Математическое и компьютерное моделирование
 Скачать 3.02 Mb.
|
|
5.3. Примеры Пример 1. Выполнить действия с матрицами (сложение и умноже- ние). Над матрицами можно выполнять простейшие арифметические дей- ствия, используя соответствующие операторы. >> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; B=[1 4 7; 2 5 8; 9 6 3] >> C=A+B C = 2 6 10 6 10 14 16 14 12 >> D=A*B D = 32 32 32 68 77 86 104 122 140 Пример 2. Вычислить кумулятивные суммы для каждого столбца матрицы. Используем функцию CUMSUM(X). >> x=[2 4 6; 1 3 2]; cumsum(x) ans = 2 4 6 3 7 8 >> Пример 3. Округлить элементы матрицы к ближайшему целому чис- лу. Для этого используем функцию ROUND(A). >> x=[1.2 -3.2 3.3 4.8]; y=round(x) y = 1 -3 3 5 >> Пример 4. Решить графически систему нелинейных алгебраических равнений. 100 = − = + 0 sin , 0 cos 3 2 x y x y Выразим y из первого и второго уравнений в явном виде, получим: sin , cos 3 2 x y x y = − = Построим в одной системе координат графики функций x x y 2 cos ) ( − = и x x y 3 sin ) ( = , координаты точек пересечения которых будут являться решением данной системы уравнений. >> x=-6:0.01:6; >> y1=-(cos(x)).^2; >> y2=(sin(x)).^3; >> plot(x,y1,x,y2) >> Рис. 5.1. 6. р в. ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ Перечень предлагаемых лабораторных работ включает в себя: − Лабораторная абота №1 (4 ч.). Знакомство с рабочим местом лабо- раторного комплекса. − Лабораторная работа №2 (6 ч.). Имитационное моделирование пози- ционных звеньев. − Лабораторная работа №3 (4 ч.). Имитационное моделирование интегрирующих звенье − Лабораторная работа №4 (2 ч.). Имитационное моделирование ре- ального дифференцирующего звена. Выполнение всех заданий лабораторно практикума связано с ис- пользованием MatLab – высокоэффективного программного обеспечения для научных и инженерных расчетов. 6.1. ЛБ №1. Знакомство с рабочим местом лабораторного комплекса Для вызова программной среды MatLab вам необходимо воспользо- ваться кнопкой Пуск и выбрать следующую последовательность: Про- граммы → MatLab for Windows → MatLab. После вызова MatLab на экра- не появится окно, показанное на рис. 6.1 Рис. 6.1. Из рис. 6.1 следует, что Рабочее место MatLab представляет собой командное окно (MatLab Command Window), состоящее из: главного меню, с разделами – File, Edit, Options, Windows, Help; 101 102 − рабочей области, с информационным текстом и специальным знаком приглашения к работе “>>”, после которого вводится та или иная ко- манда: demo, kmm и т.п. Непосредственно для начала работы вводится команда kmm, в ре- зультате чего в рабочей области MatLab Command Window появляется диалоговое окно “Лабораторные работы по КММ” (рис. 6.2). Рис. 6.2. Представленное меню предлагает пользователю осуществить любое из следующих действий: − запустить интерактивный режим выполнения нужной лабораторной работы; − просмотреть пример заполнения отчета по лабораторной работе №1; − просмотреть краткое описание программной среды MatLab; − закрыть диалоговое окно. Раздел меню “Краткое описание ” вызывает дополни- тельное диалоговое окно, внешний вид которого приведен на рис. 6.3. С помощью вызова этого дополнительного меню пользователь получает доступ к соответствующим разделам справочного материала, в котором кратко описаны наиболее характерные особенности применения и базо- вые возможности программной среды MatLab. Если в меню “Лабораторные работы по КММ” (см. рис. 6.2), вы- брать и ввести раздел – Векторно-матричные преобразования пакета MatLab, то это приведет к появлению в рабочей области MatLab Command Window первоначального экранного фрагмента данной лабора- 103 торной работы (см. рис. 6.4), которую необходимо выполнить, внима- тельно прочитав все указания, появляющиеся на экране. Рис. 6.3. Рис. 6.4. Текст данной программы содержит наряду с краткими коммента- риями и методическими указаниями, также и описание соответствующей последовательности. 6. 2. ЛБ №2. Имитационное моделирование позиционных звеньев Цель данной лабораторной работы – исследование динамических характеристик группы позиционных звеньев (см. п. 3.1), в частности апе- риодических 1-го и 2-го порядков и колебательного. Все эти звенья в 104 установившемся режиме описываются одинаковым уравнением вида (3.1) и передаточными функциями вида (3.12) и (3.20) для апериодических звеньев 1-го и 2-го порядка, соответственно, и (3.34) для колебательного звена. Требуется для динамических систем (3.12), (3.20) и (3.34) в соответ- ствии с заданным вариантом (см. ниже) осуществить математическое и имитационное моделирование (с построением графиков) следующих временных и частотных характеристик: h(t), w(t), A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω )и W(j ω ). В качестве образца ниже приведена распечатка программы 1 , которая будет отработана в диалоговом режиме после выбора пункта Характери- стики апериодического звена 1-го порядка меню “Лабораторные работы по КММ” и отражающая последовательность необходимых действий, осуществляемых пакетом MatLab 4 для расчета и построения временных и частотных характеристик апериодического звена 1-го порядка. Ключевым моментом, от которого зависит правильность выполне- ния данной и последующих лабораторных работ, является введение ко- эффициентов числителя (num) и знаменателя (den) передаточной функ- ции. % АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-ОГО ПОРЯДКА % % Рассматривается передаточная функция вида % W (p) = x(p)/u(p) = K/(T*p + 1) (1) % где x(p) и u(p) - изображения входа и выхода; К, Т - положительные постоянные коэффициенты. % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦Т¦ % ¦==¦==¦=¦ % ¦01¦10¦1¦ % ¦02¦12¦2¦ % ¦03¦13¦3¦ % ¦04¦15¦1¦ % ¦05¦14¦3¦ % ¦06¦16¦2¦ % ¦07¦17¦1¦ % ¦08¦16¦2¦ % ¦09¦15¦3¦ % ¦10¦14¦2¦ % ВАШ вариант определяется последней цифрой номера в журнале % (в соответствии со списком фамилий) pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % % ЗАДАНИЕ % Требуется: 1 Это распечатка экранной формы окна управления MatLab 4, полученная при выполнении расчетов с кон- кретными данными. 105 % 1. Построить переходной процесс, весовую функцию. % 2. Построить АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ, АФЧХ. % % Введите числитель (num) передаточной функции (1). num = input('num=') num=[14] num = 14 pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % Введите знаменатель (den) передаточной функции (1). den = input('den=') den=[3 1] den = 3 1 pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % Переход в пространство состояний pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... [a,b,c,d] = tf2ss(num,den) a = -0.3333 b = 1 c = 4.6667 d = 0 pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % Построение переходного процесса t=0:.005:15; step(a,b,c,d,1,t); pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % Построение весовой функции impulse(a,b,c,d,1,t); pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... % Построение частотных характеристик 106 w=0:.005:30; [mag,phase] = bode(a,b,c,d,1,w); [re,im] = nyquist(a,b,c,d,1,w); pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... subplot(221), plot(w,mag), title('Magnitude response'), xlabel('Radians/s'), subplot(223), plot(w,phase), title('Phase response'), xlabel('Radians/s'), subplot(222), plot(w,re), title('Real response'), xlabel('Radians/s'), subplot(224), plot(w,im), title('Image response'), xlabel('Radians/s'), pause % Для продолжения работы нажмите любую клавишу ... plot(re,im), title('W(jw)'), xlabel('Re'), ylabel('Im'), pause % Для завершения работы нажмите любую клавишу ... Реализации данной программы в графических образах показана на рис. 6.5 – 6.8: рис. 6.5 – переходный процесс; рис. 6.6 – весовая функция; рис. 6.7 – частотные характеристики A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω ); рис. 6.8– го- дограф W(j ω ). Для того чтобы в процессе выполнения программы каждый рисунок появлялся в отдельном окне, необходимо в появившемся графическом окне выбрать меню File команду New Figure. Для сохранения графических образов можно использовать в меню Edit команду Copy to bitmap. Затем нужно открыть графический редактор Paint, создать в нем новый файл и вставить рисунок, выбрав команду главного меню Правка → Вставить. Теперь рисунок можно отредакти- ровать (например, обратить цвета) и сохранить, выбрав команду Сохра- нить или Сохранить как… в меню Файл. Для исследования апериодического звена 2-го порядка и колеба- тельного звена выбираются пункты, соответственно, Характеристики апериодического звена 2-го порядка и Характеристики колебательного звена, вследствие чего будет отработана аналогичная программа. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-ОГО ПОРЯДКА % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦Т1¦Т2¦ % ¦01¦10¦ 1¦10¦ % ¦02¦12¦ 2¦11¦ % ¦03¦13¦ 3¦12¦ % ¦04¦15¦ 1¦13¦ % ¦05¦14¦ 3¦14¦ % ¦06¦16¦ 2¦15¦ % ¦07¦17¦ 1¦14¦ % ¦08¦16¦ 2¦13¦ % ¦09¦15¦ 3¦12¦ % ¦10¦14¦ 2¦11¦ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ЗВЕНО % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦Т1¦Т2¦ % ¦01¦10¦11¦3¦ % ¦02¦12¦12¦2¦ % ¦03¦13¦13¦1¦ % ¦04¦15¦11¦1¦ % ¦05¦14¦13¦2¦ % ¦06¦16¦12¦2¦ % ¦07¦17¦11¦3¦ % ¦08¦16¦12¦3¦ % ¦09¦15¦13¦1¦ % ¦10¦14¦12¦1¦ Результаты выполненной лабораторной работы предоставляются в виде отчета, в котором необходимо записать: дифференциальное уравне- 107 ние звена, вид передаточной функции, уравнения временных характери- стик h(t) и w(t)с соответствующими графиками, уравнения частотных ха- рактеристик W(j ω )и A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω ) с их графиками. Для подго- товки отчета рекомендуется использовать текстовый редактор MS Word. Рис. 6.5. Рис. 6.6. 108 Рис. 6.7. Рис. 6.8. 6. 3. ЛБ №3. Имитационное моделирование интегрирующих звеньев Цель работы – исследование динамических характеристик идеаль- ного интегрирующего звена и интегрирующего звена с замедлением (см. п. 3.2). Эти звенья в установившемся режиме описываются одинаковым 109 уравнением вида (3.43) и передаточными функциями вида (3.45) и (3.54), соответственно. Требуется для динамических систем (3.45) и (3.54) в соответствии с заданным вариантом осуществить математическое и имитационное моде- лирование (с построением графиков) следующих временных и частотных характеристик: h(t), w(t), A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω )и W(j ω ). Для выполнения данной лабораторной работы выбираются в меню “Лабораторные работы по КММ” пункты Характеристики идеального интегрирующего звена и Характеристики интегрирующего звена с замедлением, вследствие чего будет отработана последовательность действий, осуществляемых пакетом MatLab 4 для расчета и построения временных и частотных ха- рактеристик (программа аналогична описанной в п. 6.2). ИДЕАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦ % ¦==¦==¦ % ¦01¦10¦ % ¦02¦22¦ % ¦03¦13¦ % ¦04¦25¦ % ¦05¦14¦ % ¦06¦26¦ % ¦07¦17¦ % ¦08¦26¦ % ¦09¦15¦ % ¦10¦24¦ ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО С ЗАМЕДЛЕНИЕМ % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦Т¦ % ¦==¦==¦=¦ % ¦01¦10¦1¦ % ¦02¦12¦2¦ % ¦03¦13¦3¦ % ¦04¦15¦1¦ % ¦05¦14¦3¦ % ¦06¦16¦2¦ % ¦07¦17¦1¦ % ¦08¦16¦2¦ % ¦09¦15¦3¦ % ¦10¦14¦2¦ Результаты выполненной лабораторной работы предоставляются в виде отчета, в котором необходимо записать: дифференциальное уравне- ние звена, вид передаточной функции, уравнения временных характери- стик h(t) и w(t)с соответствующими графиками, уравнения частотных ха- рактеристик W(j ω )и A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω ) с их графиками. Для подго- товки отчета рекомендуется использовать текстовый редактор MS Word. 6. 4. ЛБ №4. Имитационное моделирование реального дифференцирующего звена Цель работы – исследование динамических характеристик реально- го дифференцирующего звена (см. п. 3.3). Это звено в установившемся 110 режиме описывается уравнением вида (3.71) и передаточной функцией (3.72). Требуется для процесса (3.71) в соответствии с заданным вариантом осуществить математическое и имитационное моделирование (с построе- нием графиков) следующих временных и частотных характеристик: h(t), w(t), A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω )и W(j ω ). Для выполнения данной лабораторной работы выбираются пункты, соответственно, Характеристики реального дифференцирующего звена, вследствие чего будет отработана последовательность действий, осуще- ствляемых пакетом MatLab4 для расчета и построения временных и час- тотных характеристик. РЕАЛЬНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО % В А Р И А Н Т Ы: % ¦No¦К ¦Т¦ % ¦==¦==¦=¦ % ¦01¦10¦1¦ % ¦02¦12¦2¦ % ¦03¦13¦3¦ % ¦04¦15¦1¦ % ¦05¦14¦3¦ % ¦06¦16¦2¦ % ¦07¦17¦1¦ % ¦08¦16¦2¦ % ¦09¦15¦3¦ % ¦10¦14¦2¦ Результаты выполненной лабораторной работы предоставляются в виде отчета, в котором необходимо записать: дифференциальное уравне- ние звена, вид передаточной функции, уравнения временных характери- стик h(t) и w(t)с соответствующими графиками, уравнения частотных ха- рактеристик W(j ω )и A( ω ), ϕ ( ω ), U( ω ), V( ω ) с их графиками. Для подго- товки отчета рекомендуется использовать текстовый редактор MS Word. 111 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОЛЯРИЗАЦИИ В этой главе рассматривается кибернетическая модель процесса по- ляризации конденсированных материалов, дающая хорошее совпадение теоретических и экспериментальных характеристик комплексной диэлек- трической проницаемости в области электронной упругой поляризации, а также, в рамках использования этой модели, предлагается методика опре- деления параметров поляризационных процессов, эффективность которой оценивается в рамках моделирования длинноволнового спектра показате- ля преломления на примере воды. 7.1. Процесс упругой электронной поляризации диэлектриков Проблемы имитационного моделирования динамических систем, возникающие при решении ряда прикладных задач, в том числе харак- терных и для теоретической физики, по-прежнему остаются весьма акту- альными. При этом качество результатов или эффективность вычислительных экспериментов существенно зависит от уровня адекватности теоретической модели реальному физическому процессу. Предлагается, следуя работу А.Л. Фрадкова 1 , для описания процесса поляризации воспользоваться, наряду с традиционными, кибернетической моделью, позволяющей описать свойства физической системы с помощью обратных связей. Модель Клаузиса-Мосотти-Лорентц-Лоренца Известно, что количественной мерой результата поляризации мате- риала служит его поляризованность − P, которую можно описать выра- жением: ∑ = = K i i i n E P 1 α , (7.1) 1 Фрадков А.Л. Исследование физических систем при помощи обратных связей // Автоматика и телемеханика. 1999. № 3. С. 213-229. 112 где Е − напряженность электрического поля внутри диэлектрика; K − число разновидностей индуцированных диполей; n i и α i − соответственно концентрации и поляризуемости частиц. Для вычисления диэлектрической проницаемости материала − ε , традиционно используются соотношения, связывающие ε с поляризуемо- стями частиц, составляющих диэлектрик. Следует отметить ради полноты изложения, что при вычислении ди- электрической проницаемости газов обычно используется формула Бор- на: ∑ = + = K i i i n 1 0 1 1 α ε ε , (7.2) где ε 0 − электрическая постоянная (8,85418782⋅10 −12 Ф/м), при выводе ко- торой предполагается, что E определяется напряженностью среднего макроскопического поля E ср в материале: 0 0 1 0 ε P E E E E E cp − = − = = , (7.3) где E 0 − напряженность внешнего поля; E 1 − напряженность деполяри- зующего поля, обусловливаемого наведенными поверхностными заряда- ми. Действительно, если в выражении (3) осуществить замену E 0 = ε E, то в результате преобразований получим соотношение: ) 1 ( 0 − = ε ε P E cp , (7.4) из которого, с учетом выражения (7.1), будет следовать соотношение (7.2). Итак, если формула (7.2) применяется для газов, то расчет диэлек- трической проницаемости конденсированных материалов обычно осуще- ствляется по формуле Клаузиуса-Мосотти: ∑ = = + − K i i i n 1 0 3 1 2 1 α ε ε ε (7.5) Здесь, согласно модели Лорентца, величина E определяется, в отли- чие от выражения (3), не только напряженностью среднего макроскопи- ческого поля, но и напряженностями внутренних полей 3 2 E E E E cp + + = , (7.6) где E 2 − напряженность поля, создаваемого поляризованными молекула- ми, окружающими сферу Лорентца, а E 3 − напряженность поля, образо- ванного молекулами, находящимися внутри сферы. Значения напряженностей E 2 и E 3 определяются следующим обра- зом: 113 0 , 3 3 0 2 = = E P E ε (7.7) Из выражения (7.6), с учетом (7.1), (7.4), (7.7), можно записать соот- ношение ∑ = + − = + − = K i i i n E E P P E 1 0 0 0 0 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( α ε ε ε ε ε ε , (7.8) из которого непосредственно вытекает формула Клаузиуса-Мосотти. При исследовании частотных характеристик материала, его диэлек- трическую проницаемость принято рассматривать как комплексную функцию ε (j ω ), т.е. формулы (7.2) и (7.5) принимают вид, во-первых, мо- дели Борна ) ( 1 1 ) ( 1 0 ω α ε ω ε j n j K i i i ∑ = + = , (7.9) и, во-вторых, модели Клаузиуса-Мосотти-Лорентц-Лоренца ) ( 3 1 2 ) ( 1 ) ( 1 0 ω α ε ω ε ω ε j n j j K i i i ∑ = = + − , (7.10) где α k (j ω) − так называемые комплексные поляризуемости частиц вида: ω ω ω ω α k k k k k b j m q j 2 ) ( 2 2 0 2 + − = (7.11) При получении явного вида функций α k (j ω), используется матема- тическое описание процесса поляризации, в котором участвует отдельно взятая заряженная частица. Если же ограничится рассмотрением только одного вида поляризации − упругой электронной, то этот процесс можно описать системой уравнений: K k t E m q t dt t d b dt t d k k k k k k k , 1 ), ( ) ( ) ( 2 ) ( 0 2 2 0 2 2 = = + + µ ω µ µ , (7.12) где k − индекс разновидности иона; K − их число; µ k (t) − индуцированный дипольный момент электронного облака отдельного иона; ω 0k и b k − соб- ственная частота и коэффициент затухания колебаний облака; q k и m k − его заряд и масса; E 0 (t) − напряженность внешнего переменного электри- ческого поля с малой амплитудой. |