Математическое и компьютерное моделирование

• Название: Математическое и компьютерное моделирование
• Дата: 01.04.2022
• Размер: 3.02 Mb.
• Имя файла: uch.pdf
• Тип: Учебное пособие; #434595
• страница: 5 из 10

3.2. Группа интегрирующих звеньев
К этой группе звеньев обычно относят интегрирующее звено и ин- тегрирующее звено с замедлением. Эти звенья в установившемся режиме описываются одним и тем же уравнением
)
(
const
k
t
x
=
=
(3.43)
3.2.1. Интегрирующее звено
Звено иногда называют идеально интегрирующим, тем самым под- черкивая, что для любого момента времени его математической моделью
68

является уравнение (3.43), которое можно переписать и в дифференци- альной форме
ku
dt
dx =
или
u
dt
dx =
T
, где
)
с
(
1
k
T
(3.44)
=
Примеры физической реализации интегрирующего звена показаны на рис. 3.17: а) интегратор на операционном усилителе; b) гидравличе- ский демпфер, динамика которого (без учета инерции) описывается соот- ношением
s
K
p
dt
dx =
=
ν
, где K
s
– коэффициент скоростного сопротивле- ния.
Рис. 3.17.
В соответствии с уравнениями (3.44), передаточная функция интег- рирующего звена имеет вид
s
k
Ts
s
W
=
=
1
)
(
,
(3.45) следовательно, переходной процесс и импульсная переходная характери- стики описываются соотношениями
kt
s
k
L
t
h
=




=
−
2 1
)
(
,
(3.46)
k
dt
t
dh
t
=
=
)
(
)
(
ω
(3.47)
Графики временные характеристик интегрирующего звена, постро- енные при значении параметра k = 6, изображены на рис. 3.18.
Рис. 3.18.
Частотная передаточная функция и частотные характеристики име-
69

ют вид
,
1
)
(
T
j
j
W
ω
ω
=
(3.48)
T
A
ω
ω
1
)
(
=
,
(3.49)
2
)
(
π
ω
ϕ
−
=
,
(3.50)
,
0
)
(
=
ω
U
(3.51)
,
1
)
(
T
V
ω
ω
−
=
(3.52) графики которых, построенные при значении параметра Т = 1/6, показаны на рис. 3.19
Рис. 3.19
3.2.2. Интегрирующее звено с замедлением
Звено описывается уравнением
70

ku
dt
dx
dt
x
d
T
=
+
2 2
,
(3.53) где k (с
-1
) – коэффициент передачи; T (с) – постоянная времени.
Примером интегрирующего звена с замедлением может служить двигатель постоянного тока (см. рис. 3.5) с математическим описанием
(4.11), (4.12), т.е. без учета электромагнитной реакции якорной цепи, но в случае когда выходной величиной является не скорость, а угол поворота вала электродвигателя.
Передаточная функция и корни характеристического уравнения оп- ределяются соотношениями
)
1
(
)
(
+
=
Ts
s
k
s
W
,
,
0 1
=
s
T
s
,
(3.54)
1 2
−
=
что позволяет переходной процесс и импульсную переходную характери- стику описать следующими уравнениями:




−
−
=






+
=
−
−
)
1
(
)
1
(
)
(
2 1
T
t
e
T
t
k
Ts
s
k
L
t
h
,
(3.55)
)
1
(
)
(
T
t
e
k
t
−
−
=
ω
(3.56)
Временные характеристики интегрирующего звена с замедлением, построенные при значении коэффициентов k = 5, T = 2 (с), приведены на рис. 3.20.
Рис. 3.20.
Частотная передаточная функция и частотные характеристики опи- сываются уравнениями
(
)
,
1
)
(
T
j
j
k
j
W
ω
ω
ω
+
=
(3.57)
(
)
2 2
1
)
(
T
k
A
ω
ω
ω
+
=
,
(3.58)
T
arctg
ω
π
ω
ϕ
−
−
=
2
)
(
,
(3.59)
71

,
1
)
(
2 2
T
kT
U
ω
ω
+
−
=
(3.60)
(
)
,
1
)
(
2 2
T
k
V
ω
ω
ω
+
−
=
(3.61) графики этих функций, построенные при значении коэффициентов k = 5,
T = 2 (с), изображены на рис. 3.21.
Рис. 3.21.
3.3. Группа дифференцирующих звеньев
В состав этой группы звеньев обычно входят идеальное дифферен- цирующее и реально дифференцирующее звенья, описываемые в устано- вившемся режиме уравнением
,
,
)
(
)
(
const
k
dt
t
du
k
t
x
=
=
k
(c).
(3.62)
72

3.3.1. Идеальное дифференцирующее звено
Идеальное дифференцирующее звено, в любой момент времени должно описываться уравнением вида (3.62), но в природе отсутствуют примеры данного звена, которые могли физически реализовать такую ди- намику. Действительно, если бы такое звено существовало, то оно долж- но было бы мгновенно вычислять значение производной (скорость изме- нения) входного сигнала, но именно это и невозможно, т.к. выполнить какую-либо работу за нулевой интервал времени – практически не реали- зуемая задача.
Однако, если рассмотреть работу тахогенератора, то в установив- шемся режиме его функционирования оказывается, что выходное напря- жение, индуцируемое в якорной цепи тахогенератора, строго пропорцио- нально входной скорости вращения его вала
const
t
k
t
u
в
я
=
=
)
(
)
(
ω
(3.63)
Но входной сигнал можно представить как
dt
d
t
п
в
α
ω
=
)
(
, где
α
П
– угол поворота, т.е. при этом получается уравнение
dt
t
d
k
t
u
п
я
)
(
)
(
α
=
, которое с точностью до обозначения совпадает с выражением (3.62). Ука- занное совпадение имеет место только благодаря выполнению строго ра- венства (3.63), т.е. постоянной величине генерируемого напряжения та- хогенератора при постоянной скорости его вращения, которое будет сра- зу потеряно, как только произойдет любое изменение величины скорости вращения.
Уравнению (3.62) соответствует передаточная функция
ks
s
W
=
)
(
(3.64)
Переходной процесс в идеальном дифференцирующем звене описы- вается уравнением
)
(
)
(
t
k
t
h
δ
=
,
(3.65) которое, также как и уравнение(3.4) не имеет строгой физической реали- зации. При этом теряет смысл
Частотная передаточная функция и частотные характеристики опи- сываются выражениями
k
j
j
W
ω
ω
=
)
(
,
(3.66)
k
A
ω
ω
=
)
(
,
(3.67)
73

2
)
(
π
ω
ϕ
= ,
(3.68)
0
)
(
=
ω
U
,
(3.69)
k
V
ω
ω
=
)
(
(3.70)
Изображения функций (3.66) – (3.70), простроенные при значении коэффициента k =1, представлены на рис. 3.22.
Рис. 3.22.
3.3.2. Реальное дифференцирующее звено
Это звено описывается уравнением
dt
du
k
x
dt
dx
T
=
+
,
(3.71) где постоянная времени Т и коэффициент передачи k имеют размерность в секундах.
Примерами реального дифференцирующего звена, как это показано на рис. 3.23, могут служить, например: a) RC-цепочка; b) гидравлический демпфер с пружиной.
74

Передаточная функция этого звена имеет вид
1
)
(
+
=
Ts
ks
s
W
,
(3.72) согласно которому определив корень характеристического можно запи- сать уравнения переходного процесса и импульсной переходной характе- ристики следующим образом:
T
t
e
T
k
s
s
T
k
L
s
s
s
T
sk
L
t
h
−
−
−
=






−
=






−
=
1 1
1 1
/
)
(
/
)
(
,
(3.73)
T
t
e
T
k
t
−
−
=
2
)
(
ω
(3.74)
Рис. 3.23.
Временные характеристики реального дифзвена, построенные при значении коэффициентов k = 4, T = 2, приведены на рис. 3.24.
Рис. 3.24.
Частотная передаточная функция и частотные характеристики ре- ального дифференцирующего звена, имеют следующее математическое описание:
T
j
k
j
j
W
ω
ω
ω
+
=
1
)
(
,
(3.75)
2 2
1
)
(
T
k
A
ω
ω
ω
+
=
,
(3.76)
75

T
arctg
ω
π
ω
ϕ
−
=
2
)
(
,
(3.77)
2 2
2 1
)
(
T
kT
U
ω
ω
ω
+
=
,
(3.78)
2 2
1
)
(
T
k
V
ω
ω
ω
+
=
,
(3.75) графики которых, построенные при значении коэффициентов k = 4, T = 2, изображены на рис. 3.25.
Рис. 3.25.
76

4.
дисциплин. м".
ПАКЕТ MATLAB
Выполнение всех заданий курсового практикума связано с исполь- зованием MatLab – высокоэффективного программного обеспечения для научных и инженерных расчетов. Выполняя математические расчеты в программной среде MatLab, пользователь имеет весьма комфортные воз- можности для решения различных вычислительных задач в областях линейной алгебры, общей теории систем, теории информации и обработки сигналов, теорий автоматического и автоматизированного управления и ряда иных
Возможности среды MatLab достаточно гибкие и могут быть значи- тельно расширены за счет использования дополнительного инструмента- рия, так для MATLAB(r) for Windows (версия 4.0), кроме базового тул- бокса Matlab, предусматривается возможность применения и следующих специализированных тулбоксов:
− Signal Processing Toolbox "обработка сигналов";
− Optimization Toolbox "оптимизация";
− Neural Network Toolbox "нейронные сети";
− Control System Toolbox"системы управления" ;
− SplineToolbox "сплайны";
− SIMULINK (Dynamic System Simulation Software) "программное обеспечение моделирования динамических систе
Привлекательной чертой среды MatLab является простота и лег- кость ее адаптации к прикладным задачам конкретного пользователя, ко- торый всегда может ввести в программную среду любую свою команду, оператор, функцию или создать собственный toolbox (ящик инструмен- тов). В частности, для выполнения курсовой работы используются как типовые m-файлы, так и оригинальные, например КММ. Основная цель введения – характеристика программной среды MatLab и ознакомление пользователя с возможностями стандартного интерфейса MATLAB(r) for
Windows (версии 4.0), поскольку выполнение курсовой работы осуществ- ляется с использованием возможностей типовых тулбоксов – Matlab,
Signal.
77

4.1. Рабочее место MATLAB(r) for Windows (версия 4.0)
Непосредственная работа с программной средой Matlab начинается с момента появления на экране ее рабочего места. Для этого, как и обыч- но при взаимодействии с рабочим столом в режиме быстрого запуска приложений Windows95, Вам необходимо на столе или найти ярлык про- граммной среды Matlab или выбрать кнопку Matlab панели Office (см. рис. 4.1).
Рис. 4.1.
Для вызова среды Matlab Вы перемещаете указатель мыши на кноп- ку Matlab панели Office и один раз нажимаете левую клавишу мыши. Ес- ли же для активизации рабочего места Matlab Вами используется ярлык, то перемещая указатель мыши в положение ярлыка Matlab, Вы должны дважды быстро нажать левую клавишу мыши. Если же на Вашем рабочем столе Windows для Matlab отсутствуют как ярлык, так и кнопка на офис- ной панели, то необходимо воспользоваться кнопкой Пуск, после нажа- тия которой Вам требуется последовательно переместить указатель мы- ши в следующие положения: Программы, Matlab for Windows, Matlab
(рис. 4.2) и нажать один раз левую клавишу мыши.
Рис. 4.2.
78

При любом варианте вызова программной среды MatLab на экране появится изображение, показанное на рис. 4.3.
Рис. 4.3
Из рис. 4.3 следует, что Рабочее место MatLab представляет собой командное окно (MatLab Command Window), состоящее из: главного меню, с разделами – File, Edit, Options, Windows, Help; рабочей области, с информационным текстом и специальным знаком при- глашения к работе ">>", после которого вводится, например, та или иная команда: demo, toau и т.п.
Помимо указанного, рабочее место MatLab объединяет в своем со- ставе команды главного и дополнительных меню, диалоговые окна.
4.2. Основные команды и параметры диалога MatLab
4.2.1. Раздел меню File
Если в строке главного меню рабоче- го места программной среды MatLab (ко- мандного окна), выбрать Имя "File", то пе- реместившись в указанное положение и щелкнув один раз левой клавишей мыши,
Вы распахнете Окно команд раздела меню, представленное на рис. 4.4.
При этом становится доступным большинство команд меню File, а именно:
New; Open M-file...; Save Workspace As...;
Run M-file...; Print...; Print Setup...; Exit
MATLAB.
Рис. 4.4.
Команда New. Ввод команды "New", этот случай как раз и отражен на рис. 4.4 (имеется ввиду расположение указателя мыши), позволяет
79

пользователю создавать новые m-файлы (M-file) или новые графические окна (Figure).
Для создания нового m-файла необходимо выбрать и ввести коман- ду – m-file. Результат действия этой команды представлен на рис. 4.5.
При формировании нового графического окна необходимо воспользо- ваться командой – Figure, выполнение которой вызывает на экран окна с первым или очередным номером, один из вариантов показан на рис. 4.6.
Рис. 4.5.
Рис. 4.6.
Если Вам требуется написать некоторый новый текст и оформить его в виде m-файла, то для этого MatLab предоставляет пользователю стандартные возможности Windows.
Действительно, изображение показанное на рис. 4.5, соответствует стандартному виду рабочего окна типовой программы "Блокнот".
Поскольку меню программы "Блокнот" имеет собственный справоч- ный раздел – "?", содержащий подробную русифицированную подсказку, то команды и параметры диалога программы "Блокнот" здесь не приве- дены, т.к. не требуют какой-либо дополнительной характеристики.
Для работы с рисунками пользователь может сформировать графи- ческое окно (см. рис. 4.6), которое имеет собственное меню команд, вы- полнение которых позволяет преобразовывать получаемые изображения, а также проводить ряд дополнительных преобразований и действий.
В частности, можно получить графические копии в формате *.bmp
(команда – Copy to Bitmap) или с расширением .met (команда – Copy to
Metafile).Уместно заметить, что если тип расширения (*.bmp) является стандартным и широко применяемым в Windows, то расширение (*.met) таковым не является.
Расширение (*.met) позволяет создавать специальные или метафай- лы, которые используются так называемым графическим постпроцессо- ром GPP – самостоятельной программой, расположенной вне оболочки среды MatLab.
Для удобства визуального обзора всего перечня команд, входящих в состав меню графического окна, на рис. 4.7 изображен вариант "одновре- менно раскрытых" всех разделов меню окна Figure.
Содержание любой команды графического окна Figure (см. рис. 4.7)
80

и цель ее выполнения, на наш взгляд, достаточно очевидны и непосредст- венно следуют из названия той или иной команды.
Рис. 4.7.
Команда Open M-file ... Если в меню раздела File (см. рис. 4.4) вы- брать и ввести команду "Open M-file", то на экране появится диалоговое окно, показанное на рис. 4.8.
Рис. 4.8.
Рассматриваемый случай, как следует из анализа содержимого по- лей "Имя файла" и "Папки", дает представление только о составе m- файлов и папок, входящих в папку matlab – основную директорию
MatLab. При этом для открытия и просмотра, а также внесения измене- ний и корректировок пользователю доступен любой m-файл из включён- ных в список поля "Имя файла". Для его открытия необходимо перемес- тить указатель мыши на выбранный m-файл и дважды щелкнуть в этом положении левой клавишей мыши. Аналогично открывается и любой иной m-файл, но предварительно его необходимо выбрать в списке m- файлов, входящих в другие папки, характеристика состава которых будет приведена далее.
Команда Save Workspace As... При выборе и вводе команды "Save
Workspace As..." раздела File главного меню MatLab Command Window,
81

на экране появится окно для диалога, показанное на рис. 4.9, с помощью которого можно сохранить текущее состояние системы.
Рис. 4.9.
Альтернатива сохранения состояния текущих переменных в некото- ром файле заключается не столько в присвоении ему соответствующего имени, сколько в назначении файлу типа его расширения: .m или .mat. В последнем случае появляется возможность в каждом новом сеансе рабо- ты с MatLab загружать из Имя_файла.mat прежнее состояние системы, что достигается за счет применения оператора Load2.
Команда Run M-file. Если в меню раздела File будет выбрана и вве- дена команда "Run M-file", то на экране появится диалоговое окно, пока- занное на рис. 4.10.
Рис. 1.10.
82
Диалоговое окно позволяет пользователю с помощью кнопки
Browse осуществить просмотр и выбор m-файла с последующим запус- ком выбранного файла в работу. Действительно, если нажать кнопку
Browse, то для просмотра списков m-файлов на экран будет вызвано до- полнительное диалоговое окно (см. рис. 4.11), используя которое пользо- ватель (с помощью мыши) может выбрать нужную папку и требуемый m-файл. Например, если для просмотра Вы выбрали (см. рис. 4.11): в по-

ле "Папки" – папку Demos; в поле "Имя файла" – файл demo.m и нажали кнопку ОК, то в результате закроется окно Browse и откроется окно Run
M-file (рис. 4.12), а при нажатии кнопки ОК выбранный файл запустится в работу.
Рис. 4.11.
Рис. 4.12.
Пожалуй, уместно обратить внимание на то, что для запуска в рабо- ту m-файла, в том числе и файла demo.m, можно было выбрать и более простой путь, т.е. в командном окне (см. рис. 4.3) после знака приглаше- ния достаточно было ввести команду demo и нажать клавишу Enter, но этот путь хорош лишь тогда, когда Вы точно знаете имя интересующего
Вас m-файла. Завершая обзор команд раздела File командного окна
MatLab (см. рис. 4.4), отметим, что применение следующих команд этого раздела: Print...; Print Setup...; Exit MATLAB, по сравнению с общеприня- тым не имеет каких-либо принципиальных особенностей, поэтому здесь они и не рассматриваются.
4.2.2. Раздел меню Edit
Раскрывая в окне MatLab Command Window раздел Edit (рис. 4.13), пользователь получает дос- туп, во-первых, к трем обычным командам типового редактирования: Cut, Copy, Paste, которые не тре- буют дополнительных комментариев и, во-вторых, одной специальной команде – Clear Session, позво- ляющей выполнять очистку командного окна
MatLab сеансе работы.
Рис. 4.13.
83

4.2.3. Раздел меню Options
Если в строке главного меню командного окна среды MatLab (рис.
4.4), раскрыть раздел Options, то появится диалоговое окно, пред- ставленное на рис. 4.14. С по- мощью этого окна становятся доступными следующие коман- ды: Numeric Format; Turn Echo on (Turn Echo off); Enable Back- ground Process (Disable Back- ground Process); Font...; Editor
Preference.
Команда Numeric Format.
Ввод команды "Numeric Format", этот случай приведен на рис.
1.14 (имеется ввиду активное положение указателя мыши), позволяет пользователю выбрать и задать выходной формат числовых данных, в ча- стности:
Рис. 4.14.
− Short (default) – формат с фиксированной точкой с 5 знаками, который установлен по умолчанию;
− Long – формат с фиксированной точкой с 15 знаками;
− Hex – шестнадцатеричный формат;
− Bank – фиксированный формат для денежных единиц;
− Plus – компактный формат для отображения положительных элемен- тов, мнимая часть игнорируется;
− Short e – формат с плавающей запятой с 5 знаками;
− Long e – формат с плавающей запятой с 15 знаками;
− Rational – формат целочисленной аппроксимации;
− Loose (default) – формат без подавления перевода строки;
− Compact – формат обратный предыдущему.
Команда Turn Echo on (off). Команда "Turn Echo on" включает режим отображения листинга script-файла3, а команда "Turn Echo off" этот режим отключает.
Команда (Disable ) Enable Background Process. Команда "Enable
(Disable) Background Process" разрешает (блокирует) выполнение фоно- вых процессов.
Команда Font... В результате ввода команды "Font..." появляется диалоговое окно, представленное на рис. 4.15, с помощью которого поль- зователь может как изменить тип используемого шрифта, так и задать
84

ему соответствующий цвет и размер.
Рис. 4.15.
Рис. 4.16.
4.2.4. Раздел меню Windows
Если пользователь выбрал и раскрыл в командном окне MatLab раз- дел Windows, то ему становятся доступны команды, позволяющие вы- звать любое из активных окон текущего сеанса работы с MatLab. В част- ности, на рис. 4.17 – это могут быть окна: Figure No.1; Figure No.2; Figure
No.3; MatLab Command Window.
4.2.5. Раздел меню Help
При выборе в MatLab Command Window раздела меню – Help, на экране появляется изображение, представленное на рис. 4.18. Данное окно по- зволяет пользователю работать с помощью, например, вводя команду
Table of contents вызывается оглавление англоязычной справки по функ- циям тулбокса MatLab. Если же в разделе Help ввести команду index, то в окне помощи появится перечень обозначений всех функций тулбокса программной среды MatLab.
85

Рис. 4.17. Рис. 4.18.