1метод.рекомендации математика. Методические рекомендации для студентов спо техникума транспорта г. Орска по выполнению самостоятельной работы
 Скачать 3.81 Mb.
|
|
Значения тригонометрических функций град 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 радиан 0 sin 0 1 cos 1 0 tg 0 1 не существ ctg Не существ 1 0 Самостоятельная работа № 31-33 «Преобразование тригонометрических выражений» Цель:Знать основные формулы тригонометрии, уметь использовать полученные знания при преобразовании тригонометрических выражений. Методические рекомендации Используя методические рекомендации к Самостоятельной работе №30 выполните практическую работу. 1 вариант 1. Вычислите: а) 0 0 0 0 0 90 135 45 30 sin 60 cos 60 sin 3 ctg ctg tg ; б) 3 3 4 sin 2 6 cos tg 2. Упростите выражение: а) , sin ) cos 1 )( cos 1 ( z n n , ; 32 б) ). cos( ) sin( ) cos( ) 2 sin( 3. Вычислите: а) ; cos sin 2 ) cos (sin 2 б) , ctg tg если 4 , 0 cos sin 4. Найдите такие углы α, для каждого из которых выполняется равенство: а) ; 2 3 sin б) ; 2 2 cos в) ; 3 tg г) 1 ctg 5. Вычислите: а) , 2 2 ctg tg если ; 3 ctg tg б) , cos 6 sin 5 cos 4 sin 3 если 3 tg 2 вариант 1. Вычислите: а) ; 0 135 45 60 sin 30 cos 45 sin 2 0 0 0 0 0 0 tg tg ctg б) 6 3 4 cos 2 3 sin ctg 2. Упростите выражение: а) , cos ) sin 1 )( sin 1 ( ; , 2 z n n б) ). cos( ) sin( ) 2 cos( ) sin( 3. Вычислите: а) ; cos sin 2 ) cos (sin 2 б) , ctg tg если 2 , 0 cos sin 4. Найдите все такие углы α, для каждого из которых выполняется равенство: а) ; 2 2 sin б) ; 2 1 cos в) ; 3 tg г) 1 ctg 5. Вычислите: 33 а) , 2 2 ctg tg если ; 3 ctg tg б) , cos 3 sin 4 cos 5 sin 6 если 3 tg Самостоятельная работа № 34-35«Преобразование тригонометрических выражений» Цель: Знать основные формулы тригонометрии, уметь использовать полученные знания при преобразовании тригонометрических выражений. Методические рекомендации Используя методические рекомендации к Самостоятельной работе №30 выполните практическую работу. 1 вариант 1) Упростите выражение: 4 sin²2х– 9 + 4cos²2х. 1) -1; 2)-5; 3) 5; 4) 13. 2) Найдите tgß, если sinß = 1/ √10 и π < ß < 3 π/2. 1) -1/3; 2) 3/10; 3) 1/3; 4) - 3/√10. 3) Найдите значение выражения: 7 cos(π + α) – sin(3π/2 + α), если cosα = 0,6. 1) 4cosα; 2) 3,6; 3) -3,6; 4) sinα. 4) Упростите выражение: (1 + cos2α) : (1 - cos2α). 1) tg²α ; 2) 1/sin2α; 3) сtg2α; 4) сtg²α. 5) Вычислите: sin( -19π/6) + sinπ/8 ·cos π/8. 1) √2/2; 2) 1; 3) (-2 + √2)/4; 4) (2 + √2)/4. 2 вариант 1) Найдите значение выражения: 5sin²3х – 6,если cos²3х = 0,6. 1) 2,8; 2) -3; 3) 8; 4) -4. 2) Найдите tgα, если cosα = 1/ √5 и 0 < α < π/2. 1) 1/√5 ; 2) 2; 3) ½; 4) √5. 3) Упростите выражение: sin(3π/2 – α)· cos(π/2 + α) + sin(2 π –α) + + cos(3π/2 + α) + cosα ·sinα. 1) -2sinα; 2) sin2α; 3) 0; 4) 2cosα. 4) Найдите значение выражения: (tgα + сtgα )² – 2 при α = -π/4. 1) -2; 2) 2; 3) -1; 4) 0. 5) Вычислите: (sin75º + sin45º) : sin285º. 1) - √3; 2) - √3/2; 3) 3; 4) √3. 34 Самостоятельная работа № 36 «Обратные тригонометрические функции.» Цель: Научиться находить обратные тригонометрические функции с помощью таблицы тригонометрических функций. Методические рекомендации Используя методические рекомендации к Самостоятельной работе №30 выполните практическую работу. 1 вариант 1. Вычислите 2 вариант 2.Вычислите Самостоятельная работа № 37 « Определение арккосинуса.» Цель:Выучить определение арккосинуса.. Методические рекомендации Используя теоретический материал (З-10 кл, стр. 117) выучить определение арккосинуса. 35 Самостоятельная работа № 38 « Определение арксинуса.» Цель:Выучить определение арксинуса.. Методические рекомендации Используя теоретический материал (З-10 кл, стр. 117) выучить определение арксинуса. Самостоятельная работа № 39«Решение тригонометрических неравенств.» Цель: Составить и выучить алгоритм решения тригонометрических неравенств. Методические рекомендации 1.Алгоритм решения тригонометрических неравенств. 1) На оси ординат единичной окружности отмечаем точку, соответствующую значению а (примерно). 2) Через полученную точку проводим прямую параллельно другой оси системы координат до пересечения с окружностью (Точки пересечения можно соединить с центром окружности). 3) На единичной окружности в точках пересечения записываем числа, соответствующие этим точкам. 4) Мысленно перемещаем нашу прямую параллельно оси координат в зависимости от значения а. 5) Выделяем штриховкой ту часть дуги единичной окружности, которую перемещающая прямая ее пересекает. Если неравенство строгое, то точки на концах дуги не заштриховываются (выколотые точки). 6) Записываем ответ. 2. Рассмотримрешение неравенства sinx> Далее по алгоритму учитель на доске, а учащиеся на карточке проводят последовательные операции на единичных окружностях (рис. 1, а, б, в), рассматривая решение неравенства sin x > Рис.1 36 Это и есть ответ. 3. Запишите алгоритм решения тригонометрического неравенства в тетрадь 4. Теоретический материал: З-10 кл, стр. 132 Самостоятельная работа № 40-41 «Решение тригонометрических уравнений.» Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений, формулы для нахождения корней, уметь использовать полученные знания при решении уравнений . Методические рекомендации I. Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение Формулы решения Частные случаи a x sin при 1 a k a x k arcsin 1 , z k при 1 a - решений нет 0 sin x ; k x , z k 1 sin x ; k x 2 2 , z k 1 sin x , k x 2 2 , z k a x cos при 1 a n a x 2 arccos , z n при 1 a - решений нет 0 cos x ; n x 2 2 , z n 1 cos x ; n x 2 , z n 1 cos x ; n x 2 , z n a tgx a - любое число k arctga x , z k - a ctgx a - любое число k arcctga x , z k - II. Тригонометрические уравнения. Уравнение Способ решения Формулы 1. Уравнение содержит только синусы или косинусы (синусы и косинусы) вида 0 sin sin 2 c x f b x f a 0 cos cos 2 c x f b x f a и т.д. Уравнение сводится к квадратному (биквадратному) относительно синуса (косинуса) 2 2 cos 1 sin 2 2 sin 1 cos 0 2 c bx ax a D b x 2 2. Однородное уравнение I степени вида 0 cos sin x b x a 0 , 0 b a Деление обеих частей на 0 cos x . Получаем: 0 b atgx tg cos sin 3. Однородное уравнение II степени вида x f b x f a sin sin 2 Деление обеих частей на 0 cos 2 x . Получаем: 0 2 k btgx x f atg cos sin tg 37 0 cos cos 2 x f k x f 2 2 cos 1 1 tg 4. Уравнение вида 0 c bctgx atgx Уравнение сводится к квадратному относительно тангенса заменой tgx ctgx 1 1 ctgx tgx tgx ctgx 1 Используя методические рекомендации выполните практическую работу: 1 вариант 4. 2 вариант 4. Самостоятельная работа № 42 «Решение тригонометрических систем уравнений» Цель: Знать методы решения тригонометрических уравнений, формулы для нахождения корней, уметь использовать полученные знания при решении уравнений повышенной сложности. Методические рекомендации При решении систем тригонометрических уравнений мы используем те же методы, что и в алгебре ( замены, подстановки, исключения и т.д. ), а также известные методы и формулы тригонометрии. Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 1 . Решить систему уравнений: 38 П р и м е р 2 . Решить систему уравнений: Р е ш е н и е . Складывая и вычитая эти два уравнения, получим: Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения: Используя методические рекомендации выполните практическую работу: 1) 2) Самостоятельная работа № 43 «Стереометрия.» Цель: Развитие интереса к предмету, интуиции, логического мышления. Кроссворд-это игра, состоящая в разгадывании слов по определениям. Методические рекомендации При выполнении задания воспользуйтесь методическими рекомендациями по составлению кроссворда. Образец оформления и составления кроссвордов По горизонтали: 1. Сторона прямоугольного треугольника. 4. Он есть у функции и последовательности. 8. Его штаны равны во все стороны. 10. Полный круг вращения. 13. Французский математик, специалист теории вероятностей. 14. Арифметическое действие. 16. Гектар — ... площади. 17. Часть матрицы. 2 sin sin , 2 y x y x 2 cos cos , y x y x 39 18. Свойство углов. 19. Полупрямая. 22. Нейтральный элемент относительно умножения. 23. Группа повторяющихся цифр в бесконечной десятичной дроби. 24. Наибольший общий ... По вертикали: 2. Бублик как математический объект. 3. Положение, нуждающееся в доказательстве. 4. Поверхность, имеющая 2 измерения. 5. Линейное алгебраическое уравнение. 6. Тригонометрическая функция. 7. Один из двух экстремумов. 9. Функция по своей сути. 11. Часть прямой. 12. Линия. 15. Геометрическая фигура, образованная двумя лучами. 17. Полный квадрат первого двузначного числа. 18. Для него необходимы натуральные числа. 20. В теории графов: маршрут, все ребра которого различны. 21. В теории графов: замкнутый маршрут, все ребра которого различны. Ответы: По горизонтали: 1-катет; 4-предел; 8-пифагор; 10-оборот; 13-пуассон; 14-умножение; 16-мера; 17-строка; 18-смежность; 19-луч; 22-единица; 23-период; 24-делитель; По вертикали: 2-тор; 3-теорема; 4-плоскость; 5-лау; 8-синус; 7-максимум; 9-отображение; 11-отрезок; 12-кривая; 15-угол; 17-сто; 18-счёт; 20-цепь; 21-цикл. Самостоятельная работа № 44 «Аксиомы стереометрии.» Цель: Изучить аксиомы стереометрии и их следствия. Методические рекомендации Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. рис. 1 рис. 2 рис. 3 40 Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А λ, В λ, С λ (точки А, В, С лежат в плоскости ) А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. АB λ Прямая а и плоскость λ пересекаются в точке М. А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. λ∩β= a λи β пересекаются по прямой а. Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Задание: Выучите аксиомы стереометрии. Теоретический материал: Учебник Г-10-11,Стр.3-6 Самостоятельная работа № 45 «Параллельные прямые в пространстве.» Цель: Знать определение параллельных прямых в пространстве. Методические рекомендации 41 1.Теоретический материал:Учебник Г-10-11,Стр.3-6 2. Записать определение с помощью символьных знаков. Самостоятельная работа № 46«Доказательство Теоремы о трех перпендикулярах.» Цель: Знать теорему и доказательство теоремы о трех перпендикулярах . Методические рекомендации 1.Изучите теоретический материал изложенный в учебнике: Учебник Г-10-11,Стр.42. 2. Запишите доказательство теоремы используя символы. Самостоятельная работа № 47«Двугранный угол». Форма самостоятельной деятельности: подготовить сообщение или презентацию по предложенной теме. Методические рекомендации Реферат или презентация должны быть выполнены с соблюдением методических рекомендаций по написанию сообщения или созданию презентации. Теоретический материал: Учебник Г-10-11,Стр.47-48. Самостоятельная работа № 48«Параллельность плоскостей.» Цель: Знать определение параллельных плоскостей в пространстве. Методические рекомендации 1.Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность плоскостей и обозначается так: || . 2. Запишите определение с помощью символьных знаков. 3. Теоретический материал: Учебник Г-10-11,Стр.20. 4. Выполните практическую работу: 1). Запишите параллельные плоскости параллелепипеда A…D1. 2). Верны ли утверждения: 42 -1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. -2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. -3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости. -4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 3). Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой. 4). Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD? Могут ли они быть параллельными? Самостоятельная работа № 49-50 «Решение задач на нахождение расстояния между плоскостями.» Цель: Знать основные формулы на нахождение расстояния между плоскостями и применять их при решении задач. Методические рекомендации 1.Расстояние между плоскостями — равно длине перпендикуляра, опущенного с одной плоскости на другую. 2.Формула для вычисления расстояния между плоскостями Если заданы уравнения параллельных плоскостей Ax + By + Cz + D 1 = 0 и Ax + By + Cz + D 2 = 0, то расстояние между плоскостями можно найти, используя следующую формулу 3.Пример . Найти расстояние между плоскостями 2x + 4y - 4z - 6 = 0 и x + 2y - 2z + 9 = 0. Решение. Проверим, параллельны ли плоскости, для этого умножим уравнение второй плоскости на 2 2x + 4y - 4z + 18 = 0 Так как коэффициенты при неизвестных величинах у полученного уравнения и первого уравнения равны, то для вычисления расстояния между плоскостями можно использовать приведенную выше формулу: |