Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
 Скачать 2.85 Mb.
|
|
Часть 4. Интегралы. Примеры решения задач. Задача 1. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции 1 9 5 2 x x y Решение. Решение ведем методом непосредственного интегрирова- ния. Сначала найдем неопределенный интеграл: 2 2 3 2 1 1 5 9 1 5 9 5 9 3 2 ( ) ( ) F x x x dx x dx xdx dx x x x Далее, производим вычисление определенного интеграла, для чего из значения F(x) от верхнего предела вычитаем значение этой функции при х, равном нижнему пределу: 5 9 8 2 0 8 4 2 0 2 666667 3 2 3 ( ) ( ) . I F F Ответ: -2.666667 Задача 2. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции: 9 10 2 9 x x y Решение. Преобразуем исходную функцию (выделим правильную дробь): 9 81 9 2 9 2 1 9 2 1 10 10 9 9 10 9 10 10 10 10 9 101 9 1 9 101 1 10 10 9 9 10 10 100 10 10 ( ) ( ) . x x x y x x x x x x Таким образом, неопределенный интеграл равен 9 101 1 9 101 9 10 100 10 100 0 9 10 0 9 1 01 0 9 ( ) . . . ln( . ) dx F x dx dx x x x x Определенный интеграл равен 2 1 1 8 1 01 2 9 0 9 1 01 1 9 0 9 1 01 29 19 0 472915 ( ) ( ) ( . . ln . ) ( . . ln . ) . . ln( / ) . I F F Ответ: -0.472915 40 Задача 3. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции: ) 8 8 cos( 5 2 x x y Решение. Сделаем замену переменных: tdt dx x x ydy xdx dt x t cos cos ; ; 16 5 8 8 16 5 16 8 8 2 2 При 8 , 0 t x при 8 2 , 2 2 t x Отсюда получаем: 14982 0 16 5 16 5 8 2 8 8 2 8 2 0 2 2 . ) sin( ) cos( | t dt t ydx Ответ: -0.14982 Задача 4. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 3 7 10 2 x x y Решение. Сделаем замену переменных: 2 10 5 7 3 14 14 14 7 ; ; ; dt dt dt t x dt xdx xdx ydx t t При 0 x 3 t ; при 1 x 10 t 10 1 10 3 0 3 5 5 5 10 0 85998 7 7 7 3 ln ln . dt ydx t t Ответ: 0.85998 Задача 5. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции 5 6 10 8 6 2 x x y Решение. Интеграл равен: 2 4 6 1 11 2 2 2 5 5 5 5 1 1 1 1 5 2 6 2 5 6 11 29097 11 . ydx x dx x dx x x Ответ: -11.29097 Задача 6. Вычислить определенный интеграл в пределах от 2 до 3 от функции x x x x y 3 2 9 6 Решение. Прежде всего разложим функцию на сумму элементарных дробей. Для этого необходимо разложить на множители знаменатель: ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 2 3 x x x x x x x 41 Следующий шаг: методом неопределенных коэффициентов опреде- ляем разложение: x x cx cx bx bx a ax x c x b x a x x x x y 3 2 2 2 3 2 1 1 9 6 Определяем коэффициенты при соответствующих степенях х в левой и правой частях равенства: 9 6 1 a c b c b a Таким образом, 8 , 2 , 9 c b a и 1 8 1 2 9 x x x y Теперь можно вычислить интеграл: 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 9 2 8 9 2 1 8 1 1 1 0 03856297 ln( ) ln( ) ln( ) . | dx dx dx ydx x x x x x x Ответ: - 2 10 856297 3 Задача 7. Вычислить определенный интеграл в пределах от 4 до 8 от функции 3 2 3 2 2 8 6 11 2 2 2 ( )( ) x x x y x x x x Решение. Разложим функцию на сумму элементарных дробей, для чего, в первую очередь, разложим на множители знаменатель. ) 2 )( 2 )( 1 ( ) 2 )( 2 2 ( 2 2 3 x x x x x x x 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 8 6 11 2 2 2 2 1 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( )( ) x x x ax b c d y x x x x x x x ax ax ax bx bx b cx cx cx c dx d x x x x Отсюда: a+c=-2; -4a+b-2c+d=8; 4a-4b+c=-6; 4b-2c+d=11. Решая эту систему, получаем: a=0, b=1, c=-2, d=3. Интеграл равен: 8 8 8 8 2 2 4 4 4 4 8 4 2 3 2 1 2 3 2 2 1 0766009 2 ( ) arctg ln( ) . dx dx dx ydx x x x x x x Ответ: -1.0766009 42 Задача 8. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 14 9 86 193 81 8 2 2 3 x x x x x y Решение. Упростим исходную функцию. Т.к. степень числителя пре- восходит степень знаменателя, то вначале выделим целую часть: 3 2 2 3 2 2 2 8 81 193 86 9 14 8 72 112 8 9 9 81 86 9 81 126 40 | | x x x x x x x x x x x x x Итак, 2 40 8 9 9 14 y x x x Разложим третье слагаемое на сумму элементарных дробей: ) 7 )( 2 ( 2 7 7 2 ) 7 )( 2 ( 40 14 9 40 2 x x b bx a ax x b x a x x x x Отсюда ; 0 b a 40 2 7 b a ; b a 8 b Таким образом: 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 0 8 9 8 8 2 7 4 9 8 2 8 7 10 82453 ln( ) ln( ) . | dx dx ydx xdx dx x x x x x x Ответ: 10.82453 Задача 9. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 10 1 x x y Решение. В данном случае целесообразно прибегнуть к замене пе- ременных: 2 2 2 2 1 10 1 18 10 1 1 ; ; ( ) x t tdt t x dx x t t Таким образом, 2 2 2 ) 1 ( 18 t dt t ydx Интеграл равен: 2 11 2 2 2 1 10 18 1 / / ( ) t dt I t Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей: 43 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) t a b c d t t t t t a t t b t c t t d t t at at at a bt bt b ct ct ct c dt dt d t Отсюда получаем: a+c=0, a+b-c+d=18, -a+2b-c-2d=0, -a+b+c+d=0. Решение этой системы дает: a=4.5; b=4.5; c=-4.5; d=4.5 Итак: 2 11 2 2 1 10 2 11 2 1 10 1 1 1 1 4 5 1 1 1 1 1 2 4 5 0 3757782 1 1 / / / / . ( ) ( ) . ln . I dx t t t t t t t t Ответ: 0.3757782 Задача 10. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции x x y 3 6 Решение. Сделаем замену переменных: 2 2 3 6 3 6 3 6 3 ; ; ; t tdt t x x t x dx Вычислим неопределенный интеграл: 2 2 2 2 2 6 3 2 2 3 3 3 3 3 3 6 ln t t dt t dt t ydx dt t t t t t Таким образом, интеграл равен: 2 1 6 3 3 2 6 3 3 6 3 3 ln x I x x = 2.360038 Ответ: 2.630038 Задача 11. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 8 2 x y Решение. Сделаем замену: 2 2 2 2 8 8 2 2 sh ; ch ; ch x t x t dx tdt Отсюда получаем: 44 2 2 2 2 2 8 2 2 4 ch ( ) (e e ) e t t t t ydx t dt dt e t При 0 x 0 t ; при 1 x 2 2 Arsh x t ; ) 1 ln( ) Arsh( 2 x x x Таким образом, интеграл равен I =2.886294 Ответ: 2.886294 Задача 12. Вычислить определенный интеграл в пределах от 16 до 24 от функции 2 1 8 64 ( ) y x x Решение. Сделаем замену переменных: 2 2 8 1 8 8 1 ; x t t x x t Вычисляя дифференциал 1 32 2 t tdt dx и подставляя в исходную функ- цию 2 2 2 2 2 1 256 64 1 16 8 t t x t x ; , получим, что 8 dt ydx . Отсюда, ин- теграл равен: 24 24 2 2 1 16 1 16 1 8 0 01621956 8 8 8 . | t t t t t x ydx dt x Ответ: 0 01621956 . Задача 14. Вычислить определенный интеграл в пределах от 4 до 2 от функции x x y sin 7 cos 6 1 1 Решение. Здесь следует прибегнуть к универсальной тригонометрической подстановке 2 tg x t . Тогда 2 1 2 sin t t x ; 2 2 1 1 cos t t x ; 2 1 2 t dt dx Имеем: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 7 5 14 1 7 5 14 1 6 7 1 1 ( ) dt t dt dt F x dx t t t t t t t t t t Разложим подынтегральную дробь на простейшие: 2 1 2 1 2 7 84 7 84 5 14 7 5 где 5 5 ( )( ), , t t t t t t t t 45 Отсюда, 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 7 5 14 5 5 ( )( ) a b at at bt bt t t t t t t t t t t Это выражение дает: a+b=0, -at 1 -bt 2 =1 5 2 84 a b Подставляя эти выражения под интеграл, получим: 2 4 5 7 84 1 2 0 08276083 84 5 7 84 2 tg ln . tg x I x Ответ: 8.276083 2 10 Задача 15. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 0.842 от функции x x x x y sin cos 2 sin 3 cos 5 8 Решение. Также как и в предыдущей задаче целесообразно прибег- нуть к универсальной тригонометрической подстановке. Тогда получим: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 8 5 3 2 3 13 6 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 t t dt t t dt t t ydx t t t t t t t t или 2 2 2 13 6 3 1 1 t t dt ydx t t t Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дро- бей: 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 1 1 2 1 2 13 6 3 1 1 1 1 1 ( )( )( ) t t a b ct d t t t t t t t t at at at t at bt bt bt t bt ct ct ct dt dt d t t t t t Здесь 1 2 1 5 1 5 2 2 ; t t Относительно неизвестных коэффициентов получаем следующую систему уравнений: a+b+c=0, -at 2 -bt 1 +c+d=13, a+b-c+d=-6, -at 2 -bt 1 -d=3. Решение этой системы: 2 2 1 6 5 2 2 1 6 5 4 4 2 8 . . ; . . ; . ; . a b c d Неопределенный интеграл равен 46 2 1 2 2 1 1 2 11 8 5 1 5 11 8 5 1 5 5 2 2 5 2 2 22 7 5 2 5 ln ln ln arctg ln tg ln tg ln tg I a t t b t t c t d t x x x x Подставляя пределы, получим, что определенный интеграл равен 3.882523 Ответ: 3.882523 Задача 16. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 4 от функции ) ( sin 2 10 1 2 x y Решение. Т.к. в данном случае степени косинуса (0) и синуса (2) яв- ляются четными, то применим следующую замену: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 tg( ); sin ( ) ; cos ( ) ; t dt t x x x dx t t t Тогда 2 2 2 2 1 1 12 10 10 2 1 dt dt ydx t t t t Подставляя в исходный интеграл, получим, что 4 0 1 1 2 0 07585187 120 arctg . tg( ) . I x Ответ: 7.585187 2 10 Задача 17. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции 2 ) sin ( 1 cos x k x y k = 0.4215355 Решение. 1 cos( ) sin ( sin ) x dx d x d k x k Таким образом, получаем: 47 2 2 2 2 0 0 2 0 1 1 1 1 1 032269 cos sin ( sin ) arcsin( sin ) . x dt t x k k x t k x k Ответ: 1.032269 Задача 18. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 4 от функции x x k y cos ) sin ( 1 2 ; k =0.6747172. Сделаем замену 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 cos sin sin ; cos cos ; ; cos cos cos cos cos ( ) cos cos cos sin cos cos sin sin tdt k x t k xdx tdt dx k x t tdt tdt tdt f x dx x k x k x k x tdt tdt k t k k t k Следующая замена: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 tg ; ; cos ; sin du t u t dt t t u u u Отсюда, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) du du f x dx k k u u u k k u u k u Раскладывая на простейшие дроби, получим, что неопределенный интеграл равен 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 ln arctg tg ln tg tg arcsin( sin ) ln arcsin( sin tg arcsin( sin ) k k I k du u k k u k k u k k k u k u k k k u k k k t k t k k k t k k k x k k k x k k k k x ) 48 Подставляя числовые значения и вычисляя, получим значение опре- деленного интеграла: 0.78541 Ответ: 0.78541 Задача 19. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции x x y 8 8 e 3 e 9 1 Решение. Сделаем замену 8 8 8 e ; e ; x x dt t dt dx dx t Отсюда получаем: ) 3 1 ( 24 8 3 9 2 t dt t t t dt ydx Теперь следует разложить на элементарные дроби полученное выра- жение: 2 2 3 1 1 1 3 1 1 t act c abt b at c at b t . Здесь 3 a . Получаем, что 1 c b , c b или 2 1 c b Таким образом, at dt at dt ydx 1 1 48 1 Интегрируя, получим: const 3 1 3 1 ln 3 1 48 1 ydx Производя обратную подстановку и вычисляя определенный инте- грал, получим, что он равен 01583588 0 Ответ: 2 10 583588 1 Задача 20. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции x x x y 10 2 e ) 9 9 1 ( Решение. Этот интеграл берется по частям (эта операция повторяется два раза). Имеем: dx x x x 10 2 e ) 9 9 1 ( . Воспользуемся формулой vdu uv ydv В качестве функции u выберем полином: 2 9 9 1 x x u В качестве дифференциала функции v выберем остаток: dx dv x 10 e Тогда dx x du ) 18 9 ( ; 10 e 10 x v Подставим в формулу интегрирования по частям и получим: 10 e ) 18 9 ( 10 e ) 9 9 1 ( e ) 9 9 1 ( 10 10 2 10 2 dx x x x dx x x x x x Второй интеграл также возьмем по частям: 49 10 10 9 18 18 10 100 ; ; e ; x x dx e u x du dx dv v Подставим во второй интеграл: x x x x x x dx x dx x 10 10 10 10 10 e 500 9 e ) 2 1 ( 10 9 e 100 18 10 e ) 18 9 ( 10 e ) 18 9 ( Окончательно получим: x x x x x x x dx x x 10 10 10 2 10 2 e 500 9 e ) 2 1 ( 10 9 10 e ) 9 9 1 ( e ) 9 9 1 ( Подставляя пределы и вычисляя, получим, что интеграл равен 3788.56 Ответ: 3788.56 Задача 21. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции ) ( sh ) 3 5 ( 2 2 x x x y Решение. Также как и предыдущий, этот интеграл берется по частям. Прежде всего, преобразуем функцию ) ( sh 2 x : 2 2 2 2 2 4 e e e e sh( ) ; sh ( ) x x x x x Таким образом, интеграл сводится к сумме трех интегралов, из кото- рых два аналогичны интегралу из предыдущей задачи, а один является интегралом от полинома. Вычисляя, получим, что интеграл равен 14.55643 Ответ: 14.55643 Задача 22. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции x x x y ln ) 6 5 4 ( 2 Решение. Возьмем этот интеграл по частям: 2 2 3 5 4 5 6 4 2 2 ln ; ; ( ) ; dx u x du dv x x dx v x x x x Подставим: 2 2 2 2 2 3 2 3 5 5 4 5 6 4 2 4 2 2 2 5 5 2 4 2 4 2 4 3 ( ) ln( ) ln ln x x x dx x x x x x x x x x x x x x Подставляя пределы и вычисляя, получим, что интеграл равен 1.697039 Ответ: 1.697039 50 Задача 23. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции 2 ) 2 7 ln( x x y Решение. Также возьмем этот интеграл по частям. 2 1 7 2 7 7 2 ln( ); ; ; dx dx u x du dv v x x x Подставим: ) 2 7 ( 7 2 7 ln ) 2 7 ln( 2 x x dx x x x dx x Для того, чтобы взять второй интеграл, разложим подынтегральную функцию на элементарные дроби: ) 2 7 ( 2 7 2 7 ) 7 ( 7 x x bx a ax x b x a a x x Отсюда 5 24 5 3 7 2 0 7 b a a b a Таким образом, окончательно получаем: ). 2 7 ln( 5 24 ln 5 3 2 7 ln x x x x I Вычисляя, получим, что интеграл равен 1.223171 Ответ: 1.223171 Задача 24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми ; 4 2 x y ; 3 3 x y x y 9 Решение. Если начертить графики этих линий, то можно уви- деть, что они ограничивают пара- болический треугольник, с верши- ной в начале координат и в точках пересечения парабол и параболы 2 4 x y с прямой x y 9 Вторая точка пересечения: 2 4 x y или 2 97 9 x (берем решение 0 x , т.к. второе дает нам точку, в которой 0 y ). Площадь теперь равна сумме площадей двух участков: когда 0 x и когда 0 x Площадь участка при 0 x равна: 2 1 0 1 2 15 10 5 0 5 f1 x ( ) f2 x ( ) f3 x ( ) x 51 | 0 1 4 3 0 1 3 2 1 4 3 3 4 ) 3 4 ( x x x dx x x S 2.91666667 Площадь участка при 0 x равна: | 1 0 2 3 1 0 2 2 2 9 3 4 ) 9 4 ( x x x x x dx x x S = 0.8616003 Общая площадь равна 2 1 S S =3.778267 Ответ: S = 3.778267 Задача 25. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY кривых 2 10 x y ; x y 6 Решение. Объем тела враще- ния, образованного таким образом, определяется по формуле dy x x V b a ) ( 2 2 2 1 Здесь ) ( 1 1 y x x - линия, обра- зующая внешнюю поверхность те- ла; ) ( 2 2 y x x - линия, образующая внутреннюю поверхность тела. В нашем случае кривая x y 6 - внутренняя, 2 10 x y - внешняя. Они пересекаются в точках 0 y x и 5 3 x , 5 18 y Очевидно, что 0 a , 5 18 b ; 10 1 y x , 6 2 y x . Таким образом, 3 6 3 6 2 2 3 0 0 0 678584 10 36 10 108 . . . y y y y V dy Ответ: V = 0.678584 Задача 26. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пластины, ограничен- ной линиями: 1 ; 3 ; 6 ) 3 ( 8 2 x x x y Решение. Реше- ние основано на ис- пользовании понятия статического момента. 1 0.6 0.2 0.2 0.6 1 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4 0 f1 x ( ) f2 x ( ) 1 1 x 52 Воспользуемся следующими формулами: 0 0 ; DX DY x y S S Здесь S - площадь пластины, DX – статический момент относитель- но оси OY, а DY – статический момент относительно оси OX: 2 2 2 1 1 1 2 1 2 ; ; x x x x x x S ydx DX xydx DY y dx Подставляя в общие формулы 1 ; 3 ; 6 ) 3 ( 8 2 x x x y , получим: S =578.6667; DX =-920, DY =49702.939; 0 x =-1.589862, 0 y =85.89217 Ответ: 0 x 1.589862; 0 y = 85.89217 Задача 27. Найти момент инерции относительно оси OZ фигуры, ограниченной поверхностями 7 z ; 8 z ; 2 2 2 r y x z . Объемная плотность равна 1. Решение. Момент инерции определяется по формуле: 2 1 4 2 z z dz r J Здесь - объемная плотность =1, r - радиус окружности, получен- ной сечением параболоида на высоте z r r z z h 2 ; Таким образом, 48819 88 3 2 2 | 8 7 3 8 7 2 z dz z J Ответ: J = 88.48819 53 Упражнения к разделу 4 Задача 1. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции 1 7 6 2 x x y Задача 2. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции 2 7 8 5 x x y Задача 3. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции ) 2 8 cos( 6 2 x x y Задача 4. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 8 6 2 x x y Задача 5. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции 6 10 4 1 6 7 x x y Задача 6. Вычислить определенный интеграл в пределах от 2 до 3 от функции x x x x y 3 2 2 5 5 Задача 7. Вычислить определенный интеграл в пределах от 88 до 176 от функции ) 44 )( 44 44 ( 105 44 33 10 2 3 2 3 x x x x x x x y Задача 8. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 50 15 235 316 144 8 2 2 3 x x x x x y Задача 9. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 7 7 9 x x y Задача 10. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции x x y 10 5 Задача 11. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 4 2 x y Задача 12. Вычислить определенный интеграл в пределах от 8 до 12 от функции 16 ) 4 ( 1 2 x x y Задача 13. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции 2 2 7 1 2 x x y 54 Задача 14. Вычислить определенный интеграл в пределах от 4 до 2 от функции x x y sin 5 cos 7 7 1 Задача 15. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 0.046 от функции x x x x y sin 8 cos 9 sin 4 cos 6 9 Задача 16. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 4 от функции x y 2 sin 2 2 1 Задача 17. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 2 от функции 2 ) sin ( 1 cos x k x y ; k =0.03204177. Задача 18. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 4 от функции x x k y cos ) sin ( 1 2 ; k= 0.4995374. Задача 19. Вычислить определенный интеграл от 0 до 1 от функции x x y 7 7 e 9 e 2 1 Задача 20. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции x x x y 2 2 e ) 2 3 8 ( Задача 21. Вычислить определенный интеграл в пределах от 0 до 1 от функции ) ( ) 7 5 ( 2 2 x sh x x y Задача 22. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции x x x y ln ) 8 10 6 ( 2 Задача 23. Вычислить определенный интеграл в пределах от 1 до 2 от функции 2 ) 10 8 ln( x x y Задача 24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2 4 x y ; 3 3x y ; x y 6 . Точка пересечения парабол: 1 1 x Задача 25. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY кривых 2 4x y ; x y Задача 26. Найти координаты центра тяжести плоской однородной пла- стины, ограниченной линиями: 6 ) 1 ( 10 2 x y ; 3 x ; 7 x 55 Задача 27. Найти момент инерции относительно оси OZ фигуры, ограни- ченной поверхностями 6 z ; 10 z ; ) ( 10 2 2 y x z Объемная плотность равна 1. Ответы на упражнения. Задача №1. 28 Y Задача №2. Y =0.06069456. Задача №3. Y 0.2475047. Задача №4. Y = 0.3533491 Задача №5. Y 5.67321. Задача №6. Y 1.26851 Задача №7. Y =-11.58139. Задача №8. Y 0.8190593 Задача №9. Y = 1.228092. Задача №10. Y = 2.873315 Задача №11. Y = 2.080458. Задача №12. Y = 0.03243913 Задача №13. Y =0.6883761. Задача №14. Y 0.1860809 Задача №15. Y = 0.03098598. Задача №16. Y = 0.3377554 Задача №17. Y = 1.000171. Задача №18. Y = 0.6972606 Задача №19. Y 0.01717058. Задача №20. Y = 35.04255 Задача №21. Y = 31.88873. Задача №22. Y = 4.51974 Задача №23. Y = 1.521661. Задача №24. S = 4.164778 Задача №25. V= 0.00818123. Задача №26. 0 X = 5.594796, 0 Y = 108.1524, S = 717.3333 Задача №27. J = 4.105014 |