Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики

• Название: Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
• Анкор: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Дата: 08.12.2017
• Размер: 9.74 Mb.
• Имя файла: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Тип: Документы; #10792
• страница: 23 из 41

§14.1. Свободные электромагнитные колебания

Свободными (собственными) электромагнитными ко­лебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

Рассмотрим колебательный контур, со­стоящий из резистора R, катушки индуктивности Lи конденсатора С (рис. 14.1); сопротивлением проводов и возможным излучением электромагнитных волн пренебрегаем. Конденсатор ключом К заряжается от источ-

ника , а затем разряжается на резистор и катушку индуктивности. Приэтом в контуре возникает ЭДС самоиндукции ( ко­торая, согласно закону Ома, будет равна сумме напряжений на эле­ментах цепи: на резисторе U_R = IRи конденсаторе U_c = q/cПоэтомуnзапишем

Преобразуем это уравнение, поделив все члены на L

 

Э
то есть дифференциальное уравнение свободных электромаг­нитных колебаний. Произведя замены:

п
олучим уравнение

Незатухающие колебания. Если контур не содержит резис­тора (рис. 14.2), то из (14.4) имеем:

Известно, что (14.5) является дифференциальным уравнением гармонического колебания, его решение [см. (5.8)] имеет вид

где q_m— наибольший (начальный) заряд на обкладках конденса­тора, ω₀ — круговая частота собственных колебаний (собст­венная круговая частота) контура, φ₀ — начальная фаза.

Графики зависимости заряда (напряжения) от времени анало­гичны графику зависимости смещения x(t), а график зависимости силы тока от времени — графику скорости v (t) (см. рис. 5.4).

Из (14.3) найдем выражение для периода собственных колеба­ний (формула Томсона):

 


Затухающие колебания. При наличии резистора (рис. 14.1) процесс в контуре описывается уравнением (14.4), которое анало­гично уравнению (5.19) для механических колебаний. При усло­вии, что затухание не слишком велико, находим следующее решение [см. (

5.20)]:

 


Неравенство (14.12) выполняется, в частности, в контуре при отсутствии индуктивности (L → 0). Для этого случая (разряд кон­денсатора на резистор) из (14.1) имеем

И
нтегрируя последнее уравнение, находим

 

 


 

Потенцируя второе из выражений (14.14), имеем

 


 

У
равнение (14.15) описывает процесс разрядки конденсатора С на резистор R. При отсутствии индуктивности колебания не воз­никают (рис. 14.3, а). По такому закону изменяется и напряже­ние на обкладках конденсатора. Теоретически такой процесс, как это следует из (14.15), протекает бесконечно долго, однако приня­то длительность подобных процессов оценивать временем, в тече­ние которого параметр, характеризующий процесс (в данном слу­чае заряд и напряжение), уменьшится в е раз (постоянная вре­мени, τ).

Выражение для постоянной времени можно получить из (14.15),

е
сли вместо qподставить q_m/e , a tзаменить на τ: откуда для контура с конденсатором и резистором постоянная времени равна

 

Можно показать, что зарядка конденсатора от источника по­стоянной ЭДС также происходит по экспоненциальному закону

Г
рафик этой зависимости представлен на рис. 14.3,6.

 

§ 14.2. Переменный ток

В широком смысле слова переменный ток — любой ток, изме­няющийся со временем. Однако чаще термин «переменный ток» применяют к квазистационарным токам, зависящим от времени по гармоническому закону.

Квазистационарным называют такой ток, для которого время установления одинакового значения по всей цепи зна­чительно меньше периода колебаний.

Б
удем считать, что для квазистационарных токов, так же как и для постоянных, сила тока одновременно одинакова в любом се­чении неразветвленного проводника. Для них справедлив закон Ома, однако сопротивление цепи зависит от частоты изменения тока. Потерями энергии на электромагнитное излучение этих то­ков пренебрегаем. Переменный ток можно рассматривать как вы­нужденные электромагнитные колебания.

П
редставим три разных цепи (рис. 14.4, а — 14.6, а), к каждой из которых приложено переменное напряжение

 

где U_m— амплитудное значение напряжения, ю — круговая час­тота колебаний.

Д
ля цепи с резистором (рис. 14.4, а) выражение (14.18) запишем в форме

И
спользуя закон Ома, получим выражение для тока через со­противление R:

где





-амплитуда тока. Как видно из (14.19) и (14.20), ток и напряжение при этом изменяются в одной фазе, что можно изобразить с помощью векторной диаграммы (рис. 14.4, б). На диаграмме амплитуды U_Rm и I_тпредставлены как одинаково направленные векторы, равномерно вращающиеся против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Про­екция этих векторов на «ось токов» (горизонтальная прямая) дает мгновенные значения напряжения и тока. В цепи с сопротивлением R(омическим сопротивлением) происходит выделение тепла.

Цепь, представленная на рис. 14.5, а, содержит катушку с ин­дуктивностью L, омическое сопротивление равно нулю.

Для этой цепи выражение (14.18) запишем в форме

 


При приложении переменного напряжения U_Lв катушке возни­кает противоположно направленная ЭДС самоиндукции , при этом, согласно закону Ома, U_L= ξ_i.Подставляя (14.23) в (14.22), имеем

 


Постоянный член в (14.25) равен нулю, так как в цепи действу­ет только переменное напряжение и нет причин для появления постоянной составляющей тока. Окончательно получаем

 


— амплитуда тока. Как видно из (14.26) и (14.22), фаза тока (ωt - π/2), а напряжения — ωt. Следовательно, ток отстает по фазе от напряжения на π/2, что показано на векторной диаграмме рис. 14.5, б.

Сравнивая (14.27) с законом Ома, заметим, что выражение

играет роль сопротивления цепи, которое называют индуктив­ным. Это сопротивление вместе с U_Lmопределяет силу тока: чем больше частота со и индуктивность L, тем меньше I_m.

При чисто индуктивном сопротивлении теплота в цепи не вы­деляется, так как R= 0. Роль индуктивности сводится к накопле­нию энергии магнитного поля и возвращению этой энергии обрат­но источнику тока. Таким образом, происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.

В цепи, в которой имеется только конденсатор с электроемко­стью С (рис. 14.6 а), омическое сопротивление всюду, кроме ем­кости, и индуктивность цепи равны нулю. Омическое сопротивле­ние Rконденсатора для постоянного тока бесконечно велико. На­пряжение на конденсаторе выражается зависимостью:

 


Ток в цепи будет определяться скоростью изменения заряда на обкладках конденсатора. Используя соотношение для электроем­кости, найдем

На основании (14.29) запишем

г
де

 


— амплитуда тока. Как видно из (14.31) и (14.29), фаза тока (ωt+ π/2), а фаза напряжения — ωt. Следовательно, ток опережа­ет напряжение на π/2, что показано на векторной диаграмме (рис. 14.6, б).

Сравнивая (14.32) с законом Ома, заметим, что выражение

играет роль сопротивления цепи, которое называют емкостным. Оно определяет амплитуду тока: чем меньше емкость С и частота со, тем меньше I_m. Для постоянного тока (ω = 0) емкость являет­ся бесконечно большим сопротивлением, и тока в такой цепи не будет. Заметим, что отсутствие конденсатора в цепях с резистором или индуктивностью формально означало не С = 0, т. е. С→о.

Вцепи с конденсатором теплота не выделяется, так как омиче­ское сопротивление проводников равно нулю (нагревание ди­электрика в переменном электрическом поле здесь не учитывает­ся, оно будет рассмотрено позже). Роль емкости сводится к накоп­лению энергии электрического поля конденсатора и возвращению этой энергии обратно источнику тока. Происходит периодическая перекачка энергии от источника в цепь и от цепи к источнику, в идеальном случае без потерь энергии.

Из формул (14.28) и (14.33) можно убедиться, что индуктивное и емкостное сопротивление в СИ измеряются в омах.

§ 14.3. Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений

Представим цепь, в которой последовательно соединены резис­тор, катушка индуктивности и конденсатор (рис. 14.7, а). Напря­жение на зажимах а, bцепи, создаваемое внешним источником, выражается зависимостью (14.18). Как было показано в § 14.2, в общем случае сила тока в цепи и напряжение изменяются не в од­ной фазе, поэтому

где φ — разность фаз напряжения и силы тока.

С
умма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:

 


 

 

 

В
соответствии с изложенным в § 14.2, напряжения U_R, U_Lи V_r, можно записать так:

(в фазе с током);



(опережает силу тока по фазе на π/2);

 


(отстает от силы тока по фазе на л/2).

Подставив (14.36)—(14.38) в (14.35), после тригонометрических преобразований можно получить выражение для полного сопротив­ления цепи переменного тока и разности фаз φ. Однако более просто и наглядно удается это сделать с помощью векторных диаграмм.

Н
а рис. 14.7, б по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока 1_т. Так как по всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуды напряжений на участках отложим относительно этого вектора: вектор U_Rm— в одной фазе с силой тока; вектор U_Lm— с опережением силы тока по фазе на π/2, вектор U_Cm— с отставани­ем от силы тока по фазе на π/2. Суммируя три вектора, находим графически значения U_mи φ. Используя теорему Пифагора, имеем

 

П
одставляя в (14.39) выражения этих амплитуд из (14.21), (14.27) и (14.32) и учитывая закон Ома, находим

г
де Z— полное сопротивление цепи переменного тока, назы­ваемое импедансом. Из (14.40) получаем

Омическое сопротивление Rцепи называют также активным, оно обусловливает выделение теплоты в цепи в соответствии с за­коном Джоуля—Ленца. Разность индуктивного и емкостного со­противлений (X_L - Х_с) называют реактивным сопротивлени­ем. Оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Запишем закон Ома применительно к амплитудам напряже­ния и силы тока в цепи (рис. 14.7):

 


 

Из рис. 14.8 выразим также и значение ф через известные ве­личины:

 


Если индуктивное и емкостное сопротивления цепи при их по­следовательном соединении одинаковы (X_L= Х_с), то [см. (14.41)] Z= R, и из (14.43) имеем tg φ = 0 и φ = 0. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; на­пряжения на индуктивности и емкости одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе.

Этот случай вынужденных электрических колебаний называ­ют резонансом напряжения.

Т
ак как U_Lm= U_Cm, то Lω_pe3 = 1/(Сω_рез). Отсюда находим резо­нансную частоту:

При этом условии полное сопротивление Zцепи имеет на­именьшее значение, равное R, а сила тока достигает наибольшего значения. Векторная диаграмма для резонанса напряжений в це­пи показана на рис. 14.8.

Если Lω > 1/(Сω), то tg φ > 0 и φ > 0, сила тока отстает по фазе от приложенного напряжения (см. рис. 14.7, б). При Lω < l/(Cω) имеем tg φ < 0 и φ < 0. Сила тока опережает по фазе напряжение. Векторная диаграмма для этого случая дана на рис. 14.9.

 


 

§ 14.4. Импеданс тканей организма. Дисперсия импеданса. Физические основы реографии

Ткани организма проводят не только постоянный (см. § 12.10), но и переменный ток. Опыт показывает, что в этом случае сила то­ка, проходящая через биологическую ткань, опережает по фазе приложенное напряжение. Следовательно (см. § 14.3), емкостное сопротивление тканей больше индуктивного. В таблице 24 в качестве примера приведены значения разности фаз тока и напря­жения для некоторых тканей (частота 1 кГц).

Таблица 24

Название ткани	Фаз в градусах
Кожа человека, лягушки	-55
Нерв лягушки	-64
Мышцы кролика	-65

 

Отсюда следует, что моделировать электрические свойства био­логических тканей можно, используя резисторы, которые облада­ют активным сопротивлением, и конденсаторы — носители емко­стного сопротивления. В качестве модели обычно используют эк­вивалентную электрическую схему тканей организма. Она представляет собой схему, состоящую из резисторов и конденса­торов, частотная зависимость (дисперсия) импеданса которой близка к частотной зависимости импеданса биологической ткани.

На рис. 14.10 представлен график частотной зависимости им­педанса мышечной ткани. Ради компактности кривая построена в логарифмических координатах. Из гра­фика видны две особенности этой зави­симости: во-первых, плавное уменьше­ние импеданса с увеличением часто­ты (общий ход зависимости импеданса от частоты) и, во-вторых, наличие трех областей частот, в которых имеет место отклонение от общего хода зави­симости импеданса от частоты: Zмало изменяется. Они были названы, соот­ветственно, областями α-, (β- и γ-дис­персии импеданса.

Установим, какая электрическая схема (модель) наиболее удачно отра­жает общий ход зависимости импе­данса ткани организма от частоты. В качестве вариантов рассмотрим схе­мы, представленные на рис. 14.11.

Для схемы, изображенной на рис. 14.11, а, частотная зависимость импеданса может быть получена из (14.41) при L = 0:

В соответствии с формулой (14.45) импеданс уменьшается с увеличением частоты, однако име-

ется противоречие с опытом: при ω→∞ Z→∞. Последнее означа­ет бесконечно большое сопротивление при постоянном токе, что противоречит опыту (рис. 14.10).

Схема, изображенная на рис. 14.11, б, соответствует общей тенденции экспериментальной кривой: при увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и уменьшается импеданс. Однако при ω →∞,Х_с →0 и Z→ 0, что не соответствует опыту.

Наиболее удачна схема рис. 14.11, в, в ней отсутствуют проти­воречия с опытом, характерные для двух предыдущих схем. Имен­но такое сочетание резисторов и конденсатора может быть принято за эквивалентную электрическую схему тканей организма. Час­тотная зависимость импеданса эквивалентной электрической схе­мы соответствует общему ходу экспериментальной зависимости импеданса от частоты. Важно отметить, что при этом электроем­кость и, следовательно, диэлектрическая проницаемость оста­ются постоянными.

Поясним причину возникновения областей α-, β- и γ-дисперсии импеданса. Ткань организма является структурой, обладающей свойствами проводника (электролита) и диэлектрика. Поляризация диэлектрика (§ 12.6) во внешнем электрическом поле происходит не мгновенно, а зависит от времени. Это означает зависимость от време­ни поляризованности диэлектрика (Р_е) при воздействии постоянного . электрического поля (Е — напряженность электрического поля):

Если электрическое поле изменяется по гармоническому зако­ну, то поляризованность будет также изменяться по гармоническому закону, а амплитуда поляризованности будет зависеть от частоты изменения поля с запаздыванием по фазе:

 

И
з (12.41) получим выражение для диэлектрической проница­емости:

 

Из (14.48) следует, что условие (14.47) означает частотную зависимость диэлектрической проницаемости при воздействии переменным (гармоническим) электрическим полем: е = f(ω). Из­менение диэлектрической проницаемости с изменением часто­ты электрического поля означает изменение электроемкости и, как следствие, изменение импеданса.

Запаздывание изменения поляризованности относительно из­менения напряженности электрического поля зависит от механиз­ма поляризации вещества. Самый быстрый механизм — электрон­ная поляризация (см. § 12.6), так как масса электронов достаточно мала. Это соответствует частотам (около 10¹⁵ Гц), которые сущест­венно превышают области α-, (β-, и γ-дисперсии.

Ориентационная поляризация воды, молекулы которой имеют сравнительно малую массу, соответствует γ-дисперсии (частоты около 20 ГГц).

Крупные полярные органические молекулы, например белки, имеют значительную массу и успевают реагировать на перемен­ное электрическое поле с частотой 1—10 МГц. Это соответствует β-дисперсии.

При α-дисперсии происходит поляризация целых клеток в ре­зультате диффузии ионов, что занимает относительно большое время, и α-дисперсии соответствует область низких частот (0,1— 10 кГц). В этой области емкостное сопротивление мембран очень велико, поэтому преобладают токи, огибающие клетки и проте­кающие через окружающие клетки растворы электролитов.

Итак, области α-, β- и γ-дисперсии импеданса объясняются тем, что с увеличением частоты переменного электрического поля в явлении поляризации участвуют разные структуры биологиче­ских тканей: при низких частотах на изменение поля реагируют все структуры (α-дисперсия), с увеличением частоты реагируют крупные молекулы-диполи органических соединений и молеку­лы воды (β-дисперсия), а при самых больших частотах реагируют только молекулы воды (γ-дисперсия). Во всех случаях имеет место электронная поляризация. С увеличением частоты электрического тока (электрического поля) все меньше структур будет реагиро­вать на изменение этого поля и меньше будет значение поляризованности Р_ет. Отсюда, согласно (14.48), с увеличением частоты будет уменьшаться диэлектрическая проницаемость е, а следова­тельно, и электроемкость С, а это, согласно (14.33), приведет к увеличению емкостного сопротивления Х_си импеданса Z. Следо­вательно, на фоне общего хода зависимости Z= f(ω) (см. рис. 14.10) появляются области с меньшим убыванием Zпри возраста­нии частоты (области α-, (β- и γ-дисперсии).

Частотная зависимость импеданса позволяет оценить жизнеспо­собность тканей организма, что важно знать для пересадки (транс­плантации) тканей и органов. Различие в частотных зависимостях импеданса получается и в случаях здоровой и больной ткани.

Импеданс тканей и органов зависит также и от их физиологи­ческого состояния. Так, при кровенаполнении сосудов импеданс изменяется в зависимости от состояния сердечно-сосудистой де­ятельности.

Диагностический метод, основанный на регистрации из­менения импеданса тканей в процессе сердечной деятельнос­ти, называют реографией (импеданс-плетизмография).

С помощью этого метода получают реограммы головного мозга (реоэнцефалограмма), сердца (реокардиограмма), магистраль­ных сосудов, легких, печени и конечностей. Измерения обычно проводят на частоте 30 кГц.

В заключение отметим, что знание пассивных электрических свойств биологических тканей важно при разработке теоретиче­ских основ методов электрографии органов и тканей, так как со­здаваемый токовыми диполями электрический ток проходит че­рез них. Кроме того, представления о дисперсии импеданса позво­ляют оценить механизм действия токов и полей, используемых в терапевтических целях.