Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)

• Название: Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
• Анкор: Методические указания
• Дата: 26.04.2022
• Размер: 2.85 Mb.
• Имя файла: Методические указания.pdf
• Тип: Методические указания; #498691
• страница: 1 из 9

Российский экономический университет
им. Г.В. Плеханова
Тульский филиал
Кафедра финансов и информационных технологий
управления
С.В. Юдин
Математика
Методические указания по решению задач
Тула-2018

2
ББК 22.161
УДК 517 (075.8)
Юдин С.В. Математика. Методические указания по решению задач.
– Тула: ТФ ТФ РЭУ. - 110 с. – Илл.
Методические указания и сборник задач предназначены для студен- тов экономических специальностей всех форм обучения. В них рассмотре- ны подробные решения 146 задач, приведены задачи для самостоятельного решения по всем разделам изучаемого курса «Математика». Задачи ото- браны на основании более чем 20-летней работы автора в Тульском госу- дарственном университете.
Теоретический материал, необходимый для решения задач, имеется в конспектах лекций, учебниках и учебных пособиях автора.
© С.В. Юдин, 2018 г.

3
Часть 1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра
Примеры решения задач
Задача 1. Разложить вектор x по векторам p, q, r, если x=(-2; -2; -4);
p=(-1; -2; -2); q=(-3; 2; 1); r=(4; 4; -3).
Решение. Разложить вектор по другим векторам означает, что необ- ходимо найти такую линейную комбинацию векторов p, q, r, которая была бы равна вектору x. Иначе говоря, нам необходимо представить вектор x в виде x=ap+bq+cr, где a, b, c - некоторые неизвестные постоянные.
Известно, что два вектора равны, если равны их координаты; линей- ная комбинация векторов сводится к линейной комбинации их координат.
Представим векторы в координатной форме:
x=(x
1
; x
2
; x
3
); p=(p
1
; p
2
; p
3
); q=(q
1
; q
2
; q
3
); r=(r
1
; r
2
; r
3
).
Получаем систему уравнений:
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
x
ap
bq
cr
x
ap
bq
cr
x
ap
bq
cr









 



(1.1)
Решая систему (1.1), получим коэффициенты
, ,
a b c
Подставим в (1.1) координаты векторов:
2 3
4 2
2 2
4 4
2 3
a
b
c
a
b
c
a
b
c
   



  



    

(1.2)
Решим систему (1.2). Для этого вычтем из второго и третьего урав- нений два первых.
Из третьего уравнения получим, что
11 7
b
c

. Подставим это во вто- рое уравнение:
88 60 2
4 7
7
c
c
c



или
7 30
c

. Отсюда получаем, что
11 11 7
30
b
c


. Первое уравнение нам даст:
11 7
55 2
3 4
;
30 30 30
a
a
   


Таким образом, имеем:
11 11 7
7 30 30
x
p
q
r



Ответ: x= 1.83333p+0.366666q+0.233333r
Задача 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
A
перпендикулярно вектору BC в виде: Ax+By+Cz+D=0. Исходные данные:
A(-3;-5;-1); B(-4;4;2); C(-2;0;0).
Решение. Общее уравнение плоскости, проходящей через точку с ко- ординатами (x
0
; y
0
; z
0
) имеет вид:
0 0
0
(
)
(
)
(
)
0
A x
x
B y
y
C z
z






(1.3)

4
Вектор N=(A, B, C) перпендикулярен плоскости (1.3). Таким об- разом, если мы определим вектор BC, то мы можем использовать его в ка- честве вектора N.
Нам даны две точки, через которые проходит вектор BC. Пусть ко- ординаты этих точек равны B(
1 1
1
,
,
x y z
) и С(
2 2
2
,
,
x
y
z
) соответственно. Тогда вектор BC определяется следующим образом:
BC=(
2 1
2 1
2 1
;
;
z
z y
y x
x



)=(-2+4;0-4;0-2)=(2;-4;-2).
Подставив в (1.3) вместо A, B, C коэффициенты вектора BC, а вме- сто
0 0
0
,
,
x
y z
координаты точки
A
, получим:
2(
3)
4(
5)
2(
1)
0
x
y
z




 
или
2 4
2 16 0
x
y
z




Ответ:
2 4
2 16 0
x
y
z




Задача 3. Найти угол

(в град) между плоскостями
3 2
0
x
y
z

 

и
2 2
1 0.
x
y
z
 

 
Решение. Как известно, векторы N
1
=(-3;-1;-2) и N
2
=(-1;-2;2) ортого- нальны плоскостям, данным в условиях задачи. Очевидно, что угол между плоскостями и угол между этими векторами равны.
Мы будем искать угол между векторами N
1
и N
2
. Для этого восполь- зуемся скалярным произведением:
1 2
1 2




(N , N ) | N | | N | cos
(1.4)
Здесь
N
- длина вектора N;

- угол между векторами.
Из (1.4) получаем:
1 2
1 2
 

(N , N )
cos
| N | | N |
Если N
1
=(
1 1
1
,
,
x y z
); N
2
=(
2 2
2
,
,
x
y
z
), то скалярное произведение равно
1 2
1 2
1 2
1 2
(N , N )
3 2
4 1
x x
y y
z z



   
, а модули векторов -
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
2 2
| N |
9 1 4 14; | N |
1 4 4
3
x
y
z
x
y
z




  




  
Таким образом,
1 0 089087 84 8889 3 14
 

 
cos
.
;
.
Ответ:
84.8889
 
Задача 4. Написать каноническое уравнение прямой, заданной плос- костями
2 5
1 0; 3 5
5 0
x
y
z
x
y
z

  

  
Решение. Мы имеем два вектора N
1
=(2,-5,1) и N
2
=(3,5,-1), перпенди- кулярные одной и другой заданным плоскостям соответственно. Далее, мы знаем, что каноническая форма прямой имеет вид:
0 0
0
x
x
y
y
z
z
a
b
c





(1.5)

5
Вектор T=(a, b, c) коллинеарен (параллелен) прямой (1.5). Со- ответственно, он коллинеарен обеим плоскостям, определяющим эту пря- мую. Точка M(x
0
, y
0
, z
0
) – координаты произвольной точки, лежащей на прямой. Векторное произведение [N
1
,N
2
] перпендикулярно (ортогонально) как N
1
, так и N
2
, следовательно, полученный вектор коллинеарен обоим плоскостям. Если в качестве вектора T взять вектор[N
1
,N
2
], то, тем самым, мы зададим направление прямой (1.5). Найдем вектор T.
Векторное произведение двух векторов a=(
1 1
1
,
,
x y z
) и b=(
2 2
2
,
,
x
y
z
) определяется через определитель третьего порядка:
1 1
1 2
2 2
x
y
z
x
y
z

i
j
k
[a, b]
(1.6)
Здесь i, j, k - единичные векторы, направленные по осям
,
,
OX OY OZ
соответственно (орты).
Имеем:
1 2
5 1
2 1
2 5
2 5
1 10 5
5 5
1 3
1 3
5 3
5 1








 






i
j
k
[N , N ]
i
j
k
i
j
k
Таким образом, T=(10, 5, 5).
Теперь необходимо определить координаты произвольной точки
M(x
0
,y
0
,z
0
), лежащей на прямой.
Так как прямая задается через систему двух уравнений с тремя неиз- вестными, то одно из этих неизвестных можно взять произвольным. Возь- мем
0
z
=0. Тогда из уравнений, задающих прямую, получим:
2 5
1 0
3 5
5 0
y
x
y

 



 

Решая эту систему, получим:
4
x
 
;
1.4
y
 
Таким образом, каноническая форма прямой имеет вид:
4 1.4 10 5
5
x
y
z




, или, сокращая знаменатели на 5:
4 1.4 2
1 1
x
y
z




Ответ:
4 1.4 2
1 1
x
y
z





6
Задача 5. Найти точку M’, симметричную точке
(17; 15;9)
M

отно- сительно прямой
17 16 8
7 1
0
x
y
z





Решение. Для нахождения точки '
M
необхо- димо опустить из точки
M
перпендикуляр на за- данную прямую и продолжить его на то же рассто- яние, на которое точка
M
удалена от прямой.
1). Напишем уравнение плоскости, перпендикуляр- ной заданной прямой и проходящей через точку M.
Это уравнение имеет вид: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0 или 7(x-17)+(y+15)=0 или 7
x
+
y

104=0.
2). Найдем точку E пересечения полученной плоскости и заданной прямой, для чего решим следующую систему уравнений:
17 16 7
1 17 8
7 0
7 104 0
x
y
x
z
x
y












 



Отсюда имеем:
8 7
129 7
104
z
x
y
x
y
 



 


 

Т.к.
7 129
x
y

 
, то
7(7 129)
104
y
y

 
или
50 1007
y

Таким образом,
y
=20.14;
x
=11.98;
z
=-8.
Это координаты точки E, на которую попадает перпендикуляр, опу- щенный из точки M на прямую.
3). Пусть x’, y’, z’ - координаты точки '
M
. Очевидно, что векторы
ME и EM’ равны, следовательно x
0
-x=x-x’; y
0
-y=y-y’; z
0
-z=z-z’.
Отсюда получаем:
x’=2x-x
0
=23.96-17=6.96; y’=2y-y
0
=40.28+15=55.28; z’=2z-z
0
=-16-9=-25.
Ответ: M’(6.96; 55.28; -25)
Задача 6. Найти точку '
M
, симметричную точке
( 13; 15;1)
M


от- носительно плоскости
9 6
5 8
0
x
y
z



 
Решение. Эта задача того же типа, что и задача 5.
1). Проведем через точку M прямую, перпендикулярную плоскости:
1 1
1
x
x
y
y
z
z
A
B
C





или
13 15 1
9 6
5
x
y
z







2). Найдем точку E пересечения полученной прямой и плоскости:
13 15 13 1
;
;
9 6
5 8
0 9
6 9
5
x
y
x
z
x
y
z









 



Из первого и второго уравнений имеем:
2 19 5
56 3
3 9
45
;
y
x
z
x


 


7
Подставляя полученные результаты в третье уравнение, получим:
25 56 9
4 38 8
0 9
9
x
x
x





 
или
142 128 9
9
x


64 71
x

Подставляя x в формулы для y и z, а затем все полученные значения в выражения для координат точки M’ (см. задачу 5), вычислим:
'
x
=12.8592;
'
y
=2.2394;
z
'=-13.3662.
Ответ:
'
M
(12.8592; 2.2394; -13.3662)
Задача 7. Найти матрицу C, если C=A

B.
5 9
6 9
3 7
6 0
9 7
3 8
1 8
6 1
A

;
4 1
0 8
8 5
8 0
6 7
1 8
0 7
8 7
B

Решение. Решение осуществляется по обычным формулам умно- жения матриц:
1
n
ij
ik
kj
k
c
a
b




, где n – количество столбцов матрицы А (оно должно равняться количеству строк матрицы В.
Алгоритм его можно описать следующим образом:
Пусть необходимо найти элемент c
ij
. Здесь первый индекс - номер строки, второй - номер столбца.
Выделяем из матрицы A строку с номером i, а из матрицы B - стол- бец с номером j. Рассматривая их как векторы, найдем скалярное произве- дение этих векторов.
Найдем c
11
. Первая строка матрицы A имеет вид: (5,9,6,9), а первый столбец матрицы B - (4,8,6,0). Их скалярное произведение равно:
c
11
=5

4+9

8+6

6+9

0=128.
Найдем c
23
. Вторая строка матрицы A - (3,7,6,0); третий столбец мат- рицы B - (0,8,1,8). Их скалярное произведение равно:
c
23
=3

0+7

8+6

1+0

8=62.
Продолжая таким же образом, получим матрицу
C
:
128 155 150 151 104 80 62 72 110 121 123 152 104 90 78 63
C


8
Задача 8. Вычислить определитель
3 2
0 2
1 2
2 0
3 1
3 1
3 1
2 2
A




Решение. Для решения задачи используем основные приемы вычис- ления определителей. Как известно, значение определителя не изменяется при вычитании из одной строки любой другой, умноженной на произволь- ное число. То же верно и для столбцов.
Наша задача заключается в том, чтобы создать как можно больше нулевых элементов в какой-либо строке или столбце.
Общая формула вычисления определителей следующая:
1 1
(
)
n
i
j
ij
ij
i
A
a M





(раскрытие по j-му столбцу) или
1 1
(
)
n
i
j
ij
ij
j
A
a M





(раскрытие по i-й строке).
Здесь M
ij
– определитель (n-1)-го порядка, получаемый из исходного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
1)
Вычтем из четвертой строки третью:
3 2
0 2
1 2
2 0
3 1
3 1
0 0
1 3
A




2) Вычтем из третьей строки три вторых:
3 2
0 2
1 2
2 0
0 5
3 1
0 0
1 3
A






3)Прибавим к первой строке три вторых:
0 8
6 2
1 2
2 0
0 5
3 1
0 0
1 3
A






4)Раскроем определитель по первому столбцу:
2 2
0 8
6 2
8 6
2 8
6 2
(0)
5 3
1
(1)
5 3
1
(0)
2 2
0 5
3 1
0 1
3 0
1 3
5 3
1 0
1 3
A




 


 



 










9 5) Вычтем из третьего столбца три вторых:
8 6
20 5
3 10 0
1 0
A

 


6) Раскроем его по третьей строке:
8 20
[8 10
( 5) ( 20)]
20 5
10
A


  
   


Ответ: A=20.
Задача 9. Решить систему уравнений A

X=B.
3 4
3 1
2 0
4 2
2 1
3 3
1 3
2 3
A









;
16 6
3 13
B



Решение. Решение основано на использовании обобщенного метода
Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы (добавим к матрице коэф- фициентов при неизвестных столбец свободных членов):
3 4
3 1 16 2
0 4
2 6
2 1
3 3
3 1
3 2
3 13
A









 
Теперь необходимо при помощи действий только над строками рас- ширенной матрицы добиться превращения первых четырех столбцов в единичную матрицу. Тогда выделенный пятый столбец даст нам решение.
1)
Поменяем местами первую и четвертую строки:
1 3
2 3
13 2
0 4
2 6
2 1
3 3
3 3
4 3
1 16
A


 







2) Вычтем из 2-й строки две первых; из 3-й строки вычтем две пер- вых; к 4-й строке прибавим три первых:
1 3
2 3
13 0
6 0
8 20 0
5 1
9 29 0
13 3
10 23
A











10 3) Поделим 3-ю строку на «-5», вторую на «-2» и поменяем их ме- стами:
1 3
2 3
13 0
1 0 2 1 8 5 8 0
3 0
4 10 0
13 3
10 23
.
.
.
A













4) Вычтем из 3-й строки три вторых, а из 4-й – 13 вторых:
1 3
2 3
13 0
1 0 2 1 8 5 8 0
0 0 6 1 4 7 4 0
0 0 4 13 4 52 4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A









5) Умножим третью строку на «5», а 4-ю – на «–2.5» и поменяем их местами:
1 3
2 3
13 0
1 0 2 1 8 5 8 0
0 1
33 5 131 0
0 3
7 37
.
.
.
.
A










6)Вычтем из 4-й строки три первых:
1 3
2 3
13 0
1 0 2 1 8 5 8 0
0 1
33 5 131 0
0 0
107 5 430
.
.
.
.
.
A










7) Поделим четвертую строку на 107.5:
1 3
2 3
13 0
1 0 2 1 8 5 8 0
0 1
33 5 131 0
0 0
1 4
.
.
.
.
A










8) Прибавим к 3-й строке четвертую, умноженную на «33.»; ко 2-й – умноженную на «1.8»; к 1-й – три четвертых:
1 3
2 0
1 0
1 0 2 0
1 4 0
0 1
0 3
0 0
0 1
4
.
.
A





9) Прибавим ко 2-й строке третью, умноженную на «0.2», а к 1-й – две третьих:

11 1
3 0
0 5
0 1
0 0
2 0
0 1
0 3
0 0
0 1
4
A


10) Вычтем из 1-й строки три вторых, а в полученной – поменяем знак:
1 0
0 0
1 0
1 0
0 2
0 0
1 0
3 0
0 0
1 4
A

Итак, на месте матрицы коэффициентов мы получили единичную матрицу, следовательно, последний (5-й) столбец содержит решение:
x
1
=1, x
2
=2, x
3
=3, x
4
=4.
Задача 10. Найти матрицу обратную к матрице
1 1
1 1
1 1
0 1
1 0
2 1
2 2
1 1
A







Решение. Алгоритм решения также основывается на обобщенном методе Гаусса.
Добавим к исходной матрице справа единичную матрицу. Производя действия над строками расширенной матрицы, добиваемся появления на месте исходной матрицы единичной, тогда на месте единичной будет об- ратная.
1 1
1 1
1 0
0 0
1 1
0 1
0 1
0 0
1 0
2 1
0 0
1 0
2 2
1 1
0 0
0 1
B







1) Вычитаем из 2-й и 3-й строк первую строку, а из 4-й – две первых:
1 1
1 1
1 0
0 0
0 0
1 2
1 1
0 0
0 1
3 2
1 0
1 0
0 0
3 1
2 0
0 1
B









2) Меняем местами 2-ю и 3-ю строки:

12 1
1 1
1 1
0 0
0 0
1 3
2 1
0 1
0 0
0 1
2 1
1 0
0 0
0 3
1 2
0 0
1
B









3) Вычтем из 4-й строки три первые:
1 1
1 1
1 0
0 0
0 1
3 2
1 0
1 0
0 0
1 2
1 1
0 0
0 0
0 5
1 3
0 1
B








4) Поделим 4-ю строку на 5:
1 1
1 1
1 0
0 0
0 1
3 2
1 0
1 0
0 0
1 2
1 1
0 0
0 0
0 1
0 2 0 6 0
0 2
.
.
.
B








5) Прибавим к 3-й строке две четвертых строки; ко 2-й – две четвер- тых; из 1-й – вычтем одну четвертую:
1 1
1 0
0 8 0 6 0
0 2 0
1 3
0 0 6 1 2 1
0 4 0
0 1
0 0 6 0 2 0
0 4 0
0 0
1 0 2 0 6 0
0 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B









6) Вычтем из 2-й строки три третьих; к 1-й прибавим третью:
1 1
0 0
0 2 0 4 0
0 2 0
1 0
0 1 2 0 6 1
0 8 0
0 1
0 0 6 0 2 0
0 4 0
0 0
1 0 2 0 6 0
0 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B







7) Прибавим к 1-й строке вторую:
1 0
0 0
1 4 0 2 1
0 6 0
1 0
0 1 2 0 6 1
0 8 0
0 1
0 0 6 0 2 0
0 4 0
0 0
1 0 2 0 6 0
0 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
B








Итак, в первых четырех столбцах образована единичная матрица, следовательно, последние четыре столбца содержат обратную матрицу.

13
Ответ:
1 1 4 0 2 1
0 6 1 2 0 6 1
0 8 0 6 0 2 0
0 4 0 2 0 6 0
0 2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A









Задача 11. Найти собственные числа и собственные векторы следу- ющей матрицы:
2 1
4 2
C


Решение. Собственные векторы преобразования, определяемого мат- рицей С, являются нетривиальными решениями матричного уравнения:
CX=

X, где

- некоторая константа, называемая собственным числом преобразо- вания.
1)
Составим и решим характеристическое уравнение:
2 1
0 4
2
 

  
Раскроем определитель и получим: (2-

)(-2-

)-4=0;

2
-8=0

1 2 2
x

;
2 2 2
  
2) Составим систему уравнений для нахождения первого собствен- ного вектора и решим ее:
1 1
1 2
2 2
1
или
2 2 4
-2
x
x
CX
X
x
x
 


Отсюда получаем:
1 2
1 1 1
2 1
2 2
4 2
x
x
x
x
x
x

 



 

Эта система уравнений вырожденная, поэтому одно из неизвестных можно выбрать произвольным, например, положим x
2
=1, тогда из первого уравнения получим:
1 1
1 2
x

 
Итак, первый собственный вектор равен
1 1
1 2071 2 2 2
1 1
.
X



3) Аналогично получим решение для второго собственного вектора:
2 1
0 2071 2 2 2
1 1
.
X






14
Нормируем теперь Х
1
и Х
2
для достижения единообразия:
2 2
2 2
1 2
1 1
1 1 5675 1
1 0212 2 2 2
2 2 2
.
;
.
X
X





















Делим коэффициенты векторов на их модули:
1 2
0 7701 0 2028 0 6379 0 9792
.
.
;
.
.
X
X



Ответ:
1 2
2 2;
2 2
 
  
;
1 2
0 7701 0 2028 0 6379 0 9792
.
.
;
.
.
X
X



Упражнения к разделу 1.
Задача 1. Разложить вектор x по векторам p, q, r если:
x=(2; 3; 4), p=(0; -2; 4), q=(2; -2; -3), r=(2; 1; 1).
Задача 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A пер- пендикулярно вектору BC в виде: ax+by+cz+d=0.
A
(1; 4; 2);
(2; 1; 2)
B

;
C
(4; 0;
1

)
Задача 3. Найти угол

(в град) между плоскостями
3 3
3 3
0
x
y
z



 
и
7 5
6 0
x
y
z




Задача 4. Написать каноническое ур-ие прямой заданной плоскостями
7 3
4 4
0
x
y
z


 
и
7 5
6 0
x
y
z




Задача 5. Найти точку '
M
симметричную точке
( 17;10; 4)
M


относи- тельно прямой
19 19 9
20 13 20
x
y
z







Задача 6. Найти точку '
M
, симметричную точке
( 7; 14; 15)
M
 

относи- тельно плоскости
6 4
4 2
0
x
y
x



 
Задача 7. Найти матрицу C,если
C
A B
 
, где
6 2
5 3
3 9
9 3
7 2
10 1
A

;
9 4
1 7
5 7
9 1
9 9
6 3
B

Задача 8
Задача 9
Вычислить определитель A: Решить систему уравнений
A X
B


2 2
2 1
1 2
1 2
1 1
3 3
0 3
2 3
A







0 1
2 2
1 3
4 2
4 3
2 3
1 2
2 0
A




;
1 1
3 2
X


15
Задача 10
Задача 11
Найти матрицу,
Найти собственные числа и обратную к матрице A собственные векторы следующей матрицы
1 3
1 3
3 2
1 2
2 1
3 2
0 3
2 3
A









5 3
3 0
C


Ответы на упражнения
1.
0.05 0.7 1.7
x
p
q
r



2.
2 3
0
x
y
z
 

3.

=15.79317
4.
1.428571 2
2.714286 5
1
X
Y
Z





5.
'
M
(40.8411; 37.2033; 36.1589)
6.
'( 0.6471; 9.7647; 19.2353)
M



7.
137 57 74 195 84 156 175 54 114
C

8.
44
A
 
9. x
1
=-0.7173917; x
2
=-0.5434783; x
3
= 0.8152175; x
4
= 0.0434783
10.
1 1.75 0.25 1
2.25 1.083 0.083 0.667 1.583 2.75 0.25 1
3.25 2.917 0.083 1.333 3.417
A











11.

1
= 1.405125;

2
=-6.405125;
1 0.424 0.906
X

;
2 0.906 0.424
X



16
Часть 2. Числа и пределы
Примеры решения задач