|
|
Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
(19.16)
Для максимума интерференции [см. (19.10), (19.16)] имеем
(19.17)
Для минимума интерференции [см. (19.11), (19.16)] имеем2
(19.18)
Формулы (19.17) и (19.18) соответствуют интерференции в отраженном свете. Интерференция в проходящем через пластинку свете показана на рис. 19.5; изображены только те лучи, которые необходимы для понимания явления. Читатель может самостоятельно вывести соответствующие фор-
мулы и убедиться, что для этого случая (19.17) соответствует минимуму интерференции, а (19.18) —
максимуму. С учетом закона сохранения энергии это понятно, так как интерференция есть перерас- пределение световой энергии: падающий поток перераспределяется пластинкой на отраженный и
Рис. 19.5
проходящий (поглощением здесь пренебрегаем), причем если отраженный максимален, то проходящий минимален, и наоборот.
Интерференция при отражении наблюдается более отчетливо, чем в проходящем свете, что обусловлено существенным различием интенсивностей отраженного и проходящего лучей. Если принять, что на границе раздела прозрачных сред отражается около 5% падающей энергии, то
(19.19)
где— интенсивности лучей 1 м 2 соответственно (см. рис.19.4). Интенсивность луча 3 с учетом двукратного преломления и однократного отражения равна
(19.20)
Из (19.19) и (19.20) имеем
(19.21)
что означает приближенное равенство амплитуд интерферирующих лучей при отражении: условие минимума соответствует почти полной темноте. Делая аналогичный расчет для проходящего света (рис. 19.5), получаем
или для амплитуд
(19.22)
Из (19.22) видно, что в проходящем свете интерферируют волны с существенно различными амплитудами, поэтому максимумы и минимумы мало отличаются друг от друга и интерференция слабо заметна.
Проанализируем зависимости (19.17) и (19.18).
Если на тонкую плоскопараллельную пластинку под некоторым углом падает параллельный пучок монохроматического излучения, то, согласно этим формулам, пластинка в отраженном свете выглядит яркой или темной.
При освещении пластинки белым светом условия максимума и минимума выполняются для отдельных длин волн, пластинка станет окрашенной, причем цвета в отраженном и проходящем свете будут дополнять друг друга до белого.
При падении монохроматического света на пластинку переменной толщины каждому значению I соответствует
свое условие интерференции, поэтому пластинка пересечена светлыми и тем ными линиями (полосами) — линиями равной толщины. Так, в клине это система параллельных линий (рис. 19.6), в воздушном промежутке между линзой и пластинкой — кольца (кольца Ньютона).
Рис. 19.6
При освещении пластинки переменной толщины белым светом получаются разноцветные пятна и линии: окрашенные мыльные пленки, пленки нефти и масла на поверхности воды, переливчатые цвета крыльев некоторых насекомых и птиц. В этих случаях не обязательна полная прозрачность пленок.
Особый практический интерес имеет интерференция в тонких пленках в связи с созданием устройств, уменьшающих долю световой энергии, отраженной оптическими системами, и увеличивающих, следовательно, энергию, поступающую к регистрирующим системам — фотопластинке, глазу и т. п. С этой целью поверхности оптических систем покрывают тонким слоем оксидов металлов так, чтобы для некоторой средней для данной области спектра длины волны был минимум интерференции в отраженном свете. В результате возрастает доля прошедшего света. Покрытие оптических поверхностей специальными пленками называют просветлением оптики, а сами оптические изделия с такими покрытиями — просветленной оптикой.
Если на стеклянную поверхность нанести ряд специально подобранных слоев, то можно создать отражательный светофильтр, который вследствие интерференции будет пропускать или отражать излучение в определенном интервале длин волн.
1 Для циклических процессов не имеет значения, уменьшается или увеличивается фаза на к, поэтому равноценно было бы говорить не о потере, а о приобретении полволны, однако такая терминология не употребляется.
2 Для того чтобы при максимумах и минимумах сохранить для k те же значения (0, 1, 2 и т. д.), формулу (19.16) длязаписываем
§ 19.3. Интерферометры и их применение. Понятие об интерференционном микроскопе
Интерференцию света используют в специальных приборах — интерферометрах — для измерения с высокой степенью точности длин волн, небольших расстояний, показателей преломления веществ и определения качества оптических поверхностей.
На рис. 19.7 изображена принципиальная схема интерферометра Майкельсона, который относится к группе двухлучевых, так как световая волна в нем раздваивается1 и обе ее части, пройдя разный путь, интерферируют.
Луч 1 монохроматического света от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную стеклянную пластинку А, задняя поверхность которой полупрозрачна, так как покрыта очень тонким слоем серебра. В точке О этот луч расщепляется на два луча 2 и 3, интенсивность которых приблизительно одинакова.
Луч 2 доходит до зеркала /, отражается, преломляется в пластине А и частично выходит из пластины — луч 2'. Луч 3 из точки О идет к зеркалу //, отражается, возвращается к пластине А, где частично отражается, — луч 3'. Лучи 2' и 3', попадающие в глаз наблюдателя, когерентны, их интерференция может быть зарегистрирована.
Обычно зеркала I и II располагают так, что лучи 2 и 3 от расхождения до встречи проходят пути одинаковой длины. Чтобы и оптическую длину путей сделать одинаковой, на пути луча 3 устанавливают прозрачную пластину В, аналогичную А, для компенсации двух путей, пройденных лучом 2 через пластину А. В этом случае наблюдается максимум интерференции.
Если одно из зеркал сдвинуть на расстояние, то разность хода лучей станет к/2, что соответствует минимуму, произойдет смещение интерференционной картины на 0,5 полосы2.Если зеркало от первоначального положения переместить на расстояние к/2, то оптическая разность хода
интерферирующих лучей изменится на к, что соответствует максимуму, произойдет смещение интерференционной картины на целую полосу. Такая связь между перемещением зеркала и изменением интерференционной картины позволяет измерять длину волны по перемещению зеркала и, наоборот, перемещение по длине волны.
Интерферометр Майкельсона применяют для измерения показателя преломления. На пути лучей 2 и 3 устанавливают одинаковые кюветы К (показаны штриховыми линиями на рис. 19.7), одна из которых наполнена веществом с показателем преломления n1 а другая — с п2. Оптическая разность хода лучей
Рис. 19.7
(19.23)
где I — длина однократного пути луча в среде, заполняющей кюветы; так как лучи проходят кювету дважды, то расстояние равно 21. Предположим, что вследствие этой разности хода интерференционная картина смещается наполос, тогда
(19.24)
Приравнивая (19.23) и (19.24), получаем
(19.25)
Если считать, что смещение на 0,1 полосы (к = 0,1) может быть зафиксировано, то, например, приимеем
Как видно, интерференционный рефрактометр (интерферометр, приспособленный для измерения показателя преломления) способен фиксировать изменения показателя преломления в шестом знаке после запятой.
Интерференционный рефрактометр применяют, в частности, с санитарно-гигиеническими целями для определения содержания вредных газов.
С использованием интерферометра Майкельсон доказал независимость скорости света от движения Земли, что явилось одним из опытных фактов, способствовавших созданию специальной теории относительности.
Сочетание двухлучевого интерферометра и микроскопа, получившее название интерференционного микроскопа, используют в биологии для измерения показателя преломления, концентрации сухого вещества и толщины прозрачных микрообъектов.
Принципиальная схема интерференционного микроскопа пока
зана на рис. 19.8. Луч света, как и в интерферометре, в точке А раздваивается,один луч проходит через прозрачный микрообъект М, а другой — вне его. В точке Д лучи соединяются и интерферируют, по результату интерференции судят об измеряемом параметре.
Рис. 19.8
1 Строго говоря, вследствие многократных отражений может образоваться более чем два луча, однако их интенсивности незначительны
2 Вследствие разных углов падения лучей из S на пластину А или не строгой перпендикулярности зеркал I и II интерференционная картина практически всегда представлена полосами (полосы равного наклона или равной толщины соответственно). Этот вопрос подробно не рассматривается.
§ 19.4. Принцип Гюйгенса—Френеля
Объяснение и приближенный расчет дифракции света можно осуществить, используя принцип Гюйгенса—Френеля.
Согласно Гюйгенсу, каждая точка волновой поверхности, которой достигла в данный момент волна, является центром элементарных вторичных волн, их внешняя огибающая будет волновой поверхностью в последующий момент времени (рис. 19.9; Slи S2— волновые поверхности соответственно в моменты ttи t2; t2 > tj).
Френель дополнил это положение Гюйгенса, введя представление о когерентности вторичных волн и их интерференции. В таком обобщенном виде эти идеи получили название принципа Гюйгенса—Френеля.
Для того чтобы определить результат дифракции в некоторой
точке пространства, следует рассчитать, согласно принципу Гюй
генса—Френеля, интерференцию вторичных волн, попавших в эту
точку от различных элементов волновой поверхности. Для волновой поверхности произвольной формы такой расчет достаточно сложен, но в отдельных случаях (сферическая или плоская волновая поверхность, симметричное расположение точки относительно волновой поверхности и непрозрачной преграды) вычисления сравнительно
Рис. 19.9
просты. Волновую поверхность при этом разбивают на отдельные участки (зоны Френеля), расположенные определенным образом, что упрощает математические операции.
§ 19.5. Дифракция на щели в параллельных лучах
На узкую длинную щель, расположенную в плоской непрозрачной преграде MN, нормально падает плоскопараллельный пучок монохроматического света (рис. 19.10; АВ = а — ширина щели; L — собирающая линза, в фокальной плоскости которой рас- -положен экран Э для наблюдения дифракционной картины).
Если бы не было дифракции, то световые лучи, пройдя через щель, сфокусировались бы в точке О, лежащей на главной оптической оси линзы. Дифракция света на щели существенно изменяет явление.
Рис. 19.10
Будем считать, что все лучи пучка света исходят от одного удаленного источника1 и, следовательно, когерентны. АВ есть часть волновой поверхности, каждая точка которой является центром вторичных волн, распространяющихся за щелью по всевозможным направлениям. Изобразить все эти вторичные волны невозможно, поэтому на рис. 19.10 показаны только вторичные волны, распространяющиеся под углом а к направлению падающего пучка и нормали к решетке. Линза соберет эти волны в точке О' экрана, где и будет наблюдаться их интерференция. (Положение точки О' получают как пересечение с фокальной плоскостью побочной оси СО' линзы, проведенной под углом а.)
Чтобы узнать результат интерференции вторичных волн, проделаем следующие построения. Проведем перпендикуляр AD к направлению пучка вторичных волн. Оптические пути всех вторичных волн от AD до О' будут одинаковыми, поскольку линза не вносит добавочной разности фаз между ними, поэтому та разность хода, которая образовалась у вторичных волн к AD, будет сохранена и в точке О'.
Разобьем BD на отрезки, равные l/2. В случае, показанном на рис. 19.10, получено три таких отрезка: \ВВ2\ = \В2Вг\ = \B1D\ = = l/2. Проведя из точек В2и В1 прямые, параллельные AD, разделим АВ на равные зоны Френеля: \ААг\ = \А1А2\ = \А2В\. Любой вторичной волне, идущей от какой-либо точки одной зоны Френеля, можно найти в соседних зонах соответствующие вторичные волны такие, что разность хода между ними будет/2. Например, вторичная волна, идущая от точки А2в выбранном направлении, проходит до точки О' расстояние на/2 больше, чем волна, идущая от точки A1, и т. д. Следовательно, вторичные волны, идущие от двух соседних зон Френеля, погасят друг друга, так как различаются по фазе на.
Число зон, укладывающихся в щели, зависит от длины волны и угла . Если щель АВ можно разбить при построении на нечетное число зон Френеля, a BD — на нечетное число отрезков, равных /2, то в точке О' наблюдается максимум интенсивности света:
(19.26)
Направление, соответствующее углу а = 0, также отвечает максимуму, так как все вторичные волны придут в О в одинаковой фазе.
Если щель АВ можно разбить на четное число зон Френеля, то наблюдается минимум интенсивности света:
(19.27)
Таким образом, на экране Э получится система светлых (максимум) и темных (минимум) полос, центрам которых соответствуют условия (19.26) и (19.27), симметрично расположенных влево и вправо от центральной (а = 0), наиболее яркой, полосы. Интенсивность I остальных максимумов быстро убывает по мере удаления от центрального максимума (рис. 19.11).
Если щель освещать белым светом, то на экране Э [см. (19.26), (19.27)] образуется система цветных полос, лишь центральный максимум будет сохранять цвет падающего света, так как при а = 0 усиливается свет всех длин волн.
Рис. 19.11
Дифракция света, как и интерференция, связана с перераспределением энергии электромагнитных волн в пространстве. В этом смысле щель в непрозрачном экране является не просто системой, ограничивающей поступление светового потока, но перераспределителем этого потока в пространстве.
Чтобы понять влияние соотношения между шириной щели и длиной волны на возможность наблюдения дифракционной картины, рассмотрим некоторые частные случаи:
1)<< а. Представив формулу для максимумов в виде
имеем sin a
0 практически для всех максимумов, и дифракция при этом не наблюдается. Этот случай соответствует достаточно широкой, по сравнению с длиной волны, щели. Так, например, не удается осуществить дифракцию в комнате при прохождении света через окно;
2). На основании (19.27) для первых минимумов, которые ограничивают центральную светлую полосу, можно записать
Отсюда следует, что при заданном условии sin а формально превышает единицу, чего не может быть. Практически в этом случае вместо системы максимумов и минимумов весь экран будет слабо освещен.
1 Практически точечный источник можно расположить в фокусе линзы, не показанной на рис. 19.10, так, что от линзы будет распространяться параллельный пучок когерентных волн.
§ 19.6. Дифракционная решетка. Дифракционный спектр
Дифракционная решетка — оптическое устройство, представляющее собой совокупность большого числа параллельных, обычно равноотстоящих друг от друга, щелей.
Дифракционную решетку можно получить нанесением непрозрачных царапин (штрихов) на стеклянную пластину. Непроцарапанные места — щели — будут пропускать свет; штрихи, соответствующие промежутку между щелями, рассеивают и не пропускают света. Сечение такой дифракционной решетки (о) и ее условное обозначение (б) показанына рис. 19.12. Суммарную ширину щели а и промежутка Ъ между щелями называют постоянной или периодом дифракционной решетки:
Рис. 19.12 (19.28)
Если на решетку падает пучок когерентных волн, то вторичные волны, идущие по всевозможным направлениям, будут интерферировать, формируя дифракционную картину.
Пусть на решетку нормально падает плоскопараллельный пучок когерентных волн (рис. 19.13). Выберем некоторое направление вторичных волн под углом а относительно нормали к решетке. Лучи, идущие от крайних точек двух соседних щелей, имеют разность хода= А'В'. Такая же разность хода будет для вторичных волн, идущих от соответственно расположенных пар точек соседних щелей. Если эта разность хода кратна целому числу длин волн, то при интерференции возникнут главные максимумы, для которых выполняется условие, или
(19.29)
где... — порядок главных максимумов. Они расположены симметрично относительно центрального (k = 0, а = 0). Равенство (19.29) является основной формулой дифракционной решетки1.
Между главными максимумами образуются минимумы (добавочные), число которых зависит от числа всех щелей решетки. Выведем условие для добавочных минимумов. Пусть разность хода вторичных волн, идущих под углом а от соответственных точек соседних щелей, равна/N, т. е.
(19.30)
где N — число щелей дифракционной решетки. Этой разности хода[см.(19.9)]отвечает разность фаз
Рис. 19.13
Если считать, что вторичная волна от первой щели имеет в момент сложения с другими волнами нулевую фазу, то фаза волны от второй щели равна, от третьей —, от четвертой —и т. д. Результат сложения этих волн с учетом фазового различия удобно получить с помощью векторной диаграммы: сумма N одинаковых векторов напряженности электрического поля, угол (разность фаз) между любыми соседними из которых есть , равна нулю. Это означает, что условие (19.30) соответствует минимуму. При разности хода вторичных волн от соседних щелей или разности фазбудет также получен минимум интерференции вторичных волн, идущих от всех щелей, и т. д.
В качестве иллюстрации на рис. 19.14 изображена векторная диаграмма, соответствующая дифракционной решетке, состоящей из шести щелей: E1 Е2и т. д. — векторы напряженности электрической составляющей электромагнитных волн от первой, второй и т. д. щелей. Возникающие при интерференции пять добавочных минимумов (сумма векторов равна нулю) наблюдаются при разности фаз волн, приходящих от соседних щелей, в(а),(б), 180° (в),(г) и(д).
Так, можно убедиться, что между центральным и каждым первым главным максимумами имеется N - 1 добавочных минимумов, удовлетворяющих условию
(19.31)
Рис. 19.14
.
Особо отметим роль минимумов от одной щели. В направлении, отвечающем условию (19.27), каждая щель дает минимум, поэтому минимум от одной щели сохранится и для всей решетки. Если для некоторого направления одновременно выполняются условия минимума для щели (19.27) и главного максимума решетки (19.29), то соответствующий главный максимум не возникнет. Обычно стараются использовать главные максимумы, которые размещаются между первыми минимумами от одной щели, т. е. в интервале
(19.33)
При падении на дифракционную решетку белого или иного немонохроматического света каждый главный максимум, кроме центрального, окажется разложенным в спектр [см. (19.29)]. В этом случае k указывает порядок спектра.
Таким образом, решетка является спектральным прибором, поэтому для нее существенны характеристики, которые позволяют оценивать возможность различения (разрешения) спектральных линий.
Одна из таких характеристик — угловая дисперсия — определяет угловую ширину спектра. Она численно равна угловому рас-
Рис. 19.16
стоянию da между двумя линиями спектра, длины волн которых различаются на единицу
Дифференцируя (19.29) и используя только положительные значения величин, получаем
Из последних двух равенств имеем
(19.34)
Так как обычно используют небольшие углы дифракции, то
. Угловая дисперсия D тем выше, чем больше порядокспектра и чем меньше постоянная с дифракционной решетки.
Возможность различать близкие спектральные линии зависит не 1?олько от ширины спектра, или угловой дисперсии, но и от ширины Спектральных линий, которые могут накладываться друг на друга.
Принято считать, что если между двумя дифракционными максимумами одинаковой интенсивности находится область, где суммарная интенсивность составляет 80% от максимальной, то спектральные линии, которым соответствуют эти максимумы, уже разрешаются. При этом, согласно Дж. У. Рэлею, максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой, что и считается критерием разрешения. На рис. 19.17 изображены зависимости интенсивности / отдельных линий от длины волны (сплошная кривая) и их суммарная интенсивность (штриховая кривая). Из рисунков легко увидеть неразре-шенность двух линий (а) и предельную разре-шенность (б), когда максимум одной линии совпадает с ближайшим минимумом другой.
Разрешение спектральных линий количественно оценивается разрешающей способностью, равной отношению длины волны к наименьшему интервалу длин волн, которые еще могут быть разрешены:
(19.35)
Так, если имеются две близкие линии с длинами волн, то (19.35) можно приближенно записать в виде
. (19.36)
Условие главного максимума для первой волны
С ним совпадает ближайший минимум для второй волны, условие которого
Приравнивая правые части последних двух равенств, имеем
откуда [с учетом (19.36)]
Итак, разрешающая способность дифракционной решетки тем больше, чем больше порядокспектра и число N штрихов.
Рассмотрим пример. В спектре, полученном от дифракционной решетки с числом щелей N = 10 000, имеются две линии вблизи длины волны= 600 нм. При какой наименьшей разности длин волнэти линии различаются в спектре третьего порядка (k = 3)?
Для ответа на этот вопрос приравняем (19.35) и (19.37), ,Откуда Подставляя числовые значения в эту формулу, находим = 600 нм(3* 10 000) = 0,02 нм.
Так, например, различимы в спектре линии с длинами волн 600,00 и 600,02 нм и не различимы линии с длинами волн 600,00 и 600,01 нм.
Выведем формулу дифракционной решетки для наклонного падения когерентных лучей (рис. 19.18,— угол падения). Условия формирования дифракционной картины (линза, экран в фокальной плоскости) те же, что и при нормальном падении.
Проведем перпендикуляры А'В к падающим лучам и АВ' ко вторичным волнам, идущим под угломк перпендикуляру, восставленному к плоскости решетки. Из рис. 19.18 видно, что к положению А'В лучи имеют одинаковую фазу, от АВ' и далее разность фаз лучей сохраняется. Следовательно, разность хода есть
d= ВВ'-АА. (19.38)
Из DАА'В имеем АА' = АВ sin (3 = с sin р. Из DВВ'А находим ВВ' = АВ sin a = = с sin а. Подставляя выражения для АА' и ВВ' в (19.38) и учитывая условие для главных максимумов, имеем
с (sin а - sin Р) = + kX.(19.39)
Центральный главный максимум соответствует направлению падающих лучей (а = b).
Наряду с прозрачными дифракционными решетками используют отражательные, у которых штрихи нанесены на металлическую поверхность. Наблюдение при этом ведется в отраженном свете. Отражательные дифракционные решетки, изготовленные на вогнутой поверхности, способны образовывать дифракционную картину без линзы.
В современных дифракционных решетках максимальное число штрихов составляет более 2000 на 1 мм, а длина решетки более 300 мм, что дает значение N около миллиона.
______________________
1 Из формулы (19.29) видно, что максимальное значениене может превышать величины c/l.
§ 19.7. Основы рентгеноструктурного анализа
Основная формула дифракционной решетки (19.29) может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи — нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны. Такая скромная применительно к обычной дифракционной решетке задача подводит к практически важному вопросу — измерению параметров кристаллической решетки посредством дифракции рентгеновских лучей, что является содержанием рентгеноструктурного анализа.
CF — перпендикуляры к падающим и отраженным лучам соответственно. Разность хода отраженных лучей 1’ и 2'
|
|
|
Скачать 9.74 Mb.