2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА. Методические указания
 Скачать 9.32 Mb.
|
Задача 1.Расчет бруса при центральном растяжении (сжатии)2.1.1. Содержание задания Ступенчатый брус нагружен силами и , направленными вдоль его оси (рисунок 28.2). Заданы длины участков a, b, c и площади их поперечных се че ний и . Модуль упругости материала МПа, предел текучести МПа и запас прочности по отношению к пре делу теку чести . Требуется: 1) построить эпюры продольных сил , напряжений и про дольных пе ремещений ; 2) проверить, выполняется ли условие прочности. Рисунок 28.2 Таблица 1
2.1.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач Растяжением (сжатием) называется вид деформации, при котором в попе речных сечениях бруса возникают только продольные силы, напра вленные вдоль его оси, все остальные внутренние усилия равны нулю. Продольная или нормальная сила N считается положительной при рас тяжении и отрицательной при сжатии. Ее величина может быть найдена с помощью метода сечений: она чис ленно равна алгебраической сумме проекций на ось бруса всех внешних сил, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения. Действующая в поперечном сечении продольная сила N равномерно рас пределяется по всему сечению и, как следствие этого, нормальные напря жения также равномерно распределяются по всему сече нию. Их величина определяется по формуле , где N - продольная сила в поперечном сечении; F - его площадь. (В некоторых учебниках и учебных пособиях площадь обо зна чается латинской буквой А). В системе СИ сила выражается в ньютонах, площадь поперечного сече ния - в квадратных метрах (м2), нормальное напряжение - в паскалях (Па). Абсолютное удлинение бруса при растяжении определяется по формуле где l - начальная длина бруса; lк - длина бруса после деформации. Относительное удлинение бруса (относительная продольная дефор мация) . При растяжении l> 0 и > 0, при сжатии эти величины отрицательны. Абсолютное поперечное сужение где b - первоначальный поперечный размер бруса; bк - величина поперечного размера бруса после нагружения. Относительное поперечное сужение (относительная поперечная дефор мация) . Абсолютная величина отношения , обозначаемая , называется коэф фициентом Пуассона. Она является постоянной для каждого материала и ха рак теризует его упругие свойства: Между нормальным напряжением и относительным удлинением суще ствует прямая пропорциональная зависимость, называемая законом Гука , где E - коэффициент пропорциональности ( модуль упругости первого ро да или модуль Юнга). Модуль упругости - это физическая характеристика материала, измеряе мая в тех же единицах, что и нормальное напряжение. Учитывая, что и , можно записать выражение для вычисления абсолютного удлинения бруса в виде . Для ступенчатого стержня и (или) стержня с несколькими продольными нагрузками удлинение подсчитывается как алгебраическая сумма удли не ний участков бруса, в пределах которых N, E, Fпостоянны: . Если же величины N и F изменяются по длине бруса, его абсолют ное уд ли не ние вычисляется по формуле Используя соотношение max [], называемое условием прочности, можно решать три основных задачи сопротивления материалов. 1. Подборка сечениярастянутого (сжатого) бруса, при котором его прочность будет обеспечена. Расчетная формула в этом случае имеет вид , где N - продольная сила в опасном сечении бруса (сечении, в котором действует максимальное нормальное напряжение); F - площадь поперечного сечения бруса; [] - допускаемое напряжение материала бруса. Отсюда определяется необходимая площадь его сечения . Зная форму сечения и его площадь, можно определить линейные раз ме ры сечения или по сортаменту подобрать требуемый стан дарт ный про филь: уголок, швеллер, двутавр и т. д. Допускаемое напряжение [] либо задается зара нее, либо находится по формуле , где опаснт - предел текучести для пластичных материалов; опасн- временное сопротивление для хрупких материалов; n - запас прочности материала . 2. Определение допускаемой нагрузки при известных прочностных свой ства материала и площади поперечного сечения бруса. Расчетная формула, вытекающая из условия прочности , позволяет вычислить наибольшее значение продольной силы N, дей ствующей в опасном сечении и, следовательно, величину внешних наг ру зок, приложенных к брусу. 3. Проведение поверочного расчета прочностибруса. При поверочном расчете нагрузки, размеры и материал, из которого из го тов лен брус, считаются известными. Вычисляется наибольшее нормаль ное на пряжение в опасном поперечном сечении и сравнивается с допус ка емым: . Если max [], то прочность бруса обеспечена. 2.1.3. Пример решения задачи Ступенчатый брус нагружен силами Р1, Р2, Р3, (рисунок 29.2). Требуется построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений , продольных перемещений и проверить, вы по лняется ли условие прочно с ти. Дано: кН, кН, кН,мм, м; . ;. Решение. 1. Построение эпюры N. На брус действуют три си лы, следовательно, про до льная си ла по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых про до льная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в ко торых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого. Рисунок 29.2. Расчетная схема бруса и эпюры: а расчетная схема; б эпюра продольных сил; в эпюра напряжений; г эпюра продольных перемещений Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по пра вилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А. Участок АВ, сечение 1-1. Справа от сечения действует растягивающая сила (рис. 27, а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, по лу ча ем Участок ВС, сечение 2-2. Справа от него расположены две силы, на правленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учи тывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.27) Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отри ца тель ные - вниз.
Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса: ; ; . При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растя же нию, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 27, в.
Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удли нения отдельных участков бруса, используя закон Гука: ; . Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного за кре плен ного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может сме щать ся и его пере мещение равно нулю: Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Пе ремещение сечения С определяется по формуле . При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево. Пере мещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Скл а дывая их удлинения, получаем . Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А: . В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычис лен ных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, стр о им эпю ру перемещений ( рис. 27, г).
Условие прочности записывается в следующем виде: . Максимальное напряжение находим по эпюре напряжений, выби рая максимальное по абсолютной величине: . Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасными. Вычисляем допускаемое напряжение: . Сравнивая и , видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое. 2.1.4. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы) 1.Что называется прочностью, жесткостью и устойчивостью? 2.Сущность метода сечений. 3.Виды деформаций и какими силовыми факторами они вызываются? 4.Закон Гука при растяжении (сжатии). 5.Условие прочности при растяжении (сжатии). 6.Что изучает сопротивление материалов? 7.Что называется напряжением, единицы измерения? |