Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)

• Название: Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
• Анкор: Методические указания
• Дата: 26.04.2022
• Размер: 2.85 Mb.
• Имя файла: Методические указания.pdf
• Тип: Методические указания; #498691
• страница: 6 из 9

Часть 6. Ряды.
Примеры решения задач
Задача 1. Найти сумму ряда по
n
от 6 до бесконечности, если
3 2
34 82 2
5 6
n
n
a
n
n
n





Решение. Обратим внимание на то, что этот ряд абсолютно сходя- щийся, что следует из того факта, что степень знаменателя равна 3, а сте- пень числителя - 1. Таким образом, общий член ряда имеет степень (-2), следовательно, ряд абсолютно сходящийся.
Этот вывод дает нам основание произвольным образом перег- руппировывать слагаемые, при этом сумма ряда не изменится.
Разобьем дробь a
n
на элементарные дроби, для чего разложим зна- менатель на множители. Для этого найдем корни знаменателя, т.е. решим уравнение
0 6
5 2
2 3




n
n
n
Легко заметить, что
1

n
- корень этого уравнения.
Для нахождения двух остальных корней поделим полином третьей степени на (n-1):
3 2
3 2
2 2
2 2
5 6
1 6
5 6
6 0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n





 






Решим квадратное уравнение
0 6
2



n
n
. Имеем:
2


n
и
3

n
Таким образом, знаменатель раскладывается на следующие множители:
)
3
)(
2
)(
1
(
6 5
2 2
3







n
n
n
n
n
n
Исходная дробь a(n) может быть представлена в виде:
3 2
34 82 2
5 6
1 2
3
n
n
a
b
c
a
n
n
n
n
n
n











Приведем правую часть дроби к общему знаменателю:
2 2
2 3
2 34 82 6
4 3
2 2
5 6
1 2
3
(
)(
)(
)
n
n
an
an
a
bn
bn
b
cn
cn
c
a
n
n
n
n
n
n

















Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, полу- чаем следующую систему уравнений:

















82 2
3 6
34 4
0
c
b
a
c
b
a
c
b
a
Ее решение:
2
;
10
;
8




c
b
a

65
Таким образом,
8 10 2
1 2
3
n
a
n
n
n






Рассмотрим последовательности, образуемые каждым слагаемым.
Расположим их друг под другом так, чтобы в каждом столбце были одина- ковые знаменатели, и сложим:
2 2
2 2
2 2
2 2
3 4
5 6
7 8
9 10 10 10 10 8
9 10 8
8 8
8 8
8 5
6 7
8 9
10
...
...
...
     

 



 
   


Видно, что сумма всех столбцов, кроме первых пяти, равна нулю.
Таким образом, сумма ряда равна
2619047 6
7 2
6 2
5 2
4 2
3 2
7 8
6 8
5 8









S
Ответ:
2619047 6

S
Задача 2. Найти сумму ряда по
n
от 4 до бесконечности, если
2 1
9 6
( )
(
)
n
n
f
x
n
n
x

 
 
, в точке
5 0

x
Решение. Требуется найти









4 1
2 6
9
n
n
x
n
n
Разобьем этот ряд на три части:
1 1
2 1
4 4
4 1
1 2
1 4
4 4
6 9
6 9
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
x
nx
n x
x
nx
n x
























 








Или: S=-6S
1
+S
2
-9S
3 3
1 1
4
это сумма геометрической прогрессии
1
n
n
x
S
x
x








Вторую сумму возьмем при помощи производных:
3 1
1 2
4 4
4 2
3 2
3 2
2 1
3 1
3 2
1 1
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
d x
d
d
x
S
nx
x
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x































66
Третья сумма требует двукратного приема, примененного выше:




2 1
1 3
4 4
4 4
2 3
2 3
2 3
4 2
4 2
3 3
4 3
4 4
3 2
3 3
3 2
9 8
1 2 1 3
2 1
1 9
8 9
8 6
4 4
11 9
1 1
(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
d x
d
d
S
n x
n
nx
x
nx
dx
dx
dx
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



























































Подставляя
5 0

x
в полученные выражения для
3 2
1
,
,
S
S
S
и вычис- ляя, получим, что
61


S
Ответ:
61

Задача 3. Найти сумму ряда по
n
от 5 до бесконечности, если
2 2
( )
n
n
f
x
x
n


, в точке
39 0

x
Решение. Решение ведется аналогично решению предыдущей зада- чи, только вместо дифференцирования будем интегрировать.
2 2
2 1
5 5
5 0
4 2
1 2
5 0
0 2
2 2
2 2
1
.
x
n
n
n
n
n
n
x
x
n
n
x
S
x
x
x
x
dx
n
n
x
x
x
x
dx
x




































 



Поделив числитель подынтегральной функции на знаменатель, по- лучим, что
4 3
2 2
3 2
2 0
0 4
3 2
2 1
2 1
2 1
1 4
3 2
2 1
4 3
2
ln(
)
ln(
)
x
x
x
x
x
S
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x










  




 

















 






Подставляя значение переменной x, получим:
2 10 536798 3



S
Ответ:
2 10 536798 3


Задача 4. Найти сумму ряда по
n
от 1 до бесконечности, если
2 1
2 2
1
(
)
( )
n
n
x
f
x
n




в точке x=0.44.
Решение. Используем интегрирование с заменой переменных y=-2x:

67
 
2 1
2 2
1 1
1 0
0 2
2 0
2 1
1 1 2 2
0 4957677 1
2 1
2
ln
.
n
y
y
n
n
n
n
n
y
y
S
y dy
y
y
dy
n
y
x
dy
x
y
x






















 








Ответ:
4957677 0

Задача 5. Найти сумму ряда по
n
от 1 до бесконечности, если
 
2 1
2 1
2 1
(
)
( )
n
n
n
x
f
x
n


 

в точке
53 0

x
Решение. Используем интегрирование с заменой переменных y=-2x:
  

 
 
2 1
2 2
1 1
1 0
0 2
2 0
2 1
1 1
2 1
2 2
1 0 2454839
arctg( )
arctg(
)
.
n
y
y
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
S
y dy
y
dy
n
y
dy
y
y
x
x
y
S

























 









Ответ: S=0.2454839
Задача 6. Исследовать ряд на сходимость, если
 
1 3
1 5
1 3
( )
n
n
n
x
f
x
n
x



 

 





Решение. Применим признак Коши:
 
3 3
lim |
n
n
x
x
f
x
q
x





Если q<1, то ряд сходится, причем абсолютно.
q<1, если x>0, так что при x>0 ряд сходится абсолютно. При x=0 па- раметр q=1. Т.к.
 
1 0
5 1
n
f
n



, то это - знакопеременный ряд, причем
f
n
(0)

0 при n

, следовательно он будет сходиться условно по признаку
Лейбница. При х<0 параметр q>1, так что при х<0 ряд расходится.
Ответ: ряд сходится абсолютно при x>0, сходится условно при x=0 и расходится при x<0.
Задача
7.
Исследовать ряд на сходимость, если


2 4
2 2
( )
n
n
n
x
x
f
x

 

Решение. Применим признак Коши сходимости:

68


2 4
2 2
|
|
lim |
,
n
x
x
x
q
f n x


 


Решим неравенство
1 2
|
2 4
|
2




x
x
. Его решение: 0<x<0.25. В этой области ряд сходится абсолютно.
Рассмотрим поведение ряда на границах.
При
0

x
 
0 1
( )
n
n
f
 
, а при
25 0

x
 
0 25 1
( .
)
n
n
f
 
Таким образом, на границах ряд расходится.
Ответ: при
25 0
0


x
ряд абсолютно сходится. На границах - рас- ходится.
Задача 8. Исследовать ряд на сходимость, если
6
( )
n
n
x
f
x
n

Решение. Также применим признак Коши:
|
| x
q

Ряд абсолютно сходится при
1 1



x
При
6 1
1 1
( )
n
x
f
n
 

; при
 
6 6
1 1
1
(
)
n
x
f
n

  
 
В обоих случаях ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно при
1 1



x
Задача 9. Исследовать ряд на сходимость, если


1 3
( )
n
n
f
x
x
x


Решение. Опять применим признак Коши и получим, что
|
3 1
|
x
q


Решение неравенства
1

q
дает нам:
3 2
0


x
При
0

x
общий член ряда равен нулю, поэтому при
0

x
ряд схо- дится абсолютно.
При
3 2

x
общий член ряда также равен нулю, поэтому ряд сходится абсолютно.
Ответ: ряд сходится абсолютно при
66667 0
0


x
Задача 10. Исследовать ряд на сходимость, если
 
1 8
6
( )
ln
n
n
n
f
x
x



Решение. Признак Коши дает
8 6
ln(
)
q
x

Решение неравенства
8 1
6
ln(
)
x

дает:
6
e
8

x
и
8 0
6
e
x

 

69
На границах
1
|
( ) |
n
f
x

, поэтому на границах ряд расходится.
Ответ: Ряд абсолютно сходится при
826 496

x
и
00006 0
0


x
Упражнения к разделу 6.
Найти суммы рядов по n от M до бесконечности:
Задача 1. M= 2.
3 2
5 6
3 2
n
n
a
n
n
n




Задача 2. M= 4.
2 1
7 7
6 0 32
( )
(
)
,
.
n
n
f
x
n
n
x
x

 

 

Задача 3. M= 5.
2 7
0 72
( )
;
.
n
n
f
x
x
x
n



 






Задача 4. M= 1.
2 1
2 0 075 2
1
(
)
( )
;
.
n
n
x
f
x
x
n





Задача 5. M= 1.
2 1
9 1
0 058 2
1
(
)
( )
(
)
;
.
n
n
n
x
f
x
x
n

 


Исследовать ряды на сходимость
Задача 6.
4 1
1 4
8 1
( )
(
)
n
n
n
x
f
x
x
n



 







Задача 7.
3 3
(
)
( )
n
n
x
f
x
n

Задача 8.
1
( )
(
)
n
n
f
x
x
x
  
Задача 9.
1 3
5
(
)
( )
ln (
)
n
n
n
f
x
x




Ответы на упражнения:
1. 2.166667
2. -8.194
3. -0.3707367
4. -1.140436E-3
5. -4.048071E-2
6. Ряд абсолютно сходится при x>0, условно сходится при x=0.
7. При -0.333

x

0.333 ряд абсолютно сходится.
8. При 0.000

x< 2.000 ряд абсолютно сходится. Расходится при x= 2.000
9. При -4.017107 >x и 0>x>-9.957414E-3 ряд абсолютно сходится. Расхо- дится на границах.

70
Часть 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Примеры решения задач
Задача 1. Найти решение дифференциального уравнения




2 2
4 8
9 2
6 0
sin
cos
sin
x
x
ydx
x
y
y dy





Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Имеем:
2 2
4 8
9 2
6
cos
sin
sin
x
x
y
y
dx
dy
x
y




или
2 8
9 4
2 6
cos
sin
y
dx
dy
dy
x
x
y


 
 





Интегрируем обе части равенства:
2 8
9 4
2 6
9 4
8 2
6