Курсавая. Курсавая 1. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

• Название: Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
• Анкор: Курсавая
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Курсавая 1.docx
• Тип: Курсовая; #610528
• страница: 4 из 9

1.5 Метод квадратных корней

В многочисленных приложениях (в частности, при обработ- ке статистических данных) возникает система уравнений с сим- метрической матрицей коэффициентов (матрица Аназывается симметрической, если для ее элементов выполняется условие а_ij= а_jiпри всех i и j). Такие матрицы представляют частный слу- чай так называемых эрмитовых матриц^*, в которых элементы главной диагонали вещественны, а симметричные образуют пары комплексно сопряженных чисел. Например:

_ 1 8


8

3




2  i 0_

11 i^

 _.

2  i 11 7 1


9

0




^  i 1 ^

Всякую вещественную симметрическую матрицу можно предста- вить произведением взаимно транспонированных матриц

A= R^T R,

где
^r11

 ₀

R ^

 ...
^r12 ^r22

...
...

...

...
^r1n<sup>


r</sup>2n


^ .

... 

^ 0 0 ... r ^

 nn

Перемножая матрицы, получаем систему

r²  r²

…  r²  a

; i,

j 1, 2,…, n;

1i 2i

ii ii

^r1i^r1 j^{ r}2i^r2 j

…  r_iir_ij

 a_ij

, i

решение которой имеет вид

r_ii

, i 1, 2,…, n;

r ^{1 } a

i1 _

 r r , j i 1, i 2,…, n.

ij _r^ ij

^ ki kj^

ii_

k1 

Полученное разложение сводит систему AX= Bк двум си- стемам с треугольными матрицами коэффициентов R^T Y = B, R X = Y, решаемым по схеме, описанной выше для метода Краута. Если матрица А− положительно определенная (все ее глав-

ные миноры положительны), все элементы матрицы R − веще- ственные числа. В общем случае элементы R могут быть и чисто мнимыми числами. Самый плохой случай в технологии такого разложения возникает, когда какие-то из главных миноров обра- щаются в нуль.

Метод квадратных корней является самым быстродейству- ющим, но его программная реализация требует операций с повы- шенной точностью (точность теряется из-за операций извлечения корня) и арифметики комплексных чисел.

Рассмотрим пример применения метода квадратных корней.

	1	2	3		5
A=	2	3	4	, B=	8	.
	3	4	7		13

Получаем

r 
 1  1, r

_ ^a12
 ²  2 , r

_ ^a13
 ³  3,

11
r₂₂ 

12
a₂₂  r² 

12 _r11



₁ 13

1  i,


r₁₁ 1

r₂₃  ¹ a₂₃  r₁₂r₁₃   ¹ 4  2  3  2 / i 2 i,

i i

r₃₃  
  2.

То есть

	1	2	3
R=	0	i	2 i	.
	0	0	2

Согласно методу Краута, получаем

	1 0 0		y1		5	y1 = 5 / 1 = 5
RT Y= B;	2 i 0		y2	=	8	y2 = (8 − 2  5) / i = −2 / i = 2 i
	3 2 i 2		y3		13	y3 = (13 − 3  5 – (2 i)  (2 i)) / ( 2 ) =
						= 2 / 2 = 2
	1 2 3		x1		5	x3 = 2 / 2 = 1
С X= Y;	0 i 2 i		x2	=	2 i	x2 = 2 i − 2 i  1 = 0
	0 0 2		x3		2	x1 = 5 − 3  1 − 2  0 = 2