М. Г. Валишев а. А. Повзнер
 Скачать 10.33 Mb.
|
|
321 ло электронов, сильно связанных с атомами, и поэтому интенсивность несмещенной компоненты будет больше (см. рис. 8.8б). Опыт Боте. Этот опыт наглядно показывает, что в области рентгеновских лучей электромагнитное излучение представляет собой поток фотонов. В этом опыте металлическая фольга облучалась рентгеновским излучением и сама при этом становилась источником вторичного рентгеновского излучения. Интенсивность этого излучения выбиралась такой, чтобы можно было фиксировать по обе стороны от фольги каждый акт испускания фотона попадание фотона регистрировалось на ленте самописца (рис. 8.10). Как показал опыт, самописец регистрировал хаотично испускаемые водном направлении частицы, то есть метки на нем с разной стороны располагались хаотично. Согласно волновой теории сферические волны излучаются по всем направлениям одинаково, и поэтому метки с разных сторон самописца должны располагаться одинаково. 8.4. ПРИРОДА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Итак, электромагнитное излучение в одних опытах проявляет волновые свойства (интерференция, дифракция и поляризация света, а в других — корпускулярные свойства (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона и т. д. Возникает вопрос что представляет собой электромагнитное излучение С современной точки зрения это поток особых частиц, называемых фотонами. Они обладают корпускулярно волновым дуализмом, сочетают в себе свойства и частицы, и волны одновременно. Корпускулярно волновой дуализм электромагнитного излучения наглядно представлен на рис. Рис. Рис. 8.11 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Взаимосвязь корпускулярной и волновой картины можно видеть в записи энергии фотона (8.20), где она выражается через волновые (через длину и частоту волны) и корпускулярные (через массу и импульс) свойства фотона. Выражение вида 2 Ф 1 2 (8.30) наглядно отражает корпускулярно волновой дуализм фотона. Для того чтобы полнее понять взаимосвязь разных картин описания фотона, выясним, какие свойства частицы и волны в классическом понимании этих слов сохраняются у фотона. Для этого сначала перечислим свойства волны и частицы, которыми они обладают в классической механике: Частица: 1) неделима во всех взаимодействиях) имеет траекторию движения 3) локализована в пространстве, то есть в данный момент времени занимает определенную точку пространства. Волна: 1) делится 2) не имеет траектории движения 3) занимает все пространство. Рассмотрим теперь, что произойдет с фотоном при прохождении им щели (риса. Из опыта известно, что фотон при прохождении щели попадет в определенную точку экрана, то есть фотон как частица является неделимым при любых взаимодействиях. Фотон как волна испытывает явление дифракции и может отклониться на произвольный угол от первоначального направления движения. Точное значение этого угла неизвестно, известна лишь вероятность его отклонения на разные углы. Наибольшая вероятность соответствует тем углам, при которых наблюдаются максимумы дифракционной картины, получаемой при накоплении достаточно большого числа фотонов (рис. 8.12б). Волновые свойства у электромагнитного излучения (потока фотонов) проявляются в таких явлениях, как интерференция, дифракция и поляризация. Волновые же свойства отдельного фотона проявляются в вероятностном характере его поведения, они описывают вероятность его обнаружения в различных точках экрана (пространства. Эта особенность волновых свойств фотона является важной при построении квантовой механики — механики частиц малой массы. Отметим, что корпускулярные свойства электромагнитного излучения проявляются все четче и четче при увеличении его частоты или уменьшении его длины волны. а б Рис. 8.12 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 323 Ч АС Т Ь КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА В истории современной физики выделяют три этапа. Первый этап) начинается с создания третьей фундаментальной теории — специальной теории относительности (А. Эйнштейн) и завершается созданием и становлением четвертой фундаментальной физической теории — квантовой механики. До этого были известны две фундаментальные теории — механическая картина природы И. Ньютона и электродинамическая теория Дж. Максвелла. Квантовая механика изучает движение частиц малой массы (микрочастиц, они, как и фотоны, обладают корпускулярно волновым дуализмом (гипотеза Луи де Бройля, 1927). Движение таких частиц можно соотнести с волновым процессом, длина волны которого определяется формулой де Бройля (Справедливость гипотезы де Бройля была подтверждена опытами К. Девиссона и Л. Джермера (1927), Дж. П. Томсона и Тар таковского (1927) и Л. М. Бибермана, Н. Г. Сушкина и В. А. Фабриканта (наблюдали дифракцию поочередно летящих электронов, Наличие у микрочастиц волновых свойств приводит к тому, что для микрочастицы нельзя одновременно точно задать координату и соответствующий ей импульс (соотношение неопреде ленностей Гейзенберга, 1927), состояние микрочастицы в этом случае полностью определяется заданием в какой то момент времени значения ее волновой функции. Поэтому движение таких частиц описывается уже не уравнением II закона Ньютона, а уравнением для волновой функции (уравнение Шредингера, то есть делается упорна описание волновых свойств микрочастиц. Оказалось, что волны де Бройля — это волны вероятности, волновая функция — это амплитуда вероятности, физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, он описывает вероятность обнаружения частицы в пространстве (М. Борн, 1926). Задавая вид потенциального поля, в котором движется частица, из решения уравнения Шредингера можно МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ найти энергетический спектр микрочастицы и вероятность ее обнаружения в пространстве. Уравнение Шредингера точно решается только в ряде случаев (для свободной микрочастицы, для потенциальных полей определенного вида — прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками, потенциальное поле в виде бесконечно протяженной ступеньки, туннельный эффект, атом водорода, гармонический осциллятор, солитон. Эти решения применяются для объяснения различных эффектов и явлений, наблюдаемых на опыте. Они позволили выяснить строение атомов, природу химической связи, объяснить периодическую систему элементов, понять строение атомных ядер, изучить свойства элементарных частиц. Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, квантовая механика позволяет понять большинство макроскопических явлений, таких как ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость, строение и многие свойства металлов, диэлектриков и полупроводников, механизм протекания термоядерных реакций на Солнце и других звездах. Она является основой создания нанотехноло гий и принципов работы квантовых компьютеров. Существуют также явления, в которых законы квантовой механики непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов (эффект Джо зефсона). Ее законы лежат в основе работы ядерных реакторов, дают возможность осуществления в земных условиях управляемых термоядерных реакций, используются для целенаправленного поиска и создания новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих. Таким образом, знание квантовой механики является необходимым в повседневной деятельности не только физикам исследователям, но и инженерам. 9.1. ИДЕЯ ДЕ БРОЙЛЯ. ОПЫТЫ, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ В начале XX века было известно, что электромагнитное излучение обладает корпускулярно волновым дуализмом, представляет собой поток особых частиц — фотонов, которые сочетают в себе свойства и частицы, и волны (см. п. 8.4). В 1927 г. французский физик Луи де Бройль обобщил корпускулярно волновой дуализм на все частицы материи. Он высказал гипотезу, согласно которой каждой частице материи массы m, движущейся со скоростью можно поставить в соответствие волновой процесс, длина волны которого рассчитывается по формуле 2 Б где р — импульс частицы. Волны, соответствующие движущейся частице, получили название волн де Бройля, соответствующая же им длина волны называется длиной волны де Бройля. Это предположение в то время выглядело слишком смелым, так как тела большой массы не проявляли на эксперименте волновых свойств. Действительно, для тела массой m = 1 кг, которое движется со скоростью 10 мс, длина волны де Бройля составляла 1 2 3 4 4 4 2 2 34 35 6 63 10 6 63 10 1 10 Б м 1 1 2 1 23 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 325 Экспериментально можно обнаружить волны с длиной волны l > 1 × 10 –18 м. Поэтому тела с большой массой (макротела) не проявляют на опыте своих волновых свойств. Если же уменьшать массу тела, то из формулы (9.1) следует, что длина волны де Бройля будет увеличиваться и для частиц малой массы можно обнаружить их волновые свойства. Частицы, для которых можно экспериментальным путем обнаружить волновые свойства, принято называть микрочастицами. В связи с высказанной де Бройлем идеей был поставлен ряд опытов по обнаружению волновых свойству микрочастиц. Рассмотрим те из них, которые вошли в историю физики. Опыты Девиссона и Джермера. Эксперименты проводились по схеме, аналогичной опытам по дифракции рентгеновских лучей от поверхности кристалла (см. п. 7.3.6). С помощью электронной пушки формировался пучок электронов с постоянной скоростью v, который посылался под углом скольжения на поверхность кристалла. Интенсивность отраженного пучка электронов измерялась приемником (рис. 9.1а). При фиксированном угле скольжения q непрерывно изменяли напряжение на электронной пушке. При этом оказалось, что зависимость интенсивности от квадратного корня напряжения на электронной пушке 1 носит немонотонный характер (рис. б. В частности, имеются максимумы и минимумы, что подтверждает волновые свойства пучка электронов, то есть гипотезу де Бройля. Причем максимумы интенсивности наблюдались на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. б, что можно объяснить с помощью формул де Бройля (9.1) и Брэгга–Вульфа (7.40): 1 2 3 2 3 4 2 2 1 2 4 3 4 2 4 2 4 3 2 5 2 Б Б const 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 23332 1 2 34 5 5 6789 1 2 4 6789 9 3 34 9 3 1 2 2 9 9 2 2 2 2 2 2 1 2 где учтено, что угол скольжения q и постоянная решетки кристалла d остаются неизменными при проведении опытов. Выбирая из опыта конкретные значения U = 54 B, q = 64° (n = 1) и d = = 0,0929 нм, можно получить хорошее совпадение длин волн, рассчитанных по формулами, а именно l = Б 0,167 нм. а б Рис. 9.1 МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Полученное совпадение значений длин волн де Бройля, рассчитанных разными способами, доказывает справедливость формулы де Бройля. В другой серии опытов с помощью электронной пушки формировался пучок электронов с постоянной скоростью v, который посылался на монокристалл перпендикулярно к его поверхности. В опытах фиксировалась интенсивность отраженного от поверхности кристалла пучка электронов при различных углах j между падающими отраженным пучками. Полученные кривые зависимости интенсивности I отраженного пучка электронов от угла при разных напряжениях U на электронной пушке оказались немонотонными, на них наблюдались максимумы и минимумы, что также подтверждает волновые свойства пучка электронов, то есть подтверждает гипотезу де Бройля. Опыты Томсона и Тартаковского. Пучок электронов, имеющих постоянную скорость v, посылался на тонкий лист металла, который можно рассматривать как трехмерную дифракционную решетку (см. п. 7.3.6). Результат прохождения пучка рассматривался на экране, расположенном за этим листом металла (рис. 9.2), где наблюдалась дифракционная картина в виде светлых и темных колец. Это доказывало наличие волновых свойству пучка электронов. Расчет длины волны волнового процесса, сопровождающего движение пучка электронов, с помощью формулы де Бройля и с помощью формулы для дифракции рентгеновских лучей приводит к совпадению этих длин волн, что подтверждает формулу де Бройля (Для того чтобы убедиться, что дифракционная картина не была получена фотонами, которые могут выбивать электроны, попадая на металлическую пластинку, установка помещалась в магнитное поле. В этом случае картина дифракции смещалась, что связано стем, что на электроны, прошедшие металлическую фольгу, действовала со стороны магнитного поля сила Лорен ца. Если бы картина дифракции была бы создана фотонами (у них электрический заряд равен нулю и сила Лоренца на них не действует, смещения не наблюдалось бы. Аналогичные опыты, проведенные и для других микрочастиц (протоны, атомы, молекулы и т. д, подтвердили наличие волновых свойству потока микрочастиц. Рис. 9.2 ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 327 Опыты Бибермана, Сушкина и Фабриканта. Из приведенных выше опытов по прежнему не было ясно, чему приписать волновые свойства — потоку частиц или отдельной частице. Для ответа на этот вопрос учеными Л. Би берманом, Н. Сушкиным и В. Фабрикантом был поставлен следующий опыт. На установке, подобной той, которую использовали Тартаковский и Томсон, была создана малая интенсивность пучка электронов, а именно промежуток времени между последовательными вылетами двух электронов из электронной пушки враз превышал время пролета одним электроном всей установки. Тем самым исключалось влияние других электронов на прохождение одним электроном всей установки. Результаты опыта оказались следующими отдельный электрон, проходя установку, случайно отклонялся и попадал в какую то точку экрана (в этом месте экрана на фоточувствительной пластинке появлялась темная точка); при накоплении достаточно большого числа электронов хаотичная картина случайных точек на экране превращалась в упорядоченную картину дифракции. Таким образом, было доказано, что волновыми свойствами обладает отдельно движущийся электрон. Итак, микрочастица обладает волновыми свойствами, которые проявляются в вероятностном характере ее поведения, в различной вероятности ее обнаружения в разных точках пространства. 9.2. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА 9.2.1. СОПРЯЖЕННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В отличие от классических частиц, микрочастицы обладают волновыми свойствами, поэтому для них не всегда применимы такие классические понятия, как координата, импульс, время, энергия, траектория движения и т. д. В связи с этим возникают ограничения на применимость этих понятий для описания движения микрочастиц. Эти ограничения устанавливаются соотношениями неопределенностей Гейзенберга, согласно которым про изведение неопределенностей( DA, DB)двухсопряженныхвеличин(А, В)не может бытьменьшепостояннойПланка h: DA × DB ³ h(h/2, Сопряженными называют величины, которые не могут иметь одновременно точных значений. Приведем ряд примеров на соотношение неопределенностей Гейзенберга. Пример 1. Координата и соответствующая ей проекция импульса (A = x, B = p X ). Для них можно записать × Dp X ³ h. (9.3 а) 1 В правой части формулы (9.2) в разных учебных пособиях может быть либо h, либо либо h. Здесь важен порядок величины, а не обозначение МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Отметим, что такое же неравенство справедливо и для других координат, z), и соответствующим им проекциям импульса × Dp Y ³ h, Dz × Dp Z ³ h. (9.3 б) Если координата и проекция импульса друг другу не соответствуют, то тогда они одновременно могут иметь точные значения, для них соотношения неопределенностей Гейзенберга не выполняются. Например, Dz × Dp X = 0, Dz × Dp Y = 0, Dx × Dp Y = 0, Dx × Dp Z = Для того чтобы показать справедливость формул (9.3), рассмотрим пример прохождения электроном щели шириной а (рис. 9.3); кратко этот пример для фотона был обсужден в п. 8.4. Волновые свойства электрона приводят к тому, что при прохождении им щели понятие траектории для электрона будет неприменимо, иначе он попадал бы только в центр экрана. Поэтому он случайным образом меняет направление своего первоначального движения, попадая с различной вероятностью в разные точки экрана наибольшей вероятности соответствует наибольшая интенсивность при дифракции электронного пучка на одной щели. Если посылать на щель по одному электрону, то тогда при накоплении достаточно большого числа электронов на экране возникнет дифракционная картина. Причем максимальной интенсивности дифракционной картины будет соответствовать наибольшая вероятность попадания электрона в данную точку экрана. Итак, волновые свойства электрона описывают вероятность его обнаружения в разных точках экрана (пространства). При прохождении щели неопределенность координаты будет равна Dx = а после прохождения разброс импульсов электрона будет располагаться, в основном, в пределах первого максимума дифракционной картины приди фракции света на одной щели. Из рис. 9.3 видно, что 1 2 3 4 3 3 5 3 1 sin 1 1 2 2 3 3 3 4 4 и поэтому 1 2 3 2 1 1 2 3 что и требовалось показать. При оценке Dp X было учтено, что первый минимум при дифракции электронов на одной щели наблюдается при угле j, определяемом из условия asin j = Отметим, что неизвестно, каким образом электроны проходят щель и что происходит с электронами в области щели. Новая теория квантовой механики не дает ответа на эти вопросы, она лишь дает результаты прохождения пучком электронов преграды с одной щелью. |