Математическое и компьютерное моделирование
 Скачать 3.02 Mb.
|
|
1.2. Временные и частотные характеристики непрерывных систем Как уже отмечалось, для анализа динамических систем их разбива- ют на отдельные элементы. Классификация динамических элементов обычно осуществляется по виду дифференциального уравнения. Статическая характеристика любого элемента может быть изобра- жена прямой линией (рис. 1.6), поскольку по-прежнему рассматриваются линейные, а точнее, – линеаризованные системы. Рис. 1.6. Статические характеристики линейных элементов. В элементах позиционного (статического) типа линейной зависи- мостью x(t) = Ku(t) связаны выходная и входная координаты в устано- вившемся режиме. В элементах интегрирующего типа, при t → ∞ выходная и входная переменные связаны линейным уравнением ) ( ) ( t Ku dt t dx = , или ∫ = t dq q u K t x 0 ) ( ) ( В элементах дифференцирующего типа аналогичная линейная связь имеет вид dt t du K t x ) ( ) ( = 1.2.1. Временные характеристики Динамические свойства элемента могут быть определены по его пе- реходной функции и функции веса. Переходная функция h(t) (переходная характеристика) представля- ет собой временной отклик или реакцию выхода элемента, при подаче на его вход единичного сигнала 18 < ≥ ∀ = = , 0 , 0 , 0 , 1 ) ( 1 ) ( t t t t u (1.26) который часто называют единичной ступенью, или единичным скачком. Предполагается, что единица имеет размерность физической величины на входе элемента. Графические образы временных сигналов 1(t) и h(t) пока- заны на рис. 1.7. Рис. 1.7. Единичная ступень 1(t) и переходной процесс h(t). Функция 1(t) – весьма распространенный вид входного воздействия в динамических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание момента нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот руля управления дви- жущегося автомобиля и т.д. Функция веса ω (t) (импульсная переходная характеристика) являет- ся временной реакцией выхода элемента при подаче на его вход единич- ного импульсного сигнала ≠ = ∞ = = 0 , 0 , 0 , ) ( ) ( t t t t u δ (1.27) Основное свойство дельта-функции δ (t) заключается в том, что она имеет единичную площадь: ∫ ∞ ∞ − = , 1 ) ( dt t δ Характеристика ω (t) в динамических системах является распростра- ненным видом входного воздействия. К такому виду можно отнести, на- пример, кратковременный удар нагрузки на валу двигателя, кратковре- менный ток короткого замыкания генератора (отключаемый плавкими предохранителями) и т.п. Один из вариантов представления функций δ (t) и ω (t) показан рис. 1.8, где рассматривается динамический элемент при нулевых начальных условиях 19 ω (0) = 0. Рис. 1.8. Функция δ (t) и импульсная переходная функция ω (t). Можно показать, что между функциями h(t) и ω (t) существует связь вида ) ( ) ( dt t dh t = ω Кроме того, передаточная функция связана с переходным процессом и импульсной переходной функцией элемента – прямым интегральным преобразованием Лапласа ∫ ∫ ∞ − ∞ − = = 0 0 ) ( ) ( ) ( dt e t h s dt e t s W st st ω (1.28) 1.2.2. Частотные характеристики Динамические свойства элемента в частотной области определяются его частотной передаточной функцией W(j ω ), получаемой из функции W(s) путем замены s на j ω , где j 2 = -1, ω ∈ R, -∞ ≤ ω ≤ +∞. Часто W(j ω ) называют амплитуд- но-фазовой частотной характе- ристикой, или комплексным ко- эффициентом усиления. Поскольку в комплексной плоскости геометрический образ функции W(j ω ) (рис. 1.9), может описываться как в прямоуголь- ных, так и в полярных координатах, то частотную передаточную функ- цию будем рассматривать в виде Рис. 1.9. Комплексная плоскость W(j ω ). 20 , )) ( mod( )) ( Im( )) ( Re( ) ( )) ( arg( ω ω ω ω ω j W j e j W j W j j W j W = = + = (1.29) где введены обозначения: Re(W(j ω )) = U( ω ) – вещественная частотная характеристика; Im(W(j ω )) = V( ω ) – мнимая частотная характеристи- ка; mod(W(j ω )) = A( ω ) – амплитудная частотная характеристика; arg(W(j ω )) = ϕ ( ω ) – фазовая частотная характеристика. В комплексной плоскости график векторной функции W(j ω ) – это годограф (геометрическое место конца вектора). Для пар характеристик (U( ω ), V( ω )) и (A( ω ), ϕ ( ω )) в любой фиксиро- ванной точке ω = ω * (рис. 1.9)справедливы следующие формулы: ). ( sin ) ( ) ( ), ( cos ) ( ) ( , ) ( ) ( arctg ) ( , ) ( ) ( ) ( * * * * * * * * * * 2 * 2 * ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω ω ω ω ϕ ω ω ω A V A U U V V U A = = = + = (1.30) Поскольку передаточная функция W(s) любой системы является дробно-рациональной функцией вида n n n n m m m m q s q s q s q r s r s r s r s Q s R s W + + + + + + + + = = − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 ) ( ) ( ) ( , (1.31) то в частотной области для нее справедливы, во-первых, соотношения (в прямоугольных координатах): )); ( Im( ) ( )), ( Re( ) ( )), ( Im( ) ( )), ( Re( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω j Q V j Q U j R V j R U V U U V V U V V U V V U U U jV U jV U jV U j W Q Q R R Q Q Q R Q R Q Q Q R Q R Q Q R R = = = = + − = + + = + = + + = (1.32) во-вторых, выражения (в полярных координатах): 21 )). ( arg( ) ( )), ( mod( ) ( )), ( arg( ) ( )), ( mod( ) ( ), ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω ϕ ω ω ω ω ϕ ω ω ω ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ϕ ω ϕ ω ϕ j Q j Q A j R j R A A A A e A e A e A j W Q Q R R Q R Q R j j Q j R Q R = = = = − = = = = (1.33) Формулы (1.30) – (1.33) оказываются весьма полезными при реше- нии как теоретических, так и прикладных задач. 22 2. МОДЕЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ В современной теории систем активно развиваются и используются методы пространства состояний. Начало систематического использования методов пространства со- стояний обычно связывают с работами Л.С. Понтрягина – по математиче- ской теории оптимальных процессов, Р. Беллмана – по динамическому программированию и Р. Калмана – по общей теории фильтрации и управ- ления. 2.1. Состояние динамической системы К преимуществам методов пространства состояний общепринято относить: − одинаковую формулировку различных задач и простоту их решения при наличии большого числа переменных; − возможность обнаружения и исследования таких свойств систем, ко- торые при использовании классических подходов в терминах "вход- выход" остались бы недоступными; − возможность анализа и синтеза нестационарных и нелинейных динамических систем; − использование векторно-матричной формы представления для описа- − сания исследовательских задач, имеющей неоспоримое преимущество при их численном решении на ПЭВМ. Основной недостаток методов пространства состояний заключается в том, что переменные состояния сохраняют ясный физический смысл только тогда, когда они наблюдаемы и могут быть измерены или когда переменные состояния совпадают с фазовыми x 1 (t)=x(t), x 2 (t)=dx 1 (t)/dt, …, x n (t)=dx n-1 (t)/dt. В противном случае, если выбор переменных состояния определяется иным образом, связь математической модели с физической реальностью теряется и, как следствие, исчезает возможность корректного сопостав- ления расчетных и экспериментальных данных. 23 2.1.1. Вход, состояние и выход Динамика системы описывается ее математической моделью, анали- тически отражающей зависимости между тремя множествами перемен- ных: переменными входа u(t) ∈R m , выхода y(t) ∈R l и состояния x(t) ∈R n , где R i – i-мерное линейное вещественное пространство. Вход системы, выраженный множеством временных функций, пред- ставляет описание внешних переменных, действующих на систему. Выход системы, выраженный аналогично, – это описание наблюдаемых выходных переменных, непосредственно отражающих поведение систе- мы. Как уже отмечалось в главе 1, любая система состоит из набора под- систем или элементов (звеньев), которые по характеру реакции на вход- ное воздействие делятся на статические и динамические. Отличительной особенностью статической системы является ее бе- зынерционность, т.е. наличие мгновенной реакции на входное воздейст- вие, никак не связанное с ее предыдущим положением. В любой момент времени t 0 значение выхода статической системы y(t 0 ) однозначно опре- деляется по значению входа u(t 0 ), а сама связь (стационарная или неста- ционарная) статическая характеристика – описывается одним из урав- нений: y = F(u), y = F(u, t). Важнейшее свойство любой динамической системы – это зависи- мость ее реакции как от переменных, действующих на систему в данный момент, так и от переменных, действовавших на нее в прошлом. Отме- тим, что для определения в момент времени t 1 значения выхода y(t 1 ) ин- формации только о значении входа u(t 1 ) недостаточно, поскольку требу- ются еще сведения о предыстории изменения u(t) на некотором интервале t ∈[t 0 , t 1 ] и начальном состоянии x(t 0 ). Такую зависимость будем описы- вать следующим образом: y(t 1 ) = S(x(t 0 ), u(t)), t ∈ [t 0 , t 1 ], (2.1) где S – оператор преобразования одной функции в другую. Таким образом, состояние динамической системы – это некий пара- метр, однозначно определяющий реакцию выхода системы относительно входа. Состояние системы должно удовлетворять так называемым аксио- мам совместности. Укажем две наиболее важные. Первая аксиома совместности. Для определения будущего поведе- ния системы не играет роли то, каким образом она пришла в данное со- стояние, поскольку траектория движения системы определяется одно- значно по начальному состоянию и динамике входа в рассматриваемом интервале времени. Выход y(t), ∀t ≥ t 0 определяется однозначно при заданных x(t 0 ) и u(t), t ∈[t 0 , t 1 ]. Вторая аксиома совместности. Если траекторию движения системы разбить на участки, то каждый из них можно рассматривать как новую траекторию с соответствующим начальным условием. При этом в зави- симости от входного процесса и начального состояния динамика системы будет изменяться соответствующим образом. Пусть t 0 < t 1 < t 2 , тогда при любом x(t 0 ) и ∀t∈[t 0 , t 1 ] выход y(t 1 ) будет определяться уравнением (2.1). Если же вычислить значение x(t 1 ), то вы- ход y(t 2 ) будет следующим: y(t 2 ) = S(x(t 1 ), u(t)), t ∈ [t 1 , t 2 ]. 2.1.2. Пространство состояний Множество Х = {x} возможных значений состояния системы назы- вается пространством состояний. В случае Х = R n состояние х = x(t) есть n-мерный вещественный вектор – вектор состояния (в частном случае – это фазовый вектор), элементы которого будем обозначать через x i (t), n , 1 = i Вектор, составленный из указанных элементов, обычно записывают следующим образом: х = x(t) = [x 1 (t), x 2 (t), …, x n (t)] T , где Т – символ транспонирования. Если х – состояние системы, µ ( ⋅) – некоторое взаимно однозначное отобра- жение пространства Х в себя ( µ : Х → Х), то x = µ (х) также можно считать состоя- нием данной системы. Тогда состояние х можно определить различным, но взаимно однозначным образом. Рис. 2.1. Переменные динамической системы. Например, если Х = R n , а T – n-мерная невырожденная матрица (det T ≠ 0), то вектор x = Тх также можно применять для описания состояния системы, поскольку х = Т –1 x , где Т –1 – обратная матрица. 24 2.2. Описание динамической системы в нормальной форме Уравнения состояния так называемых конечномерных дифференци- альных (непрерывных) систем можно представить в виде ( ) , , ) ( , ), ( ), ( ) ( 0 0 0 t t x t x t t u t x f dt t dx ≥ = = (2.2) ( , ), ( ), ( ) ( t t u t x g t y = ) (2.3) где f( ⋅), g(⋅) – вектор-функции от векторных аргументов. Уравнение (2.2) называют уравнением состояния (эволюционным уравнением), описывающим изменение состояния системы во времени t ∈R, в соответствии с начальным условием x(t 0 ) и входным воздействием u(t), а уравнение (1.3) – уравнением выхода, устанавливающим статиче- скую связь между значениями выхода и текущими значениями состояния и входа. 2.2.1. Уравнения линейных систем в пространстве состояний Метод пространства состояний в качестве базовой математической модели системы (2.2), (2.3), когда функции f( ⋅), g(⋅) линейны по x, u, пред- полагает использование уравнений вида , , ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 t t x t x t u t B t x t A dt t dx ≥ = + = (2.4) ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( t u t D t x t C t y + = (2.5) где x(t) ∈R n ; u(t) ∈R m ; y(t) ∈R k ; матрицы-функции A(t), B(t), С(t), D(t) соот- ветствующего размера 1 . Системы (2.4), (2.5) называются непрерывными линейными системами, в которых матрицы A(t), B(t) и С(t) имеют сле- дующую структуру: (2.6) , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 12 11 = t a t a t a t a t a t a t A nn n n n 25 1 В теории автоматического управления матрицы, входящие в уравнения (2.4), (2.5), обычно называют: A(t) – матрицей состояния системы, B(t) – матрицей управления, С(t) – матрицей выхода, D(t) – матрицей обхода системы. , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 12 11 n m t b t b t b t b t b t b t B nm n n m ≤ = (2.7) , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 12 11 n l t c t c t c t c t c t c t C ln l l n ≤ = (2.8) В случае, когда матрица D(t) ≡ 0, систему (2.4), (2.5) называют соб- ственной 2 (строго реализуемой), а при D(t) ≠ 0 – несобственной. Систему (2.4), (2.5) с матрицами A(t), B(t), С(t), D(t) называют не- стационарной, если же элементы этих матриц от времени не зависят, то система – стационарная. Структура стационарной линейной системы представлена на рис. 2.2, для которой (например, при n > m), математиче- ское описание будет следующим: , , ) ( ), ( ) ( ) ( 0 0 0 t t x t x t Bu t Ax dt t dx ≥ = + = (2.9) 0 ), ( ) ( ) ( = + = D t Du t Cx t y (2.10) Рис. 2.2. Структурная схема стационарной динамической системы. Системы (2.4), (2.5) и (2.9), (2.10) часто называют нормальными системами, или системами в нормальной форме Коши. В тех случаях, когда в системе (2.9), (2.10) переменные состояний совпадают с фазовы- ми, оказывается, что матрица А имеет специфическую форму записи − форму Фробениуса, представляемую в виде , 0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 1 − − − − = − − a a a a A n n n (2.11) 26 2 Такой тип систем в прикладных задачах является наиболее распространенным. где a i = const > 0. Для матрицы Фробениуса характерно следующее: эле- менты над главной диагональю равны единице, а элементы нижней стро- ки являются коэффициентами однородного дифференциального уравне- ния n-го порядка 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 = + + + + − − − t x a dt t dx a dt t x d a dt t x d n n n n n n (2.12) Иногда матрицу Фробениуса называют матрицей сопровождения. 2.2.2. Способы программирования в переменных состояния Наиболее распространенными приемами построения моделей дина- мических систем в переменных состояния являются приемы, основанные на способах прямого, параллельного или последовательного программи- рования. Поскольку исходное математическое описание системы в этих спо- собах программирования – передаточная функция, выберем описание ди- намической системы, например, в следующем виде: ). ( ) ( ) ( ) ( 3 2 2 1 3 0 2 1 2 0 s u a s a s a s a b s b s b s u s W s x + + + + + = = (2.13) Прямое программирование относится к наиболее общим подходам, позволяющим осуществить переход в пространство состояний без каких- либо предварительных условий. Этапы прямого программирования предусматривают последова- тельное выполнение следующих типовых действий или процедур: во-первых, числитель и знаменатель функции W(s) вида (2.13) разде- лим на выражение a 0 s 3 , соответствующее слагаемому с максимальной степенью s в знаменателе, в результате получим уравнение ); ( 1 ) ( 3 0 3 2 0 2 1 0 1 3 0 2 2 0 1 1 0 0 s u s a a s a a s a a s a b s a b s a b s x − − − − − − + + + + + = (2.14) во-вторых, введем обозначение ); ( 1 1 ) ( 3 0 3 2 0 2 1 0 1 s u s a a s a a s a a s E − − − + + + = (2.15) 27 в-третьих, перепишем уравнение (2.15) следующим образом: ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 0 3 2 0 2 1 0 1 s E s a a s E s a a s E s a a s u s E − − − − − − = (2.16) в-четвертых, учитывая соотношение (2.15), а также вводя обозна- чение выхода y(s) = x(s), представим уравнение (2.14) в виде ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 0 2 2 0 1 1 0 0 s E s a b s E s a b s E s a b s x s y − − − + + = = (2.17) в-пятых, введем в рассмотрение переменные состояния, которые в изображениях зададим следующим образом: ), ( ) ( 3 1 s E s s x − = (2.18) ), ( ) ( 2 2 s E s s x − = (2.19) ); ( ) ( 1 3 s E s s x − = (2.20) в-шестых, запишем совместно уравнения (2.15) – (2.18). Подстанов- ка соотношений (2.19) в (2.18) и соответственно (2.20) в (2.19) позволяет записать уравнения ). ( ) ( ), ( ) ( 3 1 2 2 1 1 s x s s x s x s s x − − = = (2.21) Кроме того, подстановка E(s) вида (2.16) в соотношение (2.17), с учетом обозначений (2.18) – (2.20), позволяет записать равенство ). ( ) ( ) ( 3 0 2 2 0 1 1 0 0 s x a b x a b s x a b s y + + = (2.22) Аналогичные действия, выполненные для выражения (2.20), приво- дят к следующему уравнению ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 3 2 0 2 3 0 1 1 3 − − − = − s x a a s x a a s x a a s u s s x (2.23) Объединяя уравнения (2.20) – (2.23), окончательно получаем 28 ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 3 0 2 2 0 1 1 0 0 3 0 1 2 0 2 1 0 3 3 3 2 2 1 s x a b s x a b s x a b s y s u s x a a s x a a s x a a s sx s x s sx s x s sx + + = + − − − = = = (2.24) где первые три уравнения – уравнения состояний системы, а последнее – уравнение ее выхода. Уравнения (2.24), записанные в изображениях, можно переписать относительно оригиналов следующим образом: ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 3 0 2 2 0 1 1 0 0 3 0 1 2 0 2 1 0 3 3 3 2 2 1 t x a b t x a b t x a b t y t u t x a a t x a a t x a a dt t dx t x dt t dx t x dt t dx + + = + − − − = = = (2.25) т.е. в виде, который полностью идентичен уравнениям нормальной сис- темы (2.9), (2.10), полагая, что имеют место соотношения ( ) 0 , , 1 0 0 , 1 0 0 0 1 0 , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 1 0 0 0 1 0 2 0 3 3 2 1 = = = − − − = = D a b a b a b C B a a a a a a A t x t x t x t x T (2.26) Для наглядности приведем числовой пример. Пусть в исходной пе- редаточной функции W(s) вида (2.13) коэффициенты имеют значения: , 0 , 2 , 3 ; 1 , 12 , 7 , 1 3 2 1 0 2 1 0 = = = = = = = a a a a b b b (2.27) тогда в системе (2.9), (2.10) матрицы и векторы будут следующими: 29 ( ) 0 , 1 7 12 , 1 0 0 , 3 2 0 1 0 0 0 1 0 = = = − − = D C B A (2.28) Для динамической системы (2.25) – (2.27) или в нормальной форме системы (2.9), (2.10), (2.28) можно построить структурную схему в про- странстве состояний, показанную на рис. 2.3. Рис. 2.3. Структурная схема динамической системы (2.25) – (2.27). Параллельное программирование. Для применения этого способа требуется, чтобы полюса передаточной функции W(s) – корни знамена- теля – были бы вещественными и рациональными, т.е. допускалось пред- ставление W(s) в виде суммы дробно-рациональных функций. Данный способ программирования рассмотрим на числовом примере. Пусть ана- логично системе (2.13), (2.27) исследуемая система описывается уравне- нием ). ( 2 3 12 7 ) ( 2 3 2 s u s s s s s s x + + + + = (2.29) Параллельное программирование предусматривает выполнение оп- ределенной последовательности действий: во-первых, учитывая явный вид W(s), выражение (2.29) перепишем следующим образом: ( )( ) ), ( 2 1 ) ( 2 1 12 7 ) ( 2 3 12 7 ) ( 3 2 1 2 2 3 2 s u s s s s u s s s s s s u s s s s s s x + + + + = = + + + + = + + + + = α α α (2.30) где α 1 , α 2 , α 3 – неопределенные множители; 30 во-вторых, используя тождество ( )( ) ( ) ( ) 12 7 1 2 2 1 2 3 2 1 + + = + + + + + + s s s s s s s s α α α , запишем систему линейных уравнений относительно его коэффициентов , 12 2 , 7 2 3 , 1 1 3 2 1 3 2 1 = = + + = + + α α α α α α α решение которой будет иметь вид ; 1 , 6 , 6 3 2 1 = − = = α α α (2.31) в-третьих, учитывая (2.31), а также переобозначение y(s) = x(s), пе- репишем уравнение (2.30) следующим образом: ); ( 1 2 1 ) 6 ( 1 1 6 1 ) ( s u s s s s y ⋅ + + − ⋅ + + ⋅ = (2.32) в-четвертых, в соответствии с выражением (2.32) введем в рас- смотрение переменные состояния ), ( 2 1 ) ( ), ( 1 1 ), ( 1 ) ( 3 2 1 s u s s x s u s x s u s s x + = + = = (2.33) уравнения которых в эквивалентном виде будут иметь вид ), ( ) ( 2 ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 3 3 2 2 1 s u s x s sx s u s x s sx s u s sx + − = + − = = (2.34) а также, учитывая явный вид переменных состояния (2.33), перепишем уравнение (2.32) следующим образом: ). ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 3 2 1 s x s x s x s y + − = (2.35) Уравнения состояния (2.34) и уравнение выхода (2.35) можно запи- сать и в оригиналах, т.е. в виде системы уравнений ), ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( ), ( ) ( 2 ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 3 2 1 3 3 2 2 1 t x t x t x t y t u t x dt t dx t u t x dt t dx t u dt t dx + − = + − = + − = = (2.36) которой в векторно-матричной форме (2.9), (2.10) соответствуют сле- дующие матрицы и векторы: 31 ( ) 0 , 1 6 6 , 1 1 1 , 2 0 0 0 1 0 0 0 0 = − = = − − = D C B A (2.37) Структурная схема динамической системы (2.36) или (2.9), (2.10), (2.37) показана на рис. 2.4. Последовательное программирование. Для применения этого способа должно быть выполнено условие – W(s) исследуемой сис- темы должна быть представлена в виде про- изведения дробно-рациональных функций, иначе говоря, как полюса, так и нули W(s) должны быть вещественны и рациональны. Применение способа параллельного программирования, как и в предыдущем случае параллельного программирования, рассмотрим на примере выражения (2.29). Этапы осуществления последователь- ного программирования следующие: Рис. 2.4. Структурная схема системы (2.36). во-первых, уравнение (2.29) перепишем в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ); ( 2 4 1 3 1 ) ( 2 3 12 7 ) ( 2 3 2 s u s s s s s s u s s s s s s x + + ⋅ + + ⋅ = + + + + = (2.38) во-вторых, введем в рассмотрение дополнительные переменные u 1 (s), Е 1 (s) и переменную состояния х 1 (s), задавая уравнения ( ) ( ) ), ( ) ( ), ( 2 1 1 ) ( ), ( 1 3 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 s E s s x s u s s E s u s s s s u − − = + = + + = (2.39) что позволяет первую переменную состояния х 1 (s) описать в виде ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 1 1 1 1 s u s s u s s s x + = + = − − или следующим образом: ); ( ) ( 2 ) ( 1 1 1 s u s x s sx + − = (2.40) в-третьих, подобно предыдущему этапу, введем в рассмотрение переменные вида ), ( ) ( ), ( 1 1 ) ( ), ( 1 ) ( 2 1 2 2 1 2 2 s E s s x s u s s E s u s s u − − = + = = (2.41) 32 что позволяет преобразовать выражение u 1 (s) из (2.39) и получить соот- ношение ( ) ), ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 1 3 ) ( 2 2 2 1 2 1 s x s u s E s s u s s s u + = + = + + = − (2.42) а также записать следующее уравнение для второй переменной состоя- ния: ); ( ) ( ) ( 2 2 2 s u s x s sx + − = (2.43) в-четвертых, аналогично двум предыдущим этапам введем в рас- смотрение переменные вида ), ( ) ( ), ( ) ( 3 1 3 3 s E s s x s u s E − = = (2.44) тогда выражение для u 2 (s) из (2.41) получит вид ), ( ) ( 1 ) ( 3 3 2 s x s E s s u = = (2.45) а третье уравнение состояния будет следующим: ); ( ) ( 3 s u s sx = (2.46) в-пятых, в результате подстановки уравнений (2.45) в (2.43) и (2.45) в (2.42), а затем (2.42) в (2.40) получаем систему уравнений состояния в виде: ); ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 3 2 2 3 2 1 1 s u s sx s x s x s sx s x s x s x s sx = + − = + + − = (2.47) в-шестых, обозначая выход y(s) = x(s) и выполняя подстановку выражения (2.39) в (2.38), получаем ( ) ), ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 4 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 s x s u s x s E s E s s y + = + = + = − а также учитывая явный вид функций u 1 (s) и u 2 (s) согласно равенствами (2.42) и (2.45), окончательно уравнение выхода у(s) запишем в виде ). ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 2 1 s x s x s x s y + + = (2.48) В оригиналах система уравнений (2.47), (2.48) имеет вид 33 ), ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 2 1 3 3 2 2 3 2 1 1 t x t x t x t y t u dt t dx t x t x dt t dx t x t x t x dt t dx + + = = + − = + + − = (2.49) которому в векторно-матричной форме записи (2.9), (2.10) соответствуют следующие матрица и векторы: ( ) 0 , 1 2 2 , 1 0 0 , 0 0 0 1 1 0 1 2 2 = = = − − = D C B A (2.50) Структурная схема динамической системы (2.49) или (2.9), (2.10), (2.50) показана на рис. 2.5. Рис. 2.5. Структурная схема динамической системы (2.49). Кроме приведенных выше способов программирования, построеение модели систем в переменных состояния можно осуществлять и по другим методикам. В частности, структура исследуемой системы может задана. Например, хорошо известно, что при последовательном соединении эле- ментов их передаточные функции пе- ремножаются, а при параллельном – суммируются. Поэтому для системы, описываемой уравнением Рис. 2.6. Структурная схема динамической системы (2.51). ( ) ( ) ( ) ( ) ), ( 3 1 2 4 1 3 1 ) ( s u s s s s s s s x + + + + ⋅ + + ⋅ = (2.51) 34 которой соответствует структурная схема, изображенная на рис. 2.6, можно вначале любым из способов выполнить построение моделей в пространстве остояний для каждого из четырех элементов, а затем, ис- ключая промежуточные переменные, записать уравнение модели в пере- менных состояния для всей системы. с Программирование по структурной схеме. Выделим в уравнении (2.51) элементы, описываемые следующим образом: ). ( 3 1 ) ( ) ( ) ( ), ( 1 ) ( ) ( ) ( ), ( 1 3 ) ( ) ( ) ( ), ( 2 4 ) ( ) ( ) ( 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 s u s s u s W s y s u s s u s W s y s y s s s y s W s y s y s s s y s W s y + = = = = + + = = + + = = (2.52) Для каждой W(s) из (2.52), – например, с помощью прямого про- граммирования – построим модели в пространстве состояний, структур- ные схемы которых показаны на рис. 2.7. Рис. 2.7. Модели элементов системы (2.52) в пространстве состояний. Модели элементов динамической системы (2.51) в пространстве со- стояний, в соответствии с выражениями (2.52), имеют вид ). ( ) ( ), ( ) ( 3 ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 2 ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 ) ( ), ( ) ( 2 ) ( 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 1 1 2 1 1 t x t y t u t x dt t dx t x t y t u dt t dx t y t x t y t y t x dt t dx t y t x t y t y t x dt t dx = + − = = = + = + − = + = + − = (2.53) Структурная схема динамической системы (2.53), в соответствии с моделями вида (2.52) и структурами на рис. 2.6 и рис. 2.7, изображена на рис. 2.8. 35 Рис. 2.8. Модель системы (2.53), (2.54). Исключая в уравнениях (2.53) промежуточные переменные у 1 , у 2 , у 3 , у 4 , а также учитывая равенство у = у 1 + у 4 , модель системы (2.51) в про- странстве состояний можно записать в виде: ). ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ), ( ) ( 3 ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 4 3 2 1 4 4 3 3 2 2 3 2 1 1 t x t x t x t x t y t u t x dt t dx t u dt t dx t x t x dt t dx t x t x t x dt t dx + + + = + − = = + − = + + − = (2.54) Векторно-матричная форма представления уравнений (2.54) в виде (2.9), (2.10) имеет место при следующих матрице и векторах: ( ) 0 , 1 1 2 2 , 1 1 0 0 , 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 2 = = = − − − = D C B A (2.55) 2.2.3. Примеры уравнений состояния систем Манипулятор. С помощью способа прямого программирования уравнение манипулятора можно описать в пространстве состояний урав- нениями , , , , 1 ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( 1 3 4 1 3 1 2 2 1 1 2 4 1 3 2 2 1 1 2 2 1 T T K k T K k T T k T k t x k t x k t y t u t x k t x k dt t dx t x dt t dx = = = = + = + − − = = (2.56) 36 а также представить в виде структурной схемы (см. рис. 2.9). В форме (2.9), (2.10) этим уравнениям соответствуют ( ) 0 , , 1 0 , 1 0 4 3 2 1 = = = − − = D k k C B k k A (2.57) Ресивер. С помощью способа программирования по структурной схеме, учитывая, что уравнению ресивера соответствует параллельное соединение двух звеньев с выходом Рис. 2.9. Модель манипулятора (2.56) в пространстве состояний. ), ( ) ( ) ( 2 1 s y s y s y + = запишем уравнения переменных у 1 (s) и y 2 (s) следующим образом: , , 1 ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( 0 2 5 0 1 4 0 3 2 3 5 2 2 1 3 4 1 1 T K k T K k T k s u k s k s u s W s y s u k s k s u s W s y = = = + = = + = = (2.58) Уравнения (2.58) в переменных состояния можно переписать в виде ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 2 5 1 4 2 2 3 2 1 1 3 1 t x k t x k t y t u t x k dt t dx t u t x k dt t dx + = + − = + − = (2.59) Структурную модель системы (2.59) в пространстве состояний можно изобразить в виде схемы, показанной на рис. 2.10. Если же систему уравнений (2.59) представить в век- торно-матричном виде (2.9), (2.10), то соответствующие векторы и мат- рицы будут иметь вид Рис. 2.10. Модель ресивера (2.59) в пространстве состояний. ( ) ( ) ( ) 0 , , 1 0 0 1 , 0 0 , , 5 4 3 3 2 1 2 1 = = = − − = = = D k k C B k k A u u u x x x T T (2.60) Гидравлический сервомотор. Используя способ прямого програм- 37 мирования, уравнение гидромотора в переменных состояния можно опи- сать следующим образом: , 2 , 1 , ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 3 3 2 2 1 T k T k T K k t x k t y t u t x k t x k dt t dx t x dt t dx t x dt t dx ζ = = = = + − − = = = (2.61) Структурная схема динамической системы (2.61) показана на рис. 2.11. Рис. 2.11. Модель гидромотора (2.61) в пространстве состояний. Векторно-матричная форма записи системы (2.61) в виде уравнений (2.9), (2.10) имеет следующие матрицу и векторы: ( ) 0 , 0 0 , 1 0 0 , 0 1 0 0 0 1 0 1 3 2 = = = − − = D k C B k k A (2.62) Длинный бьеф. С помощью способа прямого программирования уравнение длинного бьефа можно описать в пространстве состояний уравнениями , , 1 ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1 1 4 2 1 1 1 1 3 1 2 4 1 3 2 2 1 T L k T L T K k T k t u k t x k t y t u t x k dt t dx = − = = − + = − + − = τ τ (2.63) Поскольку дифференциальное уравнение (2.63) – первого порядка, то ее векторно-матричная форма записи вида (2.9), (2.10) также будет скалярной, т.е. матрицы и векторы – скалярные величины, принимающие следующие значения: 38 , , 1 , 4 3 2 k D k C B k A = = = − = (2.64) В выражении (2.64) в отличие, например, от соотношений (2.57), (2.60) или (2.62), матрица обхода системы D ≠ 0, что объясняется равен- ством порядка числителя и знаменателя передаточной функции из (1.98). Структурную модель системы (2.63) или (2.9), (2.10), (2.64) в про- странстве состояний можно представить в виде схемы, приведенной на рис. 2.12. Рис. 2.12. Модель длинного бьефа (2.63) в пространстве состояний. 2.2.4. Передаточные функции нормальных систем Рассмотрим модель нормальной системы, записанную в пространст- ве состояний ), ( ) ( ) ( t Bu t Ax dt t dx + = (2.65) ), ( ) ( ) ( t Du t Cx t y + = (2.66) где x(t) ∈R n ; u(t) ∈R m ; y(t) ∈R l Перепишем уравнения системы (2.65), (2.66) в изображениях с по- мощью векторно-матричной передаточной функции системы. С этой це- лью выполним преобразование Лапласа над уравнениями (2.65) и опреде- лим изображение вектора состояний x(s) в виде ( ) ( ) ( ) ), ( det ) ( ) ( 1 s Bu A sE A sE s Bu A sE s x − − = − = + − (2.67) где (sE – A) -1 – обратная матрица; det(sE – A) – детерминант матрицы; (sE – A) + – присоединенная 1 матрица к матрице (sE – A); E – единичная мат- рица соответствующего размера, в данном случае (n x n). Если соотношение (2.66) записать в изображениях, куда затем под- ставить x(s) из (2.67), то получим равенство ( ) ( ) ), ( ) ( ) ( ) ( 1 s u s W s u D B A sE C s y = + − = − (2.68) 39 1 По определению это транспонированная матрица алгебраических дополнений. где W(s) – передаточная функция в виде матричного 2 множителя, связы- вающего изображения по Лапласу выхода у(s) и входа и(s) при нулевом начальном состоянии x(0). В строго реализуемых системах функция W(s) имеет более простой вид ( ) ) ( 1 B A sE C s W − − = (2.69) Размер матрицы W(s) определяется размерностями выхода у(s) и входа и(s), в рассматриваемом случае (l x m). При l = m = 1 функция W(s) будет скалярной, но в общем случае W(s) – это матричная функция с эле- ментами W ij (s), т.к. выражение (2.68) можно представить соотношением = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 11 1 s u s u s W s W s W s W s y s y m lm l m l 2.2.5. Уравнения состояний при типовом соединении систем В ряде прикладных задач возникает необходимость в получении ма- тематического описания системы в пространстве состояний, состоящей из элементов (подсистем), соединенных между собой типовым образом – параллельно, последовательно или с помощью обратной связи. Иногда требуется иметь единое уравнение в качестве математической модели не- которой объединенной системы, т.е. описание нескольких независимых систем. Объединение независимых систем. Рассмотрим простой случай, ко- гда некоторая объединенная система S состоит из независимых систем S i , i=1, 2, описываемых уравнениями ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( t x C t y t u B t x A dt t dx i i i i i i i i = + = (2.70) где матрицы A i , B i , C i имеют соответственно размеры (n i x n i ), (n i x n i ), (l i x m i ). Введем в рассмотрение составные (обобщенные) векторы: для пере- менных состояния системы x(t) = col{x 1 (t), x 2 (t)} ∈ , 2 1 n n R + для переменных входа и(t) = col{и 1 (t), и 2 (t)} ∈ , 2 1 m m R + переменных выхода у(t) = col{у 1 (t), 40 2 В теории матриц комплексный аргумент передаточной функции принято обозна- чать через λ , для удобства будем его обозначать, как и в скалярном случае, через s. у 2 (t)} ∈ 2 1 l l R + Графический образ объеди- нения систем S i в одну показан на рис. 2.13, математическое описание которого представляет собой систему уравнений ) ( ) ( Cx t y dt t dx = = 0 1 C ( ) 2 C Рис. 2.13. Модель объединения независимых систем (2.70). ), ( ), ( ) ( t t Bu t Ax + (2.71) где блочные матрицы А, B, С имеют следующую структуру: , 0 0 2 1 = A A A 0 , 0 0 2 2 1 = = C C B B B Параллельное соединение систем (подсистем). Принципиальное от- личие параллельного соединения двух подсистем от объединения двух независимых систем состоит в том, что при параллельном соединении вход и(t) = и 1 (t) = и 2 (t) поступает на обе подсистемы одновременно, а выход этого соединения образуется как сумма у(t) = у 1 (t) + у 2 (t) (рис. 2.14). Вектор состояния x(t) остается по-прежнему составным и имеет вид x(t) = col{x 1 (t), x 2 (t)} ∈ 2 1 n n R + Математическое описание сис- темы S, образованной параллельным со- единением нескольких систем S i , имеет по- прежнему вид (2.71), где матрицы А, B, С также блочные, вида Рис. 2.14. Модель параллельного соединения двух систем. , , 0 0 1 2 1 2 1 C C B B B A A A = = = Последовательное соединение подсистем, (рис. 2.15), где входом сис- темы S является вход подсистемы S 1 , и(t) = и 1 (t), а выход системы S форми- руется выходом второй подсистемы S 2 , у(t) = у 2 (t). При этом выход первой подсистемы является входом второй, и 2 (t) = у 1 (t), поскольку их размерно- сти совпадают. Описывая систему, представленную на рис. 2.15 уравне- ниями (2.71), получаем следующие блочные матрицы: Рис. 2.15. Последовательное соединение двух подсистем. 41 ( ) 0 , 0 , 0 2 1 2 1 2 1 C C B B A C B A A = = = Соединение подсистем с обратной связью, (рис. 2.16), где выход подсистемы S 2 вычитается (при положительной обрат- ной связи прибавляется) из входа всей сис- темы S и поступает на вход подсистемы S 1 Другими словами, и 1 (t) = и(t) – у 2 (t), и 2 (t) = у 1 (t), что позволяет в математическом опи- сании (2.71) для системы, показанной на рис. 2.16, получить блочные матрицы вида Рис. 2.16. Соединение подсистем c обратной связью. ( ) 0 , 0 , 1 1 2 1 2 2 1 1 C C B B A C B C B A A = = − = |