Математическое и компьютерное моделирование
 Скачать 3.02 Mb.
|
|
Деформационные колебания молекулы воды К упругим деформационным колебаниям молекулы воды относятся изменения валентных углов связи OH. Составим уравнение балансов сил относительно линий силового по- ля для радиально смещенных связей OH,получим систему уравнений: − − − − − − − = − − − − − − = − ), sin( ) sin( ) sin( ), sin( ) sin( ) sin( 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 θ β α θ β α θ β α θ β θ β θ β τ τ упр сопр эдс упр сопр эдс F F F ma F F F ma (7.47) где F эдс1 , F эдс2 – электродвижущая сила ионов водорода, в каждой из свя- зей; F сопр1 и F сопр2 – силы сопротивления иона водорода в каждой из свя- зей OH; F упр1 и F упр2 – сила упругости иона водорода; F упр1 и F упр2 – сила упругости иона кислорода; α – табличный угол между связями; β – ис- ходный угол наклона одной из связей OH. Распишем каждую из сил, входящих в уравнение (7.47), для нашего случая с помощью перехода от линейной величины x к угловой θ сле- дующим образом: R и x = = = = = = = = = = = = = = = , , , , , , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 θ θ τ τ ε θ θ τ τ θ ε τ τ R k x k F dt Rd m dt dx m F eE F dt x d R R a R k x k F dt Rd m dt dx m F eE F dt d R R a упр упр упр сопр эдс упр упр упр сопр эдс (7.48) 131 где R – длина связи OH; 1 τ α и 2 τ α – тангенциальные составляющие угло- вых ускорений ионов водорода. Поскольку углы и 1 и 2 θ очень малы, то β θ β sin ) sin( 1 ≅ − , sin( ) sin( ) 2 β α θ β α − ≅ − − и = − + + = + + ) sin( , sin 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 eE R k dt d mR dt d mR eE R k dt d mR dt d mR упр упр β α θ θ τ θ β θ θ τ θ (7.49) Разделим каждый член уравнений системы (7.49) на величины mR, получим: = − + + = + + ) sin( 1 , sin 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 E mR e m k dt d dt d E mR e m k dt d dt d упр упр β α θ θ τ θ β θ θ τ θ (7.50) Выполним переход к значениям коэффициентов их затухания и соб- ственным частотам: = − + + = + + ) sin( 1 , sin 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 E mR e m k dt d dt d E mR e m k dt d dt d упр упр β α θ θ τ θ β θ θ τ θ (7.51) Представив индуцированные дипольные моменты связей OH как изменение проекции их собственных электрических моментов на силовые линии поля, получим систему уравнений: − − − − = − − = ). cos( ) cos( , cos ) cos( 2 0 2 0 1 0 1 β α θ β α µ µ β µ θ β µ µ (7.52) Преобразуем (7.52) с помощью тригонометрических формул: [ ] [ ] − − − + − = − + = ) cos( sin ) sin( cos ) cos( , cos sin sin cos cos 2 2 0 2 1 1 0 1 β α θ β α θ β α µ µ β θ β θ β µ µ (7.53) Учитывая, что углы θ малы, можно использовать приближения 1 cos ≅ θ , θ θ ≅ sin . Тогда: ). sin( , sin 0 2 2 0 1 1 β α µ θ µ β µ θ µ − = = (7.54) 132 Выполним переход от θ к µ , для чего помножим каждый член сис- темы (7.51) на величину собственного дипольного момента связи OH: = + + = + + 2 , 2 0 2 2 02 2 2 2 2 2 0 1 2 01 1 1 2 1 2 E mR e dt d b dt d E mR е dt d b dt d µ µ ω µ µ µ µ ω µ µ (7.55) Учитывая, что J mR = 2 и eR = 0 µ получим: = + + = + + , 2 , 2 2 0 2 2 02 2 2 2 2 2 2 0 1 2 01 1 1 2 1 2 E J dt d b dt d E J dt d b dt d µ µ ω µ µ µ µ ω µ µ (7.56) где J – момент инерции связи OH. Система уравнений (7.56) позволяет описать деформационные колебания молекулы H 2 O, где в качестве пере- менной рассматривается угловое смещение, а не традиционно – линей- ное. Вычислительный эксперимент Для оценки эффективности полученных математических моделей был проведен вычислительный эксперимент, связанный с моделировани- ем длинноволнового спектра оптического показателя преломления воды в области установления упругой ионной поляризации воды. Поскольку контрольные сведения о рассматриваемой характеристи- ке обычно представляют собой табличные зависимости ее значений от длины волны прилагаемого электромагнитного излучения λ , то модели- ровался длинноволновый спектр ) ( λ n Методика проведения вычислительного эксперимента включала не- сколько этапов. Во-первых, на базе выражений (7.46) и (7.56), а также на- бора значений / 13 10 4127 , 1 2 , / 14 10 0892 , 3 2 0 , / 13 10 5346 , 7 1 , / 14 10 1219 , 6 1 0 , / 13 10 5346 , 7 2 , / 14 10 4421 , 6 2 0 , / 13 10 5346 , 7 1 , / 14 10 5739 , 6 1 0 с рад d b с рад d с рад d b с рад d с рад v b с рад v с рад v b с рад v ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ω ω ω ω (7.57) рассчитывались частотные характеристики комплексных ионных поляри- зуемостей молекулы H 2 O для диапазона длин волн от 10 -6 до 3 10 -4 м, ко- 133 торый соответствует области установления рассматриваемого вида поля- ризации. Во-вторых, на основании полученных числовых массивов рас- считывались частотные характеристики комплексной диэлектрической проницаемости воды в рамках кибернетической модели. В-третьих, с помощью уравнения 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 ω ε ω ε ω ε ω ′′ + ′ + ′ = n , (7.58) вычислялась частотная зависимость оптического показателя преломле- ния, значения аргумента которой пересчитывались затем в эквивалентные длины волн по формуле ω π λ / 2 c = для получения требуемого длинно- волнового спектра ) ( λ n . В-четвертых, строились совместные графики аналитически найденной характеристики и ее физического аналога. Характеристики исследуемого свойства воды, полученные в ходе проведенного вычислительного эксперимента, представлены на рис. 7.12. На приведенном графике, точечный массив соответствует практиче- ским измерениям зависимости ) ( λ n , сплошная линия отражает результа- ты имитационного моделирования. Анализ полученных результатов показал, что моделируемый спектр достаточно адекватен реальным оптическим свойствам воды в области упругих ионных колебаний молекулы воды H 2 O. Рис. 7.12. Длинноволновый спектр оптического показателя воды на основе модели (7.46) и (7.56). Проведенное моделирование спектра оптического показателя пре- ломления воды показало, что применение моделей (7.46) и (7.56) более эффективно, чем описание вида (7.41). 134 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975. 2. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.1 / Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высш. школа, 1977. 3. Математические основы теории автоматического регулирования. Т.2 / Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высш. школа, 1977. 4. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.1: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егу-пова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 135 5. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 6. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т.3: Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 7. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. 8. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 9. Гультяев А.К. MATLAB-5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: практическое пособие. М.: Наука. 2000. 10. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MATLAB. Специ- альный справочник. СПб.: Питер, 2001. 11. Еремин Е.Л. Лабораторно-курсовой практикум по ТОАУ с применением MatLab for Windows. Благовещенск: Изд-во АмГУ, 2001. 12. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с при- мерами на языке MATLAB / Под ред. А.Л. Фрадкова. СПб.: Изд-во БГТУ, 13. Потемкин В.Г., Рудаков П.И. Система MATLAB-5 для студентов. 2-е изд., испр. и дополн. М.: ДИАЛОГ – МИФИ, 1999. 14. Еремин И.Е., Еремин Е.Л., Костюков Н.С. Имитационное моделирование ди- электрической проницаемости конденсированных материалов: ультрафиолето-вый и видимый спектры частот. Благовещенск: Изд-во АмурКНИИ АНЦ ДВО РАН, 2001. 15. Банышева В.В., Костюков Н.С. Упругая дипольная поляризация // Дальнево- сточный вестник высшего образования. 2001. №1. С. 62 – 69. 16. Костюков Н.С., Банышева В.В. Поляризационные процессы в воде // Электриче- ство. 2001. №11. С. 66-69 17. Еремин И.Е., Костюков Н.С. Построение модели процесса поляризации ди- электриков с помощью обратных связей // Информатика и системы управления. 2001. № 1. С. 45-53. 18. Еремин И.Е., Костюков Н.С. Построение кибернетической модели оптического показателя преломления // Информатика и системы управления. 2001. № 2. С. 42-49. 19. Банышева В.В., Еремин И.Е., Костюков Н.С. Моделирование длинноволнового спектра оптического показателя преломления воды // Информатика и системы управления. 2002. № 1(3). С. 14-23. 20. Еремина В.В., Костюков Н.С., Тюрина С.Ю. Моделирование оптического спек- тра воды в области упругих видов поляризации // Информатика и системы управле- ния. 2003. № 2(6). С. 9-14. 21. Костюков Н.С., Еремин И.Е. Кибернетическая модель процесса упругой элек- тронной поляризации диэлектрика // Электричество. 2004. № 1. С. 50-54. 136 Евгений Леонидович ЕРЕМИН профессор кафедры информатики БГПУ, доктор технических наук Виктория Владимировна ЕРЕМИНА доцент кафедры информационных и управляющих систем АмГУ, кандидат физико-математических наук Марина Сергеевна КАПИТОНОВА ассистент кафедры информатики БГПУ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ Учебное пособие 137 |