Математическое и компьютерное моделирование
 Скачать 3.02 Mb.
|
|
3. МОДЕЛИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ Структурную схему любой линейной системы, как правило, можно представить в виде соединения элементарных динамических звеньев, по- рядок дифференциальных уравнений которых будет не выше второго по- рядка. Общепринято каждое из таких звеньев включать в состав одной из трех групп – позиционных, интегрирующих или дифференцирующих звеньев. Классификационным признаком, позволяющим отнести звено к соответствующей группе является его уравнение, описывающее поведе- ние звена в статике, т.е. в установившемся режиме. 3.1. Группа позиционных звеньев В группу позиционных звеньев обычно включаются безынерцион- ное, инерционные 1-го и 2-го порядков, колебательное. Все эти звенья в установившемся режиме описываются одинаковым уравнением вида ), ( ) ( const k t ku t x = = (3.1) 3.1.1. Безынерционное звено Это звено часто называют статическим, усилительным, масштаб- ным, пропорциональным и описывают уравнением вида (3.1). Примеры безынерционного звена даны на рис. 3.1, где изображены: а) редуктор; b) делитель напряжения; c) электронный усилитель. Согласно уравнению (3.1) передаточная функция имеет вид ) ( k s W = (3.2) Переходной процесс описывается уравнением ) ( 1 ) ( t k t h = , (3.3) а импульсная переходная характеристика уравнением вида ) ( ) ( t k t δ ω = (3.4) 56 Рис. 3.1. График функции h(t), построенный при значении коэффициента передачи k = 3 и со- гласно выражению (3.3), показан на рис. 3.2. Рис. 3.2. График же функции ω(t) вида (3.4) не име- ет строгой физической интерпретации и его реализация может быть лишь приближенной, в частности – в виде прямоугольного сигнала с большой амплитудой и малым интервалом вре- мени, причем площадь такого сигнала, согласно уравнению (3.4), должна быть равной k. Частотная передаточная функция описывается уравнением k j W = ) ( ω , (3.5) годограф которой (точка на плоскости) изображен на рис. 3.3. Рис. 3.3. Представив частотную передаточную функцию вида (3.5) как ком- плексное выражение, представленное соответственно в полярных и пря- моугольных координатах, получим частотные характеристики: амплитудную k A j W = = ) ( )) ( mod( ω ω ; (3.6) фазовую 0 ) ( )) ( arg( = = ω ϕ ω j W ; (3.7) вещественную k U j W = = ) ( )) ( Re( ω ω ; (3.8) мнимую 0 ) ( )) ( Im( = = ω ω V j W (3.9) 57 Графики частотных характеристик (3.6) – (3.9) безынерционного звена со значением коэффициента k = 3 показаны на рис. 3.4. Рис. 3.4. 1.1.2. Инерционное звено 1-го порядка Звено также называют апериодическим 1-го порядка и описывают уравнением вида ku x dt dx T = + , T [c], k = const > 0. (3.10) В частности, известно, что дифференциальное уравнение движения электродвигателя, при отсутствии момента нагрузки на валу, можно опи- сать уравнением υ υ υ 0 0 M E K dt d J м − = , (3.11) где υ – скорость вращения; M 0 – пусковой момент; J – суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя; υ 0 – скорость вращения холо- стого хода; E – управляющее воздействие; K M – коэффициент пропорцио- нальности между вращающим моментом и управляющим воздействием; dt d J υ – вращающий момент. Если уравнение (3.11) представить в первой форме записи E M K dt d M J м 0 0 0 0 υ ν υ υ = + , то используя новые обозначения: 58 , , , , 0 0 0 0 M K k M J T E u x M υ υ υ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = = получим уравнение, вид которого будет в точности совпадать с уравне- нием (3.10). Примеры инерционного звена 1-го приведены на рис. 3.5, где изо- бражены: a) резервуар с газом (ресивер); b) электрический двигатель; c) RC – цепочка; d) тепловой объект; e) резервуар с жидкостью. Рис. 3.5. Передаточная функция звена имеет вид 1 ) ( ) ( ) ( + = = Ts k s u s x s W (3.12) Поскольку для характеристического уравнения 0 1 = + Ts , корень определяется соотношением T s 1 1 − = , то уравнение связи вход-выход, согласно (3.12), будет следующим: ) ( / ) ( 1 s u s s T k s x − = , которое, для входного сигнала u(t) = 1(t) и его изображения s dt e t s u st 1 ) ( 1 ) ( 0 = = ∫ ∞ − , перепишется в виде 59 ) ( / ) ( 1 s s s T k s x − = (3.13) Теперь, используя таблицу обратных преобразований Лапласа, легко найти решение уравнения (3.10), в частности – переходной процесс опре- делится соотношением ) 1 ( ) ( / ) ( 1 1 T t e k s s s T k L t h − − − = − = , (3.14) из которого, в результате дифференцирования функции h(t) получается уравнение импульсной переходной характеристики ) ( ) ( T t e T k dt t dh t − = = ω (3.15) Графики временных характеристик инерционного звена 1-го поряд- ка, построенные для значений коэффициента передачи k = 5 и постоянной времени Т = 2 (с), представлены на рис. 3.6. Рис. 3.6. Из уравнения (3.12) следует, что частотная передаточная функция инерционного звена 1-го порядка имеет вид T j k j W ω ω + = 1 ) ( , (3.16) годограф которой со значениями k = 5 и Т = 2 изображен на рис. 3.7. Частотную передаточную функцию (3.16) можно описать как в по- лярных координат с помощью выражений 2 2 1 ) ( T k A ω ω + = , T arctg ω ω ϕ − = ) ( , (3.17) так и в прямоугольных координатах, используя соотношения 2 2 2 2 1 ) ( , 1 ) ( T kT V T k U ω ω ω ω ω + − = + = (3.18) Графики частотных характеристик (3.17), (3.18), построенные при значениях k = 5 и Т = 2, представлены на рис. 3.8. 60 Рис. 3.7. Рис. 3.8. 3.1.3. Инерционное звено 2-го порядка Инерционное или апериодическое звено 2-го порядка описывают уравнением ku x dt dx T dt x d T = + + 2 2 2 2 1 , T , (3.19) 2 1 2 2 4T > где положительные числа k – коэффициент передачи; T 1 2 , T 2 – постоян- ные времени. Часто вместо T 1 2 пишут просто T 1 , что означает лишь изме- нение обозначения, но сохранение размерности, т.е. здесь T 1 в [сек] 2 Уравнению (3.19) соответствует передаточная функция 1 ) ( 2 2 2 1 + + = s T s T k s W (3.20) Поскольку при T 2 2 >4T 1 2 корни характеристического уравнения 0 1 2 2 2 1 = + + s T s T 61 всегда будут вещественными, то передаточную функцию (3.20) удобно записывать следующим образом: ) 1 )( 1 ( ) ( 4 3 + + = s T s T k s W , (3.21) т.е. рассматривая новые постоянные времени = + = ∆ ∆ , 2 4 3 2 1 4 3 T T T T T T В качестве примера математического описания инерционного звена 2-го порядка рассмотрим уравнения электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением, схема которого изображена на рис. 3.5b. Известно, что с учетом электромагнитной реакции цепи якоря, но при от- сутствии момента нагрузки на валу двигателя, динамику последнего опи- сывают двумя уравнениями: во-первых – уравнением равновесия ЭДС в якорной цепи υ E вх K u Ri dt di L − = + , (3.22) где L, R – соответственно индуктивность и активное сопротивление якор- ной цепи, а K E – коэффициент пропорциональности между обратной ЭДС и скоростью вращения двигателя υ; во-вторых – уравнением равновесия моментов на валу двигателя i K dt d J м = ν , (3.23) где K М – коэффициент пропорциональности между вращающим момен- том и током якоря i. Исключив в уравнениях (3.22), (3.23) промежуточную переменную i, можно записать следующее уравнение движения электродвигателя вх E м м u K dt d K RJ dt d K LJ = + + υ υ υ 2 2 , которому в первой форме записи будет соответствовать выражение вх E E м E м u K dt d K K RJ dt d K K RJ R L 1 2 2 = + + υ υ υ (3.24) Если ввести обозначения , , 1 E м M E K K RJ T K k ∆ ∆ = = , R L Я ∆ = T x = υ, u = u вх , где Т М – электромеханическая постоянная времени двигателя, а Т Я – ее электромагнитная постоянная, то уравнение (3.24) получит вид 62 ku x dt dx T dt x d T T M Я M = + + 2 2 (3.25) Уравнение (4.24) будет полностью эквивалентно уравнению (3.12) только при выполнении дополнительного коэффициентного соотношения 0 4 2 > − я м м T T T или T (3.26) 0 4 > > я м T Другие примеры инерционного 2-го звена показаны на рис. 3.9, где каждое представляет собой последовательное соединение двух инерци- онных звеньев 1-го порядка (см. рис. 3.5). Рис. 3.9. Поскольку у передаточной функции вида (3.21) корни характери- стического уравнения имеют вещественные значения 3 1 1 T s − = , 4 2 1 T s − = , то переходной процесс будет описываться следующим образом: , 1 ) )( ( / ) ( 4 3 4 3 4 4 3 3 2 1 4 3 1 − + − − = = − − = − − − T t T t e T T T e T T T k s s s s s T T k L t h (3.27) а импульсной переходной характеристике будет соответствовать уравне- ние − − = − − 4 3 4 3 ) ( T t T t e e T T k t ω (3.28) Графики временных характеристик инерционного звена 2-порядка со значениями коэффициентов 63 k = 5, T 3 = 1, T 4 = 3, (3.29) представлены на рис. 3.10. Рис. 3.10. Частотная передаточная функция, получаемая из (3.21), имеет вид ) 1 )( 1 ( ) ( 4 3 T j T j k j W ω ω ω + + = (3.30) Годограф функции (3.30) со значениями (3.29) показан на рис. 3.11. Рис. 3.11. Амплитудная и фазовая частотные характеристики, как следует из соотношения (3.30), описываются соотношениями , ) ( , ) 1 )( 1 ( ) ( 4 3 2 4 2 2 3 2 T arctg T arctg T T k A ω ω ω ϕ ω ω ω − − = + + = (3.31) а вещественная и мнимая частотные характеристики, также получаемые из (3.30), имеют вид 4 ) 1 )( 1 ( ) ( ) ( , ) 1 )( 1 ( 1 ) ( 2 4 2 2 3 2 4 3 2 4 2 2 3 2 4 3 2 T T T T V T T T T U ω ω ω ω ω ω ω ω + + + − = + + − = (3.32) Графики частотных характеристик (3.31), (3.32) со значениями ко- эффициентов (3.29), приведены на рис. 3.12. 64 Рис. 4.12. 3.1.4. Колебательное звено Как и апериодическое звено 2-го порядка, колебательное также опи- сывается дифференциальным уравнением вида (3.19), но при этом ука- занное в (3.19) неравенство заменяется на противоположное, т.е. получа- ет вид 2 1 2 2 4T T < (3.33) Очевидно, что при этом оба корни характеристического уравнения пере- даточной функции (3.20) оказываются комплексно-сопряженными. В этом случае передаточную функцию (3.20) удобно записывать следую- щим образом: 1 2 ) ( 2 2 + + = Ts s T k s W ξ , (3.34) т.е. рассматривая новые коэффициенты, определяемые из соотношений = = ∆ ∆ , 2 , 2 2 1 2 T T T T ξ где ξ – коэффициент затухания 0 ≤ ξ < 1; T – постоянная времени, удов- летворяющая соотношению q = T -1 , здесь q – угловая частота свободных колебаний при отсутствии затухания, т.е. при ξ = 0. Примером конкретного математического описания колебательного звена может служить уравнение двигателя постоянного тока с независи- мым возбуждением вида (3.25), но только в том случае, когда его пара- 65 метры удовлетворяют неравенству T 0 4 2 < − я м м T T Примеры колебательного звена представлены на рис. 3.13: а) цен- тробежный маятник; b) механическая система; с) RLC-цепочка. Рис. 3.13. Если определить корни характеристического уравнения 0 1 2 2 2 = + + Ts s T ξ и записать их в виде , 1 1 1 , , 1 1 1 1 2 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 , 1 2 ξ ξ λ ξ ξ γ λ γ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ − = − = = = ± − = − ± − = = − ± − = − ± − = ∆ ∆ < q T q T j T j T T T T T T T s (3.35) то из двух последних уравнений можно установить зависимость коэффи- циентов T, ξ (или q, ξ ) от параметров γ и λ, в виде следующих функций: , , 1 1 2 2 2 2 γ λ γ γ ξ γ λ + = = + = = q q T Переходной процесс и импульсная переходная характеристика ко- лебательного звена описываются соотношениями , , ) sin (cos 1 ) sin( 1 ) )( ( / ) ( 2 1 2 1 γ λ ϕ λ λ γ λ ϕ λ ξλ γ γ γ arctg t t e k t e k s s s s s T k L t h t t ∆ − − − = + − = = + − = − − = (3.36) 66 ( ) , sin sin sin ) ( 2 2 2 2 2 t e k t e kq t e k t t t t λ λξ γ λ λ λ λ λ γ ω γ γ γ − − − = = + = (3.37) а их графики, построенные при значении коэффициентов k = 10, T = 1.5, ξ = 0.3, показаны на рис. 3.14. Рис. 3.14. Частотная передаточная функция, согласно уравнению (3.34), опи- сывается выражением вида ( ) T j T k j W ξω ω ω 2 1 ) ( 2 2 + − = (3.38) а частотные характеристики следующим образом: ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 ) ( T T k A ω ξ ω ω + − = , (3.39) 2 2 1 2 ) ( ω ξω ω ϕ T T arctg − − = (3.40) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 ) ( T T T k U ω ξ ω ω ω + − − = , (3.41) ( ) 4 1 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 T T T k V ω ξ ω ξω ω + − − = (3.42) Известно, что в колебательном звене может появиться резонанс, ко- гда в некотором частотном диапазоне текущее значение амплитуды пре- вышает величину А(0), а при резонансной частоте ω рез достигает своего максимума, т.е. А( ω рез ) = max А( ω ). Определить величину ω рез можно, на- пример, используя необходимое условие экстремума функции ( ) ( ) 0 4 ) 1 ( 2 1 2 ) ( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + + − − == ∂ ∂ ω ξ ω ξ ω ω ω ω T T T kT A Поскольку при ω = 0 резонанса быть не может, то величину ω рез находят из условия 0 2 1 2 2 2 = + + − ξ ω T , в виде 2 2 2 1 2 1 1 ξ ξ ω − = − = q T рез , где 67 рассматриваются лишь вещественные значения ω рез , удовлетворяющие неравенству 1 0 2 2 > − ξ , при этом коэффициентное соотношение ξ < 0.707 – это условие наличия резонанса. , ) ( 0 k dt t u t ∫ Годографы частотной передаточной функции, построенные со зна- чениями коэффициентов k = 10, T = 1.5, при ξ = 0.3 и ξ = 0.5, показаны на рис. 3.15, а графики частотных характеристик – на рис. 3.16. Рис. 3.15. Рис. 3.16. |