Методические указания. Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)

• Название: Методические указания по решению задач Тула2018 2 ббк 22. 161 Удк 517 (075. 8)
• Анкор: Методические указания
• Дата: 26.04.2022
• Размер: 2.85 Mb.
• Имя файла: Методические указания.pdf
• Тип: Методические указания; #498691
• страница: 8 из 9

Часть 8. Теория вероятностей
Примеры решения задач
Задача 1. В урне находится 1 белых и 8 черных шаров. Наугад из- влекают 6 шаров. Какова вероятность того, что все шары черные?
Решение. Воспользуемся классическим определением вероятностей.
Всего шаров
9 1

N
, из них извлекают
6 1

M
шаров. Общее количество различных вариантов извлечения
6 1

M
шаров из
9 1

N
шаров равно
1 1
6 9
9 7 8 9 84 6 9 6
1 2 3
!
!(
)!
M
N
С
C
 





 
Таким образом мы получаем
84

n
возможных комбинации. Опре- делим теперь количество интересующих нас комбинаций. Всего черных шаров
8 2

N
, из них извлекаем
6 2

M
шаров. Количество различных ва- риантов извлечения равно
2 2
6 8
8 7 8 28 6 8 6
1 2
!
!(
)!
M
N
С
C







Итак, интересующих нас комбинаций
28

m
. Вероятность анализи- руемого события равна отношению количества интересующих нас комби- наций к общему количеству комбинаций, т.е.
33333 0
84 28



n
m
p
Ответ:
33333 0

p
Задача 2. В партии из 19 лотерейных билетов 9 выигрышных. Куп- лено 12 билетов. Какова вероятность, что среди них 7 выигрышных?
Решение. Здесь используется гипергеометрическое распределение.
Вероятность того, что при покупке n билетов из партии объемом N, в которой имеется D выигрышных, мы получим d выигрышных, равна
d
n d
D
N d
n
N
C C
p
C



Подставим наши числа и получим:
7 5
9 10 12 19 36 252 0 18 50388
.
C C
p
C




Ответ:
0 18
.
p

Задача 3. В группе 24 человека. Какова вероятность того, что у них разные дни рождения?
Решение. Всего количество размещений 24 дней рождения по 365 дням года равно
24 365

n
Первый человек в группе может иметь
365 1

m
вариантов дня рож- дения. 2-ой, для того, чтобы его день рождения не совпал с днем рождения первого, может иметь
364 1
365 2



m
варианта дня рождения, ...,
i
-й человек может иметь


1 365



i
m
i
варианта дня рождения.

85
Всего вариантов выбора разных дней рождения у
k
человек имеется









k
i
i
m
1 1
365
Вероятность равна
m
p
n

или


























k
i
k
i
k
i
i
p
1 1
365 1
1 365 1
365
Таким образом, при
24

k
имеем:
4616557 0
365 23 1
365 2
1 365 1
1 1






 







 






 


p
Ответ:
4616557 0

p
Задача 4. В 13 ящиков случайным образом поместили 8 шаров. Ка- кова вероятность того, что в некотором фиксированном ящике ровно 4 ша- ра?
Решение. Общее количество размещений 8 шаров по 13 ящикам рав- но
8 13

n
. 4 шара из 8 можно выбрать
4 1
8 70
m
C


способами.
Остальные 4 шара можно разместить в оставшихся 12 ящиках
4 2
12

m
способами.
Таким образом, общее количество нужных нам размещений равно
2 1
m
m
m


Вероятность интересующего нас события равна
001779411 0
13 12 70 8
4




n
m
p
Ответ:
001779411 0

p
Задача 5. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 12 раз.
Определить вероятность того, что цифра выпадает 4 раза.
Решение. Обозначим
A
- событие, заключающееся в том, что 11 раз выпал герб и 4 раза цифра. Вероятность такого события определяется би- номиальным распределением с параметром p=1/2 (1/2 - вероятность выпа- дения герба при одном бросании).
Имеем:
 


4 11 11 15 1
0 0041656493
.
p A
C p
p



Интересующее нас событие
B
заключается в том, что произошло со- бытие
A
и при следующем бросании выпадает герб (событие
B
).
Так как
B
A
C


, где
A
и
B
- независимые, то
 
   
B
p
A
p
C
p



86
Поскольку
 
2 1

B
p
, то
 
C
p
=0.020828246
Ответ:
 
5 10 082825 2


C
p
Задача 6. При пересыпании из одной урны в другую один шар неиз- вестного цвета затерялся. Из оставшихся шаров вынимают один шар. Ка- кова вероятность того, что этот шар белый, если всего было 57 шаров, 55 из которых - черные?
Решение. Всего шаров 57, а белых из них - 2. Если затерялся только один шар, то его можно выбрать 57 способами. Из них нас интересует только количество способов, которыми можно выбрать один из белых ша- ров - 2. Таким образом, вероятность равна
035087719 0
57 2


p
Ответ:
2 10 5087719 3


Задача 7. В цехе работает N=35 станков одинаковой производитель- ности. Из них: N
1
=11- марки
A
; N
2
=9 - марки
B
; N
3
=15 - марки
C
. Вероят- ность того, что качество детали окажется хорошим, равна соответственно
1 2
3 0 944 0 887 0 906
.
,
.
,
.
p
p
p



. Какой процент хороших деталей выпус- кает цех?
Решение. Всего выпускается за единицу времени
3 2
1
N
N
N
N



деталей. При этом первые типы станков выпускают
1 1
1
p
N
M


хороших деталей, станки второго типа выпускают
2 2
2
p
N
M


хороших деталей, станки третьего типа выпускают
3 3
3
p
N
M


хороших деталей.
Всего хороших деталей за единицу времени выпускается
3 2
1
M
M
M
M



Таким образом, процент хороших деталей равен
29177 91 100



N
M
k
Ответ: 91.29177
Задача 8. Имеется три машины, изготавливающие болты. Их произ- водительность равна соответственно
1 2
3 1850 1017 1236
,
,
N
N
N



шт./час. Брак в потоке изделий от каждой машины составляет соответ- ственно
1 2
3 4
2 3
,
,
p
p
p



процентов. Наугад выбранный болт оказался хорошим. Какова вероятность того, что он выпущен первой машиной?
Решение. В данном случае необходимо применять формулу Байеса:

87


 


 


i
i
i
n
i
i
i
P H
P A H
P H A
P H
P A H




Здесь H
i
- событие, заключающееся в том, что болт выпущен
i
-ой машиной;
A
- событие, заключающееся в том, что болт хороший.
Очевидно, что
 
1 2
3
i
i
N
P H
N
N
N



Вероятность того, что
i
-ой машиной выпущен хороший болт, равна
1
i
p

Вероятность выпуска хорошего болта всем комплексом равна
 
 


3 1
i
i
i
P A
P H
P A H




Подставляя приведенные в условиях числа и вычисляя, получим, что


1 0 4471772
.
P H A

Ответ: 0.4471772
Задача 9. Дана плотность распределения
 
x
p
случайной величины
X
. Найти неизвестный параметр
C
, математическое ожидание
MX
, дис- персию
DX
и вероятность выполнения неравенства
2 1
x
X
x


 
x
C
x
p


на
]
,
[ b
a
и равна нулю вне
]
,
[ b
a
a=4.2811; b=7.6914; x
1
=5.5136; x
2
=6.85.
Решение. Параметр
C
находится из условия, что
 


2 1
2 2
a
b
C
xdx
C
dx
x
p
b
a









Отсюда
4898456 0
0 2
2 2



a
b
C
Математическое ожидание равно
 


148142 6
3 3
3 2











a
b
C
dx
x
C
dx
x
p
x
MX
b
a
Дисперсия равна
 
9429396 0
]
[
2




dx
x
p
MX
x
DX
b
a
Вероятность попадания в интервал
]
,
[
2 1
x
x
равна
 
4046929 0
2 1



dx
x
p
p
x
x
Ответ:
2 4 8984 10 6 1481 0 9429 0 4047
.
,
.
,
.
,
.
C
MX
DX
p







88
Задача 10. В цехе имеется
N
станков. Количество отказов
K
за смену подчиняется закону Пуассона с параметром '
a
'. Найти вероятность того, что
2 1
M
K
M


. Найти ту же вероятность, если число станков будет увеличено в
L
раз.
M
1
=3, M
2
=5, L=5, a=0.3408936.
Решение. Закон Пуассона: вероятность
K
отказов равна
 
a
K
e
K
a
K
P


!
(1)
Если число станков будет увеличено в
L
раз, то это приведет только к тому, что параметр a также возрастет в
L
раз.
Вероятность того, что
2 1
M
K
M


, равна


 
2 2
1 1
1 2
!
K
M
M
a
K M
K M
a
P M
K
M
P K
e
K









(2)
Подставим в (2) значения, данные в условии задачи, и получим, что
00512265 0
1


p
P
Увеличим теперь количество станков в
L
=5 раз. Тогда параметр a также увеличится в 5 раз и станет равным
704468 1

a
Подставим новое значение a в формулу (2). Получим, что
2358603 0
2


p
P
Ответ:
00512265 0
1

p
;
2358603 0
2

p
Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
B
X
A
Y



, если
X
- случайная величина с плотностью веро- ятности
 
ax
a
x
p


e
;
0

x
A=6.6479, B=10,2359, a=4.0338.
Решение.
   
 
 














dx
x
p
MY
x
f
DY
dx
x
p
x
f
MY
2
]
[
;
Т.к. при
 
0 0


x
p
x
, то интегрирование производится от 0 до бес- конечности.
Интегрируя, получаем:
716082 2
;
84 11


DY
MY
Ответ:
716082 2
;
84 11


DY
MY
Задача 12. Случайная величина 'размер детали' имеет нормальное распределение с известными
MX
и
DX
. Поле допуска -
 
b
a,
. Найти веро- ятность того, что деталь годная.
MX=23.6172, DX=1.0469, a=23.4152, b=23.8193.
Решение. Обозначим
DX
 
Нормальное распределение задается следующим образом:

89




2 2
2 1
2
e
x MX
b
a
p a
x
b
dx



 



Если сделать замену
x
MX
t



, то


 
 
 
 
2 2
1 2
e
t b
t
t a
p a
x
b
dt
Ф t a
Ф t b





 









Здесь
 
 
;
a
MX
b
MX
t a
t b






 
t
Ф
- функция Лапласа, которая табулирована.
Вычислим
   
b
t
a
t
,
и найдем значения Ф[t(a)] и Ф[t(b)].
 
 
1975211 0
0231813 5
6172 23 8193 23
;
1974234 0
0231813 5
6172 23 4152 23







a
t
a
t
С достаточно хорошей точностью
 
 
197 0



b
t
a
t
Т.к.
 
 
x
Ф
x
Ф



1
, то
 
 
 
 
 
 
1 2



b
t
Ф
a
t
Ф
b
t
Ф
или


156 0
1 578086 0
2 1
197 0
2






Ф
p
Примечание: для нахождения значений функции Лапласа ис- пользовались следующие таблицы: Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983.
Те же данные, хотя и с меньшей точностью, можно, как правило, найти практически во всех учебных пособиях и сборниках задач по теории вероятностей и математической статистике.
Ответ:
p
=0.156

90
Упражнения к разделу 8.
Задача 1. В урне находится 3 белых и 7 черных шаров. Наугад извлекают
3 шаров. Какова вероятность того, что все шары черные?
Задача 2. В партии из 21 лотерейных билетов 13 выигрышных. Куплено 10 билетов. Какова вероятность, что среди них 4 выигрышных?
Задача 3. В группе 18 человек. Какова вероятность того, что у них разные дни рождения?
Задача 4. В 21 ящик случайным образом поместили 6 шаров. Какова ве- роятность того, что в некотором фиксированном ящике ровно 5 шаров?
Задача 5. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет 11 раз. Опре- делить вероятность того, что цифра выпадает 5 раз.
Задача 6. При пересыпании из одной урны в другую один шар неизвест- ного цвета затерялся. Из оставшихся шаров вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый, если всего было 92 шара, 51 из которых - черные?
Задача 7. В цехе работает
N
станков одинаковой производительности. Из них:
1
N
=9 – марки
A
;
2
N
=6 – марки
B
;
3
N
=15 – марки
C
. Ве- роятность того, что качество детали окажется хорошим, равна соответственно
843 0
1

p
;
872 0
;
91 0
3 2


p
p
. Какой про- цент хороших деталей выпускает цех?
Задача 8. Имеется три машины, изготавливающие болты. Их производи- тельность равна соответственно
1 1204;
N

2 1497;
N

1285 3

N
шт./час. Брак в потоке изделий от каждой машины составляет соответственно
4
;
5
;
6 3
2 1



p
p
p
процентов.
Наугад выбранный болт оказался хорошим. Какова вероятность того, что он выпущен первой машиной?
Задача 9. Дана плотность распределения
 
x
p
случайной величины
X
Найти неизвестный параметр
C
, математическое ожидание
MX
, дисперсию
DX
и вероятность выполнения неравенства
2 1
x
X
x


 
x
C
x
p


на
 
b
a,
и равна нулю вне
 
b
a,
a
=4.9262,
b
=8.8237,
1
x
=6.6685,
2
x
=7.2798
Задача 10. В цехе имеется
N
станков. Количество отказов
K
за смену подчиняется закону Пуассона с параметром '
a
'. Найти вероят- ность того, что
2 1
M
K
M


. Найти ту же вероятность, если число станков будет увеличено в
L
раз.
1
M
=2,
2
M
=4,
L
=3,
a
=0.2732426

91
Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной вели- чины
B
AX
Y


, если
X
- случайная величина с плотностью вероятности
 


0



x
ae
x
p
ax
A
=6.7407,
B
=11.9114,
a
=1.9733
Задача 12. Случайная величина 'размер детали' имеет нормальное распре- деление с известными
MX
и
DX
. Поле допуска -
 
b
a,
. Найти вероятность того, что деталь годная.
MX
=28.0759,
DX
=1.1260,
a
=27.3471,
b
=28.8047
Ответы на упражнения
1.
p
= 0.2916667 2.
p
= 5.675955 2
10


3.
p
= .6530885 4.
p
= 1.399154 2
10


5.
p
= 4.582214 2
10


6.
p
= .4456522 7.
p
= 87.10781 8.
p
= .2988137 9.
MX
=7.059108;
DX
=1.231965;
p
=0.1591216;
C
=0.0373202 10.
1
p
=
2 10 116919 3


;
2
p
= .1967475 11.
MX
= 15.32739;
DX
= 11.66928 12.
p
=0 .5077823

92