Математическое и компьютерное моделирование
 Скачать 3.02 Mb.
|
|
Кибернетическая модель Как уже отмечалось, напряженность поля в диэлектрике E определя- ется как напряженностями внешнего и деполяризующего полей (E 0 и E 1 ), так и напряженностями внутренних полей (E 2 и E 3 ). Однако в отличие от выражения (7.6), где использовалось описание поля с напряженностью 114 Е ср , напряженность поля внутри диэлектрика E,подобно известным ре- зультатам (например, см. [7]), можно записать в виде: ∑ = − = + + − = K i i i n E E E E E E 1 0 0 3 2 1 0 3 2 µ ε , (7.13) где µ i = α i E − индуцированный дипольный момент частицы i-йразновид- ности. Кроме того, при составлении математической модели процесса по- ляризации диэлектрика, будем учитывать как напряженность внешнего поля E 0 (t), так и напряженности других действующих полей. Относитель- но уравнения (7.12) это означает, что для его правой части справедлива замена E 0 (t) →E(t), приводящая к математической модели вида: ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 0 2 2 t E m q t dt t d b dt t d k k k k k k k = + + µ ω µ µ , (7.14) где напряженность E(t) согласно соотношению (7.13) описывается выра- жением ∑ = − = K i i i t n t E t E 1 0 0 ) ( 3 2 ) ( ) ( µ ε (7.15) Тогда с целью построения модели рассматриваемого процесса поля- ризации диэлектрика, в результате объединения набора соотношений ти- па (7.14), описывающих все виды поляризации и выражения (7.15), мож- но получить следующую систему уравнений: , 1 , ) ( 3 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 1 0 0 2 2 0 2 2 K k t n t E m q t dt t d b dt t d K i i i k k k k k k k = − = = + + ∑ = µ ε µ ω µ µ (7.16) С позиции технической кибернетики, уравнения (7.16) можно рас- сматривать как математическую модель некоторой замкнутой линейной системы управления с отрицательной обратной связью. При этом если уравнения (7.14), (7.15), записать в изображениях и преобразовать к виду , 2 ) ( , , 1 ), ( ) ( ) ( , ) ( 3 2 ) ( ) ( 2 0 2 2 1 0 0 k k k k k k k K i i i s b s m q s K k s E s s s n s E s E ω α α µ µ ε + + = = = − = ∑ = (7.17) где s −комплексная переменная; µ k (s), E(s) и E 0 (s) − изображения по Лап- ласу функций µ k (t), E(t) и E 0 (t); α k (s) − передаточная функция, то струк- турную схему процесса поляризации диэлектрика можно представить в виде, показанном на рис. 7.1. Рис. 7.1. Структурная схема процесса упругой электронной поляризации диэлектрика. Важно отметить, что как для системы (7.17), так и для структурной схемы (рис. 7.1), можно записать уравнение "кибернетической связи" ти- па выход-вход между напряженностями внутреннего и внешнего полей, а именно: ∑ = + = = K i i i s n s W s E s W s E 1 0 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( ), ( ) ( ) ( α ε , (7.18) где W(s) − передаточная функция "связи". Значение передаточной функции W(s) состоит еще и в том, что с ее помощью, путем замены s →j ω , можно получить выражение вида: ∑ = + = K i i i j n j W 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( ω α ε ω (7.19) Однако при исследовании свойств диэлектриков данное частотное соотношение и ему подобные не применяются, поскольку в физике об- щепринято использовать функцию ε (j ω ) − комплексную диэлектрическую проницаемость материала, обратную функции W(j ω ), − например, функ- циональные зависимости (7.9), (7.10). Таким образом, на основании уравнения (7.19) будет иметь место новая функциональная зависимость ) ( 3 2 1 ) ( 1 0 ω α ε ω ε j n j K i i i ∑ = + = , (7.20) которую в дальнейшем будем называть кибернетической моделью про- цесса поляризации, а для расчета ε будем использовать формулу: ∑ = + = K i i i n 1 0 3 2 1 α ε ε (7.21) 115 Вариативность параметрического синтеза Известно, что в диапазоне ближних инфракрасных, видимых и ульт- рафиолетовых частот внешнего поля диэлектрическая проницаемость ма- териала определяется исключительно упругой электронной поляризацией ионов, поскольку на этих частотах другие ее виды не проявляются из-за своей инерционности. Кроме того, для расчета частотных характеристик ε (j ω ) с использованием моделей вида (7.10), (7.20) в указанном частотном диапазоне и в соответствии с уравнением типа (7.12) требуется предвари- тельно определить числовые значения таких параметров как заряд, масса, коэффициент затухания и частота собственных колебаний электронного облака каждого вида ионов, составляющих диэлектрик. Первый вариант. С одной стороны, для системы уравнений (7.12), описывающей процесс упругой электронной поляризации, предлагается использовать следующие значения q k и m k : e k k m m e q = = , , (7.22) где e и m e − заряд (1,6021892⋅10 −19 Кл) и масса (0,9109534 ⋅10 −30 кг) элек- трона. При этом, значения частот собственных колебаний ω 0k определя- ются через коэффициент квазиупругой связи, обусловленной силой куло- новского взаимодействия электрона с единично заряженным ядром, вида 3 0 2 2 0 4 k e k r m e πε ω = , (7.23) где r k − ионные радиусы, а величины коэффициентов затухания b k рас- считываются по излучению элементарных электронных диполей сле- дующим образом: c m e b e k k π ω µ 6 2 2 0 2 0 = , (7.24) где µ 0 − магнитная постоянная (12,5663706144⋅10 −7 Гн/м); c − скорость света в вакууме (2,99792458 ⋅10 8 м/с). Второй вариант. С другой стороны, поскольку электронные облака ионов обычно содержат более одного электрона, то это, видимо, необхо- димо учитывать в расчетах. Электронные поляризуемости ионов значи- тельно возрастают с ростом их радиусов, поскольку наибольшее смеще- ние под действием поля испытывают внешние (оптические) электроны вследствие уменьшения притяжения между ними и ядром. Внутренние электроны находятся гораздо ближе к ядру, и, кроме того, на них дейст- вует более высокий эффективный заряд, поэтому их поляризация весьма несущественна по сравнению с поляризацией внешних электронов. Поэтому для описания электронной поляризации иона k-й разновид- 116 ности можно воспользоваться уравнением колебаний его оптической оболочки относительно экранизированного атомного остатка с эффек- тивным зарядом − Q k e. При этом заряд и масса электронного облака обу- словливаются числом электронов Z k , входящих в состав оптической обо- лочки: e k k k k m Z m e Z q = = , (7.25) В рамках такого подходапараметры ω 0k и b k следует вычислять по формулам: c m e Z b r m e Q e k k k k e k k π ω µ πε ω 6 2 , 4 2 0 2 0 3 0 2 2 0 = = (7.26) Вычислительный эксперимент С целью оценки эффективности каждой из рассматриваемых мате- матических моделей, во-первых, был проведен вычислительный экспе- римент, связанный с определением диэлектрической проницаемости кон- денсированных материалов, а именно − с расчетом вещественных частот- ных характеристик ε (j ω ) − ε ′ по функциональным зависимостям (7.10), (7.20), преобразованных к виду: ( ) ( ) ( ) ( ) , 4 ) ( 2 3 1 4 ) ( 3 1 1 4 ) ( 2 3 1 2 4 ) ( 2 3 1 4 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 + − + + − − − + − − − + − + + − − − + − − − + − − + = ′ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = K i i i i i i i K i i i i i i i K i i i i i i i K i i i i i i i K i i i i i i i K i i i i i i i K i i i i i i i b m q n b b m q n b m q n b b m q n b b m q n b m q n b m q n ω ω ω ω ε ω ω ω ω ω ε ω ω ω ω ε ω ω ω ω ε ω ω ω ω ω ε ω ω ω ω ω ε ω ω ω ω ω ε ε (7.27) ( ) ∑ = + − − + = ′ K i i i i i i i b m q n 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 4 ) ( 3 2 1 ω ω ω ω ω ε ε , (7.28) а во-вторых, было выполнено сравнение полученных кривых с данными физического эксперимента.Исходные данные для кристалла NaCl, необ- ходимые для проведения вычислительного эксперимента, приведены в табл. 7.1. Таблица 7.1. Ион k Z k Q k n k r k (A) Na + 1 8 9 2.2311 ⋅10 28 0,98 Cl − 2 8 7 2.2311 ⋅10 28 1,81 117 Результаты вычислительного эксперимента для различных вариан- тов параметрического синтеза коэффициентов ω 0k и b k представлены: по уравнениям (7.11), (7.22), (7.23), (7.24) и (7.27) − на рис. 7.2a; по уравне- ниям (7.11), (7.22), (7.23), (7.24) и (7.28) − на рис. 7.2b; по уравнениям (7.11), (7.25), (7.26) и (7.27) − на рис. 7.2с; по уравнениям (7.11), (7.25), (7.26) и (7.28) − на рис. 7.2d, где эксперимент – сплошная линия. Рис. 7.2. Моделирование ε ′ для NaCl. Представленные результаты показывают существенное преимуще- ство кибернетической модели по сравнению с моделью Клаузиуса- Мосотти. Действительно, по крайней мере в области электронной упру- гой поляризации диэлектриков модель, построенная с использованием кибернетического принципа – обратных связей, дает практически мини- мальный уровень отклонений между результатами теоретических расче- тов и экспериментальными данными. 7.2 Длинноволновый спектр оптического показателя преломления воды Вода является самым распространенным природным диэлектриком, вызывающим неослабевающий интерес к всесторонним исследованиям его свойств. Именно это обстоятельство обусловливает наличие доста- точно полного набора данных физических экспериментов, позволяющего 118 достоверно оценить адекватность существующих и предлагаемых мате- матических моделей, описывающих поляризационные процессы, проис- ходящие в аналогичных материалах. Кибернетическая модель процесса поляризации диэлектрика В п. 7.1 рассмотрено построение математической модели процесса упругой электронной поляризации конденсированных диэлектриков, по- лученной с помощью выделения обратных связей. Проведенные вычислительные эксперименты, направленные на имитационное моделирование поляризационных характеристик ряда ионных кристаллов, показали наибольшую адекватность предложенной кибернетической модели диэлектрической проницаемости материалов реальным физическим свойствам по сравнению с другими подобными уравнениями. Однако использование традиционных подходов для расчета пара- метров процессов оказалось недостаточно эффективным с точки зрения величины отклонения моделируемых спектров от результатов их практи- ческих измерений. В диапазоне частот установления электронной поляризации ионов динамическая модель процесса поляризации воды, учитывая однотип- ность ионного состава H 2 O, может быть описана уравнением: − = + + N t t E m e t dt t d dt t d e e e e e e e ) ( 3 2 ) ( 8 ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 2 2 0 2 2 µ ε µ ω µ β µ , (7.29) где µ е (t) − индуцированный электронный дипольный момент ионов О 2- ; β е и ω 0е − соответственно коэффициент затухания и частота собственных колебаний оптической оболочки иона; e и т е − заряд и масса электрона; Е 0 (t) − функция напряженности внешнего электрического поля; ε 0 − элек- трическая остоянная; N − концентрация ионов кислорода. Значения па- раметров электронной поляризации ионов ( β е и 0 п ω е ) могут быть опре- делены аналитически с помощью следующих формул: c m e r m e Z e e e i e эф e π ω µ β πε ω 12 8 ; 4 2 0 2 0 3 0 2 0 = = , (7.30) где Z эф − эффективный заряд ядра, действующий на электроны оптиче- ской оболочки ионов, определяемый по методике Слейтора; r i − радиус оптической оболочки; µ 0 − магнитная постоянная; с − скорость света в вакууме. Непосредственно на основании выражения (7.29) комплексную ди- электрическую проницаемость воды − ε (j ω ) можно представить в виде: 119 N j j e ) ( 3 2 1 ) ( 0 ω α ε ω ε + = , (7.31) а через вещественную и мнимую частотные характеристики ε (j ω ) соот- ветственно ε′ ( ω ) и ε″ ( ω ): , ) ( 3 2 ) ( , ) ( 3 2 1 ) ( ), ( ) ( ) ( 0 0 N N j j e e ω α ε ω ε ω α ε ω ε ω ε ω ε ω ε ′′ = ′′ ′ + = ′ ′′ + ′ = (7.32) где α′ е ( ω ) и α″ е ( ω ) − вещественная и мнимая частотные характеристики комплексной электронной поляризуемости иона. В свою очередь зависимости α′ е ( ω ) и α″ е ( ω ) будут иметь вид ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 ) ( , 2 8 ) ( 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 ω β ω ω ω β ω α ω β ω ω ω ω ω α e e e e e e e e e e m e m e + − = ′′ + − − = ′ (7.33) |