М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 41 из 73

3 й этап. Анализ полученного решения. Энергетический спектр микрочастицы. Энергетический спектр свободной микрочастицы в классической механике является непрерывным, энергия частицы принимает положительные значения W = p
2
/(2m). Такие же выводы об энергетическом спектре частицы дает и квантовая механика, это видно из формулы (9.14).
2. Вероятность обнаружения микрочастицы в различных точках пространства. В классической механике известно, что частица является локализованной, то есть занимает определенную точку пространства. Поэтому вероятность найти частицу в какой то точке пространства в данный момент времени равна единице, а в остальных — нулю.
В квантовой механике плотность вероятности обнаружения микрочастицы 2 1
1 1
2 3 2 3 пл const
1 2 2 2 3 1 2 2 2 3
1 2
1 не зависит от координат и времени. Это означает, что вероятность найти частицу будет одинаковой, неравной нулю, во всех точках пространства, то есть свободная частица будет размазанной по всему пространству. Этот вывод резко отличается от вывода классической механики. Он является следствием наличия у микрочастицы волновых свойств, и его можно получить из соотношения неопределенностей Гейзенберга. Действительно, для свободной микрочастицы, движущейся с постоянным импульсом, неопределенность задания импульса будет равна нулю, а неопределенность задания координаты согласно соотношениям неопределенности Гейзенберга 2 3 1 2 4 1
1 0
1
1
1
2
3
2
1

ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
337
9.5.
ЗАДАЧА 2. МИКРОЧАСТИЦА
В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ й этап. Постановка задачи Задача одномерная. Частица движется во внешнем силовом поле, в котором потенциальная энергия частицы задана следующими соотношениями 2
3 4 5
6 4
3 7 8
61 9
3 4 2
2 2
0 0
0 0
0 0
1 1 2 3 1 1 4
1 1
1
2 1
1 3
1 3
1 Вид потенциального поля приведен на риса. Из него видно, что частица находится в потенциальной яме с бесконечно высокими прямоугольными стенками, за пределы которой она выйти не может й этап. Решение уравнения Шредингера Уравнение Шредингера необходимо решать в области 0
£ x £ l, в которой U(x) = 0:
1 1
2 3 1 4 5 1 3 3
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
0 2
1 2
1
1
23
3
4
4
2 Решением этого уравнения является сумма двух плоских монохроматических волн де Бройля (бегущей и отраженной 2
3 4
1 2 Стандартные условия в этой задаче записываются следующим образом 2 3
4 5 6 4 5 4 7 5 3 4
8 3 4 5 4 5 4 8 5 3 4
4 1 2 2
1 0
0 0
2 0
0 2
1 2 3 1 2 1 2 3451 26 1 2 3451 2 1 2 345 6
6 6 6777
1
2
34
52
1
6
56
56
1
2
34
2 В формулу для волновой функции входит номер квантового состояния причем значение n = 0 исключается, так как тогда вероятность найти частицу внутри потенциальной ямы и вне ее будет равна нулю, то есть частица не существует, а это противоречит условию задачи.
Рис. 9.7

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Условие нормировки позволяет найти постоянную A:
1 2 3
4 5
5 6 5 7
7 2
2 2
0 0
1 4
1 2
1 2 3 1 456 7
1
1
2
2
3
43
5
3 В итоге для собственных волновых функций можно записать 2 3
4 5
5 2
1 2 3 1 2 345 6
6 6 6777
1
1
2 3
2 Для собственных значений энергии частицы получим 1
2 2
3 2
2 1
1 2 2 2 2 2
2 1 2 3 2
2 1
1 1 1 12222
1
1
2
1
3
2
3
1 1
4
5
45
(9.19)
3 й этап. Анализ полученного решения. Энергетический спектр микрочастицы. В классической механике энергетический спектр частицы является непрерывным, минимальное значение энергии равно нулю, то есть частица может находиться на дне потенциальной ямы.
В квантовой механике из формулы (9.19) следует, что энергетический спектр частицы является дискретными расходящимся, минимальное значение энергии отлично от нуля и равно W
1
(см. рис. 9.7):
1 1
2 2
3 4
5 4
1 4
4 1
1 2 2 2 2 1
1 1
2 2
2 1
2 мин 2
31 Состояние частицы при квантовом числе n, равном единице, есть основное состояние частицы, а остальные состояния называются возбужденными.
Как видно, выводы классической и квантовой механики при малых значениях квантового числа n находятся в резком несоответствии между собой.
Можно показать, что отличие минимального значения энергии частицы от нуля является следствием ее волновых свойств. Действительно, неопределенность координаты частицы в потенциальной яме равна ее ширине
Dx = что позволяет из соотношения неопределенностей Гейзенберга провести оценку неопределенности задания импульса частицы
Dp
X
³ h/Dx = h/l. Понятие импульса можно использовать в тех случаях, когда значение импульса будет не меньше погрешности его определения p
X
³ Dp
X
. Тогда минимальное значение импульса частицы будет равно p
X
=
Dp
X
, что приводит к оценке минимального значения энергии частицы внутри потенциальной ямы 2
2 2 1 2
2 2
2 2
2 мин мин 2
1 Полученное значение по порядку величины соответствует значению энергии частицы в квантовом состоянии для n = 1 (формула (9.19)).
2. Вероятность обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы.
В классической механике частица движется равномерно по траектории от

ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
339
одной стенки до другой, и поэтому классическая плотность вероятности обнаружения частицы будет одинаковой во всех точках потенциальной ямы,
так как частица одинаковое время находится вблизи любой точки. Используя условие нормировки, найдем формулу для классической плотности вероятности кл кл кл 2 3 4
1
2 3 43 2 1
2
1
0 Запишем формулу для квантовой плотности вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы 2 3
4 5 4
2 кв , ) |
( ) |
sin
,
n
n
P
x из которой следует, что квантовая плотность вероятности обнаружения микрочастицы внутри потенциальной ямы зависит от координаты x и от номера квантового состояния n, что не согласуется сдвижением частицы по траектории. Так, например, для квантового состояния с n = 1 плотность вероятности кв, 1) на краях потенциальной ямы будет равна нулю, а в ее середине будет максимальной. Число пиков на зависимости кв, n) будет равно номеру квантового состояния n, а площадь под графиками плотности вероятности будет одинаковой и равной единице (рис. Итак, движение частицы внутри потенциальной ямы при небольших значениях необходимо описывать в рамках квантовой механики. Однако при больших значениях квантового числа n возможно применение классической механики при описании движения микрочастицы Это связано стем, что при увеличении n возрастает модуль волнового вектора (k
n
=
pn/l), следовательно, уменьшается длина волны де Бройля (Б 2
p/k
n
= 2l/n), соответствующая движению частицы, и при некотором значении n будет выполняться условие применимости классической механики для описания движения микрочастицы Б l. Причем для больших n происходит относительное сближение энергетических уровней, энергетический спектр становится ква зинепрерывным, то есть дискретным, но дискретностью можно пренебречь по сравнению со значениями энергии квантовых состояний 1
2 1
3 4 5 6
3 5 2 1
1 1
2 2
1 0
1 Большое число пиков (максимумов и минимумов на графике зависимости плотности вероятности от координаты x) приводит к тому, что усредненное значение кв, n)> квантовой плотности вероятности кв, n) будет совпадать с классическим значением плотности вероятности кл Рассмотренный пример — это пример соответствия выводов квантовой и классической теории при больших значениях квантовых чисел — является частным случаем принципа соответствия, который гласит при больших значениях квантовых чисел выводы квантовой механики должны соответствовать выводам классической механики

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
9.6.
ЗАДАЧА 3. МИКРОЧАСТИЦА
В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ В ВИДЕ
БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СТУПЕНЬКИ
(НИЗКАЯ СТУПЕНЬКА й этап. Постановка задачи Задача одномерная. Частицы движутся вдоль оси Ox и налетают на прямоугольный бесконечно протяженный (x > низкий потенциальный барьер высотой U
0
(W > U
0
, риса. Необходимо ответить на вопрос что происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером Отметим, что потенциальным барьером называют ограниченную в пространстве область высокой потенциальной энергии частицы во внешнем силовом поле.
В классической механике все частицы пролетают в область потенциального барьера, понижая при этом свою кинетическую энергию. Отражения частиц от потенциального барьера нет й этап. Решение уравнения Шредингера Так как пространство разбивается на две области (до барьера ив области барьера, необходимо решить уравнение в этих двух областях и затем наложить стандартные условия на волновые функции (наложить условия сшивания 2
2 1
3 2 4 5 2 3 3
3 5
2 1
1 1
1 2
2 2
1 1
2 1
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
0 Область 1 1
2 3 4 5
12 3
12 3
4
4
56
6
2
2
5 43
43
3
7
7
8
9
1 1
2 2
1 3
2 4 2 5 1 2 4 4
1 2
2 1
3 2 4 2 5 3
2 4 4
2 4
3 4
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 0
2 2
2 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0
2 1
2 0
2 21 2
21 2
2 2
2 2
2 2
0 2
2 Область 2 1
2 3
3 1
2 3
3 1 2 3
12 3
12 3
12 3
4 5
6
7
7
5
6
2
2
4 73
73
4 6 5
7
7
5
6
2
2
4 73
73
3
8 9
9
8 где учтено, что во второй области отражения нет, поэтому отраженной волны здесь не будет (B
2
= Решения для волновой функции в двух областях необходимо сшить на границе областей, то есть наложить на волновые функции стандартные ус ловия:
Рис. 9.8
а
б

ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА 1
2 3 2 2
3 2 1
2 1
2 0
0 0
0 1 2 1 23 1 2 1 Из них вытекают следующие условия на коэффициенты при волновых функциях+ B
1
= A
2
, k
1
(A
1
– B
1
) = k
2
A
2
(9.24)
3 й этап. Анализ полученного решения. Энергетический спектр частицы при ответе на вопрос задачи ненужен, поэтому он здесь и не рассматривается.
Найденные собственные волновые функции задачи позволяют выяснить,
что для микрочастиц, в отличие от классических частиц, появляется новый
квантовый эффекта именно существует неравная нулю вероятность
отражения частиц от потенциального барьера.
Вводится коэффициент отражения от потенциального барьера как величина, равная отношению интенсивности волны, отраженной от барьера, к интенсивности волны, падающей на барьер 1
1 2
2 2
2 3
3 1
2 2
2 0
1 1
2 2
2 2
1 1
2 0
ОТР
ПАД
1 2
3 3
1 2
4 3
3 1
2 1
2
1
1 2
3
4
5 5
6
4
7
5 5
1
1 В выражении (9.25) для коэффициента отражения были записаны формулы с учетом условий сшивания (9.24), накладываемых на коэффициенты при волновых функциях.
Из формулы (9.25) следует, что вероятность отражения частиц от потенциального барьера зависит от высоты потенциального барьера и полной энергии налетающей на барьер частицы.
Итак, в квантовой механике появляется вероятность отражения частиц от границы потенциального барьера.
На рис. б приведен график зависимости вещественной части волновой функции от координаты (Re
y
1
(x) = (A
1
+ B
1
)cos k
1
x
= A
2
cos k
1
x
, Re
y
2
(x) =
= A
2
cos k
2
x
). Видно, что решение носит волновой характер как в области до барьера, таки в области барьера. При переходе через границу барьера происходит увеличение длины волны де Бройля, соответствующей движущейся микрочастице.
9.7.
ЗАДАЧА 4. МИКРОЧАСТИЦА
В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ
В ВИДЕ БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СТУПЕНЬКИ
(ВЫСОКАЯ СТУПЕНЬКА й этап. Постановка задачи.Задача одномерная. Частицы движутся вдоль оси Ox и налетают на прямоугольный бесконечно протяженный (x > высокий потенциальной барьер высотой U
0
(W < U
0
, риса. Необходимо ответить на вопрос что происходит с частицами при их встрече с потенциальным барьером?
В классической механике все частицы отражаются от потенциального барьера и летят обратно. Проникновения частиц в область барьера нет

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ й этап. Решение уравнения Шредингера В квантовой механике для ответа на этот вопрос необходимо решить уравнение Шредингера в двух областях до барьера ив области барьера 2
2 1
3 2 4 5 2 3 3
3 5
2 1
1 1
1 2
2 2
1 1
2 1
1 1
1 2
2 2
1 1
1 2
0 Область 1 1
1 2 3 4
12 3
12 3
4
4
56
6
2
2
5 43
43
3
7 8
8
9
1 2
2 1
3 4 2 5 1 2 4 4
1 1
2 2
2 0
2 2
2 0
21 2
2 2
2 2
2 2 (Область 2 0,
2
m U
W
d
d
U
W
k
k
m Из решения уравнения Шредингера для второй области видно, что оно не носит волнового характера (в показатель экспоненты не входит мнимая единица, то есть решение нельзя представить в виде гармонической функции синуса или косинуса. Это означает, что частица не может находиться в этой области сколь угодно долго, по истечении определенного промежутка времени она должна покинуть эту область пространства.
Из условия конечности волновой функции коэффициент A
2
нужно положить равным нулю. Действительно, для значений x, стремящихся к бесконечности, первое слагаемое в волновой функции y
2
(x) будет стремиться к бесконечности.
Решения для волновой функции в двух областях необходимо сшить на границе областей, то есть наложить на волновые функции стандартные условия Из этих условий вытекают следующие условия на коэффициенты при волновых функциях+ B
1
= A
2
, ik
1
(A
1
– B
1
) = k
2
A
2
(9.26)
3 й этап. Анализ полученного решения Для микрочастиц, в отличие от классических частиц, появляется новый квантовый эффект — существует
не равная нулю вероятность проникновения микрочастиц внутрь потенциального барьера Вводится эффективная глубина эф проникновения микрочастицы вглубь потенциального барьера — расстояние от границы барье
а
б
Рис. 9.9

ЧАСТЬ 9. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
343
ра, на котором вероятность обнаружения микрочастицы падает враз, где основание натурального логарифма. Выражение для эф можно найти из условия 1
1 2
3 3
3 4
2 2
2 2 0 2
2 2
2 1
2 2
2 2
2 эф эф эф 2 3 1 1
2 3 1
1 2
1 2
3 4
4
4
2
3 4
1 2
2 эф 2
3
1
2
3 4
5
2 0
1 2
2 Откуда следует, что чем больше масса частицы и разность (U
0
– W), тем меньше будет эффективная глубина проникновения микрочастицы вглубь барьера.
На рис. б приведен график зависимости квадрата модуля волновой функции (плотности вероятности) от координаты х Из него видно, что вероятность обнаружения микрочастицы будет уменьшаться с увеличением расстояния от границы барьера.
Возникает вопрос почему классическая частица не может проникать внутрь барьера, а микрочастицы имеют такую возможность Можно дать следующее объяснение.
В классической механике в произвольный момент времени t точно известны координата и импульс 11 частицы. Это позволяет точно выделить вклады в полную энергию частицы от ее потенциальной и кинетической энергии Поэтому в области потенциального барьера, где полная энергия частицы меньше ее потенциальной энергии, кинетическая энергия частицы будет меньше нуля (W
K
= (W – U) < 0). Это невозможно согласно определению кинетической энергии.
В квантовой механике в соответствии с соотношениями неопределенности Гейзенберга нельзя одновременно точно задать координаты частицы и ее импульс. Поэтому точное деление полной энергии частицы на ее кинетическую и потенциальную энергии невозможно. Это позволяет частице проникать внутрь потенциального барьера на короткое время.
Действительно, в начальные моменты времени (
Dt мало) внутри потенциального барьера погрешность в определении энергии частицы
DW ³ (будет достаточно большой и может превышать энергию самой частицы > W. Это не позволяет установить точные значения кинетической и потенциальной энергии частицы.
С течением времени погрешность в определении полной энергии частицы уменьшается и, соответственно, становится возможным определить с достаточной точностью значение кинетической энергии частицы внутри потенциального барьера. В этот момент времени частица должна уйти из области потенциального барьера, что не позволяет обнаружить отрицательные значения кинетической энергии частицы.
Аналогичным образом объясняется и существование виртуальных частиц, которые переносят различные виды взаимодействия в физике элементарных частиц

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ