Курсавая. Курсавая 1. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений

• Название: Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений
• Анкор: Курсавая
• Дата: 22.06.2022
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: Курсавая 1.docx
• Тип: Курсовая; #610528
• страница: 5 из 9

1.6 Метод прогонки

В многочисленных задачах приходится иметь дело с системами уравнений следующей структуры:

b1	c1	0	0	0	…	0	0		x1		d1
a2	b2	c2	0	0	…	0	0		x2		d2
0	a3	b3	c3	0	…	0	0		x3		d3
0	0	a4	b4	c4	….	0	0		x4	=	d4
0	0	0	ak	bk	…	0	0		x5		d5
…	…	…	…	…	…	…	…
0	0	0	0	0		an	bn		xn		dn

или в компактном виде

b₁ x₁ + c₁ x₂ = d₁,

a_kx_k-1 + b_kx_k+ c_kx_k+1 = d_k, k= 2, ..., n – 1,

a_nx_n-1 + b_n x_n= d_n.

Положим

x_k= P_kx_k+1 + Q_k, k= 1, 2, …, n – 1

и, подставив в получим

или

a_k(P_k–1 x_k+ Q_k–1) + b_kx_k+ c_kx_k+1 = d_k, k= 2, 3, …, n – 1
(a_kP_k–1 + b_k) x_k+ c_kx_k+1 = d_k− a_kQ_k–1, k= 2, 3, …, n – 1.

С учетом представления первого уравнения в виде

x₂ = (d₁ − b₁ x₁) / c₁

и последнего:

a_n(P_n–1 x_n+ Q_n–1) + b_nx_n= d_n,

получаем двухшаговую процедуру решения: на прямомходе ищем прогоночные коэффициенты в порядке роста k и на обратном– находим решение системы:

P 

1
P 

, Q

1

c_k

,

, Q  ^dk

• 
  ^ak^Qk1 _{, k}
  

 2,…, n 1;

k _bk

• 
  ^ak^Pk1
  

k _bk

• 
  ^ak^Pk1
  

_{x } ^dn^{ a}n^Qn1 _{, x}


 Px  Q, k

 n 1, n 2,…,1.

^{n b}n^{ a}n^Pn1 ^k

kk1 k

Заметим, что трехдиагональная матрица коэффициентов со- держит только 3 n – 2 << n² ненулевых элементов, что при раз- мерности порядка сотен существенно сокращает требования к объему используемой памяти компьютера. Этот метод называ- ют методомпрогонки; его использование значимо уменьшает объем вычислительных затрат в сравнении с любыми другими методами.

Существуют видоизменения метода прогонки для систем с более чем трехдиагональной матрицей коэффициентов (в частности, пятидиагональных), но здесь приходится обра- щать матрицы.