2 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ МЕХАНИКА. Методические указания
 Скачать 9.32 Mb.
|
Рисунок 32.2
3.3.2. Краткие сведения по теории и методические рекомендации по решению задач При изгибе в поперечном сечении бруса, который в этом случае называется балкой, возникают два внутренних усилия: попе реч ная си ла Q и изгибающий момент Mz. Поперечной силой в сечении называется внутреннее усилие, численно ра в ное алгебраической сумме проекций всех сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси балки. По перечная сила считается положительной, если она стремится вращать бес конечно малый элемент балки по ходу часовой стрелки. Обратное на пра в ление вращения соответствует отрицательной поперечной силе (рисунок 33.2). Рисунок 33.2. Правило знаков для поперечной силы Изгибающим моментом в сечении балки называется внутреннее усилие, численно равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно его центра тяжести. Изгибающий момент положителен, если под его воздействием балка изгибается выпуклостью вниз; при изгибе выпуклостью вверх изгибающий момент считается отрицательным (рисунок 34.2). Эпюра изгибающего момента строится со стороны сжатого волокна балки, которое находится с вогнутой части балки. Положительные значения изгибающего момента откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз. Рисунок 34.2. Правило знаков для изгибающего момента При решении задач, связанных с расчетами балок на прочность и жесткость, строятся графики изменения этих усилий по длине бруса - эпю ры поперечных сил и изгибающих моментов. Целью построения эпюр при расчетах на прочность является нагля д ное представление изменения внутренних усилий в сечении в зависимости от его положения и определение на иболее нагруженных участков балки. Для того чтобы установить закон изменения внутренних усилий по дли не балки, выбирается прямоугольная система координат, ось абсцисс xнаправляется вдоль оси балки, а оси y, z совмещаются с главными цент раль ными осями инерции поперечного сечения. Затем записываются аналитические выражения для поперечной силы и изгибающего момента в виде функций от абсциссы x, определяющей поло же ние рассматриваемого сечения. Соста вив уравнения Q(x) и Mz(x), аб сцис сам дают последовательно конкретные значения и вычисляют вели чины Q и Mz,, откладывая их в принятом масш табе от оси эпюры вверх или вниз, строя таким образом графики функций Q(x) и Mz(x) - эпюры по перечных сил и изгибающих моментов. При изгибе балки в ее поперечном сечении возникают нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения определяются по формуле , где Mz - изгибающий момент в рассматриваемом сечении; Jz - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси; y - расстояние от нейтральной оси до точки, где определяется напряжение. Условие прочности при изгибе для пластичных материалов , где z - осевой момент сопротивления при изгибе, вычисляемый относительно нейтральной оси. Для простых геометрических фигур его вычисляют по формулам: для прямоугольника ; для круга . Моменты сопротивления прокатных профилей приводятся в таблицах сор та мента справочников. Для хрупких материалов (чугун, высокоуглеродистые стали), имеющих различные пределы проч н ости при растяжении и сжатии , тре буется проверка их прочности по на и большим растягивающим и наи боль шим сжимающим напряжениям : , где , ; n- запас прочности. 3.3.3. Пример решения задачи Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать раз меры поперечного сечения стальной балки (рисунок 35.2) для различных форм сечения: двутавровой балки, балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b = 2 и круглого поперечного сечения. Балка выполнена из ста ли с допускаемым напряжением [ ] =190МПа; а =1 м; q=10кН/м. =1.5qa =0.5qa H Рисунок 35.2. Расчетная схема балки 1.Определение опорных реакций. На схеме показываем опорные реакции R1, H, R2 . Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия: Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия: Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно. 2.Построение эпюры Q. Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, на чинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются про ме жуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сече ниями будут се чения A, B, C и D. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q (x). Участок AB,0 Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отло жив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (рисунок 36.2), строим эпю ру на этом участке. Участок BC,a . Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения най дем значения поперечной силы на границах участков балки Участок CD,2a Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси бал ки (рисунок 36.2). 3. Построение эпюры Mz. Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки. Участок AB: . На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра Mz ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рисуноу 36.2) эпю ру Mz на сжатом во ло кне Участок BC: Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре Mz не будет. Определим изгибающий момент на границах участка: Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадрат ную па ра болу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки). Участок CD: . В пределах последнего участка балки (2a При при Эпюры Q и Mz показаны на рисунке 36.2. z Рисунок 36.2. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов По эпюре Mz находим опасное сечение балки - сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для задан ной балки изгибающий момент в опасном сечении = Mz(2a)=1,5qa2 или после подстановки числовых значений 15кНм. Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления Wz, используя таблицы сортамента прокатной стали справочников. В таблицах сортамента прокатной стали оси zсоответствует ось x , это означает, что . Наиболее близок к требуемому момент сопротивления двутавра №14, равный Wx=81,7 см3. Выбрав это сечение, определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки: Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что : Отсюда Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления Диаметр круга 3.3.4. Вопросы для самоконтроля (защиты контрольной работы) 1. Как выглядит условие прочности при изгибе бруса? 2. Какова последовательность прочностного расчета бруса при изгибе? 3. Какие сечения бруса при изгибе считаются опасными? 4. Какие точки поперечного сечения бруса считаются опасными? 5. Как учитываются механические характеристики материала при определении запасов прочности? 6. Расчет конструкции на прочность при изгибе. 7. Как определяется допускаемое напряжение? | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||