1 2 2 1 2 3 1 3 1 4 5 2 2 2 2 0 1 где радиус первой орбиты для атома водорода (z = 1), называемый первым боровским радиусом 0,529 × 10 –10 м. (10.6) Найдем энергию атома в стационарном состоянии, она будет складываться из кинетической энергии электрона и его энергии взаимодействия с ядром атома 2 1 2 1 2 1 3 45 45 45 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 3 2 4 8 4 1 1 1 1 1 1 2 2 23332 2 1 2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 4 5 3 где 2 3 3 4 5 67 8 9 1 2 4 2 0 1 13 6 эВ 1 2 1 2 Из формулы (10.7) следует, что энергетический спектр электрона в атоме водорода (z = 1) является дискретными сходящимся (риса. Минимальное значение энергии электрона в атоме отлично от нуля и равно W 1 = –13,6 эВ. Энергия электрона на стационарном уровне со значением главного квантового числа n, равного n = ¥, равна нулю (W ¥ = 0). Электрон, находясь на этом уровне энергии, может покидать атом, происходит ионизация атома. Минимальная энергия, необходимая для удаления из атома электрона, находящегося в основном состоянии, называется энергией ионизации: W иониз = (W ¥ – W 1 ) = 13,6 эВ. Для положительных значений энергии энергетический спектр электрона будет непрерывным, он соответствует свободному электрону, несвязанному с атомом. |