Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)

• Название: Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
• Анкор: Методические указания
• Дата: 26.04.2022
• Размер: 2.85 Mb.
• Имя файла: Методические указания.pdf
• Тип: Методические указания; #498691
• страница: 2 из 9

Раздел 1. Найти пределы при n

Задача 1.
4 4
4 4
2 7
4 4
5 1
8 8
(
)
(
)
.
(
)
(
)
n
n
x
n
n







Решение. Это неопределенность вида


. Раскроем ее.
Вначале произведем возведение в степень и соберем подобные:
4 4
4 3
2 4
4 4
3 2
2 7
4 4
240 800 360 1720 2145 5
1 8
8 4721 16884 24726 16404 4097
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
n
n
n
n
x
n
n
n
n
n
n

















Старшая степень знаменателя равна «4». Поделим числитель и зна- менатель дроби на n
4
:
2 3
4 2
3 4
800 360 1720 2145 240 16884 24726 16404 4097 4721
n
n
n
n
x
n
n
n
n










Устремим n к бесконечности. Тогда получим, что
240 0
0 0
0 240 0 050837 4721 0
0 0
0 4721
lim
.
n
x


   

 
 
   
Ответ: -0.050837
Задача 2.


2 2
3 1
3 2
x
n
n
n

 

Решение. Имеем неопределенность вида

-

. Для ее раскрытия до- полним разность до разности квадратов:
2 2
2 2
2 2
3 1
3 2
3 1
3 2
3 1
3 2
(
)
(
)
n
n
n
x
n
n
n
n
n
 

 
 
 

 

Старшая степень знаменателя равна «1». Поделим обе части дроби на n:
2 2
1 1
2 3
3
x
n
n
 



Устремим n к бесконечности. Тогда получим, что
1 1
0 288675 3
0 3
0 2 3
lim
.
n
x

 
 
 
 

Ответ: -0.288675

17
Задача 3.
5 2
5 4
5 3
n
n
x
n




 




Это неопределенность вида 1

. Ее необходимо привести к пределу вида
1 1
2 718281828
lim
.
...
n
n
e
n




 




Имеем:
5 2
5 3
1 5
3 1
1 1
1 1
5 3
5 3
1 1
1 1
1 2 71828 5
3 5
3
(
)
.
n
n
n
n
x
n
n
e
e
n
n

 






























 
   










Ответ: 2.71828
Раздел 2. Найти пределы при x

A.
Задача 4.
2 2
8 128 4
4 8
16 4
(
)(
)
,
(
)(
)
x
x
y
x
x
x
x







Решение. Здесь наблюдается неопределенность вида 0/0.
Упростим выражение:
2 2
2 2
2 8
128 4
8 16 4
8 16 4
4 4
8 4
4 4
8 4
4
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
) (
)
(
)(
)(
)
(
) (
)
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



















Ответ: 8.
Задача 5.
3 5
110 5
27 3
,
x
y
x
x





Решение. Здесь опять неопределенность вида 0/0.
Дополним числитель до разности квадратов, а знаменатель – до раз- ности кубов:












2 2
3 3
3 3
2 2
3 3
3 3
27 5
110 25 3
9 5
27 3
9 27 5
110 5
27 5
110 5
5 3
9 5
27 3 27 9
5 9 9
9 13 5 5
110 5
5 27 110 5
25 5
[(
)
]
(
)
(
)
(
)
(
)
.
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x





















 

 








Ответ: 13.5

18
Задача 6.
3 5
0 1
8
cos(
)
cos(
)
,
cos
x
x
y
x
x




Решение. Неопределенность вида 0/0. Пределы подобного рода необходимо сводить к следующим:
0 0
0 0
1 1
1 1
1 1
1 1
ln(
)
sin( )
lim
;
lim
;
lim
;
lim
x
n
x
x
x
x
e
x
x
x
x
x
x
x
n






 




Преобразуем исследуемую функцию:
2 0
2 4
4 1
4 4
4 2
4 1
4 1
1 1 0 25 4
4 4
sin(
) sin(
)
sin( )
sin
sin(
)
sin
sin (
)
sin
.
sin
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x

 






 

 




    

 


 

Ответ: 0.25
Задача 7.
2 7
1 2
1 0
3
exp(
)
ln(
)
;
tg(
)
x
x
y
x
x
x






Решение. Решаем по аналогии с предыдущей задачей:


2 2
7 1
1 2
7 1
2 1
3 3
3 7
1 1
2 7
1 1
2 7
2 7
2 3
1 3
1 3
3 3
3
exp(
)
ln(
)
exp(
)
ln(
)
sin
tg(
)
cos
exp(
)
ln(
)
exp(
)
ln(
)
sin
sin
cos
cos
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x









































Таким образом,
0 7 1 2 1 5
1 666667 3 1 1 0
3
lim
.
x
y

  

 
  
Ответ: 1.666667

19
Задача 8.
2 8
8 2
0 7
,
sin
x
x
y
x
x
x




Решение. Преобразуем исходную функцию:

 

2 8
8 2
2 8
8 2
7 7
2 8
1 8
2 1
7 2
8 1
8 2
1 7
2 8
1 8
2 1
2 8
8 2
2 8
8 2
7
exp(
ln )
exp(
ln )
sin
sin
exp(
ln )
exp(
ln )
sin
exp(
ln )
exp(
ln )
sin
exp(
ln )
exp(
ln )
ln
ln
ln
ln
sin
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x










 


































Итак,
0 2
8 1 8
2 1 4
0 231049 7
1 6
ln
ln
ln
lim
.
x
y

 


 
 

Ответ: -0.231049
Задача 9.
3 1
6 5
214 216 4
2
,
x
x
y
x
x











Решение. Имеем неопределенность вида 1

Сделаем замену: t=x-216. При х

216 новая переменная стремится к нулю.
Преобразуем функцию:






2 3
3 3
2 2
3 3
3 3
216 6
216 36 1
216 6 216 6
216 36 216 6
216 36 4
866 4
866 5
866 1
4 866 4
866 1
1 4
866 4
866
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
t
t
t
t
t
t






















































Отсюда находим предел:

20




2 3
3 2
3 3
216 6
216 36 4
866 4
866 0
216 6
216 36 4
866 4
866 0
1 4
866 1
3 36 866 1 132821 4
866
lim
lim
exp(
/
)
.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t











































Ответ: 1.132821
Раздел 3. Комплексные числа.
Задача 10. Умножить два числа: z
1
=-2+2i и z
2
=-1+4i.
Решение. Умножение комплексных чисел ничем не отличается от обычного алгебраического умножения, за одним исключением: i
2
=-1.
Имеем: (-2+2i)(-1+4i) = 2-8i-2i+8i
2
=2-10i-8=-10-10i.
Ответ: -10-10i
Задача 11. Поделить z
1
=-4+3i на z
2
=-3-5i.
Решение. Для решения необходимо избавиться от мнимой части в знаменателе:
4 3
4 3
3 5
3 29 3
29 0 088235 0 852941 3
5 3
5 3
5 9
25 34 34
(
)(
)
.
.
(
)(
)
i
i
i
i
i
i
i
i
i
 
 


 
 
 

 

 



Ответ:
0 088235 0 852941
.
.
i


Задача 12. Представить в тригонометрической форме: z= 2-2i.
Решение. Как видно из чертежа, комплексное число z можно пред- ставить как в декартовой системе (x,y), так и в полярной. Для представления в полярной системе координат необхо- димо знать модуль вектора и угол

Имеем:
2 2
4 4
2 2 1
4
tg
z
x
y
y
x
 


 



 
     


Отсюда получаем:
2 2 4
4
cos
sin
z
i
























Ответ: z=2.828427

(cos(-0.785398)+isin(-0.785398))

21
Задача 13. Извлечь корень четвертой степени из числа z=5-i.
Решение. Для нахождения корней необходимо представить данное число в экспоненциальной форме и учесть, что это представление перио- дично с периодом 2

i.
Модуль этого числа равен
26
r

, а его аргумент
1 0 2 0 19739556 5
arctg
arctg .
.



 
 
 




. Тогда оно представляется в ви- де
2 26 0 19739556 2
exp(
)
exp(
.
)
z
r
i
ni
i
ni

  



 
Корень четвертой степени будет равен
8 26 0 04934889 4
exp
.
z
i
ni











Пусть n=0. Тогда




8 1
26 0 04934889 1 502698 0 04934889 0 04934889 1 500869 0 074126
exp
.
.
cos(
.
)
sin(
.
)
.
.
z
i
i
i












Пусть n=1. Тогда


8 2
26 0 04934889 4
1 502698 0 736049 0 736049 1 1136896 1 008859
exp
.
.
cos( .
)
sin( .
)
.
.
i
z
i
i
i


















Пусть n=2. Тогда


8 3
26 0 04934889 2
1 502698 1 521447 1 521447 0 074126 1 500869
exp
.
.
cos( .
)
sin( .
)
.
.
i
z
i
i
i


















Пусть n=3. Тогда


8 3
3 26 0 04934889 4
1 502698 2 306846 2 306846 1 008859 1 1136896
exp
.
.
cos( .
)
sin( .
)
.
.
i
z
i
i
i
















 

Далее значения начнут повторяться.

22
Упражнения к разделу 2.
Раздел 1. Найти пределы при n

:
Задача 1 .
2 2
3 3
2 6
7 6
6 7
6 3
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
x
n
n







Задача 2.
3 3
2 2
3 7
3 8
7 7
6
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
x
n
n







Задача 3.


2 2
5 2
5 1
x
n
n
n

 

Задача 4.


2 2
2 1
2 2
x
n
n
n

 

Задача 5.
5 3
4 2
4 4
n
n
x
n




 




Задача 6.
2 3
3 5
3 2
n
n
x
n




 




Раздел 2. Найти пределы при x

а
Задача 7.
2 2
9 27 90 2
2 4
28 40 2
(
)(
)
;
(
)(
)
x
x
x
y
x
x
x
x








Задача 8.
2 2
7 14 21 1
1 6
24 18 1
(
)(
)
;
(
)(
)
x
x
x
y
x
x
x
x








Задача 9.
3 2
12 2
8 2
;
x
y
x
x





Задача 10.
3 63 8
1 1
;
x
y
x
x





Задача 11.
8 0
1 6
cos
cos
;
cos
x
x
y
x
x




Задача 12.
4 8
0 1
cos
cos
;
cos
x
x
y
x
x




Задача 13.
2 3
1 2
1 0
4
exp
ln(
)
;
tg
x
x
y
x
x
x






Задача 14.
2 1
2 1
0 8
exp
ln(
)
;
tg
x
x
y
x
x
x






Задача 15.
3 5
1 2
0 3
4
;
sin
x
x
y
x
x
x





23
Задача 16.
8 8
1 7
0 7
;
sin
x
x
y
x
x
x




Задача 17.
1 6
9 31 36 8
5
;
x
x
y
x
x











Задача 18.
1 2 8 3
57 64 2
7
;
x
y
x
x










