Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)

• Название: Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
• Анкор: Методические указания
• Дата: 26.04.2022
• Размер: 2.85 Mb.
• Имя файла: Методические указания.pdf
• Тип: Методические указания; #498691
• страница: 5 из 9

Часть 5. Дифференциальное исчисление функций многих пе-
ременных
Примеры решения задач
Задача 1. Найти частную производную функции
u
по
s
в точке
5

t
,
8

s
, если
2 2
7 3
7
y
xy
x
u



,
s
t
x



5
;
s
t
y



5
Решение. Воспользуемся общей формулой:
u
u x
u y
s
x
s
y
s

 
 



 
 
Имеем:
14 3
3 14 1
1
;
;
;
u
u
x
y
x
y
x
y
x
y
s
s








 





Далее:
5 8
33 5
8 17
(
,
)
;
(
,
)
x t
s
y t
s


 


 
Подставляя полученные результаты в исходную формулу, получаем:
5 8
176
(
,
)
t
s
u
s





Ответ: 176.
Задача 2. Найти частную производную функции
u
по
t
в точке
4

t
,
3


s
, если
)
4 1
ln(
2 2
y
x
u



,
ts
x

,
s
t
y


Решение. Решение этой задачи аналогично решению задачи 1 с ис- пользованием общей формулы. Имеем:
u
u x
u y
t
x
t
y
t

 
 



 
 
Вычисляем все производные, получим:
2 2
2 2
2 8
1 1
4 1
4
;
;
;
u
x
u
y
x
y
s
x
x
y
x
x
y
t
t
















4 3
12 4
3 1
(
,
)
;
(
,
)
x t
s
y t
s

   

  
Подставляя полученные результаты в общую формулу, получим:
4 3
0 5369127
(
,
)
.
t
s
u
t





Ответ: 0.5369127
Задача 3. Найти частную производную функции
z
по
u
в точке
u
= 9
,
v
= 6 , если
)
(
10 1
2 2
2 2
2
y
x
y
x
z





,
)
ln( uv
x

,
v
u
y


Решение. Снова воспользуемся общей формулой:
'
'
'
'
'
u
y
u
x
x
y
z
x
z
z


Вычисляем:




2 2
2 2
2 2
4 4
1 20 20 1
1 1
'
;
'
;
'
;
'
x
y
u
u
x
y
z
x
z
y
x
y
u
x
y
x
y












9 6
3 988984 9
6 15
(
,
)
.
;
(
,
)
x u
v
y u
v







57
Подставляя полученные выражения в общую формулу, получим:
8633 308
)
6
,
9
(
'




v
u
z
Ответ: 308.8633
Задача 4. Найти экстремумы функции
4 8
5 2
2 2





y
xy
x
z
Решение.
1). Найдем стационарные точки, для чего найдем частные производ- ные и приравняем их нулю:
4 5
5 16
'
;
'
.
x
y
z
x
y z
x
y
 

 

Отсюда получаем систему уравнений:









0 16 5
0 5
4
y
x
y
x
Решение этой системы: x=y=0.
2). Исследуем найденную стационарную точку на экстремум, для че- го найдем все вторые производные:
4 16 5
"
;
"
;
"
.
xx
yy
xy
z
z
z
 
 
 
Вычислим параметр "
"
)
"
(
2
yy
xx
xy
z
z
z
D


Если
0

D
, то экстремум существует, причем, если
0
"

xx
z
, то это точка минимума, если
0
"

xx
z
- точка максимума.
Если
0

D
, то экстремума нет.
В нашем случае
39
)
16
)(
4
(
25






D
. Таким образом, экстремум существует. Т.к.
0
"

xx
z
, то мы имеем максимум. В этой точке
4


z
Ответ:
 
4 0
,
0


z
- точка максимума.
Задача 5. Найти экстремумы функции
2 2
8
(
) e
xy
z
x
y


Решение.
1). Найдем стационарные точки, которые определяются условием ра- венства нулю всех частных производных.
xy
xy
xy
y
xy
xy
xy
x
xy
x
x
y
x
z
y
xy
y
y
x
z
2 2
2 2
2 2
2 2
8 16 4
2 8
2 8
2 16 4
2 8
2 2
e
)
(
e
)
(
e
e
)
(
e
)
(
e
'
'

















Приравнивая их нулю и сокращая на экспоненту, которая никогда не равна нулю, получаем следующую систему уравнений:









8 16 2
2 16 4
2 2
xy
x
y
xy
Умножим первое уравнение на x, а второе на y:









y
xy
y
x
x
x
y
y
x
8 16 4
2 16 4
2 2
2 2
Вычтем из первого уравнения второе:
0 8
2



y
x
или
y
x
4


Подставим это в первое уравнение исходной системы:

58 4
1
;
4 1
16 1
2 1
2





y
y
y
Отсюда,
1
,
1 2
1



x
x
Таким образом, мы получили две стационарные точки:
)
25 0
;
1
(
1

M
;
)
25 0
;
1
(
2

M
2). Исследуем эти точки на экстремум, для чего найдем все вторые производные:
2 2
2 2
2 3
2 2
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
4 4
16 2
2 8
32 8
16 4
16 8
2 8
32 32 34 32 4
16 2
2 38 32 8
32
"
e
(
)
e
(
) e
;
"
e
(
)
e
(
) e
;
"
(
) e
(
)
e
(
) e
xy
xy
xy
xx
xy
xy
xy
yy
xy
xy
xy
xy
z
y
xy
y
y
xy
y
y
z
x
x
xy
x
x
x y
x
z
x
y
xy
y
x
x
y
x y
xy









 


 















Т.к. экспонента всегда положительна, то при анализе на экстремум ее можно не учитывать (нам нужно знать не абсолютное значение пара- метра D, а лишь его знак).
Имеем в точке
)
25 0
;
1
(
1

M
:
2 1
32 39
"
;
"
;
"
.
xy
xx
yy
xy
z
c
c
e
z
c z
c
   

 

Таким образом, в точке
1
M
экстремума нет.
Аналогично показывается, что в точке
2
M
также нет экстремума.
Ответ: Стационарные точки:
1


x
,
25 0


y
; экстремумов нет.
Задача 6. Найти экстремумы функции
2 2
8 3
y
xy
x
z



при усло- вии, что
2 2
4 1
0
x
y

 
Решение. При решении задач подобного типа применяется метод не- определенных множителей Лагранжа.
Пусть
)
,
(
y
x
f
z

, а условие (уравнение связи) имеет вид
0
)
,
(

y
x

Тогда составляется функция Лагранжа
( , )
( , )
( , )
x y
f x y
x y


 
, где

- некоторый неизвестный параметр.
Для функции Лагранжа
( , )
x y

определяются стационарные точки, для чего берутся частные производные, приравниваются нулю. В результа- те получается система из 3-х уравнений с тремя неизвестными

,
, y
x
(тре- тье уравнение - уравнение связи).
Из полученных точек выбирается точка с максимальным и ми- нимальным значениями z.
1). Составим функцию Лагранжа:
2 2
2 2
3 8
4 1
( , )
(
)
x y
x
xy
y
x
y




 


2). Найдем частные производные функции Лагранжа:
6 8
8 8
2 2
'
;
'
.
x
y
x
y
x
x
y
y
 

 
  

 
3). Составим и решим систему уравнений для определения стацио- нарных точек, для чего приравняем нулю частные производные функции
Лагранжа и добавим в систему уравнение связи:

59 2
2 6
8 8
0 8
2 2
0 4
1
x
y
x
x
y
y
x
y

  




  





Из второго уравнения имеем:
4
)
1
(
y
x



Подставим этот результат в первое уравнение:
0
)
1
(
4 4
)
1
(
3





y
y
y



Решение y = 0 нас не устраивает, т.к. тогда и x = 0, что противоречит уравнению связи.
Тогда:
0 4
4 3
4 3
2








или
2 2
7 13 0 4 7
13 0
4 4
;
.

 


   

Отсюда
1 2
1 1289023 2 8789023
.
;
.
 
  
Подставим в уравнение связи:
1 4
)
1
(
4 2
2







 
y
y

Отсюда:
4
)
1
(
1 1
2 2




y
Таким образом:

1
= 1.1289023; y
1
= 0.6846976; x
1
= 0.3644136; z
1
= -1.128902

2
= 1.1289023; y
2
=-0.6846976; x
2
=-0.3644136; z
2
= -1.128902

3
= -2.8789023; y
3
= 0.7288272; x
3
=-0.3423488; z
3
= -2.8789028

4
= -2.8789023; y
4
=-0.7288272; x
4
= 0.3423488; z
4
= -1.8165248
Как видно, всего имеется четыре стационарные точки условного экс- тремума.
Ответ:

1
= 1.1289023; y
1
= 0.6846976; x
1
= 0.3644136; z
1
= -1.128902

2
= 1.1289023; y
2
=-0.6846976; x
2
=-0.3644136; z
2
= -1.128902

3
= -2.8789023; y
3
= 0.7288272; x
3
=-0.3423488; z
3
= -2.8789028

4
= -2.8789023; y
4
=-0.7288272; x
4
= 0.3423488; z
4
= -1.8165248
Задача 7. Найти минимальное и максимальное значения функции
2 2
10 2
7
y
xy
x
z



в области
1
| |
|
|
x
y


Решение. Решение этой задачи разбивается на несколько этапов.

60 1). Находим безусловный экстремум, для чего вычисляем частные производные и приравниваем их нулю:
14 2
0 2
20 0
'
;
'
.
x
y
z
x
y
z
x
y





 



Решение этой системы:
0


y
x
Эта точка принадлежит области
1
|
|
|
:|


y
x
D
Обозначим
0
)
0
;
0
(
1


z
z
2). Найдем экстремумы функции на границе области
D
Область
D
является квадратом. В вершинах квадрата линия границы терпит излом, т.е. эти точки являются особыми точками границы. Согласно теории, необходимо в качестве точек, подозрительных на минимум и мак- симум, использовать все особые точки, как функции, так и границы.
Таким образом, возникает еще четыре подозрительные точки:
{
2
M
( 0; 1);
2
z
= -10}; {
3
M
( 1; 0);
3
z
= 7};
{
4
M
( 0;-1);
4
z
= -10}; {
5
M
(-1; 0);
5
z
= 7}.
Исследуем гладкие участки границы на условный экстремум. a) В первом квадранте уравнение границы имеет вид
1


y
x
Подставим это уравнение в выражение для функции:
2 2
2 7
2 1
10 1 18 10
(
)
(
)
z
x
x
x
x
x
x





 


Дифференцируем и приравниваем производную нулю:
2 18 0
9 10
;
x
x
y



   
Очевидно, что точка
)
10
;
9
(
6

M
не принадлежит рассматриваемому квадрату, поэтому мы исключаем ее из рассмотрения. b) Во втором квадранте уравнение границы имеет вид:
1



y
x
Подставим это уравнение в выражение для функции:
2 2
2 7
2 1
10 1 5
22 10
(
)
(
)
z
x
x
x
x
x
x





 


Дифференцируем и приравниваем производную нулю:
10 22 0
2 2 1 2
;
.
.
x
x
y



 
  
Очевидно, что точка
)
2 1
;
2 2
(
7


M
не принадлежит рассмат- риваемому квадрату, поэтому мы исключаем ее из рассмотрения. c) В третьем квадранте уравнение границы имеет вид:
1



y
x
Подставим это уравнение в выражение для функции:
2 2
2 7
2 1
10 1
18 10
(
)
(
)
z
x
x
x
x
x
x


 

 
 


Дифференцируем и приравниваем производную нулю:
2 18 0
9 10
;
x
x
y



    
Очевидно, что точка
)
10
;
9
(
8


M
не принадлежит рассматриваемому квадрату, поэтому мы исключаем ее из рассмотрения. d) В четвертом квадранте уравнение границы имеет вид:
1


y
x
Подставим это уравнение в выражение для функции:
2 2
2 7
2 1
10 1
5 22 10
(
)
(
)
z
x
x
x
x
x
x


 

 
 



61
Дифференцируем и приравниваем производную нулю:
10 22 0
2 2 1 2
;
.
.
x
x
y




  
Очевидно, что точка
)
2 1
;
2 2
(
7


M
не принадлежит рассмат- риваемому квадрату, поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.
3). Найдем теперь максимальное и минимальное значения ис- следуемой функции в области
1
|
|
|
|


y
x
. Для этого рассмотрим все по- лученные точки, принадлежащие этой области и выберем из них точки с минимальным и максимальным значениями.
Такими точками являются точки
2
M
и
4
M
(минимум), точки
3
M
и
5
M
(максимум).
Ответ:
7
max

z
,
10
min


z
Задача 8. Найти минимальное и максимальное значения функции
5 4
9




y
x
z
в области
1 6
6 2
2


y
x
Решение. Очевидно, что безусловного экстремума эта функция не имеет, следовательно, экстремум может достигаться только на границе.
Для отыскания экстремума на границе следует использовать метод не- определенных множителей Лагранжа.
Уравнение границы имеет вид:
1 6
6 2
2


y
x
Функция Лагранжа:
2 2
9 4
5 6
6 1
( , )
(
)
x y
x
y
x
y

 

  


Находим ее производные и приравниваем их нулю:
9 12 0
4 12 0
x
y
   


  

Отсюда:
3 1
4 3
;
x
y

 


. Подставим в уравнение связи:
1 9
6 16 9
6 2
2




или
2 97 2 0103896 24
;
.
 
  
Тогда:
1
x
= 0.37306201;
1
y
= - 0.16580533;
1
z
= -9.02078 2
x
= - 0.37306201;
2
y
= 0.16580533;
2
z
= 0.97922
Ответ: А(0.373; -0.166; -9.021) (min); В(-0.373; 0.166; 0.979 (max)
Задача 9. Найти минимальное и максимальное значения функции
2 2
8 y
x
z


в области
4
)
1
(
2 2



y
x
Решение. 1). Найдем безусловный экстремум:
2 0
16 0
0
'
;
'
x
y
z
x
z
y
x
y



   
, z(0,0)=0.
Эта точка принадлежит отмеченной выше области.
2). Найдем условный экстремум.
Функция связи:
4
)
1
(
2 2



y
x
Функция Лагранжа:
].
4
)
1
[(
8 2
2 2
2





y
x
y
x


62
Система уравнений:
2 2
2 2
1 0
16 2
0 1
4
(
)
(
)
x
x
y
y
x
y
   


  

   

Второе уравнение дает нам
0

y
или
8
  
0

y
: при подстановке в уравнение связи даст
3

x
и
1


x
Таким образом, имеем еще две точки:
{
)
0
;
3
(
2
M
,
9 2

z
}; {
)
0
;
1
(
3

M
,
1 3

z
}.
Если
8



, то из первого уравнения
7 8

x
=1.1428571
Подставим это в уравнение связи:
y
=1.994891 и
y
=-1.994891.
Таким образом, получаем еще две точки:
4 4
5 5
1 142 1 995 33 143 1 143 1 995 33 143
( .
; .
),
.
;
( .
; .
),
.
M
z
M
z


Ответ:
33 143
max
.
,
z

0
min

z

63
Упражнения к разделу 5
Задача 1. Найти частную производную функции u по s в точке t=2, s=-2, если:
2 2
3 10 9
6 4
6 4
;
;
.
u
x
xy
y
x
t
s
y
t
s







Задача 2. Найти частную производную функции u по t в точке t=-10 , s=6, если:
2 2
1 7
5
ln(
);
;
.
u
x
y
x
ts
y
t
s




 
Задача 3. Найти частную производную функции z по u в точке u=9, v=5, если:
2 2
3 1
;
ln(
);
.
z
x
uv
y
u
v
x
y


 


Задача 4. Найти экстремумы функции
2 2
7 10 2
z
x
xy
y
 



Задача 5. Найти экстремумы функции
2 9
7
(
) e
xy
z
x
y



Задача 6. Найти экстремумы функции
2 2
4
z
x
xy
y



при условии, что
2 2
7 1
x
y


Задача 7. Найти минимальное и максимальное значения функции
2 2
5 8
z
x
xy
y



в области
1
| |
|
|
x
y


Задача 8. Найти минимальное и максимальное значения функции
10 4
6
z
x
y
 


в области
2 2
8 8
1
x
y


Задача 9. Найти минимальное и максимальное значения функции
2 2
4
z
x
y


в области
2 2
4 4
(
)
x
y



ОТВЕТЫ.
Задача 1. –832
Задача 2. -0.2009414
Задача 3. 230.7655
Задача 4. Экстремума нет
Задача 5. Стационарные точки: x=

0.4409585; y=

0.5669467
Экстремумов нет.
Задача 6. Точки экстремумов:
x
y
z
0.04547478
- 0.3775735
- 0.15146
- 0.04547478 0.3775735
- 0.15146 0.9989656 0.01718744 4.008603
- 0.9989656
- 0.01718744 4.009194
Задача 7.
5 1
max
min
;
.
z
z

 
Задача 8. z
max
= 2.192113, x= 0.1313064, y= 0.3282661
z
min
= 9.807886, x=- 0.1313064, y=- 0.3282661
Задача 9. z
max
= 37.33334; z
min
= 0

64