Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
 Скачать 2.85 Mb.
|
|
cos ; sin ln ln sin const y dx dy dy x x y x x y y x Таким образом, мы получили решение уравнения в неявной форме. Ответ: 9 4 8 6 ln | | ln | sin | const x x y y x Задача 2. Найти решение дифференциального уравнения 2 2 6 2 3 4 8 0 e x x y dx dy Решение. Это уравнение также относится к типу уравнений с разде- ляющимися переменными. Разделяя переменные, получим: 2 2 2 3 6 8 4 e x x dy dx y или 2 1 1 6 2 3 2 2 2 e x x dx dy y y (здесь мы разложили дробь 4 1 2 y на сумму элементарных дробей). Интегрируем обе части равенства: dy y y dx x x 2 1 2 1 2 e 3 2 6 2 Первый интеграл берем по частям: 2 2 1 2 3 2 2 ; ; e ; e x x u x du dx dv dx v Тогда: 2 2 2 2 2 2 1 6 2 3 6 2 3 2 3 2 3 3 2 2 x x x x x x e e e e e e x dx x dx x x Второй интеграл равен 2 2 2 ln const y y 71 Ответ: 2 2 3 2 2 2 2 x e ln const y x y Задача 3. Найти решение дифференциального уравнения y y x xy 2 2 4 9 ' Решение. Уравнения подобного типа легко решаются при помощи замены переменной типа x y z Поделим обе части уравнения на x : x y x y y 2 4 9 ' Совершим замену x y z или zx y . Тогда ' ' xz z y Полученное выражение является уравнением с разделяющимися пе- ременными: 2 4 9 z dx dz x или x dx z dz 2 4 9 Интегрируя обе части равенства, получим: 1 2 2 3 arcsin ln | | const z x или 2 2 3 arcsin ln | | const y x x Ответ: 2 2 3 arcsin ln | | const y x x Задача 4. Найти решение дифференциального уравнения 17 2 40 2 5 ' y x y x y Решение. Совершим замену переменных 0 0 ; x x a y y b таким образом, чтобы в дроби исчезли постоянные слагаемые. Для этого необхо- димо решить систему уравнений: 0 17 2 0 40 2 5 y x y x Из второго уравнения имеем: x y 2 17 . Тогда 0 40 2 17 2 5 x x или 5 6 y x Замена: 5 ; 6 0 0 y y x x Очевидно, что ' ' 0 y y , следовательно, 0 0 0 0 0 2 2 5 ' y x y x y 72 Поделим и числитель, и знаменатель дроби на 0 x : 0 0 0 0 0 2 2 5 ' x y x y y Совершим замену переменных: 0 0 y x z или 0 0 zx y Отсюда: z z z x z z 2 1 2 2 2 5 ' 0 или 2 0 1 4 2 2 2 2 ' z z x z z z z или 0 0 2 . dz dx z x Интегрируя, получим: 0 2 ln | | ln | | const z x 0 0 0 2 ln ln | | const y x x Окончательно получаем: 5 2 6 6 ln ln | | const y x x Ответ: 5 2 6 6 ln ln | | const y x x Задача 6. Найти решение дифференциального уравнения ' y p x y f x , если 1 1 3 1 5 ; ln | | ln | | p x f x x x x Решение. Это неоднородное линейное уравнение. Методика решения подобных уравнений заключается в том, что вначале ищется общее реше- ние однородного уравнения (т.е. уравнения, в котором 0 x f ), затем лю- бое частное решение общего уравнения. Общее решения равно сумме этих двух решений. 1). Ищем общее решение однородного уравнения 0 |) 5 | ln ( 1 ' y x x y Это уравнение с разделяющимися переменными: 0 5 5 5 ln | | ln ln | | const const ln | | ln | | dy dx y x y x y x x 2). Ищем частное решение неоднородного уравнения 1 1 3 1 5 5 ' ln | | ln | | y x x y x Решение ищем в виде ' ; a y ax y 73 1 3 3 3 3 5 5 ln | | ln | | ax a a y x x x x 3). Общее решение имеет вид: 0 1 5 3 const ln | | y y y x x Ответ: 5 3 const ln | | y x x Задача 7. Найти решение задачи Коши: 2 9 9 4 9 6 7 ' ln ; xy y x x y y Решение. Уравнение, которое нам необходимо решить - это уравне- ние Бернулли. Для его решения нам необходимо произвести замену пе- ременных: y z 1 или ' , 1 2 z z y z y Подставим в исходное уравнение: 2 2 4 9 9 9 ln x x z x z z z Домножим на 2 z : 9 9 4 9 ' ln xz z x x Теперь мы получили уравнение, подобное уравнению в предыдущей задаче. 1). Ищем общее решение однородного уравнения. x z x dx z dz z xz const 0 9 ' 9 . Итак, 0 const z x 2). Ищем частное решение неоднородного уравнения в виде ln ; ' c z ax b c x z a x Подставим в уравнение: 9 9 9 9 9 4 9 ln ln ax c ax b c x x x Отсюда: 9 2 1 1 9 9 0 4 18 a b c c b c a Таким образом, частное решение имеет вид 1 2 1 9 ln x z x 3). Общее решение имеет вид: 0 1 2 1 9 const ln x z z z x x Теперь необходимо найти произвольную константу, удовлетворяю- щую начальным условиям. 74 В соответствие с начальными условиями и совершенной заменой, имеем: 7 1 6 x z или 1 12 1 6 2 26794978 7 6 9 const ln ; const . Таким образом, 1 1 2 26794978 2 1 9 . ln y x z x x Ответ: 1 1 2 26794978 2 1 9 . ln y x z x x Задача 9. Найти решение дифференциального уравнения: 2 2 2 2 3 9 3 9 0 e e x y x y x x dx y y dy Решение. Это уравнение является уравнением в полных дифферен- циалах, что легко проверить. Если имеется выражение dy y x Q dx y x P , , , то оно является пол- ным дифференциалом, при условии, что y x Q y x P , ' , ' В нашем случае 2 2 3 9 , e , x y P x y x x 2 2 3 9 ' , e . x y Q x y y y Имеем: 2 2 6 9 ' , e ; x y y P x y xy 2 2 6 9 ' , e . x y x Q x y xy Таким образом, наше уравнение - это уравнение в полных диффе- ренциалах. Его решение определяется следующим образом: 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 1 2 3 9 3 3 9 3 9 3 3 2 2 2 2 2 2 9 9 3 3 9 9 2 2 2 2 2 2 3 9 2 2 , , e e e e e e e e e | | | | y y x x x y x y x y x y x x y y x y x y x y x y x x y y x y x y x y P x y dx Q x y dy x x dx y dy x y x x y y x y C C Здесь 1 C - константа, в которую вошли все постоянные слагаемые; 2 C - произвольная константа. Т.к. 1 2 C C - произвольная константа, то решение может быть записано в виде: 2 2 2 2 3 e const x y x y Ответ: 2 2 2 2 3 e const x y x y 75 Задача 10. Найти решение дифференциального уравнения: dy xy xdy ydx 7 8 7 Решение. Это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и не является уравнением в полных дифференциалах, что легко проверяется. Тем не менее, его можно привести к уравнению в пол- ных дифференциалах, если удастся подобрать интегрирующий множитель. Будем искать его в виде axy 1 1 Тогда получим: 0 1 8 7 7 1 dy axy xy x axy ydx Коэффициент a ищем из условия y x Q y x P , ' , ' : 2 2 1 8 7 7 1 7 1 , ' ; 1 1 ' axy xy x ay axy y y x Q axy axy axy P x y Отсюда получаем: 0 8 7 7 a или 8 a Итак: xy xy x y x Q xy y y x P 8 1 8 7 7 , ; 8 1 , Подставив полученные выражения в формулу, приведенную в предыдущей задаче, получаем: const 8 1 8 7 7 8 1 0 0 0 dy xy xy x dx xy y y y x x или 1 8 ln const y xy Ответ: const 8 1 ln xy y Задача 11. Найти решение дифференциального уравнения 4 7 xdy ydx ydy xdx Решение. Соберем подобные: 0 4 7 4 7 dy x y dx y x Здесь 4 7 , y x y x P , а 4 7 , x y y x Q 76 Далее: 4 1 , ' ; 4 1 , ' y x Q y x P , т.е. это уравнение в полных диффе- ренциалах. Интегрируя, получаем: 2 2 2 7 const x y xy Ответ: 2 2 2 7 const x y xy Задача 12. Найти решение дифференциального уравнения: 0 8 20 2 2 xdy ydx ydy xdx y x Решение. Соберем подобные: 0 8 20 8 20 2 2 2 2 dy x y x y dx y y x x Здесь 8 20 , ; 8 20 , 2 2 2 2 x y x y y x Q y y x x y x P Видно, что это уравнение в полных дифференциалах. Интегрируя, получаем: 2 2 10 8 const x y xy Ответ: 2 2 10 8 const x y xy Задача 13. Найти решение дифференциального уравне- ния: '' ' 8 '' ' y xy Решение. Снизим порядок уравнения заменой " y z . Тогда '' ' ' y z Имеем: z xz 8 ' Это уравнение с разделяющимися переменными: x dx z dz 8 или 8 const x z Т.к. " y z , то 9 1 2 ' y zdx C x C , 10 1 2 3 ' y y dx C x C x C Ответ: 3 2 10 1 C x C x C y Задача 15. Найти решение дифференциального уравнения 0 ' " 11 " " y xy Решение. Понизим степень уравнения заменой переменных: ' " y z Тогда " " ' y z 0 11 ' z xz Это уравнение с разделяющимися переменными: x dx z dz 11 Интегрируем: 11 1 x C z 77 Последовательно интегрируя, получим: 10 9 8 2 1 2 1 2 3 1 3 3 4 " ; ' ; . y C x C y C x C x C y C x C x C x C Ответ: 4 3 2 3 8 1 C x C x C x C y Задача 16. Найти решение дифференциального уравнения 0 ' 4 " 5 ' " y y y Решение. Это однородное линейное уравнение с постоянными коэф- фициентами. Для его решения необходимо составить характеристическое уравнение, в котором производная m -го порядка заменяется m -й степенью некоторой неизвестной k : 0 4 5 2 3 k k k Решение этого уравнения: 4 ; 1 ; 0 k k k Это случай разных корней характеристического уравнения. В этом случае каждому корню соответствует решение e kx y Общее решение является суммой всех решений с произвольными по- стоянными множителями, т.е. 4 1 2 3 e e x x y C C C (Очевидно, что 1 e 0 , поэтому и возникло решение 1 y ). Ответ: 4 1 2 3 e e x x y C C C Задача 17. Найти решение дифференциального уравнения 0 36 ' 36 " 11 ' " y y y y Решение. Составляем характеристическое уравнение: 0 36 36 11 2 3 k k k Решения этого уравнения: 2 3 6 ; ; k k k Вновь получаем разные корни, следовательно, решение имеет вид: x x x C C C y 6 3 3 2 2 1 e e e Ответ: x x x C C C y 6 3 3 2 2 1 e e e Задача 18. Найти решение дифференциального уравнения 0 72 ' 57 " 14 ' " y y y y Решение. Составляем характеристическое уравнение: 0 72 57 14 2 3 k k k Решения этого уравнения: 8 ; 3 ; 3 k k k Таким образом, мы имеем случай кратного корня характерис- тического уравнения. Согласно теории, каждому корню кратности m со- ответствует решение вида 1 1 2 ... e m kx m y C C x C x Отсюда получаем общее решение: 3 8 1 2 3 e e x x y C C x C Ответ: 3 8 1 2 3 e e x x y C C x C 78 Задача 19. Найти решение дифференциального уравнения 0 64 ' 48 " 12 ' " y y y y Решение. Составляем характеристическое уравнение: 0 64 48 12 2 3 y k k или 0 4 3 k Таким образом, у нас имеется единственный корень кратности 3 m Следовательно, решение имеет вид: 2 4 1 2 3 e x y C C x C x Ответ: 2 4 1 2 3 e x y C C x C x Задача 20. Найти решение дифференциального уравнения 4 4 4 " e x y y Решение. Это пример неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение равно сумме общего решения однородного уравнения (т.е. того же уравнения с правой частью равной нулю) и любого частного решения неоднородного уравнения. 1). Ищем общее решение 0 0 y однородного уравнения: 0 4 " x y Составляем характеристическое уравнение: 0 4 2 k Здесь имеем два мнимых корня: i k i k 2 ; 2 2 1 ( i - мнимая едини- ца). В соответствие с общей теорией, решение уравнения с мнимыми ком- плексно сопряженными корнями имеет вид: 1 2 cos | | sin | | y C k x C k x Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: 0 1 2 2 2 cos sin y C x C x 2). Ищем частное решение неоднородного уравнения. Т.к. функция правой части 4 4 e x f x не является решением одно- родного уравнения, то частное решение будем искать в виде 4 1 e x y a . То- гда 4 4 1 1 4 16 ' e ; " e . x x y a y a Подставим в исходное уравнение: 4 4 4 16 4 4 e e e x x x a a или 20а=4, а=0.2 4 1 0 2 . e x y 3). Общее решение равно 4 0 1 1 2 2 2 0 2 cos sin . e x y y y C x C x Ответ: 4 0 1 1 2 2 2 0 2 cos sin . e x y y y C x C x Задача 21. Найти решение дифференциального уравнения x x y y y 4 sin 72 4 cos 9 13 ' 6 " Решение. Это задача того же типа, что и предыдущая. 79 1). Найдем общее решение однородного уравнения: 6 13 0 " ' y y y Составим характеристическое уравнение: 0 13 6 2 k k Решение этого уравнения: 2 3 ; 2 3 2 1 i k i k В случае, когда имеются комплексные корни вида bi a k , где a и b - константы, а i - мнимая единица, решение, соответствующее этому корню, имеет вид 1 2 e cos e sin ax ax y C bx C bx Таким образом, 3 3 1 2 2 3 e cos e sin x x y C x C x 2). Найдем частное решение неоднородного уравнения. Т.к. правая часть 9 4 72 4 cos sin f x x x не является решени- ем однородного уравнения, то решение будем искать в виде суперпозиции обеих тригонометрических функций: 1 4 4 cos sin y a x b x . Дифферен- цируя, получаем: 1 1 4 4 4 4 16 4 16 4 ' sin cos ; " cos sin . y a x b x y a x b x Подставим в исходное уравнение: 16 4 16 4 24 4 24 4 13 4 13 4 9 4 72 4 cos sin sin cos cos sin cos sin . a x b x a x b x a x b x x x Отсюда получаем: 3 24 9 3 3 24 72 0 a b a b a b Итак: 1 3 4 cos y x 3). Общее решение имеет вид: 3 0 1 1 3 2 2 3 3 4 e cos e sin cos x x y y y C x C x x Ответ: 3 1 3 2 2 3 3 4 e cos e sin cos x x y C x C x x Задача 22. Найти решение дифференциального уравнения x y y 5 sin 50 25 " Решение. Решение проводим аналогично решению предыдущей за- дачи. 1). Найдем общее решение однородного уравнения 0 25 " y y Характеристическое уравнение имеет вид: i k i k k 5 ; 5 0 25 2 1 2 ( i - мнимая единица). Общее решение однородного уравнения: 0 1 2 5 5 cos sin y C x C x 2). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде 1 5 5 cos sin y a x b x x 80 Такой выбор обусловлен тем, что правая часть неоднородного урав- нения x x f 5 sin 50 является решением однородного уравнения (наблюдается случай резонанса). Итак, 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 25 5 25 5 ' cos sin sin cos ; " sin cos sin cos cos sin y a x b x a x b x x y a x b x a x b x a x b x x Подставим это в уравнение: 10 5 10 5 25 5 25 5 25 5 25 5 50 5 sin cos cos sin cos sin sin a x b x ax x bx x ax x bx x x Отсюда получаем, что 1 0 5 5 5 ; ; cos b a y x x 3). Общее решение равно 0 1 1 2 5 5 5 5 cos sin cos y y y C x C x x x Ответ: 1 2 5 5 5 5 cos sin cos y C x C x x x Задача 23. Найти решение дифференциального уравнения 5 13 40 18 " e x y y y Решение. Решаем задачу аналогично задаче 22. 1). Находим общее решение однородного уравнения 0 40 13 " y y y Характеристическое уравнение имеет вид 0 40 13 2 k k Его решение: 8 ; 5 2 1 k k Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид 5 8 0 1 2 e e x x y C C 2). Найдем частное решение неоднородного уравнения. Ищем его в виде 5 1 e x y ax (здесь также имеем случай резонанса, т.к. x x f 5 e 18 яв- ляется решением однородного уравнения). Имеем: 5 5 5 5 5 1 1 5 5 5 25 ' e e ; " e e e x x x x x y a ax y a a ax Подставляя в исходное уравнение, получаем: 5 5 5 5 5 5 10 25 13 65 40 18 e e e e e e x x x x x x a ax a ax ax Отсюда, 6 a и 5 1 6 e x y x 3). Общее решение дифференциального уравнения имеет вид 5 8 5 0 1 1 2 6 e e e x x x y y y C C x Ответ: 5 8 5 1 2 6 e e e x x x y C C x 81 Задача 24. Решить систему дифференциальных уравнений: y x y y x x 2 ' 2 ' Решение. Будем считать, что независимая переменная t Продифференцируем первое уравнение: ' ' 2 " y x x Вместо ' y подставим его выражение из второго уравнения: y x x x 2 ' 2 " Функцию y выразим из первого уравнения: y x x 2 ' . Тогда полу- чим: x x x x x 4 ' 2 ' 2 " или 0 3 ' 4 " x x x Характеристическое уравнение имеет вид: 3 ; 1 0 3 4 2 1 2 k k k k Таким образом: t t t t t t t t C C C C C C x x y C C x 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 3 2 e e ) e e ( ) e e ( ' e e Ответ: t t t t C C y C C x 3 2 1 3 2 1 e e e e 82 Упражнения к разделу 7. Решите следующие ДУ и системы ДУ: Задача 1. 2 2 3 9 4 3 ( ) sin ( cos sin ) x x ydx x y y dy Задача 2. 2 4 35 1 9 6 0 ( )( ) e x x y dx dy Задача 3. 2 2 11 6 ' xy x y y Задача 4. 4 9 7 9 35 ' x y y x y Задача 6. 1 1 1 8 8 ' ( ) ( ), ( ) , ( ) ln ln y p x y f x p x f x x x x x Задача 7. 2 8 2 8 3 3 ' ( ln ) , ( ) . xy y x x y y Задача 9. 2 2 2 2 2 2 0 ( e ) ( e ) x y x y x x dx y y dy Задача 10. 8 8 3 ydx xdy xy dy Задача 11. 3 2 ( ) xdx ydy ydx xdy Задача 12. 2 2 8 0 ( ) xdx ydy ydx xdy x y Задача 13. xy'''=y'' Задача 15. xy''''+ 6y'''=0 Задача 16. y'''-25y''+ 150y'=0 Задача 17. y'''+9y''+23y'+15y=0 Задача 18. y'''-17y''+95y'-175y=0 Задача 19. y'''-6y''+12y'-8y=0 Задача 20. y''+9y=e 3x Задача 21. y''-6y'+18y=68cos(x)+24sin(x) Задача 22. y''+16y=-40sin(4x) Задача 23. y''-7y'+10y=-12e 2x Задача 24. x'=3x-4y; y'=-x+4y Задача 25. x'=x+y; y'=4x-3y 83 Ответы на упражнения: Задача 1. 9 3 4 3 ln ln sin x x y y C x Задача 2. 4 3 2 7 8 75 0 8 3 e ( . ) . ln x y x C y Задача 3. 0 7385 2 4495 arcsin . . ln y x C x Задача 4. 1 1 2 75 2 1 75 2 4 4 4 . ln . ln ln y y x C x x Задача 6. 8 ln y C x x Задача 7. 0 25 1 15 6231 0 166667 16 4 . . . ln x x x y Задача 9. 2 2 2 2 2 exp( ) ( ) x y x y C Задача 10. 8y+ln(3xy+1)=С Задача 11. (x 2 +y 2 )+3xy=С Задача 12. 2 2 8 x y xy C Задача 13. y=C 1 x 3 +C 2 x+C 3 Задача 15. y=C 1 /x 3 +C 2 x 2 +C 3 x+C 4 Задача 16. y=C 1 +C 2 e 10x +C 3 e 15x Задача 17. y=C 1 e -5x +C 2 e -3x +C 3 e -x Задача 18. y=C 1 e 5x +C 2 xe 5x +C 3 e 7x Задача 19. y=e 2x (C 1 +C 2 x+C 3 x 2 ) Задача 20. y=C 1 cos(3x)+C 2 sin(3x)+0.0556e 3x Задача 21. y=C 1 e 3x cos(3x)+C 2 e 3x sin(3x)+4cos(x) Задача 22. y=C 1 cos(4x)+C 2 sin(4x)+5xcos(4x) Задача 23. y=C 1 e 2x +C 2 e 5x +4xe 2x Задача 24. x=C 1 е 5.561553t +C 2 e 1.438447t ; y= -0.6403883 C 1 e 5.561553t +0.3903882 C 2 e 1.438447t Задача 25. x=C 1 е 1.828427t +C 2 e -3.828427t ; y= 0.8284271 C 1 e 1.828427t -4.828427 C 2 e -3.828427t |