2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА. Методические указания

• Название: Методические указания
• Анкор: 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА.docx
• Дата: 29.05.2018
• Размер: 9.32 Mb.
• Имя файла: 2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА.docx
• Тип: Методические указания; #19753
• страница: 3 из 15

Глава 3.ДИНАМИКА

Задача 5. Динамика материальной точки
1.5.1. Содержание задания
Варианты 1—5 (рисунок 19.1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение с.. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе Tс.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: = 30°; = 0; f = 0,2; l = 10 м; = 60°. Определить и h.

Вариант 2. Дано: = 15°; = 2 м/с; f = 0,2; h = 4 м; = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: = 30°; = 3,5 м/с; f; l = 4 м; d = 10 м; = 60°. Определить и .

Вариант 4. Дано: = 0; = 2 с; l = 9,8 м; = 60°; f = 0. Определить и T.

Вариант 5. Дано: = 30°; = 0; l = 9,8 м; = 3 с; = 45°. Определить и .

Варианты 6—10 (рисунок 20.1 ). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется с; в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Тс лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: = 20°; = 0,1; = 0,2 с; h = 40 м; = 30°. Определить l и .

Вариант 7. Дано": = 15°; = 0,1; = 16 м/с; l = 5 м; = 45°. Определить и T. .

Вариант 8. Дано: = 21 м/с; = 0; = 0,3 с; = 20 м/с; = 60°. Определить и d.

Вариант 9. Дано: = 15°; = 0,3 с; = 0,1; h = м; = 45°. Определить и .

Вариант 10. Дано: = 15°; = 0; - 12 м/с; d = 50 м; = 60°. Определить и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11—15 (рисунок 21.1). Имея в точке А скорость , мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Тс и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать силы сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: = 30°; ; l = 40 м; = 0; = 4,5 м/с; d = 3 м. Определить и h.

Вариант 12. Дано: = 30°; P = 0; l = 40 м; = 4,5 м/с; h = 1,5 м. Определить и d.

Вариант 13. Дано: = 30°; m = 400 кг, = 0; = 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: = 30°; m = 400 кг, Р = 2,2 кН; = 0; l = 40 м; d = 5 м. Определить и .

Вариант 15. Дано: = 30°; = 0; Р = 2 кН; l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить Tи m.

Варианты 16—20 (рисунок 22.1). Камень скользит в течение спо участку АВ откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точкеВ скорость , камень через Tс ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: = 30°; = 1 м/с; l = Зм; f = 0,2; d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: = 45°; l = 6 м; = 2; = 1 с; h = 6 м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: = 30°; l = 2 м; = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и .

Вариант 19. Дано: = 15°; l = 3 м; = 3 м/с; ; = 1,5 с; d = 2 м. Определить и h.
Рисунок 19.1 . Рисунок 20.1.

Рисунок 21.1 .. Рисунок 22.1 .
Рисунок 23.1 Рисунок 24.1
Вариант 20. Дано: = 45°; =0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и .

Варианты 21—25 (рисунок 23.1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен f. Через с тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе Tс.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: = 30°; f = 0,1; = 1 м/с; = 1,5 с; h = 10 м. Определить и d.

Вариант 22. Дано: = 0; = 45°; l = 10 м; = 2 с. Определить / и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; = 0; l = 9,81 м; = 2 с; h = 20 м. Определить и Т.

Вариант 24. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 10 м; d = 12 м. Определить и h.

Вариант 25. Дано: = 0; = 30°; f = 0,2; l = 6 м; h = 4,5 м. Определить и .

Варианты 26—30 (рисунок 24.1). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и .

Вариант 27. Дано: = 4 м/с; f =0,1; = 2 с; d = 2 м. Определить и h.

Вариант 28. Дано: = 3 м/с; f = 0,3; l = 3 м; h = 5 м. Определить и Т.

Вариант 29. Дано: = 3 м/с; = 1 м/с; l = 2,5 м; h = 20 м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить и .
1.5.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач
Движение материальной точки массы т под действием системы сил (), происходящее относительно инерциальной системы отсчета, описывается уравнением

, (1)

где - ускорение точки. Если точка является несвободной, то в правую часть соотношения (1) входят также реакции связей.

Поскольку , где - радиус-вектор точки, то уравнение (1) можно записать в виде

. (2)

Уравнение (2) называется дифференциальным уравнением движения материальной точки в векторной форме. При решении конкретных задач динамики материальной точки уравнение (2) записывается соответственно избранной системе координат.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеют вид

, (3)

здесь - проекции ускорения точки, a - проекции силы на соответствующие оси координат.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трехгранника записываются в форме
, (4)
где s - дуговая координата; - касательное ускорение точки; v - модуль скорости; ρ - радиус кривизны траектории в данной точке; - проекции силы на касательную τ, главную нормаль пи бинормаль b соответственно.

С помощью дифференциальных уравнений движения материальной точки можно решать первую и вторую задачи динамики.

Первая (прямая) задача. Зная закон движения и массу точки, определить силу, действующую на точку.

Вторая (обратная) задача.

Зная действующие на точку силы, ее массу и начальные условия движения, определить закон движения точки.

Начальные условия движения точки в декартовых осях — это координаты точки и проекции начальной скорости на эти оси в момент времени, соответствующий началу движения точки и принимаемый обычно равным нулю.

Решение задач сводится к составлению дифференциальных уравнений (или одного уравнения) движения материальной точки и их последующему решению путем непосредственного интегрирования или с использованием теории дифференциальных уравнений.

Вторую задачу рекомендуется решать по следующему

алгоритму:

1. Составить расчетную схему.

2. Изобразить на расчётной схеме материальную точку в произвольном положении, действующие на неё активные (внешние) силы, реакции связей; провести координатные оси.

3. Записать начальные условия движения.

4. Составить дифференциальные уравнения движения точки.

5. Построить общее решение дифференциальных уравнений движения.

6. Определить постоянные интегрирования по начальным условиям.

7. Подставить постоянные интегрирования в общее решение, определить искомые величины.

8. Проанализировать полученные результаты.
1.5.3. Пример решения задачи
Материальной точке сообщается начальная скорость v₀ = 7 м/с,в результате чего она проходит по горизонтальной шероховатой плоскости расстояние l = 10,1 м и падает с нее. Коэффициент трения скольжения f = 0,2. Определить скорость v, длину полета L, глубину падения Н точки в момент t = 5 с после начала движения. Сопротивление среды не учитывать (рисунок . 21).

Рисунок . 21 Рисунок . 22
Решение.

Рассмотрим движение точки на прямолинейном участке АВ (рисунок. 22). Определим скорость точки в конце этого участка. Начало осей координат совместим с началом движения. Начальные условия при t = 0 имеют вид

На основании принципа освобождаемости от связей рассматриваем точку как свободную, на которую действует сила тяжести mg, нормальная реакция N и сила трения F_mp.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых осях:

,
в данном случае с учетом того, что и , принимают вид

Отсюда N = mg. Используя закон Кулона для силы трения F_mp = fN, получаем F_mp = fmg. Тогда

. (1)

Разделим переменные t и v_x в уравнении (1) и проинтегрируем его, пользуясь неопределенными интегралами
.
Учитывая начальное условие, определим постоянную интегрирования С₁ = v₀. Тогда формула изменения скорости точки на участке АВ принимает вид
. (2)
Для того чтобы вычислить время t₁ преодоления материальной точкой пути АВ и ее скорость в момент прохождения точки В, необходимо использовать условие |АВ| = l = 10,1 м.

Перепишем уравнение (2), учитывая, что v_x =dx/dt,

.

Разделив здесь переменные и проинтегрировав это уравнение, получим
,

откуда

.
Из последнего уравнения можно определить время, когда величина х будет равна l. Решая квадратное уравнение

или

,

отыскиваем два значения: t с и t₁ = 5,1 с. Второе значение времени физически не реализуется, так как предполагает дальнейшее движение точки по горизонтали, а затем возврат ее в точку B, что невозможно, поскольку после точки В материальная точка перестает взаимодействовать с поверхностью и начинает падать.

Таким образом, время t₁= 2 с и, подставляя его в формулу (2), находим скорость точки в конце участка АВ: м/с.

Теперь из уравнения (2) определяем время

.
Рассмотрим далее криволинейное движение точки на участке ВС (рисунок 23). Начало отсчета времени совместим с моментом начала падения. Начальные условия в выбранных осях координат принимают вид:

при t = 0

х = 0; = 3,1м/с; у = 0; = 0.





Рисунок 23



На точку действует только сила тяжести mg. Запишем дифференциальные уравнения движения точки:

,

или

.
Разделив переменные и проинтегрировав эти уравнения, получим
v_x =C₃; v_y=gt + C₄.
В соответствии с начальными условиями постоянные интегрирования равны С₃ = v₁ и С₄ = 0.

Тогда имеем

v_x = v₁ = const, v_y = gt.
Рассматриваемое время свободного падения точки, отсчитываемое от положения В, равно t₂ = t – t₁ = 3 с.

Вычислим скорость v₂ точки в момент t₂ = 3 с (положение С на траектории)

v_2x=v₁= 3,1м/с; v_2y = gt₂ = 29,4 м/с;
м/с.

Дифференциальные уравнения движения точки на участке ВС представим в следующем виде:

.

Разделяя переменные и интегрируя эти уравнения, получаем

.

Постоянные интегрирования определяем по заданным начальным условиям (при t = 0 х = 0; у = 0), а именно: С₅ = С₆ = 0.

Уравнения движения точки имеют вид
х = v₁t, у =gt²/2.
При заданномt₂ = 3 с находим дальность полета

L = x(t₂) = 9,3 м

и глубину падения

Н = y(t₂) = 44,1 м.
1.5.4 Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)
1. Сформулируйте законы динамики.

2. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат.

3. Запишите дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на естественные оси.

4. Сущность первой задачи динамики и порядок ее решения.

5. Сущность второй задачи динамики и порядок ее решения.

Задача 6. Применение теоремы об изменении кинетической

энергии к изучению движения механической системы
1.6.1. Содержание задания
Для приведенных на схемах 1-30 (рисунок 24.1) механических систем, используя теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме, определить угловую скорость (варианты 4, 6, 7, 9, 11, 18, 25, 26, 28) или линейную скорость (остальные варианты) тела 1 после его заданного перемещения φ₁ = 2π рад или s₁ = 2 м. Движение начинается из состояния покоя.

Рисунок 24.1

1.6.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы: изменение кинетической энергии механической системы на ее конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил на этом перемещении:

,

где Т₀ – начальное значение кинетической энергии системы.

Формулы для подсчёта кинетической энергии твёрдого тела в различных видах его движения.

Тело движется поступательно, скорости всех точек твёрдого тела одинаковы и равны скорости центра масс тела, поэтому кинетическая энергия равна:

,

где М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с;

Тело вращается вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия равна:

,

где J_z – момент инерции тела относительно оси вращения тела, кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c;

Тело совершает плоское движение. При плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через цент масс и перпендикулярной плоскости движения.

,

где J_Сz^' – момент инерции тела относительно оси вращения Сz^', кг·м²; - угловая скорость вращения тела, 1/c; М – масса твердого тела, кг; V_c – скорость центра масс тела, м/с.

При решении задач полезно знать моменты инерции некоторых тел.

1. Момент инерции цилиндра:

2. Момент инерции ступенчатого шкива:

3. Момент инерции блока, масса которого равномерно распределена по ободу:

Работа сил, приложенных к твердому телу.

1. Сумма работ внутренних сил твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

2. Работа силы тяжести равна произведению силы на величину вертикального перемещения и имеет положительное или отрицательное значение. Величина работы силы тяжести положительная, когда векторы силы тяжести G и вертикального перемещения h_c совпадают, т.е. работа положительная при опускании точки и отрицательная при подъеме.

А=± Mgh_c,

где М – масса материальной системы, кг; h_c – вертикальное перемещение центра масс, м; g– ускорение свободного падения, м/с².

3. Работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна

А=± M^П(φ-φ₀),

где M^П- момент пары сил, приложенной к телу, Нм;

φ-φ₀ – значение конечного угла поворота тела.

Работа положительна, если направление момента совпадает с направлением вращения тела.

4. Работа силы трения: А= - F_тр·S, где S- перемещение, м. Работа силы трения всегда отрицательна.

5. Работа линейной силы упругости пружины: А=0,5с∙(λ²₀ - λ²₁), где с - коэффициент жесткости пружины; λ - удлинение пружины, м. Работа положительна при λ₀> λ₁ и отрицательна при λ₀< λ₁.
1.6.3. Пример решения задачи
Механическая система состоит из грузов 1 и 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней R₃ и r₃, радиусом инерции ρ₃ относительно оси вращения, блока 4 радиуса R₄ и подвижного блока 5 (коэффициент трения грузов о плоскость равен f).Тела системы соединены нитями, намотанными на шкив 3 (рисунок 25.1).

К центру блока 5 прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с; её начальная деформация равна нулю.

Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F=f(s), зависящей от перемещения sточки её приложения. На шкив 3 при движении действует постоянный момент М сил сопротивления.

Дано:m₁=0 кг, m₂=5 кг, m₃=6 кг, m₄=0 кг, m₅=4 кг, R₃=0,3 м, r₃= 0,1 м, ρ₃=0,2 м, f=0,1, с=240 Н/м, М=0,6 Нм, F=80(3+2S)H, s₁=0,2 м.

Определить:v_c5 в тот момент, когда s= s₁.
Решение.

1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_упр, Р₂ , Р₃ , Р₅, F_тр2 , момент сопротивления М, натяжение нити S₅ и реакции связей N₂ , N₃,N₄ .

2. Для определения v_c5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии:

,где - соответственно, сумма работ внешних и внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т₀=0.

3. Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел

системы:

Т= Т₂+ Т₃+ Т₅.

4. Выполним кинематический анализ:

- тело 2 движется поступательно;

- тело 3 вращается вокруг неподвижной оси;

- тело 5 участвует в плоском движении.

Исходя из этого, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

.

5. Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s₁, зависит от искомой скорости v_c5. Поэтому все скорости, входящие в выражение кинетической энергии данной механической системы, выразим через скорость v_c5.

6. Поскольку грузы 1 и 2 связаны нерастяжимой нитью, то их скорости равны. В свою очередь эта нерастяжимая нить перекинута через малый обод шкива 3, следовательно: v₁= v₂= v_А, где v_А – любая точка обода радиуса r₃ шкива 3.

7. Линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω₃: v₂= ω₃r₃, v₅= ω₃R₃.

Рисунок 25.1

8. Поскольку точка К₅ является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити К₅L), то v₅=2v_c5. Тогда:

9. Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

10. Выполнив подстановку всех приведенных выше значений в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

.

11. Находим работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s₁=0,2 м. Введем следующие обозначения:

s₂ – перемещение груза 2 (s₂=s₁);

φ₃ – угол поворота шкива 3;

h₅ – перемещение центра масс блока 5;

λ₀, λ₁ –начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

, где

Работы остальных сил равны нулю:

- точка К₅ – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения нити S₅ равна нулю;

- реакция опоры N₂перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому работы не совершает;

- реакции N₃ , N₄, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ₀=0, тогда λ₁ = s_c5– перемещение конца пружины. Выразим величины s_c5 и φ₃ через заданное перемещение s₁. Зависимость между перемещениями такая же, как между соответствующими им скоростями:

12. Поскольку v₅=v₃=ω₃R₃ и v_c5=0,5v₅, то v_c5=0,5ω₃R₃. Следовательно, λ₁ = s_c5=0,5φ₃R₃=0,5(s₁R₃)/r₃.

13. При найденных значениях φ₃ и λ₁ получим выражение для подсчета суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

14. Кинетическую энергию приравниваем к работе:
=

=

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость v_c5.

v_c5 = 2,10 (м/c).
1.6.4. Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)
1. Что называется кинетической энергией материальной точки?

2. Напишите формулы для вычисления кинетической энергии твердого тела при поступательном, вращательном и плоском его движениях.

3. Как вычисляется работа силы упругости и силы тяжести?

4. Как определяется работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении?

5. Что называется мощностью силы?

6. Как определяется работа и мощность силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси?

7. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме (в форме мощностей).

8. Сформулируйте теорему об изменении кинетической энергии механической системы в конечной (интегральной) форме.

Задача 7. Исследование движения механической системы с применением общего уравнения динамики
1.7.1. Содержание задания
Для приведенных на схемах 1-30 (рисунок 26.1) механических систем определить указанное на схеме угловое ускорение или линейное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — радиус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэффициент трения скольжения, f_к — коэффициент трения качения.

Рисунок 26.1
1.7.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач
При движении механической системы в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.
, (*)

где - активные силы, - силы инерции.

Уравнение (*) называют общим уравнением динамики, так как из него при различных дополнительных предположениях могут быть получены дифференциальные уравнения движения механической системы, общие теоремы динамики и т.п. В координатной форме уравнение (*) записывается в виде

,
где F_kx, F_ky, F_kz - проекции активных сил на координатные оси; , , - проекции сил инерции; , , - вариации координат точек приложения сил.

Задачи с помощью общего уравнения динамики рекомендуется решать в следующей последовательности:

1. Определить число степеней свободы s рассматриваемой системы.

2. Выбрать независимые величины (обобщенные координаты), с помощью которых можно однозначно задать положение системы, т.е. назначить параметры, относительно которых будут составляться дифференциальные уравнения движения.

3. Изобразить на рисунке активные (задаваемые) силы и реакции неидеальных связей.

4. Приложить к телам (массам) системы силы инерции, направив их в сторону, противоположную соответствующим ускорениям.

5.Сообщить одной из точек системы возможное перемещение, изобразив его на расчетной схеме:

а) если в качестве обобщенной координаты выбрана линейная величина, то возможное перемещение следует сообщить той точке системы, положение которой определяет эта координата;

б) если в качестве обобщенной координаты принята угловая величина, то возможное перемещение следует сообщить тому телу, положение которого определяет эта координата;

6. Изобразить на расчетной схеме векторы возможных перемещений точек приложения сил, указанных в п. 3 и 4.

7. Составить общее уравнение динамики; для этого следует вычислить и приравнять нулю сумму элементарных работ активных сил, реакций неидеальных связей и сил инерции на возможном перемещении системы.

8. Подставить в уравнение п. 7 формулы для сил инерции из п. 4.

9. Выразить возможные перемещения точек приложения сил через возможное перемещение, соответствующее выбранной координате системы.

10. Выразить ускорения точек приложения сил через обобщенное ускорение (вторую производную от обобщенной координаты по времени).

11. Подставив формулы, полученные в п. 9 и 10, в уравнение п. 8, получить после простых преобразований дифференциальное уравнение движения системы.

12. Дальнейшие действия зависят от цели, поставленной в задаче:
а) решение закончено, если требовалось составить дифференциальное уравнение движения;

б) если требуется найти закон движения системы, то далее следует проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях;

в) если в задаче требуется определить ускорение какой-либо точки или угловое ускорение какого-либо тела (такая задача, как правило, ставится для систем, движущихся под действием постоянных сил), то искомую величину легко найти из полученного дифференциального уравнения.
1.7.3. Пример решения задачи
Груз 3 массы т₃ поднимается с помощью устройства, состоящего из шкивов 1 и 2, связанных невесомым ремнем (рисунок 26.1). К ведущему шкиву 1 радиуса R₁ приложена пара сил с постоянным моментом М. Определить угловое ускорение ведущего шкива, если R₂, r₂ - радиусы ступеней ведомого шкива; I₁ и I₂ - моменты инерции шкивов относительно осей их вращения. Сопротивлением и массой троса пренебречь.

Рисунок 26.1

Решение.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы, если выполняются следующие условия:

1. Тела 1, 2, 3 - абсолютно твердые.

2. Ремень и трос нерастяжимые.

3. Проскальзывание ремня на шкивах отсутствует.

4. Груз поднимается, не раскачиваясь (по направляющим).

Построим расчетную схему задачи. Связи, наложенные на систему, являются идеальными. Поэтому на расчетной схеме (рисунок 27.1) показаны только активные силы (вращающий момент и силы тяжести тел) и силы инерции.
Рисунок 27.1
Шкив 1 вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива и имеет величину

. (1)

Шкив 2 также вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива и имеет величину

. (2)

Груз движется поступательно. Система сил инерции частиц груза эквивалентна равнодействующей силе, которая приложена в центре масс, направлена противоположно его ускорению и имеет величину
. (3)

Сообщим шкиву 1 возможное перемещение . Шкив 2 и груз 3 получат при этом возможные перемещения и соответственно. Запишем общее уравнение динамики
. (4)
Нетрудно установить, что
, (5)

. ( 6)
Подставив формулы (1)-(3), (6) в уравнение (4), получим, с учетом (5), уравнение

из которого, после сокращения на находим
.

.

1.7.4. Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)
1. Что называется возможным перемещением материальной точки?

2. Что называют возможными перемещениями механической системы?

3. Какие связи называются идеальными?

4. Что называется обобщенными координатами механической системы?

5.Сущность принципа Даламбера для механической системы.

6 Сущность принципа возможных перемещений.

7.Сущность общего уравнения динамики.

Часть II. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Сопротивление материалов — это наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.

Прочность – это способность конструкции (или отдельного ее элемента) выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Жесткость – это способность конструкции (или отдельного элемента) сохранять исходную форму в заданных (обычно весьма малых) пределах.

Устойчивость – способность конструкции (или отдельного элемента) сохранять первоначальную форму упругого равновесия.