Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
 Скачать 2.85 Mb.
|
|
Раздел 3. Комплексные числа. Задача 19. Умножить два числа: Z 1 =1+5i и Z 2 =-4+5i. Задача 20. Поделить Z 1 =1+5i на Z 2 =-5+3i. Задача 21. Представить в тригонометрической форме: Z=3+4i. Задача 22. Извлечь корень четвертой степени из числа z=2+i. Ответы на упражнения. 1. 0 2. -0.54 3. 0.2236068 4. -0.3535534 5. 0.082085 6. 7.389056 7. 2.25 8. 1.166667 9. 6 10. 0.1875 11. 1.75 12. 48 13. 0.25 14. -0.125 15. 3.465736 16. -2.594547 17. 1.041806 18. 1.125828 19. Z=-29+-15i 20. Z=0.2941177+-.8235294i. 21. Z=5 [cos( 0.9272952 )+i sin( 0.9272952 )]. 22. Z 1 = 1.2146+ 0.1414i; Z 2 =-0.1414+ 1.2146i Z 3 =-1.2146 - 0.1414i; Z 4 = 0.1414 - 1.2146i 24 Часть 3. Производная и исследование функций Примеры решения задач Задача 1. Найти экстремумы функции x x x y 5 4 9 2 3 Решение. 1). Найдем стационарные точки, которые определяются тем, что в этих точках производная обращается в нуль или не существует. 0 5 8 27 ' 2 x x y Решая это уравнение, получим: 1 x = -0.6032669; 2 x = 0.3069706 2). Проверим эти точки на экстремум. Для этого необходимо найти вторую производную. Если в стационарной точке 0 " y , то эта точка явля- ется точкой экстремума, причем, если 0 " y - имеется минимум; если 0 " y - максимум. Имеем: 8 54 " x y В первой точке: " y 24.576413 > 0 x 1 - точка минимума; во второй точке^ " y 24.576412 < 0 x 2 - точка максимума. Ответ: 1 x 0.6032669; min y 2.496131 2 x 0.3069706; min y = 0.897594 Задача 2. Найти экстремумы функции x x y 6 e 5 9 Решение. 1). Найдем стационарные точки: 0 e ) 21 54 ( e ) 5 9 ( e 54 ' 6 6 6 x x x x x y Отсюда x = 0.38889. 2). Исследуем эту точку на экстремум. 0 86129 , 556 88889 3 e 6 ) 21 54 ( e 54 " 6 6 x y x x Таким образом, полученная точка является точкой максимума. Ответ: x = 0.38889 max y = 15.46839 Задача 3. Найти экстремумы функции ) 16 1 ln( 10 ) 4 arctg( 2 2 x x y Решение. 1). Найдем стационарные точки: 2 2 16 1 32 10 16 1 4 2 ' x x x y =0 Отсюда, 0 320 8 x или 025 0 320 8 x 2). Исследуем точку на экстремум: 53327 310 ) 16 1 ( 32 320 ) 16 1 ( 320 ) 16 1 ( 32 8 " 2 2 2 2 2 x x x x x x y Таким образом, найденная точка является точкой максимума. Ответ: x =-0.025 max y =0 .09983 25 Задача 4. Найти минимальное и максимальное значения функции 6 8 ) arctg( 2 x x y на отрезке [ -9, -3]. Решение. Минимальное и максимальное значения функции могут достигаться или в стационарных точках внутри исследуемого отрезка, или в особых точках внутри отрезка (точки разрыва, точки разрыва первой или второй производной и т.д.), или на границах отрезка. 1). Найдем стационарные точки. Производная равна 8 1 2 ' 2 x y Отсюда 4 1 1 2 x . Таким образом, в данном случае стационарных точек нет. 2). Особых точек также нет. 3). На левой границе 9 x функция принимает значение y =68.92028; на правой границе 3 x y =20.49809 Ответ: min x =-3 min y = 20.49809; max x =-9 max y = 68.92028 Задача 5. Найти минимальное и максимальное значения функции 2 ) 10 8 ( 7 ln 10 x x y на отрезке [ 3, 9] Решение. 1). 10 8 8 7 10 ' x x y Отсюда получаем: 1 x =-0.96015; 2 x =-1.62735. Эти точки не принадлежат исследуемому отрезку. 2). Особых точек внутри отрезка нет. 3). На левой границе отрезка 3 y 21.88688; на правой границе от- резка 9 y 10.78024 Ответ: min x = 9, min y =-21.88688; max x = 3, max y =-10.78024 Задача 6. Найти минимальное и максимальное значения функции 4 3 9 2 3 x x x y на отрезке [ -7, 8]. Решение. 1). 0 1 6 27 ' 2 x x y Отсюда: 1 x =0.11111; 2 x =0.3333333. Обе эти точки принадлежат исследуемому отрезку. 2). Особых точек нет. 3). ; 8641975 3 11111 0 1 1 x y y 2 2 0 33333 3 6666667 . . ; y y x 3 3 4 4 7 3223 8 4412 ; y y x y y x Ответ: min x = 8, min y =-4412; max x =-7, max y = 3223 26 Задача 7. Найти асимптоты функции 2 9 9 2 5 8 x x y x Решение. Уравнение наклонной асимптоты b ax y , если она име- ется, определяется следующим образом: ( ) lim ; lim( ( ) ) x x f x a b f x ax x Вертикальная асимптота определяется точкой бесконечного разрыва функции. 1). Найдем наклонную асимптоту. 8 1 5 9 ) 8 5 ( 2 9 9 2 lim x x x x a x 68 4 8 5 ) 8 5 ( 8 1 2 9 9 2 lim x x x x x b x Итак, уравнение наклонной асимптоты имеет вид: 68 4 8 1 x y 2). Вертикальная асимптота задается точкой, в которой обнуляется знаменатель, т.е. 0 8 5 x или 6 1 x Ответ: 68 4 8 1 x y - наклонная асимптота; 6 1 x - вертикальная асимптота. Задача 8. Найти асимптоты функции: 2 2 7 8 5 6 x y x Решение. 1). 2 2 2 2 8 7 7 8 7 3 130495 6 5 5 6 5 lim lim . x x x x a x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 7 8 7 7 5 8 5 7 5 6 5 5 6 25 30 8 5 6 7 5 7 5 0 30 25 lim lim lim x x x x x x x x b x x x x x x Итак, уравнение наклонной асимптоты - x y 13 3 2). Вертикальные асимптоты две: 0 6 5 2 x ; x 1.095445 Ответ: Наклонная: x y 13 3 ; вертикальные: x 1.09545 27 Задача 9. Найти асимптоты функции 8 2 10 2 x x y Решение. Вертикальных асимптот нет. Наклонная асимптота. 1). Рассмотрим случай, когда x + 2 2 10 2 8 2 8 10 10 3 16228 lim lim . x x x x a x x x 2 2 2 2 2 2 10 2 8 10 10 2 8 10 10 2 8 10 8 2 2 8 1 0 316228 2 8 10 10 2 8 10 10 10 lim lim lim lim . x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x x 2). Рассмотрим случай, когда x - 2 2 10 2 8 2 8 10 10 3 16228 lim lim . x x x x a x x x 2 2 2 2 2 2 10 2 8 10 10 2 8 10 10 2 8 10 обе части дроби делим 2 8 на модуль х 10 2 8 10 8 2 1 0 316228 2 8 10 10 10 lim lim lim lim . x x x x x x x b x x x x x x x x x x x x x Ответ: Наклонные: y= 3.162 x 0.316 Задача 10. Произвести полное исследование функции 1 4 2 3 x x y Решение. Схема исследования функции: 1). Область определения. 2). Симметрия. 3). Точки пересечения с осями координат. 4). Точки разрыва, вертикальные асимптоты. 5). Наклонные асимптоты. 28 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. 7). Точки перегиба. Интервалы выпуклости и вогнутости. 8). Построение графика. 1). О.О.Ф. x 1 2). Т.к y(-x)=-y(x), то функция антисимметричная (нечетная) . 3). Точки пересечения с осями координат: M 1 (0;0) 4). x = 1 - точки разрыва и вертикальные асимптоты. При 1 0 При 1 0 При 1 0 При 1 0 ; ; ; ; ; x y x y x y x y 5). Наклонные асимптоты: 4 1 4 2 2 lim x x a x ; b=0 Уравнение наклонной асимптоты: x y 4 При x функция будет находиться над асимптотой, а при x функция будет находиться под асимптотой. 6). Точки экстремума. Производная равна 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 2 4 3 4 1 1 1 ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) x x x x x x x y x x x Она обращается в ноль при 0 x и 3 1 73205 . x При +1.7321< x < 0 ' y - возрастает; (1) при 1< x <1.7321 0 ' y - убывает; (2) при 0< x <1 0 ' y - убывает; (3) при -1< x <0 0 ' y - убывает; (4) при -1.7321< x <-1 0 ' y - убывает; (5) при < x <-1.7321 0 ' y - возрастает. (6) Таким образом, только две точки являются точками экстремумов: 1 7321 . x (минимум/максимум соответственно). 7). Вторая производная равна 2 2 3 2 2 2 4 2 2 2 2 4 3 2 4 2 2 2 3 2 3 4 3 4 6 1 2 2 1 3 4 1 1 4 6 1 4 3 3 4 8 1 1 ' ( ) ( )( ) ( )( ) '' ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x Она обращается в ноль при 0 x - это точка перегиба. В интервалах (1) и (2) функция вогнута; в интервале (3) - выпукла; в интервале (4) - вогнута; в интервалах (5) и (6) - выпукла. 29 8). Теперь можно построить график функции, учитывая все прове- денные исследования. График следует строить на миллиметровой бумаге таким образом, чтобы все характерные точки и асимптотическое поведение можно было увидеть на одной стандартной странице. Задача 11. Произвести полное исследование функции 9 8 4 2 ln x x y Решение. 1). Область определения функции: 9 8 4 2 x x >0; 8x+9 0. Отсюда: 2 x и 125 1 x В интервале 2 0 125 . x функция не определена. 2). Симметрия четности отсутствует. 3). Точки пересечения с осями координат: 0 x не входит в О.О.Ф.; 0 y при 9 8 4 2 x x =1 или 83333 0 x 4). Точки разрыва: 2 x и 125 1 x - вертикальные асимптоты. При y x ; 0 2 ; При y x ; 0 125 1 5). Наклонные асимптоты. 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 30 24 18 12 6 0 6 12 18 24 30 30 30 f x ( ) f1 x ( ) 10 10 x 30 1 2 4 2 4 1 0 1 38629 8 9 8 9 4 lim ln ; lim ln ln . x x x x a b x x x Таким образом, наклонная асимптота имеет вид: 3862944 1 y При x график функции находится над асимптотой ; при x график функции находится под асимптотой. 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Производная равна 7 2 8 9 ' ( )( ) y x x Точек с нулевой производной нет. Функция монотонна. При 2 x производная отрицательная; при 125 1 x производная отрицательная. Таким образом, функция монотонно убывает на обоих интервалах определения. 7). Точки перегиба. Вторая производная равна 2 2 16 25 7 2 8 9 '' ( ) ( ) x y x x 0 при 1 5625 " . y x Эта точка не входит в область определения функции, так что точек перегиба нет. При 2 x график функции выпуклый, а при 125 1 x гра- фик функции вогнутый. 8). Теперь можно приступить к построению графика. Задача 12. Произвести полное исследование функции ) 4 ( 4 e ) 3 3 ( x x y Решение. 1). Область определения функции: x - любое действительное число. 5 3.6 2.2 0.8 0.6 2 10 6 2 2 6 10 10 10 f x ( ) f1 x ( ) 2 5 x 31 2). Симметрия отсутствует. 3). Точки пересечения с осями координат. При x =0: y =266583238; при y =0: 1 x 4). Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. 5). Наклонные асимптоты. Здесь придется рассмотреть два отдельных случая: а) x : 4 16 3 3 lim e x x a x Таким образом, при x асимптоты нет. b) x : 4 16 4 16 3 3 0 3 3 0 lim e ; lim e . x x x x a b x x Таким образом, при x наклонная асимптота имеет вид: y=0 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. 4 16 4 16 4 4 3 4 3 3 3 4 5 ( ) ' e ( ) e ( ) e x x x y x x Производная обращается в ноль при 25 1 x . При 25 1 x произ- водная отрицательная, т.е. функция убывает; при 25 1 x производная положительная, т.е. функция возрастает. 25 1 x - точка минимума. 7). Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость. 4 16 4 16 4 4 12 12 15 4 24 2 3 ( ) " e ( ) e ( ) e x x x y x x Вторая производная обращается в ноль при 5 1 x . При 1 5 . x вторая производная отрицательная, т.е. график функции выпуклый; при 1 5 . x она положительная, т.е. график функции вогнутый. 8). Теперь можно строить график функции. Задача 13. Произвести полное исследование функции 3 2 3 24 26 9 x x x y Решение. 1). ООФ: x R. 2). Симметрия отсутствует. 3). Точки пересечения с осями координат: При x =0: y =2.8844987; y=0 при 1 x =2, 2 x =3, 3 x =4 4). Точек разрыва и вертикальных асимптот нет. 4.5 3.7 2.9 2.1 1.3 0.5 6 10 4 4 10 4 2 10 4 0 2 10 4 4 10 4 6 10 4 60000 60000 f x ( ) 0.5 4.5 x 32 5). Наклонные асимптоты: 3 3 2 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3 9 26 24 9 26 24 1 1 9 26 24 9 26 24 9 26 24 9 26 24 9 26 24 9 26 24 9 26 24 lim lim ; lim lim lim x x x x x x x x a x x x x b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 3 2 3 2 3 26 24 9 3 9 26 24 9 26 24 1 1 1 lim x x x x x x x x x ; Таким образом, наклонная асимптота имеет вид: 3 x y 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Производная равна 2 3 2 2 3 3 18 26 3 9 26 24 ' ( ) x x y x x x или 2 2 3 3 18 26 3 2 3 4 ' ( )( )( ) x y x x x Отсюда получаем, что 0 ' y при 4 x =3.5774 и 5 x =2.4226. Помимо этого следует отметить, что при x =2, x =3, x =4 первая про- изводная терпит разрыв, и ее значение в этих точках стремится в беско- нечности. Таким образом, график функции в этих точках вертикален. При x <2.4226, ' y >0 - функция возрастает; При 2.4226< x <3.5774, ' y <0 - функция убывает; при 3.5774< x , ' y >0 - функция возрастает. Таким образом, x = 4 x =3.5774 - точка минимума; x = 5 x =2.4226 - точ- ка максимума. 7). Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость. Вторая производная равна 33 2 2 2 5 3 2 3 2 3 3 2 3 2 5 3 2 3 18 26 6 18 3 3 9 26 24 3 9 26 24 2 3 18 28 9 9 26 24 / ( ) " ( ) ( ) ( ) x x x y x x x x x x x x x x x Видно, что 0 " y . Однако, в точках x =2, x =3, x =4 вторая производ- ная терпит разрыв. Легко заметить, что это - точки перегиба. 8). Теперь можно строить график функции. Задача 14. Произвести полное исследование функции x x y 3 e 2 Решение. 1). Область определения функции: x 0 2). Симметрия отсутствует. 3). Точки пересечения с осями координат: отсутствуют. 4). Точки разрыва: x =0. При y x , 0 0 ; при 0 , 0 0 y x Прямая x =0 - вертикальная асимптота. 5). Наклонные асимптоты. 3 3 3 1 2 2 2 2 2 6 1 exp( / ) lim e ; lim e lim / x x x x x x a b x x x Таким образом, прямая 6 2 x y является наклонной асимптотой функции. При x график функции находится над асимптотой, при x график функции находится под асимптотой. 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Производная равна 3 3 2 ' exp x y x x y'=0 при x =-3 0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 3 1.8 0.6 0.6 1.8 3 f x ( ) f1 x ( ) x 34 При 3 x ' y >0 - функция возрастает; При x 3 < 0 ' y <0 - функция убывает; При 0< x ' y >0 - функция возрастает. Таким образом, точка 3 x - точка максимума. 7). Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость. Вторая производная равна 3 3 18 exp '' x y x Видно, что 0 " y . Таким образом, точек перегиба нет. 8). Теперь можно приступать к построению графика функции. Задача 15. Произвести полное исследование функции ). 3 arctg( 4 7 x x y Решение. 1). Область определения: x - любое действительное число. 2). Симметрия: функция нечетная. 3). Точки пересечения с осями координат. При x =0 y =0. Помимо этого есть еще два корня, симметричных от- носительно нуля. Это следует из того факта, что около нуля функция при- близительно эквивалентна функции 0 7 12 5 y x x x , а при x функция приблизительно эквивалентна 7 x Отсюда следует, что при возрастании x функция вначале убывает от значения y =0, а затем возрастает и становится положительной. Следова- тельно, должен быть еще один ноль. Аналогично при убывании x от нуля. 4). Точки разрыва, вертикальные асимптоты: отсутствуют. 5). Наклонные асимптоты. a). x 4 7 3 7 lim arctg x a x x 30 20 10 0 10 20 30 120 80 40 0 40 80 120 120 120 f x ( ) f1 x ( ) 30 30 x 35 7 4 3 7 4 6 283185 2 lim [ arctg( ) ] . x b x x x Таким образом, при x асимптота имеет вид 7 6 283185 . y x b). Аналогично при x получим, что асимптота имеет вид 7 6 283185 . y x 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Производная равна 2 2 2 12 63 5 7 1 9 1 9 ' x y x x Производная равна нулю при 0 281718 . x и 0 281718 . x При 0 281718 . x , 0 ' y - функция возрастает; при 0 2811718 0 2811718 . . x , 0 ' y - функция убывает; при 0 2811718 . x , 0 ' y - функция возрастает. Таким образом, 0 281718 . x - точка максимума; 0 281718 . x - точка минимума. 7). Точки перегиба. Интервалы выпуклости и вогнутости. Вторая производная равна 2 216 1 9 " ( ) x y x 0 " y при 0 x - точка перегиба. При 0 x - функция выпуклая; при 0 x - вогнутая. 8). Построение графика. 3 1.5 0 1.5 3 10 5 0 5 10 10 10 f x ( ) f1 x ( ) f2 x ( ) 3 3 x 36 Задача 16. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции x y 853 4 e в точке 01 0 x Решение. Решение подобной задачи основано на следующей приближенной формуле: 0 0 0 ( ) ( ) '( ) f x x f x f x x При этом следует учитывать, что x должно быть малым. В данном случае удобно выбрать 0 x =0, x 0.01 Вычисляем: 1 e ) ( 0 853 4 0 x f ; 853 4 e 853 4 ) ( ' x f ; 853 4 ) 0 ( ' ) ( ' 0 f x f ) 01 0 )( 853 4 ( 1 ) 01 0 ( ) 01 0 0 ( ) ( 0 f f x x f 95147 0 ) 01 0 ( f Ответ: 951 0 y 37 Упражнения к разделу 3. Задача 1. Найти экстремумы функции 7 4 7 3 2 3 x x x y Задача 2. Найти экстремумы функции x x y 8 e ) 9 4 ( Задача 3. Найти экстремумы функции ) 64 1 ln( 4 ) 8 arctg( 10 2 x x y Задача 4. Найти минимальное и максимальное значения функции 6 9 ) 6 arctg( 9 x x y на отрезке [-1, 9]. Задача 5. Найти минимальное и максимальное значения функции 9 10 7 ln 7 x x y на отрезке [1, 10] Задача 6. Найти минимальное и максимальное значения функции 2 7 2 3 x x x y на отрезке [4, 23]. Задача 7. Найти асимптоты функции 8 2 5 7 4 2 x x x y Задача 8. Найти асимптоты функции 5 7 3 7 2 2 x x y Задача 9. Найти асимптоты функции 5 3 2 x x y Задача 10. Произвести полное исследование функции 5 10 6 2 3 x x y Задача 11. Произвести полное исследование функции 1 1 5 ln x x y Задача 12. Произвести полное исследование функции ) 2 ( 4 e ) 3 2 ( x x y Задача 13. Произвести полное исследование функции 3 2 3 20 11 8 x x x y Задача 14. Произвести полное исследование функции x x y 4 e 5 Задача 15. Произвести полное исследование функции ) 3 arctg( 6 6 x x y Задача 16. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции x y 234 2 e 4 в точке x = 0.003. Задача 17. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции ) 281 0 arctg( 7 x y в точке x =-0.003. Задача 18. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции ) 322 1 cos( 9 x y в точке x =-0.007. Задача 19. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции 589 4 303 0 2 y в точке x =-0.006. Задача 20. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции ) 249 4 1 ln( 5 x y в точке x =-0.004. 38 Задача 21. Вычислить при помощи 1-го дифференциала значение функции x y 893 4 1 998 4 3 в точке x =-0.002. Ответы на упражнения Задача 1. 1 x =-1.80217, 1 y =-19.38404; 2 x = 0.24662, 2 y =-6.484269 Задача 2. x =-2.375, max y = 2.801398 9 10 Задача 3. x =-0.15625, max y =-5.19662 Задача 4. min x = 9, min y =-73.02948; max x = 0.37268 max y = 0.99826 Задача 5. min x = 10, min y =-16.05387; max x = 1, max y =0.36842 Задача 6. min x = 4, min y = 370; max x = 23, max y = 73368 Задача 7. Наклонная: 2 2 x y ; Вертикальная: x = 1.095 Задача 8. Наклонная: y = 2.646 x ; Вертикальные: x = 0.845 Задача 9. Наклонная: 5 1 x y Задача 10. Нули: x=0. Нули производной: 1 x =0, 2 x = 1.2247 . Точки пере- гиба: 1 x =0, 2 x = 1.5811. Асимптоты: наклонная x y 6 0 , вертикальные x 0.7071 Задача 11. Нули: x 0. Нули производной: отсутствуют. Точки перегиба: отсутствуют. Асимптоты: наклонная y =1.6094 вертикальные 1 1 x , 2 0 2 x Задача 12. Нули: x 1.5. Нули производной: x 1.75. Точки перегиба: x 2. Асимптоты: наклонная 0 y Задача 13. Нули: 1 1 x , 2 x = 4, 3 x =5. Нули производной: 4 x = 4.5226, 5 x =0.8107. Точки перегиба: 3 2 1 , , x x x x Асимптота: 66667 2 x y Задача 14. Нули: нет. Нули производной: 4 x . Точки перегиба: нет. Асимптоты: 0 x ; 0 ) 0 0 ( ; ) 0 0 ( y y ; наклонная: 20 5 x y Задача 15. Нули: 0 x и еще два симметричных. Нули производной: x 0.471. Точки перегиба: 0 x Асимптоты: 4248 9 6 ; 4248 9 6 x y x y Задача 16. y 3.973. Задача 17. y 0.006. Задача 18. y 9 Задача 19. y 0.257 Задача 20. y 0.085 Задача 21. y 2.047 |