Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
 Скачать 2.85 Mb.
|
|
Часть 9. Математическая статистика. Элементы теории си- стем массового обслуживания Примеры решения задач Задача 1. Дана выборка объемом N значений диаметра вала. Вы- числить среднее значение ср X , среднее квадратическое отклонение S Оценить математическое ожидание MX и дисперсию DX генеральной совокупности. Доверительная вероятность равна 0.95. N = 48 Исходные данные: 18.587 20.653 16.264 16.997 16.046 18.804 22.564 20.557 16.279 21.706 18.074 19.637 20.640 18.668 16.481 18.930 22.414 21.574 22.536 18.754 22.741 18.507 21.135 22.347 19.507 23.115 22.447 21.590 18.738 16.642 22.545 19.112 16.163 21.955 17.981 18.589 17.923 16.986 22.610 18.926 19.907 22.603 22.828 17.414 19.131 22.328 16.406 16.974 Решение. 1). Среднее значение определяем по формуле: 1 1 19 65238 . N ср i i X x N (1) 2). Точечная оценка дисперсии определяется по формуле: 2 2 1 1 5 2547539 1 . N i ср i S x X N (2) 3). Для оценки интервала, в котором может находиться ма- тематическое ожидание, используется распределение Стьюдента. Число степеней свободы 47 1 N k ; доверительная вероятность 95 0 По этим двум параметрам по таблицам найдем квантиль распреде- ления Стьюдента: 1 678 , . k t Доверительный интервал определяется по формуле , , k k ср ср t t X S MX X S N N (3) Подставляя найденные числа в эту формулу, найдем, что 14.97145 < MX < 24.33331 4). Для оценки доверительного интервала дисперсии следует исполь- зовать распределение Пирсона. Число степеней свободы 48 2 N k ; вероятности: 025 0 2 1 ; 975 0 2 1 2 1 Найдем квантили распределения Пирсона: 2 2 2 2 1 1 2 2 ; P P По таблицам находим: 2 2 1 2 66 617 29 16 . ; . 93 Доверительный интервал определяется по формулам: 2 2 2 2 1 2 S N DX S N (4) Отсюда получаем, что 3.8216418 < DX< 8.697527 Для оценки среднего квадратического отклонения DX получим, извлекая квадратный корень из двойного неравенства: 1.954902 < < 2.949157 Ответ: ср X = 19.65238; S = 2.292325; 14.97145 < MX < 24.33331; 1.954902 < < 2.949157 Задача 2. Вычислить ср X и среднее квадратическое отклонение, по- строить гистограмму разбиения с шагом d=1 значений времени бе- зотказной работы прибора. Данные приведены ниже: 0.898 4.927 0.447 1.341 0.421 0.136 2.142 1.852 3.640 0.027 1.209 0.465 3.375 0.932 0.582 1.725 2.846 0.249 2.187 12.001 7.069 1.186 1.352 0.140 0.867 1.704 0.790 4.279 2.220 3.463 0.990 6.878 0.300 1.140 0.281 0.843 0.072 1.435 0.179 2.429 1.089 2.710 6.347 1.981 0.879 8.145 0.720 4.172 2.683 3.818 4.518 3.785 0.102 0.447 1.020 1.995 0.449 3.113 0.286 2.872 2.962 1.535 2.800 0.539 5.073 6.912 2.870 1.560 1.723 0.661 Решение. Среднее значение ср X и среднее квадратическое отклоне- ние определим по формулам (1) и (2) соответственно: ср X = 2.239808; = 2.243774 Для построения гистограммы следует разбить всю область опреде- ления случайной величины на интервалы шириной d=1: max min min min 2 1 X X X X Затем необходимо подсчитать количество значений случайной вели- чины, попадающей в каждый интервал. В результате получим опытное распределение, называемое гистограммой: Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Частота попаданий 26 16 11 6 4 1 3 1 1 0 0 0 1 94 Задача 3. По выборке объемом N =50 проверить гипотезу о принад- лежности исследуемой случайной величины к генеральной совокупности с равновероятным распределением. Использовать критерий Пирсона. Гисто- грамму строить с шагом 1 d . Доверительная вероятность 95 0 p 0.299 3.990 0.176 0.206 4.298 2.982 1.374 3.594 4.363 4.584 3.971 0.505 3.498 2.939 3.031 1.749 1.984 4.367 3.512 2.639 2.718 3.762 0.683 2.241 3.396 0.194 1.555 2.725 4.209 0.064 4.130 2.805 0.973 2.444 2.518 0.495 4.861 2.448 2.209 1.679 1.174 4.732 1.061 2.214 0.798 0.513 2.786 2.559 4.299 2.686 Решение. 1). Разбиваем всю область определения случайной величины на ин- тервалы шириной 1 d . Положим 5 ; 0 max min X X . Таким образом, получим, что область определения разбита на пять интервалов: max min 5 4 ; 4 3 ; 2 1 ; 1 0 X x x x x X Гистограмма равна: Номер интервала 1 2 3 4 5 Частота попаданий 11 7 15 8 9 2). Рассчитываем критерий Пирсона по формуле: 2 5 T 2 1 T i i i i f f f (5) Здесь f i - частота попаданий в i -й интервал (см. гистограмму); f Ti - теоретическое значение частоты попадания в i -й интервал в соответствие с предполагаемым законом распределения. Так как предполагается, что закон распределения является равновероятным, то f Ti =const=10. Рассчитываем по формуле (5) значение критерия 2 . Он равен 2 =4 3). Определим критическое значение критерия Пирсона. Число сте- пеней свободы равно 1 M N k , где N - объем выборки (50), M - чис- ло рассчитанных параметров распределения, необходимых для расчета f Ti : 0. 49 K По таблицам найдем критическое значение критерия Пирсона: 2 9 49 . кр Поскольку 2 2 кр , то гипотеза о равновероятном распределении принимается. Ответ: Гипотеза принята. Критерий Пирсона равен 9.49. Рассчи- танное значение равно 2 = 4.000 Гистограмма: 11 7 15 8 9 95 Задача 4. По выборке объемом N проверить гипотезу о принадлеж- ности исследуемой случайной величины к генеральной совокупности с нормальным распределением. Использовать информационный критерий. Гистограмму строить с шагом d=S (среднее квадратическое отклонение). Доверительная вероятность 95 0 p 53 N 9.365 2.498 4.850 6.673 4.978 5.038 6.971 3.659 7.356 7.778 4.696 6.658 5.630 8.356 7.583 6.367 5.871 5.917 4.428 6.085 2.463 7.232 6.030 6.246 3.917 4.241 7.465 4.430 5.545 6.031 4.364 4.856 4.969 4.396 2.918 5.020 3.602 1.360 4.818 9.427 7.308 5.660 5.993 4.491 8.463 4.719 0.571 5.967 4.549 5.300 6.587 1.765 6.376 Решение. 1). Вычислим по формулам (1) и (2) ср X и S : ср X = 5.4308679; S = 1.8692751. 2). Установим ширину интервала S d =1.87 max X =9.356; min X =0.571 Гистограмма равна: Номер интервала 1 2 3 4 5 Частота Попаданий 6 18 21 5 3 3). Вычислим эмпирическую энтропию: 1 1 ln k i i i f H f N N (6) Здесь f i - гистограмма. Имеем: H = 1.365476 4). Вычислим информационный критерий c J : 2 2 a h h H J c (7) Здесь h и 2 a - информационные параметры распределения, за- висящие только от типа распределения, но не от их параметров. Для нормального (гауссового) распределения: 5 0 ; 4189 1 2 2 h a h Из (7) получаем, что 55 0 c J 5). Найдем критическое значение информационного критерия. Оно определяется на основе квантиля нормального распределения. По таблицам найдем, что 96 1 95 0 t 96 Т.к. t J c , то гипотеза о нормальности распределения принима- ется. Ответ: Гипотеза принята. 5504254 0 c J ; t = 1.959964. Энтропия равна H = 1.365476 . Гистограмма: 6 18 21 5 3 Задача 5. По данным, приведенным ниже определить статистиче- ские характеристики X и Y и построить уравнение регрессии Y=A X+B. Наложить прямую регрессии на поле рассеивания. X Y X Y X Y X Y X Y 0.384 2.430 0.553 2.557 0.836 2.798 0.148 2.213 0.732 2.765 0.609 2.641 0.804 3.084 0.396 2.557 0.263 2.606 0.669 2.902 0.161 2.506 0.200 2.209 0.088 2.351 0.608 2.890 0.992 3.203 0.848 2.850 0.186 2.314 0.111 2.299 0.815 2.873 0.574 2.789 0.361 2.449 0.652 2.763 0.947 3.227 0.693 2.909 0.518 2.725 0.277 2.609 0.180 2.412 0.541 2.591 0.242 2.346 0.206 2.267 0.772 2.770 0.231 2.567 0.696 2.796 0.247 2.592 0.751 2.765 0.224 2.254 0.831 2.855 0.014 2.376 0.528 2.799 0.709 2.817 0.908 3.205 0.974 3.249 0.826 2.778 0.793 3.102 0.328 2.639 0.286 2.584 0.922 3.128 0.514 2.611 0.785 3.090 0.471 2.590 0.194 2.474 0.650 2.839 0.719 2.755 0.883 2.896 0.993 3.000 0.358 2.557 0.090 2.313 0.998 3.026 0.817 2.761 0.613 2.925 0.463 2.586 0.510 2.681 0.803 3.013 0.466 2.649 0.402 2.458 0.249 2.421 Решение. 1). По формулам (1) и (2) находим : ; ; ; y x ср ср S S Y X 0 54 2 698 0 279 0 269 . ; . ; . ; . . ср ср x y X MX Y MY S S 2). По формуле 1 1 2 N xy i ср i ср i x y R x X y Y N S S (8) находим коэффициент корреляции параметров X и Y : 89 0 xy R 3). Находим уравнение корреляции в виде Bx A Y из основной формы: ср x y xy ср X x S S R Y y Подставив все необходимые числа, получим: x Y 859 0 234 2 Ответ: MX =0.540; MY =2.698; x S =0.279; y S =0.269; xy R =0.890; A =2.234; B =0.859 97 Задача 6. Матрица вероятностей перехода ij P P i j имеет вид: c c b b a a P 1 0 0 1 1 0 ; 10 0 20 30 p p p p Здесь 0 p - вектор распределения вероятностей при 0 t Найти: а) распределение вероятностей при 2 t ; б) стационарное распределение вероятностей. c b a , , равны: 0.335, 0.619, 0.427 30 20 10 , , p p p равны: 0.289, 0.427, 0.284 Решение. 1). Распределение вероятностей через один шаг равно 1 0 p p T P (10) Через два шага: 2 1 p p T P (11) Здесь T P - матрица, транспонированная к матрице P . Последова- тельно вычисляя, получим: 443 0 26 0 297 0 2 p 2). В установившемся режиме выполняется следующее соотно- шение: p p T P . Таким образом, задача сводится к нахождению соб- ственного вектора матрицы T P Решая, находим: 3 1 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 p c p a p c p b p bp ap p Данная система вырождена, поэтому уберем третье уравнение и вместо него добавим условие нормировки: 1 3 2 1 p p p . Подставляя числа и решая, получим: ; 296 0 ; 275 0 2 1 p p 429 0 3 p Таким образом: 429 0 296 0 275 0 2 p Ответ: а) 1 2 3 , , p p p = 0.297, 0.26, 0.443 б) 1 2 3 , , p p p = 0.275, 0.296, 0.429 98 Задача 7. В цехе имеется два станка для обработки корпусных дета- лей. Интенсивность поступления деталей на обработку равна L дет/час, а интенсивность обработки деталей каждым станком равна M дет/час. Нарисовать графы состояний и вычислить: коэффициент использования оборудования, среднее число занятых станков, среднее число деталей в очереди, среднее время пребывания детали в цехе, вероятности состояний, если: а) имеется накопитель на две детали; б) емкость накопителя не ограничена. M L, = 5.025, 3.698 Решение. Рис. 1. СМО с очередью (накопителем) на две заявки (детали) и двумя об- служивающими аппаратами (станками) Рис. 2. СМО с неограниченной очередью (накопителем) и двумя обслужи- вающими аппаратами (станками) 1). В соответствии с общей теорией имеем: 1 1 i i i i p p (12) Так как у нас два станка и две позиции в накопителе, то интенсив- ность поступления: 0 1 2 3 4 0 4 ; i L i 0 1 2 3 4 0 1 2 3 n 99 Это следует из того, что интенсивность поступления деталей на об- служивание постоянна, но если заняты оба станка и оба места в накопите- ле, то детали не поступают в систему. Интенсивность обслуживания: ; 0 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 4 3 2 1 M M M M Это объясняется тем, что интенсивность обслуживания кратно коли- честву занятых одновременно станков. Если деталь одна, то m=M, если деталей больше, то M 2 , т.к. станков всего два и на обслуживании од- новременно может быть не более двух деталей. Далее имеем: 2 3 1 0 2 1 0 3 2 0 2 3 4 4 3 0 4 2 2 2 4 2 8 ; ; ; ; L L L L L p p p p p p p p M M M M M L L p p p M M Сумма всех вероятностей (в том числе и 0 p ) равна 1, т.е. 1 8 4 2 1 4 4 3 3 2 2 0 M L M L M L M L p Отсюда: 231 0 0 p Подставляя это значение, вычислим: 098 0 ; 145 0 ; 213 0 ; 313 0 ; 231 0 4 3 2 1 0 p p p p p Число занятых станков: 225 1 2 2 2 4 3 2 1 p p p p N Число деталей в системе: 566 1 4 3 2 4 3 2 1 p p p p m Число деталей в очереди: 341 0 2 4 3 p p K Время пребывания в цехе равно: 3117349 0 L m T 2). В случае неограниченности емкости очереди также справедлива формула (12), но 1 2 2 ; , i i L i M i M Вероятности любого состояния не будут равны нулю. Условие нор- мировки здесь: 1 1 i i p (13) Учитывая формулу (12) и условие (13), получим: 1 2 2 1 0 2 i i M L M L p 100 Тогда 191 0 1 2 2 1 1 0 M L M L M L p Исходя из общей теории, далее получаем: Среднее число деталей в системе: 523 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 1 M L M L M L M L M L p p m Среднее число занятых станков: 225 1 2 2 1 0 p p N Среднее число деталей в очереди: 341 0 N m K Время пребывания в цехе равно: 502131 0 L m T Ответ: а) 4 3 2 1 0 , , , , p p p p p равны: 0.231, 0.313, 0.213, 0.145, 0.098; число занятых станков = 1.225; число деталей в системе = 1.566; число деталей в очереди = 0.341; коэффициент использования = 0.613; время пребывания в цехе= 0.3117349 б) 0 p равно: 0.191 число занятых станков = 1.359; число деталей в системе = 2.523; число деталей в очереди = 1.164; коэффициент использования = 0.679; время пребывания в цехе = 0.502131 101 Упражнения к разделу 12 Задача 1. Дана выборка объемом N значений диаметра вала. Вычис- лить среднее значение x ср , среднее квадратическое отклонение S. Оценить математическое ожидание MX и дисперсию DX генеральной совокупно- сти. Доверительная вероятность равна 0.95. N= 33 Исходные данные: 16.941 23.150 16.409 16.589 22.229 24.832 21.336 23.148 17.249 20.098 18.434 17.122 24.415 20.905 19.958 22.737 21.800 17.274 23.655 20.643 16.858 19.802 20.448 19.477 22.496 25.185 18.022 21.884 18.887 22.023 21.786 19.087 24.720 Задача 2. Вычислить x ср и среднее квадратическое отклонение, по- строить гистограмму разбиения с шагом d=1 значений времени безотказ- ной работы прибора. Исходные данные: 0.396 1.974 0.961 6.179 2.664 1.119 0.513 0.175 4.631 0.191 1.541 0.535 4.489 0.564 0.206 2.262 1.154 0.057 4.190 0.140 3.701 2.495 3.737 4.059 2.181 2.271 0.889 2.824 1.449 1.370 2.053 1.042 1.690 0.275 7.680 0.159 4.180 1.845 0.581 0.682 2.415 2.526 0.848 3.767 3.995 3.646 1.469 0.640 5.167 1.476 Задача 3. По выборке объемом N=50 проверить гипотезу о принад- лежности исследуемой случайной величины к генеральной совокупности с равновероятным распределением. Использовать критерий Пирсона. Гисто- грамму строить с шагом d=1. Доверительная вероятность p=0.95. 1.390 0.079 1.945 3.946 1.400 2.608 3.042 1.940 0.162 1.590 4.920 1.823 0.232 1.209 4.333 0.230 2.891 2.124 4.547 2.168 0.274 4.280 0.372 0.847 2.973 2.097 0.032 1.713 3.649 4.762 2.544 4.054 3.478 0.600 0.538 4.769 4.450 0.776 4.679 0.174 1.829 3.793 2.122 2.948 2.329 3.538 2.659 2.584 4.787 4.851 Задача 4. По выборке объемом N проверить гипотезу о принадлеж- ности исследуемой случайной величины к генеральной совокупности с нормальным распределением. Использовать информационный критерий. Гистограмму строить с шагом d=S (среднее квадр.откл.). Доверительная вероятность p=0.95. N= 59 10.798 14.864 9.676 13.133 12.087 10.867 13.763 13.103 14.160 11.703 15.612 10.874 11.487 11.833 11.312 11.408 15.314 14.654 13.166 12.788 14.415 10.047 8.353 9.235 14.195 15.904 14.807 12.851 13.813 12.279 13.457 13.500 13.087 12.985 14.141 15.578 13.660 13.391 11.496 15.932 14.135 12.938 13.729 11.421 14.496 8.453 13.575 14.559 102 13.941 13.066 12.627 13.756 10.710 13.539 13.230 11.692 11.635 15.038 11.007 Задача 5. По данным, приведенным ниже определить статистиче- ские характеристики X и Y и построить уравнение регрессии Y=A*X+B. Наложить прямую регрессии на поле рассеивания. X Y X Y X Y X Y X Y 0.120 2.115 0.013 2.399 0.588 2.826 0.076 2.322 0.106 2.432 0.442 2.597 0.915 3.053 0.528 2.547 0.892 2.941 0.776 3.119 0.888 2.993 0.947 3.203 0.855 3.081 0.254 2.223 0.195 2.561 0.901 3.114 0.992 2.996 0.808 2.920 0.059 2.249 0.577 2.864 0.959 3.250 0.995 2.999 0.438 2.708 0.618 2.717 0.925 3.007 0.236 2.327 0.032 2.242 0.268 2.399 0.227 2.571 0.372 2.553 0.093 2.170 0.835 3.220 0.851 3.035 0.523 2.842 0.066 2.125 0.455 2.480 0.715 2.732 0.272 2.562 0.026 2.269 0.183 2.470 0.771 3.105 0.151 2.439 0.934 3.149 0.387 2.803 0.916 2.938 0.445 2.520 0.709 2.987 0.456 2.460 0.714 2.834 0.309 2.713 0.106 2.449 0.822 3.110 Задача 6. По данным, приведенным ниже определить статистиче- ские характеристики X и Y и построить уравнение регрессии Y=A*X+B. Наложить прямую регрессии на поле рассеивания. X Y X Y X Y X Y X Y 0.193 2.541 0.410 2.223 0.294 2.725 0.925 2.861 0.584 2.859 0.942 2.656 0.706 3.134 0.714 2.899 0.057 2.698 0.377 2.618 0.875 2.355 0.051 2.482 0.644 2.745 0.876 3.234 0.869 3.177 0.156 2.334 0.506 3.084 0.027 2.888 0.598 2.341 0.331 2.628 0.928 3.100 0.605 2.655 0.705 2.389 0.370 3.058 0.620 2.500 0.134 2.103 0.777 2.716 0.783 3.039 0.333 2.259 0.276 2.849 0.865 2.565 0.833 2.960 0.784 2.559 0.016 2.197 0.321 2.572 0.389 2.364 0.902 3.213 0.674 2.482 0.942 2.980 0.582 2.336 0.372 2.594 0.722 2.693 0.428 2.288 0.285 2.636 0.510 2.880 0.410 2.256 0.158 2.904 0.399 2.839 0.434 2.939 0.219 2.470 0.268 2.253 103 Задача 7. Матрица вероятностей перехода P ij =P(i j) имеет вид: 10 0 20 30 0 1 1 0 0 1 P ; p a a p b b p c c p p 0 - вектор распределения вероятностей при t=0. Найти: а) распределение вероятностей при t=2; б) стационарное распределение вероятностей. a, b, c равны: 0.950; 0.246; 0.555 p 10 ,p 20 ,p 30 равны: 0.352; 0.053; 0.595 Задача 8. В цехе имеется два станка для обработки корпусных дета- лей. Интенсивность поступления деталей на обработку равна L дет/час, а интенсивность обработки деталей каждым станком равна M дет/час. Нари- совать графы состояний и вычислить: коэффициент использования обору- дования, среднее число занятых станков, среднее число деталей в очереди, среднее время пребывания детали в цехе, вероятности состояний, если: а) имеется накопитель на две детали; б) емкость накопителя не ограничена. L, M= 8.259; 4.317 Ответы на упражнения 1. x ср = 20.5939; S= 2.6536; 19.650 < 3.7202 2. x ср = 2.10109; = 1.74675; гистограмма: 17; 11; 9; 5; 5; 1; 1; 1 3. Гипотеза принята. Критерий Пирсона равен 9.490. Рассчитанное значе- ние равно 2 = 2.600. Гистограмма: 12; 9; 12; 6; 11 4. Гипотеза принята. J c = 0.4067524; t= 1.959964. Энтропия равна H=1.456383 . Гистограмма: 5; 14; 19; 17; 4. 5. MX= 0.514; MY= 2.707; S x = 0.329; S y = 0.329; R xy = 0.906; Y= 2.240+ 0.908 X 6. MX= 0.513; MY= 2.669; S x = 0.278; S y = 0.301; R xy = 0.422; Y= 2.435+ 0.457 X 7. а) p 1 =0.421; p 2 =0.436; p 3 =0.143 б) p 1 =0.772; p 2 =0.158; p 3 =0.070 8. а) p 0 =0.122; p 1 =0.234; p 2 =0.224; p 3 =0.214; p 4 =0.205 Число занятых станков = 1.521. Число деталей в системе= 2.145 Число деталей в очереди = 0.624. Коэффициент использования = 0.760 Время пребывания в цехе = 0.2597353 б) p 0 =0.022 Число занятых станков = 1.913. Число деталей в системе=22.485 Число деталей в очереди=20.572. Коэффициент использования = 0.957 Время пребывания в цехе= 2.72244 104 Приложение. Статистические таблицы В Приложении приведены три основные таблицы: функция нор- мального распределения или интеграл Гаусса; таблица квантилей 2- распределения; таблица квантилей распределения Стьюдента (t- распределение). 105 106 107 108 109 110 ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................. 3 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ................................................................................................................. 3 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 1. .............................................................................................................. 14 ЧАСТЬ 2. ЧИСЛА И ПРЕДЕЛЫ ....................................................................................................................... 16 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 16 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 2. .............................................................................................................. 22 ЧАСТЬ 3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ................................................................. 24 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 24 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 3. .............................................................................................................. 37 ЧАСТЬ 4. ИНТЕГРАЛЫ. .................................................................................................................................... 39 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ . .............................................................................................................. 39 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 4 ............................................................................................................... 53 ЧАСТЬ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ......... 56 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 56 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 5 ............................................................................................................... 63 ЧАСТЬ 6. РЯДЫ. ................................................................................................................................................... 64 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 64 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 6. .............................................................................................................. 69 ЧАСТЬ 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ................................................ 70 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 70 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 7. .............................................................................................................. 82 ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ............................................................................................................ 84 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 84 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 8. .............................................................................................................. 90 ЧАСТЬ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ............................................................................................... 92 П РИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................................................... 92 У ПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 12 ........................................................................................................... 101 ПРИЛОЖЕНИЕ. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ .................................................................................. 104 |